Дифференциальные уравнения с запаздыванием [Андрей Дмитриевич Полянин] (pdf) читать онлайн

ut = auxx + F(u, w)

А. Д. ПОЛЯНИН, В. Г. СОРОКИН, А. И. ЖУРОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
СВОЙСТВА, МЕТОДЫ, РЕШЕНИЯ И МОДЕЛИ

w = u(x, t − τ)

ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÈÒÅÀÒÓÀ

À. Ä. ÏÎËßÍÈÍ, Â.

. ÑÎÎÊÈÍ, À. È. ÆÓÎÂ

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ
ÓÀÂÍÅÍÈß
Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
ÑÂÎÉÑÒÂÀ, ÌÅÒÎÄÛ, ÅØÅÍÈß È ÌÎÄÅËÈ

Ìîñêâà
ÈÏÌåõ ÀÍ
2022

ÓÄÊ 517.9
ÁÁÊ 517.2
Ï 54
Ïîëÿíèí À. Ä., Ñîðîêèí Â. ., Æóðîâ À. È. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì: Ñâîéñòâà, ìåòîäû, ðåøåíèÿ è ìîäåëè.  Ì.: Èçäàòåëüñòâî ¾ÈÏÌåõ ÀÍ¿, 2022.  464 ñ.  ISBN 978-5-91741-268-9.
Êíèãà ïîñâÿùåíà ëèíåéíûì è íåëèíåéíûì îáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è óðàâíåíèÿì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûì è
ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðåíû êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è ñîðìóëèðîâàíû òèïè÷íûå ïîñòàíîâêè çàäà÷. Îïèñàíû òî÷íûå, ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå
ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé, âêëþ÷àÿ ìåòîä øàãîâ, ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ìåòîä ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó, ìåòîä ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé, ìåòîäû èòåðàöèîííîãî òèïà,
ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà, ìåòîä êîëëîêàöèé, ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òèïà
àëåðêèíà, ìåòîäû Ýéëåðà è óíãå  Êóòòû, ìåòîä ñòðåëüáû, ìåòîä ïðÿìûõ,
êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ìåòîäû äëÿ Óð×Ï, ìåòîäû îáîáùåííîãî è óíêöèîíàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé, ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé è äð. Èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ñîïðîâîæäàåòñÿ
ïðèìåðàìè ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ èñêîìûõ ðåøåíèé. Ïîñòðîåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ ðÿäà íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
è âîëíîâûõ óðàâíåíèé îáùåãî âèäà ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå çàâèñÿò îò îäíîé
èëè íåñêîëüêèõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé. Äàí îáçîð íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ çàïàçäûâàíèåì, èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè ïîïóëÿöèé, áèîëîãèè, ìåäèöèíå è äðóãèõ ïðèëîæåíèÿõ.  öåëîì â êíèãó âêëþ÷åíî
ìíîãî íîâîãî ìàòåðèàëà, êîòîðûé ðàíåå â ìîíîãðàèÿõ íå ïóáëèêîâàëñÿ.
Äëÿ øèðîêîãî êðóãà íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ïðåïîäàâàòåëåé âóçîâ, àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, òåîðèè óïðàâëåíèÿ, áèîëîãèè, ìåäèöèíû, õèìè÷åñêîé òåõíîëîãèè, ýêîëîãèè è ýêîíîìèêè. Îòäåëüíûå ðàçäåëû êíèãè è ïðèìåðû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â
êóðñàõ ëåêöèé ïî ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå è äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, äëÿ ÷òåíèÿ ñïåöêóðñîâ è äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ
çàíÿòèé.
Òàáë. 31. Èë. 33. Áèáëèîãð. 604 íàçâ.

ISBN 978-5-91741-268-9

©

À. Ä. Ïîëÿíèí, Â.

. Ñîðîêèí, À. È. Æóðîâ, 2022

Îãëàâëåíèå

Ïðåäèñëîâèå
Íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è çàìå÷àíèÿ
1. Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì
1.1.

9
12
14

Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå
ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.2.

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à
Êîøè. Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-

1.1.4.

Íåëèíåéíûå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäû-

ÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà è åå ñâîéñòâà . . .
âàíèåì, äîïóñêàþùèå ëèíåàðèçàöèþ èëè òî÷íûå ðåøåíèÿ . .
1.1.5.

Ìåòîä øàãîâ. åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïî-

1.1.6.

Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. ÎÄÓ ñ ïðîïîðöè-

ðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . .
îíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7.

27
31
36

ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.2.1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Çàäà÷à Êîøè

41

1.2.2.

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Òî÷íûå

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.2.3.

Ëèíåéíûå ÎÄÓ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèÿìè . . . . .

47

1.2.4.

Ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à Êîøè. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

. . . . . . . . . . .

Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

. .

1.3.1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îáùèå çàìå÷àíèÿ îá óñòîé÷èâîñòè ðå-

1.3.2.

Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ îäíèì ïîñòîÿííûì

øåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

. . . . . . . . . . .

çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.

Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïî-

1.3.4.

Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäû-

ñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

âàíèÿìè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.

26

ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ

ðåøåíèÿ

1.3.

17

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé. Ïîäàâëåíèå ñèíãóëÿðíîñòåé â ðåøåíèÿõ çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì . . . . . . . . .

1.2.

14

52
55
55
57
64
66

Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

69

4

Î

1.4.1.

Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ðåøåíèÿ
ëèíåéíûõ çàäà÷

1.4.2.

ËÀÂËÅÍÈÅ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3.

Ìåòîä ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó

1.4.4.

Ìåòîä ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé. Ñèíãó-

. . . .

ëÿðíî âîçìóùåííûå çàäà÷è ñ ïîãðàíè÷íûì ñëîåì . . . . . . .
1.4.5.
1.4.6.

78
83
85

Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé è äðóãèå ìåòîäû èòåðàöèîííîãî òèïà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òèïà

94

àëåðêèíà. Ìåòîä êîëëîêàöèé

.

2. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì
2.1.

69

100

Ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è çàäà÷
ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.1.1.

Ñâîéñòâà ðåøåíèé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

. . 100

2.1.2.

Îáùèå ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.2.

Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì . . 107
2.2.1.

Ïåðâàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.2.2.

Äðóãèå çàäà÷è äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî
òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.2.3.

. . . . . 107

. . . . . . . . . . . . . . . 112

Çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.2.4.

Çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.2.5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷

2.3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

èïåðáîëè÷åñêîå è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
2.3.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Âûâîä ãèïåðáîëè÷åñêîãî è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî
óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè

2.3.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Çàäà÷à Ñòîêñà è íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

2.4.

. . 118

. . . . . . . 132

Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.4.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.4.2.

Ïåðâàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . 138

2.4.3.

Äðóãèå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

2.4.4.

. . . . . . 140

Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . 142

Î

ËÀÂËÅÍÈÅ

5

3. Ìåòîäû è ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. ×àñòü I 145
3.1.

Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû
3.1.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Òåðìèíîëîãèÿ. Êëàññû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.2.

Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. åøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû. Òî÷-

3.1.3.

åøåíèÿ òèïà ðîíòà áåãóùåé âîëíû íåëèíåéíûõ óðàâíå-

íûå ðåøåíèÿ â çàìêíóòîé îðìå

. . . . . . . . . . . . . . . . 149

íèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.

åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Òåðìèíîëîãèÿ. Ïðèìåðû . . . . 158

3.2.2.

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ . . . 161

3.2.3.

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì, äîïóñ-

êàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ . . . . . 167
3.2.4.
3.3.

Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ174
3.3.1.

åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

3.3.2.

åøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ . . . . 180

. . . . . . 174

3.3.3.

Èñïîëüçîâàíèå ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

3.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.4.1.

Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé . . . . . . . 187

3.4.2.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.4.3.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-

3.4.4.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà  îð-

äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . 198

äîíà ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4. Ìåòîäû è ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. ×àñòü II 222
4.1.

Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ
4.1.1.

Ïåðâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ çàïàç-

4.1.2.

Èñïîëüçîâàíèå ïåðâîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèå òî÷íûõ ðå-

äûâàíèåì. Îáùåå îïèñàíèå è ïðîñòûå ïðèìåðû
øåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
4.1.3.

Âòîðîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ çàïàçäû. . . . . . . . . 228

Èñïîëüçîâàíèå âòîðîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèå òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

4.2.

. . . . . . . 222

. . . . . . . . . . 224

âàíèåì. Îáùåå îïèñàíèå è ïðîñòûå ïðèìåðû
4.1.4.

222

. . . . . . . . . . 230

Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ
óðàâíåíèé

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6

Î

ËÀÂËÅÍÈÅ

4.2.1.

Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà è ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ

4.2.2.

Êâàçèëèíåéíûå ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâ-

4.2.3.

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé

4.2.4.

Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ

íåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ

. . . . . 232

. . . . . . . . . 237

ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . 239
4.3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû è áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì Óð×Ï ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè . . . . . . 247
4.3.1.

åàêöèîííî-äèóçèîííûå ñèñòåìû ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè. Ñèñòåìà Ëîòêè  Âîëüòåððû . . . . . . . . . . . . 247

4.3.2.

åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì Óð×Ï ñ ðàçëè÷íûìè
êîýèöèåíòàìè äèóçèè (ñëó÷àé

4.3.3.

êîýèöèåíòàìè äèóçèè (ñëó÷àé
4.3.4.

a1 6= a2 )

. . . . . . . . . 248

a1 = a2 )

. . . . . . . . . 255

åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì Óð×Ï ñ îäèíàêîâûìè
Ñèñòåìû Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèÿìè, îäíîðîäíûå îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ óíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

4.4.

Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï
àíàëîãèè ðåøåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.4.1.

Ïðèíöèï àíàëîãèè ðåøåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.4.2.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé äèóçèîííîãî
òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . 264

4.4.3.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äè-

4.4.4.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé âîëíîâîãî òèïà ñ

óçèîííîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . 269
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.5.

Íåóñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ è íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêîòîðûõ
çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì
4.5.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé îäíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ Óð×Ï
ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

4.5.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5. ×èñëåííûå ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì
5.1.

285

×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . 285
5.1.1.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.1.2.

Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ

5.1.3.

Ìîäèèöèðîâàííûé ìåòîä øàãîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 290

ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.4.

×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

5.1.5.

×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäû-

. 291

âàíèåì. Çàäà÷à Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.1.6.

Ìåòîä ñòðåëüáû (êðàåâûå çàäà÷è) . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.1.7.

Èñïîëüçîâàíèå ïàêåòà Mathemati a äëÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . 303

Î

5.1.8.

ËÀÂËÅÍÈÅ

7

Òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñîïîñòàâëåíèå
÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.2.

×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

. . . . . . . . . . 310

5.2.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ìåòîä äåêîìïîçèöèè îáëàñòè

5.2.2.

Ìåòîä ïðÿìûõ (ñâåäåíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ê ñèñòåìå

5.2.3.

Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ìåòîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

ïî âðåìåíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.3.

Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.3.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

5.3.2.

Îñíîâíûå ïðèíöèïû âûáîðà òåñòîâûõ çàäà÷ . . . . . . . . . . 324

5.3.3.

Ïîñòðîåíèå òåñòîâûõ çàäà÷

5.3.4.

Ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ

5.3.5.

Ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì . . . 331
óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì . . . . . . 338

6. Ìîäåëè è äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì
6.1.

Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

344
. . . . . 344

6.1.1.

Óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà (ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäû-

6.1.2.

Óðàâíåíèå Íèêîëñîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.1.3.

Ìîäåëè êðîâåòâîðåíèÿ Ìýêêè 

6.1.4.

Äðóãèå íåëèíåéíûå ìîäåëè ñ çàïàçäûâàíèåì

âàíèåì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

6.2.

ëàññà . . . . . . . . . . . . . 351

Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè ïîïóëÿöèé

. . . . . . . . 358

6.2.1.

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

6.2.2.

Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì . . 360

6.2.3.

Äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, ó÷èòûâàþùåå
îãðàíè÷åííîñòü ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ

6.2.4.

. . . . . . . . . . . . . 361

Äèóçèîííûå ëîãèñòè÷åñêèå ìîäåëè òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè

. . . . . . . . . . . . . 362

6.2.5.

åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Íèêîëñîíà ñ çàïàçäûâà-

6.2.6.

Ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ âëèÿíèå çàùèòíûõ ìåõàíèçìîâ ðàñ-

íèåì

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

òåíèé íà ïîïóëÿöèþ ðàñòåíèåÿäíûõ
6.3.

. . . . . . . . . 354

. . . . . . . . . . . . . . 365

Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå
ýïèäåìèé è ðàçâèòèå áîëåçíåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.3.1.

Êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè SIR

6.3.2.

Äâóõêîìïîíåíòíàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè SI

6.3.3.

Ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè íîâîé êîðîíàâèðóñíîé

6.3.4.

Ìîäåëè ïðîòåêàíèÿ ãåïàòèòà B

6.3.5.

Ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ èììóíèòåòà è îïóõîëåâûõ êëåòîê . . 373

èíåêöèè

6.4.

. . . . 366
. . 369

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
. . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Äðóãèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

375

8

Î

ËÀÂËÅÍÈÅ

6.4.1.

Ìîäåëü êîëåáàòåëüíîé ðåàêöèè Áåëîóñîâà  Æàáîòèíñêîãî

6.4.2.

Ìîäåëè êðîâåòâîðåíèÿ òèïà Ìýêêè 

. 375

6.4.3.

Ìîäåëü òåðìè÷åñêîé îáðàáîòêè ìåòàëëè÷åñêèõ ëèñòîâ . . . . 377

ëàññà . . . . . . . . . . 376

6.4.4.

Ìîäåëü ïèùåâîé öåïè

6.4.5.

Ìîäåëè èñêóññòâåííîé íåéðîííîé ñåòè

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
. . . . . . . . . . . . 379

Ïðèëîæåíèå. Ñïðàâî÷íûå òàáëèöû ïî òî÷íûì ðåøåíèÿì Óð×Ï
ñ çàïàçäûâàíèåì
Ï.1. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ

381

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Ï.1.1.

Óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . . . . 381

Ï.1.2.

Óðàâíåíèÿ òèïà ïàíòîãðàà

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì . . . . . . . . . 382
Ï.2.1.

Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

Ï.2.2.

Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà

. . . . . . . . . . . . . . . . 382
. . . . . . . . . . . . . . . 396

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè . . . . . 404
Ï.3.1.

Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

Ï.3.2.

Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà

. . . . . . . . . . . . . . . . 404
. . . . . . . . . . . . . . . 411

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Ï.4.1.

Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

Ï.4.2.

Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

. . . . . . . . . . . . . . . . 416
. . . . . . . . . . . . . . . 426

432

Ïðåäèñëîâèå
Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (îáûêíîâåííûå è â ÷àñòíûõ
∗
ïðîèçâîäíûõ) ñ çàïàçäûâàíèåì ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ òåîðåòè÷åñêîé èçèêè, ìåõàíèêè,
òåîðèè óïðàâëåíèÿ, áèîëîãèè, áèîèçèêè, áèîõèìèè, ìåäèöèíû, ýêîëîãèè, ýêîíîìèêè
è òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ.
Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå àêòîðû, ïðèâîäÿùèå ê íåîáõîäèìîñòè ââîäèòü çàïàçäûâàíèå â ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Â
áèîëîãèè è áèîìåõàíèêå çàïàçäûâàíèå îáóñëîâëåíî îãðàíè÷åííîé ñêîðîñòüþ ïåðåäà÷è
íåðâíûõ è ìûøå÷íûõ ðåàêöèé â æèâûõ òêàíÿõ; â ìåäèöèíå  â çàäà÷àõ î ðàñïðîñòðàíåíèè èíåêöèîííûõ çàáîëåâàíèé  âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èíêóáàöèîííûì ïåðèîäîì (ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò ìîìåíòà çàðàæåíèÿ äî ïåðâûõ ïðèçíàêîâ
ïðîÿâëåíèÿ áîëåçíè); â äèíàìèêå ïîïóëÿöèé çàïàçäûâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îñîáè
ó÷àñòâóþò â ðåïðîäóêöèè ëèøü ïîñëå äîñòèæåíèÿ îïðåäåëåííîãî âîçðàñòà; â òåîðèè
óïðàâëåíèÿ çàïàçäûâàíèå îáû÷íî ñâÿçàíî ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà è îãðàíè÷åííîé ñêîðîñòüþ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.
Íàëè÷èå çàïàçäûâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ è äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ îñëîæíÿþùèì àêòîðîì, êîòîðûé, êàê ïðàâèëî, ïðèâîäèò ê ñóæåíèþ
îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷àåìûõ ðåøåíèé. Èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ
äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ) ñ çàïàçäûâàíèåì ïî ñëîæíîñòè ñîïîñòàâèìû
èññëåäîâàíèåì è ðåøåíèåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (Óð×Ï) áåç çàïàçäûâàíèÿ.
 êíèãå îïèñàíû êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è ñîðìóëèðîâàíû äëÿ íèõ òèïè÷íûå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñ íà÷àëüíûìè
äàííûìè è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷. Èçëàãàþòñÿ òî÷íûå, ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé. Ïîìèìî äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì èññëåäóþòñÿ óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì (òèïà ïàíòîãðàà), à òàêæå áîëåå ñëîæíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì
çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà èëè íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè. Èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ñîïðîâîæäàåòñÿ ïðèìåðàìè ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ìåòîäîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ èñêîìûõ ðåøåíèé.
Äàí îáçîð íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ çàïàçäûâàíèåì,
èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè ïîïóëÿöèé, áèîëîãèè, ìåäèöèíå è äðóãèõ ïðèëîæåíèÿõ.
Ïðèâåäåíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ òèïà Êîøè äëÿ ÎÄÓ è ñèñòåì
ÎÄÓ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì è ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.
àññìîòðåíû íåêîòîðûå êëàññû íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì,
êîòîðûå äîïóñêàþò ëèíåàðèçàöèþ èëè òî÷íûå ðåøåíèÿ. Îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
Îïèñàíû íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè è êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì è ïåðå-

 ëèòåðàòóðå íåðåäêî âñòðå÷àåòñÿ òàêæå áîëåå äëèííîå àëüòåðíàòèâíîå íàçâàíèå  äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì.
∗

9

10

Ï

ÅÄÈÑËÎÂÈÅ

ìåííûì çàïàçäûâàíèåì (ìåòîä øàãîâ, ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ìåòîä
ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó, ìåòîä ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ
ðàçëîæåíèé, ìåòîäû èòåðàöèîííîãî òèïà, ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà, ìåòîä ãîìîòîïè÷åñêîãî àíàëèçà, ìåòîä êîëëîêàöèé, ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òèïà

àëåðêèíà, ìåòîäû

Ýéëåðà è óíãå  Êóòòû, ìåòîä ñòðåëüáû, ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ïàêåòà Mathemati a è äð.).
Ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷åíû ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäîâ Ôóðüå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì ëèíåéíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ïàðàáîëè÷åñêîãî è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïîâ ñ ïîñòîÿííûì è ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì
è ðàçëè÷íûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Èçëàãàþòñÿ òàêæå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Íàèáîëüøåå âíèìàíèå óäåëåíî ìåòîäó ïðÿìûõ, êîòîðûé áàçèðóåòñÿ íà ñâåäåíèè Óð×Ï
ñ çàïàçäûâàíèåì ê ñèñòåìå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðåíû êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà íåÿâíîé ñõåìå, ñõåìå ñ âåñàìè, ñõåìå ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà
òî÷íîñòè è äð. Îáñóæäàåòñÿ òàêæå ìåòîä äåêîìïîçèöèè îáëàñòè ïî âðåìåíè, êîòîðûé
îáîáùàåò ìåòîä øàãîâ, èñïîëüçóåìûé äëÿ ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ è âûáîðà òåñòîâûõ çàäà÷, ïðåäíàçíà÷åííûõ
äëÿ ïðîâåðêè àäåêâàòíîñòè è îöåíêè òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ è ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.
Îáùåå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì íå óäàåòñÿ íàéòè äàæå â
ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ. Ïîýòîìó ïðè èññëåäîâàíèè òàêèõ óðàâíåíèé îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ
îãðàíè÷èâàòüñÿ ïîèñêîì è àíàëèçîì èõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü

òî÷íûìè ðåøåíèÿìè.
 äàííîé êíèãå áîëüøîå âíèìàíèå óäåëåíî îïèñàíèþ è ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé
èçèêè ñ çàïàçäûâàíèåì (ìåòîäû îáîáùåííîãî è óíêöèîíàëüíîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé, ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé, ïðèíöèï
àíàëîãèè ðåøåíèé è äð.). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, êîòîðûå óñïåøíî ïîçâîëÿþò íàõîäèòü òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè áåç çàïàçäûâàíèÿ ëèáî âîîáùå íåïðèìåíèìû
äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì èëè ïåðåìåííûì
çàïàçäûâàíèåì, ëèáî èìåþò âåñüìà îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè. Óðàâíåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè è çàïàçäûâàíèåì èìåþò
ñïåöèè÷åñêèå êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè: (i) Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì íå
äîïóñêàþò àâòîìîäåëüíûõ ðåøåíèé, êîòîðûå âåñüìà ÷àñòî èìåþò Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ, (ii) Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ïî îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
íå èìåþò ðåøåíèé òèïà áåãóùåé âîëíû.
àññìîòðåíî ìíîãî íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ è âîëíîâûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå çàâèñÿò îò îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé èëè ñîäåðæàò ðÿä ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèå óðàâíåíèÿ íàèáîëåå ñëîæíû
äëÿ àíàëèçà, à èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ è îöåíêè
ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ è ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷. Äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëåé àâòîðû äîáàâèëè â êíèãó
ñïðàâî÷íîå ïðèëîæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò îáøèðíûå òàáëèöû òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûì è ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì.
 öåëîì, äàííàÿ êíèãà ñîäåðæèò ìíîãî íîâîãî ìàòåðèàëà, êîòîðûé ðàíåå â ìîíîãðàèÿõ íå ïóáëèêîâàëñÿ.
Äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ êðóãà ïîòåíöèàëüíûõ ÷èòàòåëåé ñ ðàçíîé ìàòå-

Ï

ÅÄÈÑËÎÂÈÅ

11

ìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêîé àâòîðû ïî âîçìîæíîñòè ñòàðàëèñü èçáåãàòü èñïîëüçîâàíèÿ
ñïåöèàëüíîé òåðìèíîëîãèè. Ïîýòîìó íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû îïèñàíû ñõåìàòè÷åñêè
è óïðîùåííî, ÷åãî âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ èõ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Ìíîãèå
ðàçäåëû ìîæíî ÷èòàòü íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ÷òî îáëåã÷àåò ðàáîòó ñ ìàòåðèàëîì.
Ïîäðîáíîå îãëàâëåíèå ïîçâîëÿåò áûñòðî íàõîäèòü íåîáõîäèìóþ èíîðìàöèþ.
Àâòîðû áëàãîäàðÿò À.Â. Àêñåíîâà çà îáñóæäåíèÿ è ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ.
Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî êíèãà áóäåò ïîëåçíîé äëÿ øèðîêîãî êðóãà íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ïðåïîäàâàòåëåé âóçîâ, àñïèðàíòîâ è ñòóäåíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè
ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè, òåîðèè óïðàâëåíèÿ, áèîëîãèè, áèîèçèêè, áèîõèìèè, ìåäèöèíû, õèìè÷åñêîé
òåõíîëîãèè è ýêîëîãèè. Îòäåëüíûå ðàçäåëû êíèãè, ìåòîäû è ïðèìåðû ìîãóò áûòü
èñïîëüçîâàíû â êóðñàõ ëåêöèé ïî ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêå, ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå è
óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, äëÿ ÷òåíèÿ ñïåöêóðñîâ è äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé.

Àâòîðû

Íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ è çàìå÷àíèÿ

Ëàòèíñêèå áóêâû
a, a1 , a2

 êîýèöèåíòû äèóçèè (áåçðàçìåðíûå èëè ðàçìåðíûå) â
óðàâíåíèÿõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà;

C1 , C2 , . . .

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå;

[t/τ ]+1

expd (t, τ )
exps (t, p)

 ýêñïîíåíòà ñ çàïàçäûâàíèåì,

 ýêñïîíåíòà ñ ðàñòÿæåíèåì,

expd (t, τ ) ≡

exps (t, p) ≡

X [t − (k − 1)τ ]k
k!

k=0
∞
X
n(n−1) n
t
p 2
;

n=0

;

n!

Im A  ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A;
p  ïàðàìåòð ðàñòÿæåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì âðåìåíè (0 < p < 1);
Re A  äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà A;
t  âðåìÿ (íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ);
u  èñêîìàÿ óíêöèÿ (çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ) â òåêóùèé ìîìåíò
âðåìåíè t, äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè u = u(x, t);
W = W (z)  óíêöèÿ Ëàìáåðòà, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ íåÿâíî ñîîòíîøåíèåì
z = W eW (z = x + iy  êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ);
Wp = Wp (x)  ãëàâíàÿ âåòâü óíêöèè Ëàìáåðòà (x > −1/e, Wp > −1);
Wn = Wn (x)  âòîðàÿ âåòâü óíêöèè Ëàìáåðòà (−1/e 6 x < 0, Wn 6 −1);
w  èñêîìàÿ óíêöèÿ â ïðîøåäøèé ìîìåíò âðåìåíè, w = u(t − τ )
(äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì) èëè w = u(pt)
(äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, 0 < p < 1);
äëÿ Óð×Ï ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè èìååì w =
= u(x, t − τ ) èëè w = u(x, pt);
wk  èñêîìàÿ óíêöèÿ â ïðîøëûå ìîìåíòû âðåìåíè, wk = u(t − τk )
(äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè, k = 1, . . . , m); äëÿ
Óð×Ï ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè wk = u(x, t − τk );
x, y  ïðîñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå (äåêàðòîâû êîîðäèíàòû) èëè
äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x+iy ;
x1 , . . . , xn  äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå;
x  n-ìåðíûé âåêòîð, x = (x1, . . . , xn ).

12

Í

ÅÊÎÒÎÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÇÀÌÅ×ÀÍÈß

13

ðå÷åñêèå áóêâû
∆

 îïåðàòîð Ëàïëàñà:

∆=
∆=

∂2
∂x2
n
P

∂2
â
∂x2k

k=1

τ

∂2
∂y 2  â äâóìåðíîì ñëó÷àå,

+

n-ìåðíîì ñëó÷àå;

 âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ (τ

> 0), êîòîðîå
τ = τ (t);

ìîæåò áûòü ïîñòîÿííûì

èëè çàâèñåòü îò âðåìåíè

τ1 , . . . , τm

 âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ.

Êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ è îïåðàòîðîâ
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè

ux =

∂u
,
∂x

ut =

∂u
,
∂t

uxx =

u = u(x, t):

∂2u
,
∂x2

uxt =

Îáûêíîâåííûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè

ft′ =

df
,
dt

ftt′′ =

d2 f
dt2

,

′′′
fttt
=

d3 f
dt3

∂2u
,
∂x∂t

. . . , u(n)
x =

d4 f
dt4

,

(n)

ft

=

dn f
dtn

Äèóçèîííûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â

div [f (u)∇u]

=

n
h
X
∂
k=1

Çàìå÷àíèÿ

∂xk

f (u)

∂u
∂xk

i

,

∂nu
.
∂xn

f = f (t):
′′′′
ftttt
=

,

∂2u
,
∂t2

utt =

ãäå

ïðè

n > 4.

n-ìåðíîì ñëó÷àå:

f (u)  êîýèöèåíò äèóçèè.

1.  êíèãå ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ñîêðàùåíèÿ ÎÄÓ è Óð×Ï, êîòîðûå ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþò ¾îáûêíîâåííîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå¿ (èëè
¾îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ¿) è ¾óðàâíåíèå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè¿ (èëè ¾óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè¿).
2. Åñëè îðìóëà èëè ðåøåíèå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå íåêîòîðûõ óíêöèé,
òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò.
3. Åñëè îðìóëà èëè ðåøåíèå ñîäåðæèò íåîïðåäåëåííûå èëè îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû, òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò.
4. Â îðìóëàõ è ðåøåíèÿõ, ñîäåðæàùèõ âûðàæåíèÿ òèïà
îãîâàðèâàåòñÿ, ÷òî

a 6= 2.

f (t)
, ÷àñòî íå
a−2

1. Îáûêíîâåííûå
äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
ñ çàïàçäûâàíèåì

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè.
Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

1.1.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ

Íàèáîëåå ïðîñòûå ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûå ïðîöåññû ñ ïîñëåäåéñòâèåì
îïèñûâàþòñÿ îáûêíîâåííûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (ÎÄÓ) ñ çàïàçäûâàíèåì. Àíàëèç è ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé ïî ñëîæíîñòè ñîïîñòàâèìû
àíàëèçîì è ðåøåíèåì óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåç çàïàçäûâàíèÿ. Â
íàñòîÿùåå âðåìÿ òåîðèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì è äðóãèõ îáûêíîâåííûõ óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûõ è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàííîé (ñì., íàïðèìåð, [8, 49, 50, 57, 94,
116, 130, 156, 216, 222, 252, 272, 328330, 333, 334, 495℄).  äàííîé ãëàâå, îñíîâûâàÿñü íà öèòèðóåìûõ âûøå è äðóãèõ èñòî÷íèêàõ, êðàòêî îïèñàíû
íàèáîëåå âàæíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì
è ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì, â òîì ÷èñëå êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè òàêèõ
óðàâíåíèé, òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèåì, îðìóëèðîâêè è àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ îñíîâíûõ
çàäà÷, òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè, åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé.
Çàìå÷àíèå 1.1. ×èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ðàñ-

ñìàòðèâàþòñÿ â ðàçä. 5.1, à ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ, îñíîâàííûå
íà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì  â ðàçä. 6.1.

1.1.2. ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.
Çàäà÷à Êîøè. Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè

Óðàâíåíèÿ ñ îäíèì ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à Êîøè. Áóäåì ðàñ-

ñìàòðèâàòü îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
çàïàçäûâàíèåì âèäà

u′t = f (t, u, w),

w = u(t − τ ),

t > t0 ,

(1.1.2.1)

u = u(t)  èñêîìàÿ óíêöèÿ, t  âðåìÿ, f  çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ,
τ > 0  ïîñòîÿííîå çàïàçäûâàíèå, t0  íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ

ãäå

14

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ
íà÷àëüíîé òî÷êîé. Åñëè óíêöèÿ

f

15

íå çàâèñèò ÿâíî îò t, òî óðàâíåíèå (1.1.2.1)

íàçûâàåòñÿ àâòîíîìíûì.
Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.2.1) è
ðîäñòâåííûå áîëåå ñëîæíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì âîçíèêàþò âî ìíîãèõ
ïðèëîæåíèÿõ, âêëþ÷àÿ òåîðèþ óïðàâëåíèÿ [293, 322, 491, 548, 582℄, íåéðîäèíàìèêó [39, 262, 364℄, ëàçåðíóþ èçèêó [112, 338, 532℄, ðàäèîèçèêó [21, 144℄,
ÿäåðíóþ èçèêó [18, 192, 266℄, ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîëîãèþ è áèîëîãèþ [36, 149,
177, 250, 252, 276, 317, 333, 335, 478, 595℄, ìåäèöèíó [100, 260, 376, 400, 483,
531℄.
Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.2.1) îðìóëèðóåòñÿ òàê: òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u = ϕ(t)
ãäå

ϕ(t)  çàäàííàÿ

ïðè

t0 − τ 6 t 6 t0 ,

(1.1.2.2)

íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ. Ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ

τ = 0

â

(1.1.2.1)  (1.1.2.2) ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ (î
ñâîéñòâàõ è ìåòîäàõ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ñì., íàïðèìåð, [33, 392, 448℄).

Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè. Ñãëàæèâàíèå ðåøåíèé. Îòìåòèì íåêîòîðûå

êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè, êîòîðûå îòëè÷àþò çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì îò çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ.

t = t0 , êàê äëÿ
Et0 = {t0 − τ 6 t 6 t0 }. ×àùå
âñåãî èñïîëüçóåòñÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà t0 = 0, èíîãäà âñòðå÷àåòñÿ t0 = τ . Èùåòñÿ
ðåøåíèå, íåïðåðûâíîå â òî÷êå t0 , ò. å. ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî u(t0 + 0) = ϕ(t0 ).
Âî-âòîðûõ, äàæå åñëè óíêöèè ϕ è f áóäóò èìåòü íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ñêîëü óãîäíî âûñîêîãî ïîðÿäêà, ðåøåíèå u(t) íà÷àëüíîé çàäà÷è (1.1.2.1) 
Âî-ïåðâûõ, íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàåòñÿ íå â îäíîé òî÷êå

óðàâíåíèé áåç çàïàçäûâàíèÿ, à íà îòðåçêå

(1.1.2.2) â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ áóäåò èìåòü ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà ó
ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà

k

â òî÷êàõ

t = t0 + (k − 1)τ ,

ãäå

k = 1, 2, . . . ;

îäíàêî

ïðîèçâîäíûå áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ â ýòèõ òî÷êàõ áóäóò óæå íåïðåðûâíû.
Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò ¾ñãëàæèâàíèåì ðåøåíèé¿ (èíîãäà ¾ðàñïðîñòðàíåíèåì
ðàçðûâîâ ïðîèçâîäíûõ¿).
àññìîòðèì çàäà÷ó (1.1.2.1)  (1.1.2.2). Íà îòðåçêå

t0 6 t 6 t0 + τ

èìååì

u′t = f (t, u(t), ϕ(t − τ )).
Íà ïðåäûäóùåì îòðåçêå

t0 − τ 6 t 6 t0

ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ èç

íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (1.1.2.2):

u′t = ϕ′t (t).
Òîãäà â òî÷êå t0 èìååì, ñ îäíîé ñòîðîíû,

u′t (t0 + 0) = f (t0 , ϕ(t0 ), ϕ(t0 − τ )),
à ñ äðóãîé ñòîðîíû

u′t (t0 − 0) = ϕ′t (t0 ).

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

16

Ïîíÿòíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé

u′t

â òî÷êå

îáåñïå÷åíà ëèøü ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå íà÷àëüíîé óíêöèè

t0 ìîæåò áûòü
ϕ, êîãäà âûïîë-

íåíî óñëîâèå

ϕ′ (t0 ) = f (t0 , ϕ(t0 ), ϕ(t0 − τ )).
Ïîýòîìó â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðîèçâîäíàÿ

u′t (t)

ðàçðûâíà â òî÷êå t0 .

 òî÷êå t0 + τ ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ðåøåíèÿ íåïðåðûâíà. Äåéñòâèòåëüíî, èç

u′t (t) = f (t, u(t), w(t)), ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ
òî÷êå t0 + τ , òàê êàê w(t) = u(t − τ ) íåïðåðûâíà

(1.1.2.1) èìååì
óíêöèåé

t

â

íåïðåðûâíîé
â ýòîé òî÷êå.

Îäíàêî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ

u′′tt = ft + fu u′t + fw wt′
wt′ = u′t (t − τ ) ðàçðûâíà â ýòîé
′
′
′
òî÷êå (èìååì w (t0 + τ ) = ut (t0 ); ðàçðûâíîñòü ut â òî÷êå t0 â ñëó÷àå îáùåãî
′′
ïîëîæåíèÿ áûëà ïîêàçàíà âûøå). Íî â òî÷êå t = t0 + 2τ ïðîèçâîäíàÿ utt (t)
′
íåïðåðûâíà, òàê êàê wt (t) è w(t) íåïðåðûâíû â ýòîé òî÷êå.
Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ, çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷êå t0 + (k − 1)τ ïðîèçâîäíàÿ
u(k) (t) ðàçðûâíà, à ïðîèçâîäíûå ìåíüøåãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíû, ïðè óñëîâèè,
÷òî f äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ óíêöèÿ.
â òî÷êå

◮

t0 + τ

ðàçðûâíà, òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ

Ïðèìåð 1.1. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâà-

íèåì è ïðîñòûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì [551℄:

u′ (t) = u(t − 1),
u(t) = 1,

t > 0;
−1 6 t 6 0.

(1.1.2.3)
(1.1.2.4)

u′ (t) = 0 ïðè −1 6 t 6 0. Â òî æå âðåìÿ èç (1.1.2.3)
′
′
ïðè óñëîâèè (1.1.2.4) ïîëó÷àåì, ÷òî u (t) = 1 ïðè 0 < t 6 1. Çíà÷èò, u (t) èìååò
ðàçðûâ ïðè t = 0.
àññìîòðèì òåïåðü òî÷êó t = k , ãäå k  öåëîå ÷èñëî. Äèåðåíöèðóÿ
(1.1.2.3) k ðàç, èìååì
u(k+1) (t) = u(k) (t − 1),
Èç (1.1.2.4) ñëåäóåò, ÷òî

îòêóäà ïî èíäóêöèè ñëåäóåò

Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ

u(k+1)

u(k+1) (t) = u′ (t − k).
èìååò ðàçðûâ â òî÷êå

t = k.

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè.

◭
Óðàâíåíèå

(1.1.2.1) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ îäíèì ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Áîëåå ñëîæíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè èìåþò âèä

u′t = f (t, u, w1 , . . . , wm ),
ãäå

τk > 0  çàäàííûå

÷èñëà.

wk = u(t − τk ),

k = 1, . . . , m,

(1.1.2.5)

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

17

Äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1.2.5) çàäà÷à Êîøè îðìóëèðóåòñÿ òàê: òðåáóåòñÿ íàéòè
ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u = ϕ(t)
ãäå

ϕ(t)  çàäàííàÿ

t0 − τmax 6 t 6 t0 ,

ïðè

(1.1.2.6)

τmax = max τk

íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ,

16k6m

çàïàçäûâàíèå.

Óðàâíåíèÿ íåéòðàëüíîãî è îïåðåæàþùåãî òèïîâ.

 ìàêñèìàëüíîå

 ëèòåðàòóðå âñòðå-

÷àþòñÿ òàêæå óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
âèäà

F (t, u, u′t , w, wt′ ) = 0,
êîòîðûå ñîäåðæàò äâå ïðîèçâîäíûå

u′t

è

w = u(t − τ ),

wt′ .

(1.1.2.7)

Òàêèå óðàâíåíèÿ îòíîñÿò ê óðàâ-

íåíèÿì íåéòðàëüíîãî òèïà. Áîëåå îáùèå óðàâíåíèÿ ìîãóò âêëþ÷àòü íåñêîëüêî
çàïàçäûâàíèé

τ1 , . . . , τm .

Óðàâíåíèÿìè îïåðåæàþùåãî òèïà íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ (1.1.2.7) ñïåöèàëüíîãî âèäà, êîòîðûå çàâèñÿò îò

wt′ , íî íå

u′t .

çàâèñÿò îò

Óðàâíåíèÿ íåéòðàëüíîãî è îïåðåæàþùåãî òèïîâ äîñòàòî÷íî ðåäêî âñòðå÷àþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ è ïîýòîìó ïî÷òè íå ðàññìàòðèâàþòñÿ â äàííîé êíèãå.
Òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïîäîáíûõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â
[8, 94, 272, 328330℄.

1.1.3. Òî÷íûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà è åå
ñâîéñòâà

Ýêñïîíåíöèàëüíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà. àññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå
îáûêíîâåííîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + bw,
ãäå

a

è

b  äåéñòâèòåëüíûå

w = u(t − τ ),

(1.1.3.1)

êîíñòàíòû. Êàê è â ñëó÷àå ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ,

óðàâíåíèå (1.1.3.1) èìååò òî÷íûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

u(t) = exp(λt).

(1.1.3.2)

Ïîäñòàâèâ (1.1.3.2) â (1.1.3.1), ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà
ñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà

eλt

ïîëó÷èì õàðàêòåðè-

λ:

λ − a − be−λτ = 0.
Óðàâíåíèå (1.1.3.3) ñîäåðæèò òðè ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðà

(1.1.3.3)

a, b, τ .

Ïðè

τ = 0,

÷òî ñîîòâåòñòâóåò ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ, óðàâíåíèå (1.1.3.3) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì è èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü
ëè÷èå çàïàçäûâàíèÿ

λ = a + b. Íà-

τ > 0 (ïðè b 6= 0) êà÷åñòâåííî ìåíÿåò ñèòóàöèþ, ò. ê. â ýòîì

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

18

ñëó÷àå óðàâíåíèå (1.1.3.3) ñòàíîâèòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì è èìååò áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíåé

m = 0, 1, 2, . . .

λm = Re λm ± i Im λm , i2 = −1,

(ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ äîïîëíèòåëüíî ìîæåò

èìåòü åùå îäèí èëè äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ). Â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ óíêöèé (1.1.3.2), ãäå

λ = λk  ðàçëè÷íûå

êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.1.3.3), ÿâëÿåòñÿ

ðåøåíèåì ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.3.1).
Ñíà÷àëà îòûùåì óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå
óðàâíåíèå (1.1.3.3) èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè. åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1.3.3)
ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ óíêöèè Ëàìáåðòà
ïëåêñíûõ

z = x + iy

W = W (z),

êîòîðàÿ äëÿ êîì-

îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî ñ ïîìîùüþ òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâ-

íåíèÿ

W eW = z.

(1.1.3.4)

Ñâîéñòâà ýòîé óíêöèè è åå ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â [23,
196, 522, 564, 582℄.
Ïîêàçàòåëü

λ

ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðåøåíèÿ (1.1.3.2) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî

óðàâíåíèÿ (1.1.3.3) ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ óíêöèè Ëàìáåðòà â âèäå

1
W (x),
τ

λ=a+

x = bτ e−aτ .

(1.1.3.5)

Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà íà äåéñòâèòåëüíîé îñè. Äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ z
W (x)
x > −1/e

óíêöèÿ

îäíîçíà÷íà ïðè

Äëÿ

è

W > −1

x > 0

è äâóçíà÷íà íà èíòåðâàëå

=x
(−1/e, 0).

îäíîçíà÷íóþ âåòâü óíêöèè Ëàìáåðòà, êîòîðóþ

Wp (x); âòîðóþ âåòâü ýòîé
−1/e 6 x < 0 è W 6 −1,

ïðèíÿòî íàçûâàòü ãëàâíîé âåòâüþ, áóäåì îáîçíà÷àòü
óíêöèè, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâàìè
îáîçíà÷àåì

Wn (x)∗ .

W (x) (Wp è Wn ) íà
−1/e 6 x < ∞. Äëÿ ñðàâíåíèÿ øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà òàêæå
ëîãàðèìè÷åñêàÿ óíêöèÿ ln(1 + x).
 ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå äåéñòâèòåëüíûå âåòâè Wp (x) è Wn (x) îïðåäåëÿÍà ðèñ. 1.1 èçîáðàæåíû äâå âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà

ïîëóïðÿìîé

þòñÿ îðìóëàìè

x = ses ,
x = ses ,

Wp = s,
Wn = s,

−1 6 s < +∞;
−∞ < s 6 −1.

Èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà, ñõîäÿùåãîñÿ ïðè

Wp (x) =

∞
X

(−1)n−1

n=1

nn−1 n
x
n!

= x − x2 +

3 3
x
2

−

8 4
x
3

+

|x| < 1/e:

125 5
x
4

− ··· .

(1.1.3.6)

Äåéñòâèòåëüíûå âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà Wp è Wn îáû÷íî îáîçíà÷àþò W0 è W−1 (ñì.,
íàïðèìåð, [196, 305℄), îäíàêî òàêèå æå îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ñîâñåì â äðóãîì ñìûñëå äëÿ
êîìïëåêñíûõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà [196℄, ÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê ïóòàíèöå. Â äàííîé êíèãå
äëÿ ãëàâíîé âåòâè èñïîëüçóåòñÿ ââåäåííîå â [409℄ áîëåå óäîáíîå îáîçíà÷åíèå Wp (èíäåêñ p îò
àíãë. prin ipal/positive), à äëÿ âòîðîé âåòâè  îáîçíà÷åíèå Wn (èíäåêñ n îò àíãë. negative).
∗

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

19

ln (1 + x)

2
1

Wp(x)

-1/e
0

1

2

3

5

4

6

x

-1
Wn (x)
-2

èñ. 1.1.

Âåùåñòâåííûå âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà

Wp (x)

è

Wn (x).

Ñïðàâåäëèâû àñèìïòîòè÷åñêèå îðìóëû [196, 409℄:

Wp (x) = ζ1 − ln ζ1 +

ln ζ1
ζ1

+

ln2 ζ1
2ζ12

−

ln ζ1
ζ12

+O

ζ1 = ln x;
Wn (x) = ζ2 − ln ζ2 −

ln ζ2
ζ2

−

2

ln ζ2
2ζ22

ζ2 = ln(−1/x).

−

ln ζ2
ζ22

+O




ln3 ζ1
ζ13
3

ln ζ2
ζ23




ïðè

x → +∞,
(1.1.3.7)

ïðè

x → −0,
(1.1.3.8)

Ñâîéñòâà óíêöèè Ëàìáåðòà è åå çíà÷åíèÿ â íåêîòîðûõ òî÷êàõ:

Wp (xex ) = x (x > −1),

Wp (x ln x) = ln x (x > e
Wn (xex ) = x (x 6 −1),

Wp (−1/e) = −1,

ln Wp (x) = ln x − Wp (x) (x > 0),

−1

),

Wp (− ln x/x) = − ln x

(0 < x 6 e),

Wn (x ln x) = ln x (x 6 e−1 ),

Wp (0) = 0,

Wp (e) = 1,

Wp (e1+e ) = e.

ëàâíàÿ âåòâü óíêöèè Ëàìáåðòà íà ïîëóïðÿìîé
àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïðîñòîé ÿâíîé çàâèñèìîñòüþ [553℄:

0 6 x < ∞

h
i
ln(1 + ln(1 + x))
Wp (x) = ln(1 + x) 1 −
,

(1.1.3.9)

2 + ln(1 + x)

êîòîðàÿ äàåò äâà òî÷íûõ ÷ëåíà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ïðè

x → ∞

õîðîøî

x → 0

è

(ñì. îðìóëû (1.1.3.6) è (1.1.3.7)). Ìàêñèìàëüíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïî-

ãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîé îðìóëû (1.1.3.9) äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ

10−2 .
−e−1 6 x 6 1

x

ñî-

ñòàâëÿåò ìåíüøå
 îáëàñòè
îðìóëó [553℄:

Wp (x) =

ìîæíî èñïîëüçîâàòü äðóãóþ ïðèáëèæåííóþ

ex

−1
1 + (2ex + 2)−1/2 + (e − 1)−1 − 2−1/2

,

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

20

ìàêñèìàëüíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü êîòîðîé â óêàçàííîì äèàïàçîíå ñî-

10−3 .

ñòàâëÿåò ìåíüøå

Íåêîòîðûå äðóãèå ïðèáëèæåííûå îðìóëû, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü
äëÿ àïïðîêñèìàöèè ðàçëè÷íûõ ó÷àñòêîâ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà, ìîæíî íàéòè â [123, 526℄.
Ó÷èòûâàÿ îïèñàííûå âûøå ñâîéñòâà óíêöèè Ëàìáåðòà è èñïîëüçóÿ îðìóëó (1.1.3.5) íåòðóäíî íàéòè óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.1.3.3) èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè. Èòîãîâûå ðåçóëüòàòû
ïðèâåäåíû íèæå â òàáë. 1.1.
Òàáëèöà 1.1.

×èñëî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.1.3.3)

ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.3.1).

Îïðåäåëÿþùèå óñëîâèÿ ×èñëî êîðíåé
−e

aτ −1 −1

τ

Äâà êîðíÿ λ1 è λ2
Îäèí êîðåíü λ1
Îäèí êîðåíü λ1
(äâóêðàòíûé)
Êîðíåé íåò

a (ïðè b > 0), λ1 = a (ïðè b = 0)
λ1 = a − τ −1



Ôóíêöèÿ Ëàìáåðòà âêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

z = x + iy (i2 = −1) óíêöèÿ Ëàìáåðòà W (z) èìååò áåñêîíå÷íîå
Wm = Wm (z) (m = 0, ±1, ±2, . . . ).

÷èñëî âåòâåé

Ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòè÷åñêàÿ îðìóëà [196℄:

Wm = ln z − ln ln z + 2πim + (1 + i)o(1)

ïðè

z → ∞.

(1.1.3.10)

z = x+iy è W = ξ+iη â (1.1.3.4), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîiy
âàíèé ñ ó÷åòîì îðìóëû Ýéëåðà e = cos y + i sin y ïîëó÷èì òðàíñöåíäåíòíóþ
Ïîäñòàâèâ

ñèñòåìó óðàâíåíèé

eξ (ξ cos η − η sin η) = x,

(1.1.3.11)

eξ (ξ sin η + η cos η) = y.

W íà âåη íà −η
x ñîîòâåò-

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ óíêöèè Ëàìáåðòà
ùåñòâåííîé îñè

x,

ïîëîæèâ

y=0

â (1.1.3.11).  ýòîì ñëó÷àå çàìåíà

ñîõðàíÿåò âèä óðàâíåíèé (1.1.3.11). Ïîýòîìó äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ
ñòâóþùèå êîðíè

W

ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå,

äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé
Ïðè

y = 0 âòîðîå

η > 0.

óðàâíåíèå (1.1.3.11) èìååò äâà ðåøåíèÿ. Ïåðâîå ðåøåíèå

ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì

η = 0;

îíî ïðèâîäèò ê äåéñòâèòåëüíûì çíà÷åíèÿì

óíêöèè Ëàìáåðòà, êîòîðûå èññëåäîâàëèñü ðàíåå. Âòîðîå ðåøåíèå âòîðîãî
óðàâíåíèÿ (1.1.3.11) ïðè

y = 0,

êîòîðîå îïðåäåëÿåò êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ

óíêöèè Ëàìáåðòà, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

ξ = −η ctg η.

(1.1.3.12)

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

21

Ïðàâàÿ ÷àñòü (1.1.3.12) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êàì

η = nπ , n = ±1, ±2, . . . Ñîîòíîøåíèå (1.1.3.12) ïðè nπ < η < (n + 1)π è n =
= 0, 1, 2, . . . îïèñûâàåò âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà â êîìïëåêñíîé ïîëóïëîñêîñòè ïðè η > 0. Ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.2.
h

W2 (x < 0)

4p
3p

W2 (x > 0)

W1 (x < 0)

2p
p

W1 (x > 0)
-15

W0 (x < 0)

-10

-5

-1

0

5

10

x

-p

W-1 (x > 0)
-2p

W-1 (x < 0)

-3p

W-2 (x > 0)

-4p

W-2 (x < 0)

-5p
èñ. 1.2.

Âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, îïèñûâàåìûå îðìóëîé

ξ = Re W (x), η = Im W (x), y = 0.
x < 0, à øòðèõîâûìè  âåòâè ïðè x > 0.

(1.1.3.12);
ïðè

Ñïëîøíûìè ëèíèÿìè îáîçíà÷åíû âåòâè

Ïîäñòàâèâ (1.1.3.12) â ïåðâîå óðàâíåíèå (1.1.3.11), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå

−

η
sin η

exp(−η ctg η) = x,

(1.1.3.13)

êîòîðîå íåÿâíî îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ìíèìîé ÷àñòè óíêöèè Ëàìáåðòà
îò

η

x. Èñïîëüçóÿ îðìóëû (1.1.3.12) è (1.1.3.13), ïðåäñòàâèì êîìïëåêñíûå âåòâè
Wm = Wm (x) ïðè x < 0 â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå

óíêöèè Ëàìáåðòà

W0 = ξ0 + iη0 ,
ξ0 = −s ctg s,

η0 = s,

x=−

s
sin s

exp(−s ctg s),

|s| < π;

Wm = ξm + iηm , m = ±1, ±2, . . . ,
s
exp(−s ctg s),
ξm = −s ctg s, ηm = s sign m, x = −
sin s

2|m|π < s < (2|m| + 1)π.

(1.1.3.14)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

22

Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
òàêæå âêëþ÷àåòñÿ â

x = −e−1

è

W0 .

ξ0 = −1,

êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò

s = η0 = 0,

Íà ðèñ. 1.3 ñïëîøíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè äåéñòâèòåëüíîé

x, ïîñòðîåííûå äëÿ
x < 0 ñ ïîìîùüþ îðìóë (1.1.3.14) ïóòåì çàäàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëàõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé äåéñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà s. Âèäíî, ÷òî ξm → −∞
(m = ±1, ±2, . . . ) ïðè x → −0 è ñ óâåëè÷åíèåì ìîäóëÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà
âåòâè |m| äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü óíêöèè Ëàìáåðòà óìåíüøàåòñÿ, à àáñîëþòíàÿ
è ìíèìîé ÷àñòåé íåñêîëüêèõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà îò

âåëè÷èíà ìíèìîé ÷àñòè ýòîé óíêöèè ðàñòåò. Äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè óíêöèé

W±m (x) îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè xm = − π2 − 2π|m| è m = 0, 1, . . . Ïðè
−π/2 < x < 0 äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè âñåõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà îòðèöàòåëüíû.

p

x

Re W0 (x < 0)
-1/e

-5

-10

а)

Re W±1 (x > 0)
5

0

10

x

-1

Re W±1 (x < 0)

Re W±2 (x > 0)

-p

Re W±2 (x < 0)

Re W±3 (x > 0)
-2p

h

Im W2 (x < 0)

б)

4p

Im W2 (x > 0)
3p

Im W1 (x < 0)
2p

Im W1 (x > 0)
p

Im W0 (x < 0)
-10
èñ. 1.3.

-5

-1/e

5

0

Êîìïëåêñíûå âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà ïðè

y = 0,

10

x

îïèñûâàåìûå îðìóëàìè

(1.1.3.14) è (1.1.3.15):

à) ξm = Re Wm (x), á) ηm = Im Wm (x).

îáîçíà÷åíû âåòâè ïðè

x < 0, à

øòðèõîâûìè  âåòâè ïðè

x > 0.

Ñïëîøíûìè ëèíèÿìè

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ
Ïðè

x > 0

êîìïëåêñíûå âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà

Wm = Wm (x)

23

ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå

Wm = ξm + iηm ,
ξm = −s ctg s,

m = ±1, ±2, . . . ;

ηm = s sign m,

(2|m| + 1)π < s < (2|m| + 2)π.

x=−

s
sin s

exp(−s ctg s);

(1.1.3.15)

Íà ðèñ. 1.3 øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè äåéñòâèòåëüíîé

x, ïîñòðîåííûå äëÿ
x > 0 ñ ïîìîùüþ îðìóë (1.1.3.15). Âèäíî, ÷òî ξm → −∞ (m = ±1, ±2, . . . ) ïðè
x → +0. Ñ óâåëè÷åíèåì ìîäóëÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà âåòâè |m| äåéñòâèòåëüíàÿ

è ìíèìîé ÷àñòåé íåñêîëüêèõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà îò

÷àñòü óíêöèè Ëàìáåðòà óìåíüøàåòñÿ, à àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ìíèìîé ÷àñòè

W±m (x) îáðàùàþòñÿ â
0 < x < 3π/2 äåéñòâèòåëüíûå
(m = ±1, ±2, . . . ) îòðèöàòåëüíû,

ýòîé óíêöèè ðàñòåò. Äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè óíêöèé
íóëü ïðè

xm =

3π
2

+ 2π(|m| − 1).

Õîòÿ ïðè

W±m

÷àñòè âñåõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà

îäíàêî èìååòñÿ îäèí äåéñòâèòåëüíûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü íà ãëàâíîé âåòâè
óíêöèè Ëàìáåðòà

Wp .

Âçÿâ ìîäóëü îò îáåèõ ÷àñòåé êîìïëåêñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ óíêöèè Ëàìáåðòà (1.1.3.4) äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ

z = x, ïîëó÷èì

eξ (ξ 2 + η 2 )1/2 = |x|.

(1.1.3.16)

Ñîîòíîøåíèå (1.1.3.16) îïðåäåëÿåò ëèíèþ óðîâíÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

W = ξ + iη ,

íà êîòîðîé íàõîäÿòñÿ òî÷êè âñåõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà

ïðè çàäàííîì

x.

Wk

 îáëàñòè íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè

óíêöèè Ëàìáåðòà

ξ>0

(ξ 2 + η 2 )1/2 6 |x|

èç (1.1.3.16) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

(ðàâåíñòâî

äîñòèãàåòñÿ ïðè

ξ = 0),

(1.1.3.17)

Wk â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè ξ > 0 ëåæàò âíóòðè
|x|. Èíûìè ñëîâàìè, ïðè ëþáîì äåéñòâèòåëüíîì x äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà îãðàíè÷åíû âåëè÷èíîé |x|: Re Wm 6 |x|.
Áîëåå òî÷íî: ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ξ â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè ξ > 0 äëÿ âñåõ Wk îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì η = 0 â (1.1.3.16) è äàåò
ξmax = Wp (|x|).
ò. å. âñå òî÷êè âåòâåé
êðóãà ðàäèóñà

Çàìå÷àíèå 1.2. Ëèíèè óðîâíÿ, çàäàííûå íåÿâíîé çàâèñèìîñòüþ (1.1.3.17), ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå

ξ = s,

η=±

p
x2 e−2s − s2 ,

−∞ < s 6 Wp (|x|).

(1.1.3.18)

Íà ðèñ. 1.4 èçîáðàæåíû ëèíèè óðîâíåé, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ íåÿâíîé
çàâèñèìîñòüþ (1.1.3.16) (èëè îðìóëàìè, çàäàííûìè â ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå
(1.1.3.18)), â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

W = ξ + iη

ïðè

x = ±0.5, ±1.0, ±2.0.

Êðóæî÷êàìè ïîêàçàíû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé óðîâíÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
âåòâÿìè óíêöèè Ëàìáåðòà
ñå÷åíèÿ ïðè

x < 0.

Wm

ïðè

x > 0,

à æèðíûìè òî÷êàìè  òî÷êè ïåðå-

24

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
x = ±1

x = ±2
10

x = ±0.5

h
W1 (x < 0)

5

W1 (x > 0)

-2

-3

x W0 (x < 0)

0

-1

1
W-1 (x > 0)

-5

W-1 (x < 0)
-10

|W eW | = |x|, îïðåäåëÿåìûå íåÿâíîé
çàâèñèìîñòüþ (1.1.3.16) â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè W = ξ + iη ïðè x = ±0.5, ±1.0,
±2.0. Êðóæî÷êàìè îáîçíà÷åíû êîðíè óíêöèè Ëàìáåðòà, ñîîòâåòñòâóþùèå x > 0, à
æèðíûìè òî÷êàìè  êîðíè, ñîîòâåòñòâóþùèå x < 0.
èñ. 1.4.

Ëèíèè óðîâíåé óíêöèè Ëàìáåðòà

Òàáëèöà 1.2.

Çíà÷åíèÿ óíêöèè Ëàìáåðòà

íåñêîëüêèõ ïåðâûõ âåòâÿõ

Âåòâè W (x)

x = −π/2
± π2

W±1(x)

i

W (x)

ïðè íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ

x

íà

Wm (x).
x = −1

x=1

x=e

−0.3181 ± 1.3372 i −1.5339 ± 4.3752 i −0.5321 ± 4.5972 i

W±2(x)

−1.6043 ± 7.6472 i −2.0623 ± 7.5886 i −2.4016 ± 10.7763 i −1.3940 ± 10.8680 i

W±3(x)

−2.1983 ± 13.9812 i −2.6532 ± 13.9492 i −2.8536 ± 17.1135 i −1.8490 ± 17.1715 i

W±4(x)

−2.5667 ± 20.2945 i −3.0202 ± 20.2725 i −3.1630 ± 23.4277 i −2.1599 ± 23.4702 i

W±5(x)

−2.8349 ± 26.5974 i −3.2878 ± 26.5805 i −3.3987 ± 29.7313 i −2.3966 ± 29.7648 i

 òàáë. 1.2 ïðèâåäåíû íåñêîëüêî êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé ìíîãîçíà÷íîé óíêöèè Ëàìáåðòà

W

äëÿ ÷åòûðåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé

x.

Äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé ãëàâíîé âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà

W0 (z) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÿâíóþ àïïðîêñèìàöèîííóþ îðìó-

ëó [553℄:

W0 (z) =

2 ln(1 + A1 y) − ln[1 + A2 ln(1 + A3 y)] + A4
1 + [2 ln(1 + A1 y) + 2A5 ]−1

,

y=

√

2ez + 2,

(1.1.3.19)

A1 = 0.8842, A2 = 0.9294, A3 = 0.5106, A4 = −1.213, A5 = 2.344,
êîòîðàÿ äàåò òî÷íûå àñèìïòîòèêè â îêðåñòíîñòè òî÷åê
áîëüøèõ

|z|.

Âî âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

z

óíêöèé

z

è

ln z

âûáèðàþòñÿ ãëàâíûå âåòâè).

è ïðè

ìàêñèìàëüíàÿ îòíîñèòåëü-

íàÿ ïîãðåøíîñòü îðìóëû (1.1.3.19) ñîñòàâëÿåò ìåíåå

√

z = 0 è z = −e−1
10−2

(ïðè âû÷èñëåíèè

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

25

Î ðàçëè÷íûõ àñïåêòàõ ÷èñëåííîãî îïðåäåëåíèÿ âåòâåé êîìïëåêñíîé óíêöèè Ëàìáåðòà ñì., íàïðèìåð, [154, 305℄.

Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ïîêàçàòåëü λ ýêñïîíåíöèàëüíîãî

ðåøåíèÿ (1.1.3.2) óðàâíåíèÿ (1.1.3.3) ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ óíêöèè
Ëàìáåðòà â âèäå (1.1.3.5), ãäå ïîä

W

â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé îðìóëû ïîíèìàåòñÿ

ñîâîêóïíîñòü âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà.
Êàæäàÿ ïàðà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíåé

W±m = ξm ± iηm

îïðåäåëÿåò

ïàðó ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.3.1) âèäà

u±m (t) = e(λr,m ±iλi,m )t = eλr,m t [cos(λi,m t) ± i sin(λi,m t)],
λr,m = a + τ −1 ξm (x),

λi,m = τ −1 ηm (x),

x = bτ e−aτ ,

(1.1.3.20)

êîòîðûå ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ îðìóë (1.1.3.2) è (1.1.3.5). Ïîñêîëüêó ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì (1.1.3.1) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì è îäíîðîäíûì, òî äåéñòâèòåëüíûå
è ìíèìûå ÷àñòè êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé (1.1.3.20), à èìåííî:

λr,m t
u(1)
cos(λi,m t),
m (t) = Re u±m (t) = e

λr,m t
u(2)
sin(λi,m t),
m (t) = Im u±m (t) = e

(1.1.3.21)

ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ðåøåíèÿìè ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ (1.1.3.1).
Ñïðàâåäëèâû äâà ïðîñòûõ óòâåðæäåíèÿ:

1◦ .

Ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ

a −a õàðàêòåðèñòè÷åñêîå

óðàâíåíèå (1.1.3.3) èìååò õîòÿ áû îäèí

êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ.
Çàìå÷àíèå 1.3. Íàèáîëåå îáùèå (íî áîëåå ñëîæíûå) óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè

êîòîðûõ âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.1.3.3)
áóäóò îòðèöàòåëüíû, ñîðìóëèðîâàíû äàëåå â ðàçä. 1.3.2 (ñì. òåîðåìó Õåéñà [8℄).

Îòìåòèì, ÷òî ïðè

a = 0,

b = k(−1)n+1 ,

k=

(2n + 1)π
,
2τ

n = 0, ±1, ±2, . . . ,

(1.1.3.22)

óðàâíåíèå (1.1.3.1) èìååò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ âèäà

u(t) = cos(kt + δ),
ãäå

δ  ïðîèçâîëüíàÿ

(1.1.3.23)

ïîñòîÿííàÿ.

Çàìå÷àíèå 1.4. Çàìåíà

u(t) = eat ū(t)

ïðèâîäèò óðàâíåíèå (1.1.3.1) ê áîëåå ïðî-

ñòîìó âèäó

ū′t = be−aτ w̄,

w̄ = ū(t − τ ).

Çàìå÷àíèå 1.5. Ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè

êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + bw + c,

w = u(t − τ ),

c
b 6= −a ïîäñòàíîâêîé u = v − a+b
ñâîäèòñÿ ê îäíîðîäíîìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
âèäà (1.1.3.1). Ïðè b = −a äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîðîäíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ñëåäóåò
c
èñïîëüçîâàòü çàìåíó u = v + kt, ãäå k =
1−aτ .
ïðè

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

26

1.1.4. Íåëèíåéíûå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå ëèíåàðèçàöèþ èëè òî÷íûå
ðåøåíèÿ
Íèæå îïèñàíî íåñêîëüêî ïðîñòûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê ëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì èëè èìåþò òî÷íûå ðåøåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïðåäñòàâëåíèå â
ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ. Ýòè óðàâíåíèÿ è èõ ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ è ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
Óðàâíåíèå 1.

u′t

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

= a(t)u + b(t)u1/2 + c(t)u1/2 w1/2 ,

w = u(t − τ ),

u = v 2 (v > 0) ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ
1
1
1
′
çàïàçäûâàíèåì vt =
2 a(t)v + 2 c(t)v̄ + 2 b(t), ãäå v̄ = v(t − τ ).

ïîäñòàíîâêîé

Óðàâíåíèå 2.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = a(t)u + b(t)u1−k + c(t)u1−k wk ,

u=
= ka(t)kv + kc(t)v̄ + kb(t), ãäå v̄ = v(t − τ ).

Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = a(t) + b(t)eλu + c(t)eλ(u−w) ,

w = u(t − τ ),

e−λu ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäû-

v=
= −λa(t)v − λc(t)v̄ − λb(t), ãäå v̄ = v(t − τ ).

ïîäñòàíîâêîé

′
âàíèåì vt

w = u(t − τ ),

v 1/k ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäû-

ïîäñòàíîâêîé

′
âàíèåì vt

Óðàâíåíèå 4.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = a(t)u ln u + b(t)u ln w + c(t)u,

w = u(t − τ ),

ev ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâà-

u=
= a(t)v + b(t)v̄ + c(t),

ïîäñòàíîâêîé

′
íèåì vt

ñ ïîñòîÿííûì

ãäå

v̄ = v(t − τ ).

Çàìå÷àíèå 1.6. Òî÷íûå ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ âûøå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé 1  4

ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè

a, b, c ìîæíî ïîëó÷èòü

ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ óêàçàí-

íûõ ïîäñòàíîâîê è ðåçóëüòàòîâ, îïèñàííûõ â ðàçä. 1.1.3.
Óðàâíåíèå 5.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (u − w),

w = u(t − τ ),

f (z) è íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå u
u(t) = bt + C , ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ
òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ b = f (bτ ).

êîòîðîå çàâèñèò îò ïðîèçâîëüíîé óíêöèè
íà

u+

onst, äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

ïîñòîÿííàÿ, à

b  êîðåíü

Óðàâíåíèå 6.

Íåëèíåéíîå îäíîðîäíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = uf (w/u),

w = u(t − τ ),

f (z) è íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå u
u(t) = Ceλt , ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ
−λτ ).
òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ λ = f (e

êîòîðîå çàâèñèò îò ïðîèçâîëüíîé óíêöèè
íà

onst

· u,

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

ïîñòîÿííàÿ, à

λ  êîðåíü

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

27

1.1.5. Ìåòîä øàãîâ. åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
Ìåòîä øàãîâ äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

Çàäà÷ó Êîøè ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (1.1.2.1)  (1.1.2.2) íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå ìîæíî
ðåøèòü ìåòîäîì øàãîâ. Åãî ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè ðåøåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì èíòåãðèðîâàíèåì áîëåå ïðîñòûõ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ íà îòðåçêàõ

t0 + nτ 6 t 6 t0 + (n + 1)τ , n = 0, 1, 2, . . . , èìåþùèõ îäèíàêîâóþ äëèíó τ .
Ïðè n = 0 íà îòðåçêå t0 6 t 6 t0 + τ ïîëó÷èì w(t) = u(t − τ ) = ϕ(t − τ ), à

çíà÷èò ìîæåì çàïèñàòü

u′t = f (t, u, ϕ0 (t − τ )),
u(t0 ) = ϕ0 (t0 ),

t0 6 t 6 t0 + τ ;

ãäå äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ óíêöèÿ
Ïðåäïîëàãàÿ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ

t0 6 t 6 t0 + τ , äëÿ

u = ϕ1 (t)

ϕ

ïåðåîáîçíà÷åíà íà

ϕ0 .

ýòîé çàäà÷è íà âñåì îòðåçêå

ñëåäóþùåãî îòðåçêà àíàëîãè÷íî èìååì

u′t = f (t, u, ϕ1 (t − τ )), t0 + τ 6 t 6 t0 + 2τ ;
u(t0 + τ ) = ϕ1 (t0 + τ ).
 îáùåì âèäå çàäà÷à íà êàæäîì îòðåçêå çàïèñûâàåòñÿ òàê:

u′t = f (t, u, ϕn (t − τ )), t0 + nτ 6 t 6 t0 + (n + 1)τ, n = 0, 1, 2, . . . ;
u(t0 + nτ ) = ϕn (t0 + nτ ),
ϕn (t)  ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
t0 + (n − 1)τ 6 t 6 t0 + nτ , n = 1, 2, . . . .
ãäå

Êîøè íà ïðåäûäóùåì îòðåçêå

åøåíèå ëèíåéíûõ çàäà÷ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ìåòîäîì øàãîâ.

Íèæå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà øàãîâ äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

◮

Ïðèìåð 1.2. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì è íà÷àëüíûì óñëîâèåì ñïåöèàëüíîãî âèäà

u′t = bw, w = u(t − τ ), t > 0;
u = 1 ïðè −τ 6 t 6 0,
ãäå

b  ñâîáîäíûé

ïàðàìåòð (b

6= 0).

Ïðèìåíÿÿ ê çàäà÷å (1.1.5.1) ìåòîä øàãîâ, íà ïåðâîì øàãå ïîëó÷èì

u′t = b,
u=1

0 0,
ïðè

(1.1.5.5)

−τ 6 t 6 0.

◭

Ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé ëèíåéíûõ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåíòû ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåíòû ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.5.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèÿ äâóõ âàæíûõ áîëåå îáùèõ çàäà÷, îïèñàííûõ íèæå.
Çàäà÷à 1. åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.5.5) ñ îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(t)

ïðè

−τ 6 t 6 0

(1.1.5.6)

ìîæíî çàïèñàòü â çàìêíóòîé îðìå [3℄:

u(t) = ea(t+τ ) expd (λt, λτ )ϕ(−τ ) +
Z 0
ea(t−s) expd (λ(t − τ − s), λτ )[ϕ′s (s) − aϕ(s)] ds,
+
−τ

λ = e−aτ b.
(1.1.5.7)

Äðóãîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1.5.5) ñ îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì, çàäàííîì íà îòðåçêå

0 6 t 6 τ , ìîæíî íàéòè â [94℄.

Çàäà÷à 2. åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + bw + f (t),

w = u(t − τ ),

t > 0,

(1.1.5.8)

ñ îäíîðîäíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u=0

ïðè

−τ 6 t 6 0

(1.1.5.9)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåíòû ñ çàïàçäûâàíèåì â ñëåäóþùåì
âèäå [3℄:

u(t) =

Z

0

t

ea(t−s) expd (λ(t − s), λτ )f (s) ds,

λ = e−aτ b.

(1.1.5.10)

Çàìå÷àíèå 1.7. Ñóììà ðåøåíèé (1.1.5.7) è (1.1.5.10) äàåò ðåøåíèå ëèíåéíîãî

íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.5.8) ñ îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì (1.1.5.6).

åøåíèå íåëèíåéíûõ çàäà÷ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ìåòîäîì øàãîâ. Ïîêàæåì, êàê, èñïîëüçóÿ ìåòîä øàãîâ, ìîæíî ïîñòðîèòü òî÷íîå ðåøåíèå
çàäà÷è Êîøè äëÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

30

Çàäà÷à 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, w)u + g(t, w),

w = u(t − τ ),

(1.1.5.11)

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà (1.1.2.2).  ÷àñòíîì ñëó÷àå

g(t, w) = b(t)w + c(t)

f (t, w) = a(t),

ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ÎÄÓ ñ

îäíèì çàïàçäûâàíèåì è ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè îáùåãî âèäà.
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (1.1.5.11) ëèíåéíî ïî

u,

íà êàæäîì øàãå áóäåì ïîëó-

÷àòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ

u′t = f (t, ϕn (t − τ ))u + g(t, ϕn (t − τ )),
u(t0 + nτ ) = ϕn (t0 + nτ ),

t0 + nτ 6 t 6 t0 + (n + 1)τ,
(1.1.5.12)

n = 0, 1, 2, . . . ,

ãäå

ϕn (t)  ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, ïîëó÷åííîå
t0 + (n − 1)τ 6 t 6 t0 + nτ ; ϕ0 (t) ≡ ϕ(t).

à

ùåì øàãå íà îòðåçêå

íà ïðåäûäó-

åøåíèå çàäà÷è (1.1.5.12) èìååò âèä (èñïîëüçîâàíû ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå, íàïðèìåð, â [33, 392, 446, 448℄):



Z t
u(t) = eF (t) ϕn (t0 + nτ ) +
e−F (t) g(ξ, ϕn (ξ − τ )) dξ ,
t0 +nτ
Z t
f (ξ, ϕn (ξ − τ )) dξ, t0 + nτ 6 t 6 t0 + (n + 1)τ,
F (t) =

(1.1.5.13)

t0 +nτ

ãäå

n = 0, 1, 2, . . .
Çàäà÷à 2.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, w)u + g(t, w)uk ,

w = u(t − τ ),

è íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà (1.1.2.2) ïîäñòàíîâêîé

y = u1−k

ñâîäèòñÿ

ê çàäà÷å 1, â êîòîðîé íàäî ñäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåîáîçíà÷åíèÿ óíêöèé

f

è

g.
Çàäà÷à 3.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, w)+g(t, w)eλu ,

w = u(t − τ ),

è íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà (1.1.2.2) ïîäñòàíîâêîé

y = e−λu

ñâîäèòñÿ

ê çàäà÷å 1, â êîòîðîé íàäî ñäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåîáîçíà÷åíèÿ óíêöèé

f

è

g.
Çàäà÷à 4.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, w)u + g(t, w)u ln u,

w = u(t − τ ),

è íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà (1.1.2.2) ïîäñòàíîâêîé

u = ey

ñâîäèòñÿ ê

çàäà÷å 1, â êîòîðîé íàäî ñäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåîáîçíà÷åíèÿ óíêöèé

f

è

g.

Ìåòîä øàãîâ äëÿ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè.

Ìåòîä øàãîâ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

31

ïîðÿäêà ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè (1.1.2.5) è íà÷àëüíûìè
äàííûìè (1.1.2.6). åøåíèå ýòîé çàäà÷è ñòðîèòñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ íà îòðåçêàõ t0 + nh 6 t 6 t0 + (n + 1)h,
n = 0, 1, 2, . . . , ãäå øàã îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì çàïàçäûâàíèåì h = min τk

16k6m

(ñì., íàïðèìåð, [8℄).

1.1.6. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. ÎÄÓ ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. Óðàâíåíèå ïàíòîãðàà. Äî ñèõ ïîð â
êíèãå èçó÷àëèñü ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Îäíàêî â ïðèëîæåíèÿõ
âñòðå÷àþòñÿ òàêæå áîëåå ñëîæíûå ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà

τ = τ (t),

ãäå

τ (t)  çàäàííàÿ

óíêöèÿ.

àññìîòðèì ñíà÷àëà îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.

◮

Ïðèìåð

1.4. Ëèíåéíîå

óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

ïåðâîãî ïîðÿäêà

u′t = au + bw,
ïðè

p > 0 (p 6= 1)

w = u(pt),

(1.1.6.1)

íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïàíòîãðàà.

Óðàâíåíèå (1.1.6.1) ïðè

0 < p < 1 îïèñûâàåò äèíàìèêó êîíòàêòíîãî òîêîïðè-

åìíèêà (ïàíòîãðàà) ýëåêòðîâîçà [408℄ è ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì ïðè
Ôóíêöèÿ
êöèè

u(t)

τ (t) = (1 − p)t, ïîñêîëüêó t − τ (t) = pt.

u(pt), âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå ïàíòîãðàà (1.1.6.1), îòëè÷àåòñÿ îò óíðàñòÿæåíèåì âäîëü îñè t â 1/p ðàç.
◭

Óðàâíåíèå ïàíòîãðàà è ðîäñòâåííûå áîëåå ñëîæíûå óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò èñêîìûå óíêöèè ñ ðàñòÿæåíèåì
(ïðè

0 < p < 1) èëè ñæàòèåì (ïðè p > 1) àðãóìåíòîâ, âîçíèêàþò â çàäà÷àõ áèî-

ëîãèè [124, 210, 218, 273, 274, 587℄, äèíàìèêè ïîïóëÿöèé [104℄, àñòðîèçèêè
[106℄, ìåõàíèêè [408℄, òåîðèè ÷èñåë [377℄, ñòîõàñòè÷åñêèõ èãð [230℄, òåîðèè
ãðàîâ [475℄, òåîðèè ðèñêà è î÷åðåäåé [249℄, òåîðèè íåéðîííûõ ñåòåé [592℄.
Àíàëèçó è ïðèáëèæåííûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèÿì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì ïîñâÿùåíû, íàïðèìåð, ðàáîòû [117, 240, 283, 298, 299,
318, 357, 408, 414, 472, 586℄. Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â áîëüøèíñòâå ðàáîò ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé
äëÿ

0 < p < 1,

â [106, 218, 273, 587℄ óðàâíåíèÿ áûëè âûâåäåíû

p > 1.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå âèäà

u′t = f (t, u, w),

w = u(pt),

0 < p < 1,

(1.1.6.2)

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì ïðè

= (1 − p)t. Ïîäîáíûå

τ (t) =

äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, ïðîïîð-

öèîíàëüíûì âðåìåíè, äàëåå áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèÿìè ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

32

Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.
íûå äàííûå â çàäà÷å Êîøè äëÿ óðàâíåíèé (1.1.6.1) è (1.1.6.2) ïðè

Íà÷àëü-

0 0

(0 < p < 1),

n!

n=0

(1.1.6.5)

èìååò ñâîéñòâà âî ìíîãîì àíàëî-

ãè÷íûå îáû÷íîé ýêñïîíåíöèàëüíîé óíêöèè, áóäåì íàçûâàòü ýêñïîíåíòîé ñ

∗

ðàñòÿæåíèåì . Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:

exps (0, p) = 1,

[exps (t, p)]′t = exps (pt, p),

(n)

[exps (t, p)]t

= exps (pt, pn ),

Êðîìå òîãî,

exps (t, p) > exps (t, q),

(1.1.6.6)

p > q è t > 0.
exps (t, p) äëÿ òðåõ çíà÷åt
íèé ïàðàìåòðà p = 0.25, 0.50, 0.75. Îáû÷íàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ e è
ëèíåéíàÿ óíêöèÿ 1 + t, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì p = 1 è p = 0, ïîêàçàíû

ãäå

n = 1, 2, . . .

exps (t, 1) = et ,

exps (t, 0) = 1 + t,

åñëè

Íà ðèñ. 1.6 èçîáðàæåíà ýêñïîíåíòà ñ ðàñòÿæåíèåì

øòðèõîâûìè ëèíèÿìè.
Ìàêñèìàëüíàÿ îøèáêà ïðèáëèæåííîé îðìóëû äëÿ ýêñïîíåíòû ñ ðàñòÿæå-

exps (t, p), ïîëó÷åííîé ñîõðàíåíèåì ïÿòè ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (1.1.6.5)
n = 4 âêëþ÷èòåëüíî), ñîñòàâëÿåò ìåíüøå îäíîãî ïðîöåíòà â äèàïàçîíå
◭
−1.1 6 t 6 2.3 ïðè 0.2 6 p 6 0.8.

íèåì
(äî

 [501, 542℄ äëÿ ýêñïîíåíòû ñ ðàñòÿæåíèåì èñïîëüçîâàëñÿ äðóãîé òåðìèí  ¾äåîðìèðîâàííàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ¿ (àíãë. deformed exponential fun tion). Òåðìèí ¾ýêñïîíåíòà ñ
ðàñòÿæåíèåì¿ áîëåå òî÷åí, ïîñêîëüêó ê äåîðìàöèÿì îòíîñÿòñÿ êàê ðàñòÿæåíèÿ (ïðè 0 < p < 1),
òàê è ñæàòèÿ (ïðè p > 1). Êðîìå òîãî, òåðìèí äåîðìèðîâàííàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óíêöèÿ
íà÷àë èñïîëüçîâàòüñÿ ðàíüøå ñîâñåì â äðóãîì ñìûñëå â ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêå (ñì., íàïðèìåð,
[153, 398℄).  öèòèðóåìûõ ðàáîòàõ íå ââîäèëîñü ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå exps (t, p), ãäå
èíäåêñ s óêàçûâàåò íà ðàñòÿæåíèå (îò àíãë. stret hing).
∗

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ
100

100

exps(t, p)

60

0.75
0.5

20
0

1

2

3

p=1
0.75
0.5
0.25
0

10

p=1

40

1

exps(t, p)

50
30
20

80

4

5
3
2

0.25
0

1

t

33

0

1

3

2

ðàèêè ýêñïîíåíòû ñ ðàñòÿæåíèåì exps (t, p) ïðè p = 0,
â îáû÷íûõ (ñëåâà) è ëîãàðèìè÷åñêèõ (ñïðàâà) êîîðäèíàòàõ.
èñ. 1.6.

4

t

0.25, 0.50, 0.75, 1.00

Îòìåòèì êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1.1.6.4) ïðè

b < 0. Äëÿ êîíêðåòíîñòè, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ b = −1, c = 1 â (1.1.6.5), ïîëó÷èì
u(t) = exps (−t, p) =

∞
X

(−1)n p

n=0

n(n−1) n
t
2

n!

.

(1.1.6.7)

Íèæå îïèñàíû íåêîòîðûå ñâîéñòâà íóëåé óíêöèè (1.1.6.7) (ïîäðîáíîñòè ñì.,
íàïðèìåð, â [209, 339, 391, 542℄).

1◦ . Ôóíêöèÿ (1.1.6.7) èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ íóëåé: 0 <
< t0 < t1 < t2 < · · · . ×èñëåííûå çíà÷åíèÿ øåñòè ïåðâûõ êîðíåé óíêöèè
exps (−t, 0.5): 1.488, 4.881, 13.560, 34.775, 84.977, 201.003.
2◦ . Ôóíêöèÿ (1.1.6.7) ïðè t > 0 (0 < p < 1) îïèñûâàåò êîëåáàíèÿ ñ ìîíîòîííî
óâåëè÷èâàþùåéñÿ àìïëèòóäîé (ñì. ðèñ. 1.7). Íàïðèìåð, ïðè p = 0.5 îíà èìååò
ýêñòðåìóìû −0.262, 0.908, −9.139, 223.362, −12 313.172 ïðè t = 2.976, 9.762,
27.121, 69.551, 169.955 ñîîòâåòñòâåííî.
3◦ . Îòíîøåíèå tn+1 /tn ìîíîòîííî óáûâàåò, ïðè÷åì èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå: lim tn+1 /tn = 1/p.  ÷àñòíîñòè ïðè p = 0.5: t2 /t1 = 2.778,
n→∞

t12 /t11 = 2.163, t52 /t51 = 2.038, t102 /t101 = 2.020, t202 /t201 = 2.010.
4◦ . Äëÿ íóëåé óíêöèè (1.1.6.7) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ
îðìóëà [542℄:


tn = np1−n 1 + O(n−2 )]

ïðè

n → ∞.

Íåëèíåéíûå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå
òî÷íûå ðåøåíèÿ. Íèæå ïðèâåäåíî íåñêîëüêî íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå èìåþò òî÷íûå ðåøåíèÿ,
äîïóñêàþùèå ïðåäñòàâëåíèå â ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ. Ýòè ðåøåíèÿ ìîãóò
áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ è ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

34

1.5

exps(-t, p)

1.0

p = 0.5

p=1

0.5

p = 0.75

0

5

10

15

t

-0.5
-1.0

p = 0.25
p=0

-1.5
èñ. 1.7.

ðàèêè ýêñïîíåíòû ñ ðàñòÿæåíèåì

1.00.
Óðàâíåíèå 1.

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

p = 0, 0.25, 0.50, 0.75,

w = u( 12 t),

u(t) = Ce(a+bC)t , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó

u(0) = C , ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ

Óðàâíåíèå 2.

ïðè

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + bw2 ,
óñëîâèþ

exps (−t, p)

ïîñòîÿííàÿ.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + bw1/p ,

w = u(pt),

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

λ = a + bC (1−p)/p ,

u(t) = C exp(λt),

êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u(0) = C ,

ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.
Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (u − 2w),
ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

w = u( 12 t),

f (z), äîïóñêàåò

òî÷íîå ðåøåíèå

u(t) = f (−C)t + C,
êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u(0) = C ,

ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.
Óðàâíåíèå 4.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = a − bw2 ,

w = u( 21 t),

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ

q

 q

a
sin b
t
2b
q
 q

a
2a
u(t) = − − sh b − t

u(t) =

2a
b

b

2b

ïðè

ab > 0,

ïðè

ab < 0,

êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u(0) = 0.

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

35

Çàìå÷àíèå 1.8. Ìîäèèöèðîâàííûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ 1  4 èç ðàçä. 1.1.4, â

êîòîðûõ ïîñòîÿííîå çàïàçäûâàíèå çàìåíåíî íà ïðîïîðöèîíàëüíîå çàïàçäûâàíèå (ò. å.

w = u(pt)),

ñ ïîìîùüþ òàêèõ æå ïîäñòàíîâîê äîïóñêàþò òî÷íóþ ëèíåàðèçàöèþ.

ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèÿ âèäà

u′t = f (t, u, w1 , . . . , wm ),
ïðè

0 < pk < 1

(äëÿ âñåõ

wk = u(pk t),

k = 1, . . . , m,

(1.1.6.8)

k).

Íà÷àëüíûå äàííûå â çàäà÷å Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1.6.8) çàäàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

u = ϕ(t)
ãäå

pmin =

min pk .

k=1,...,m

åäèíñòâåííóþ òî÷êó

Ïðè

t=0

ïðè

t0 = 0

pmin t0 6 t 6 t0 ,

(1.1.6.9)

íà÷àëüíûé îòðåçîê âûðîæäàåòñÿ â îäíó

è íà÷àëüíîå óñëîâèå ñòàâèòñÿ òî÷íî òàêæå, êàê äëÿ

ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ ïðè

t = 0.

Ïåðåõîä ê íîâûì ïåðåìåííûì ïî îðìóëàì [161, 318℄:

x = ln t,
ïðåîáðàçóåò (1.1.6.8) ê ÎÄÓ ñ

yx′ = ex f (ex , y, y1 , . . . , ym ),

m

y(x) = u(t),

ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

yk = y(x − τk ),

τk = ln

1
pk

> 0,

k = 1, . . . , m.

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. Â ëèòåðàòóðå
âñòðå÷àþòñÿ òàêæå áîëåå ñëîæíûå óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò èñêîìóþ óíêöèþ ñ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè, íåëèíåéíî çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè:

u′t = f (t, u, w1 , . . . , wm ),
ãäå

τk (t) > 0  çàäàííûå

wk = u(t − τk (t)),

k = 1, . . . , m,

(1.1.6.10)

óíêöèè. Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðå-

ìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè.
Ïðè îðìóëèðîâêå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè (1.1.6.10) íà÷àëüíîå óñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ òàê:

u = ϕ(t)
Et0
t > t0 , ò. å.

ãäå íà÷àëüíûé îòðåçîê
ìåíüøå

t0

ïðè

Ïðèìåð

t ∈ Et0 ,

(1.1.6.11)

ñîñòîèò èç òî÷êè t0 è òåõ çíà÷åíèé

Et0 = {t∗ 6 t 6 t0 },
◮

ïðè

t−τk (t), êîòîðûå

t∗ = min min[t − τk (t)].

(1.1.6.12)

16k6m t>t0

1.6. Äëÿ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

(1.1.2.5) èñïîëüçîâàíèå îðìóëû (1.1.6.12) äàåò íà÷àëüíûé îòðåçîê

Et0 = {t∗ 6 t 6 t0 },
äëèíà êîòîðîãî

L

t∗ = t0 − τmax ,

τmax = max τk ,
16k6m

íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè

ìàëüíîìó çàïàçäûâàíèþ

t0

(1.1.6.13)

è ðàâíà ìàêñè-

L = max τk . Ó÷èòûâàÿ (1.1.6.13), íà÷àëüíîå óñëîâèå
16k6m

(1.1.6.11) äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1.2.5) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (1.1.2.6).

◭

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

36

Çàìå÷àíèå 1.9. Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé ñ îäíèì

Et0 èíîãäà
äëÿ ïðîñòîòû èñïîëüçóþò (ëþáîé) äðóãîé îòðåçîê, çàâåäîìî ñîäåðæàùèé íà÷àëüíûé,
èëè íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè âìåñòî íà÷àëüíîãî îòðåçêà

íàïðèìåð

(−∞, t0 ].

Çàìå÷àíèå 1.10.  [94, 213, 214℄ ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå áîëåå ñëîæíûå ÎÄÓ ñ

îäíèì èëè íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

τk , êîòîðûå çàâèñÿò íå
u, ò. å. τk = τk (t, u).

òîëüêî

îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t, íî è îò èñêîìîé óíêöèè

Ìåòîä øàãîâ äëÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä øàãîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà [94℄:

u′t = f (t, u, w),

w = u(t − τ (t)),

τ (t) > 0.

 ýòîì ñëó÷àå íà÷àëüíûå äàííûå çàäàþòñÿ íà îòðåçêå (1.1.6.12) ïðè
à øàã âûáèðàåòñÿ ðàâíûì

h = min τ (t),

ñòðîèòñÿ ðåøåíèå.

t0 6t6T

ãäå

[t0 , T ]  èíòåðâàë,

m = 1,

íà êîòîðîì

Îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè.
Çàìå÷àíèå 1.11. Äëÿ óðàâíåíèÿ ïàíòîãðàà (1.1.6.1) è áîëåå ñëîæíîãî ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (1.1.6.2) èìååì
íà÷àëüíîé òî÷êîé

t0 = 0

τ (t) = (1 − p)t.

 çàäà÷å Êîøè ñ

ìåòîä øàãîâ äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ íåïðèìåíèì, ïîñêîëüêó

h = 0.

1.1.7. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé. Ïîäàâëåíèå
ñèíãóëÿðíîñòåé â ðåøåíèÿõ çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé. Ìåòîä øàãîâ ïîçâîëÿåò äîêàçàòü

ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, òàê êàê äëÿ ïîëó÷åííûõ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ ìîæíî
ïðèìåíÿòü èçâåñòíûå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé (ñì.,

u = u(t) çàäà÷è (1.1.2.1)  (1.1.2.2)
f = f (t, u, w) è ϕ = ϕ(t) íåïðåðûâíû, è åäèíñòâåííî,

íàïðèìåð, [392, 446, 448℄). Ïîýòîìó ðåøåíèå
ñóùåñòâóåò, åñëè óíêöèè
åñëè óíêöèÿ

f (t, u, w)

èìååò îãðàíè÷åííóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïåðâîãî

ïîðÿäêà ïî u (èëè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó, ò. å.
|f (t, u, w) − f (t, z, w)| 6 M |u − z|, ãäå M  íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî).
àññìîòðèì òåïåðü áîëåå îáùóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè

ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

u′t = f (t, u, w1 , . . . , wm ), wi = u(t − τi (t)), i = 1, . . . , m,
u = ϕ(t) íà îòðåçêå Et0 ,
ãäå

(1.1.7.1)

Et0  íà÷àëüíûé îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (1.1.6.12).
Äëÿ ýòîé çàäà÷è òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ îðìó-

ëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì., íàïðèìåð, [94, 329℄).

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

37

Ïóñòü â óðàâíåíèè (1.1.7.1) âñå çàïàçäûâàíèÿ τi (t) íåïðåðûâíû
ïðè t0 6 t 6 t0 + H (H > 0) è íåîòðèöàòåëüíû, à óíêöèÿ f íåïðåðûâíà
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (t0 , ϕ(t0 ), ϕ(t0 − τ1(t0 )), . . . , ϕ(t0 − τm (t0))) è èìååò
îãðàíè÷åííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âñåì àðãóìåíòàì, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî (èëè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ýòèì àðãóìåíòàì),
à íà÷àëüíàÿ óíêöèÿ ϕ(t) íåïðåðûâíà íà Et . Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå u = u(t) çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1.7.1) ïðè t0 6 t 6 t0 + h, ãäå
h äîñòàòî÷íî ìàëî.
Òåîðåìà.

0

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâîäèòñÿ, íàïðèìåð â [94℄, è îñíîâàíî íà ïðèìåíåíèè ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.
Çàìå÷àíèå 1.12. Óðàâíåíèÿ íåéòðàëüíîãî òèïà (1.1.2.7) òàêæå ìîæíî ðåøàòü ìå-

òîäîì øàãîâ.  îòëè÷èå îò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, ðåøåíèÿ óðàâíåíèé íåéòðàëüíîãî

t = t0 + nτ (n = 0, 1, 2, . . . )

òèïà íå ñãëàæèâàþòñÿ â òî÷êàõ

(ñì., íàïðèìåð, [8, 94℄).

Ïîäàâëåíèå ñèíãóëÿðíîñòåé â ðåøåíèÿõ çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì ïóòåì
ââåäåíèÿ çàïàçäûâàíèÿ. Äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ ñóùåñòâóþò çàäà÷è Êîøè, ðåøåíèÿ êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè (èìåþò ñèíãóëÿðíóþ îñîáåííîñòü) ïðè íåêîòîðîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè

t = t∗ .

Ñèíãóëÿðíàÿ òî÷êà

t∗

íå

âõîäèò â óðàâíåíèå ÿâíî è çàðàíåå íåèçâåñòíà. Òàêèå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò

t0 6 t < t∗

íà îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå âðåìåíè
îáîñòðåíèåì [255, 446, 507℄.

◮

è íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè ñ

Ïðèìåð 1.7. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ

u′t = u2 ,

t > 0;

u(0) = 1,

(1.1.7.2)

êîòîðàÿ äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

u=

1
.
1−t

(1.1.7.3)

Ýòî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò íà îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè
èìååò ñèíãóëÿðíóþ îñîáåííîñòü ïðè

06t 0  íåïðåðûâíàÿ

t > 0;

u(0) = a > 0,

óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ äëÿ âñåõ

(1.1.7.4)

u > a.

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñ îáîñòðåíèåì. Ïóñòü äëÿ
íåêîòîðîãî

σ>0

âûïîëíåíî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå [446℄:

lim

f (u)

u→+∞ u1+σ

= s,

0 < s 6 ∞.

(1.1.7.5)

Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.1.7.4) èìååò ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì. Åñëè

f (u)

äèåðåíöèðóåìà, òî (1.1.7.5) ìîæíî çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì êðèòåðèåì

lim



u→+∞


u−σ fu′ (u) = s1 ,

0 < s1 6 ∞

(σ > 0).

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

38

 [4, 437, 438, 507℄ (ñì. òàêæå öèòèðóåìóþ ëèòåðàòóðó â [437, 438℄) îïèñàíû íåêîòîðûå ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì äëÿ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ïåðâîãî, âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ.
Óñëîæíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïóòåì ââåäåíèÿ çàïàçäûâàíèÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ÎÄÓ â çàäà÷àõ ñ îáîñòðåíèåì ìîæåò ïîëíîñòüþ ïîäàâèòü ñèíãóëÿðíîñòü ðåøåíèÿ (óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èëè îòñóòñòâèÿ ñèíãóëÿðíîñòè
â ðåøåíèÿõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ñì., íàïðèìåð, â [150, 174, 225℄). Äàëåå
ïðèâîäèòñÿ äâà ïðèìåðà çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå

τ =0

ïåðåõîäÿò â çàäà÷ó ñ îáîñòðåíèåì (1.1.7.2), íî íå èìåþò ñèíãóëÿðíîñòè

â ðåøåíèè ïðè

◮

τ > 0.

Ïðèìåð 1.8. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = w2 ,

w = u(t − τ ),

t > 0;

u(t) = 1,

−τ 6 t 6 0.

(1.1.7.6)

τ = 1 ïðè −1 6 t 6 3 èìååò âèä:


1,
−1 6 t 6 0;



1 + t,
0 < t 6 1;
u= 1
3
 3 (5 + t ),
1 < t 6 2;



 1 (−158 + 224t + 168t2 − 70t3 − 35t4 + 42t5 − 14t6 + 2t7 ), 2 < t 6 3.
126
Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.6) äëÿ

Íà ðèñ. 1.8a ñ ëîãàðèìè÷åñêîé øêàëîé ïî âåðòèêàëüíîé îñè ïîêàçàíî

òî÷íîå ðåøåíèå (1.1.7.3) çàäà÷è (1.1.7.2) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1.7.6)
äëÿ

τ = 0.1

◮

è

◭

τ = 0.5.

Ïðèìåð 1.9. àññìîòðèì äðóãóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = uw,

w = u(t − τ ),

t > 0;

u(t) = 1,

−τ 6 t 6 0.

(1.1.7.7)

Íà ðèñ. 1.8á ïîêàçàíî òî÷íîå ðåøåíèå (1.1.7.3) çàäà÷è (1.1.7.2) è ÷èñëåííûå
ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1.7.7) äëÿ

1000

τ = 0.1

è

τ = 0.5.
1000

u
(а)

(б)

100

100

10

10

1
0
èñ. 1.8.

u

1

2

3

t

1
0

0.5

1

1.5

2

t

Òî÷íîå ðåøåíèå (1.1.7.3) çàäà÷è áåç çàïàçäûâàíèÿ (1.1.7.2) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ)

è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (à) çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì (1.1.7.6) è (á) çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì
(1.1.7.7) ïðè

τ = 0.1 (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ)

è

τ = 0.5 (øòðèõ-ïóíêòèðíàÿ

ëèíèÿ).

◭

1.1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ìåòîä øàãîâ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

39

Èç ðèñ. 1.8à è 1.8á âèäíî, ÷òî â ðàññìîòðåííûõ òåñòîâûõ çàäà÷àõ ââåäåíèå
çàïàçäûâàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîäàâëÿåò â ðåøåíèè ñèíãóëÿðíóþ îñîáåííîñòü ñ
îáîñòðåíèåì.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ áåç
çàïàçäûâàíèÿ (1.1.7.4) èìååò ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì. Òîãäà ðåøåíèå ìîäèèöèðîâàííîé çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (w),
ãäå

τ > 0, íå

w = u(t − τ ),

t > 0;

u(t) = a,

èìååò ñèíãóëÿðíîñòåé ïðè êîíå÷íîì

−τ 6 t 6 0,

t.

Ïîäàâëåíèå ñèíãóëÿðíîñòåé â ðåøåíèÿõ çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì ïóòåì
ââåäåíèÿ ïàðàìåòðà ðàñòÿæåíèÿ. Ïîäàâëåíèå ñèíãóëÿðíîñòåé â ðåøåíèÿõ
çàäà÷ ñ îáîñòðåíèåì ïðîèñõîäèò òàêæå ïðè ïåðåõîäå îò ÎÄÓ ê áîëåå ñëîæíûì
óðàâíåíèÿì ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ïóòåì ââåäåíèÿ ïàðàìåòðà
ðàñòÿæåíèÿ

p â èñêîìóþ

óíêöèþ. Îáñóäèì ýòîò âîïðîñ áîëåå ïîäðîáíî.

àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (w),

w = u(pt),

t > 0;

u(0) = a > 0,

(1.1.7.8)

f (u) > 0 è fu′ (u) > 0  íåïðåðûâíûå óíêöèè, îïðåäåëåííûå äëÿ âñåõ u > a,
0 < p < 1.
Ïóñòü çàäà÷à (1.1.7.8) ïðè p = 1 èìååò ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì ñ ñèíãóëÿðíîé òî÷êîé t = t∗ . Îáîçíà÷èì ýòî ðåøåíèå v = v(t) (0 6 t < t∗ ).
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ìàëûõ t ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.8) ìîæåò áûòü
ãäå

ïðåäñòàâëåíî â âèäå

u(t) = a + f (a)t +

+ o(t2 ).

(1.1.7.9)

u(t) < v(t). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî áóäåò
0 6 t 6 t◦ , ãäå t◦ < t∗ .
2−n t◦ , ãäå n = 1, 2, . . . Íà
àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê tn = p
◦
◦
ïåðâîì èíòåðâàëå pt 6 t 6 t çàäà÷à (1.1.7.8) îñîáåííîñòåé íå èìååò. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà n-îì èíòåðâàëå tn 6 t 6 tn+1 ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.8) èçâåñòíî
è íå èìååò îñîáåííîñòåé. àññìîòðèì (n + 1)-é èíòåðâàë tn+1 6 t 6 tn+2 .
Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (1.1.7.8) îò tn+1 äî t, ïîëó÷èì
Z t
u(t) = u(tn+1 ) +
(1.1.7.10)
f (u(pt)) dt.

Ïîýòîìó ïðè ìàëûõ

t

′
2
1
2 pf (a)fu (a)t

èìååì

âûïîëíÿòüñÿ òàêæå äëÿ ëþáîé îáëàñòè

tn+1

x = pt èñêîìîé óíêöèè íà èíòåðâàëå tn+1 6 t 6 tn+2
tn 6 x 6 tn+1 , ãäå (ïî ïðåäïîëîæåíèþ) èñêîìàÿ óíêöèÿ
íå èìååò îñîáåííîñòåé. Ïîýòîìó íà èíòåðâàëå tn+1 6 t 6 tn+2 íå èìååò
îñîáåííîñòåé è ñëîæíàÿ óíêöèÿ f (u(pt)) è èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè (1.1.7.10),

àñòÿíóòûé àðãóìåíò
ìåíÿåòñÿ â îáëàñòè

êîòîðûé ìîæíî âû÷èñëèòü ïî îðìóëå

Z

t

tn+1

f (u(pt)) dt =

1
p

Z

x/p

f (u(x)) dx.
tn

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

40

Ïîñêîëüêó

0 < p < 1,

èìååì

tn = p2−n t◦ → ∞

ïðè

n → ∞.

Îòñþäà

ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.10) íå èìååò ñèíãóëÿðíûõ îñîáåííîñòåé íà
îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå âðåìåíè.

◮

Ïðèìåð 1.10. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

u′t = w2 ,
ãäå

w = u(pt),

t > 0;

u(0) = 1,

(1.1.7.11)

0 < p < 1.
Ïðè ìàëûõ

t ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.11) ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ìíîãî÷ëå-

íîì

u = 1 + t + pt2 + p2 ( 31 +

3
4 1
2
3 p)t + p ( 2
5
ïîãðåøíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò O(t ).

+

1
6p

+ 13 p2 )t4 ,

(1.1.7.12)

Íà ðèñ. 1.10 ñ ëîãàðèìè÷åñêîé øêàëîé ïî âåðòèêàëüíîé îñè ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1.7.11) ïðè

0.5, 0.75,

p = 0, 0.25,

à òàêæå ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ, ïîñòðîåííûå ïî îðìóëå (1.1.7.12)

(øòðèõîâûå ëèíèè). Ïðè

p = 1

òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì ïîñòðîåíî

ïî îðìóëå (1.1.7.3). Âèäíî, ÷òî ââåäåíèå ðàñòÿæåíèÿ ïîëíîñòüþ ïîäàâëÿåò â

◭

ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è ñèíãóëÿðíóþ îñîáåííîñòü ñ îáîñòðåíèåì.

◮

Ïðèìåð 1.11. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ äðóãîãî ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = uw,
Ïðè ìàëûõ

w = u(pt),

t > 0;

u(0) = 1.

(1.1.7.13)

t ðåøåíèå çàäà÷è (1.1.7.13) ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ìíîãî÷ëå-

íîì

u =1+t+
+

1
24 (1

1
2 (1

+ p)t2 + 61 (1 + 3p + p2 + p3 )t3 +

+ 6p + 7p2 + 5p3 + 3p4 + p5 + p6 )t4 ,

(1.1.7.14)

5
ïîãðåøíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëÿåò O(t ).
Íà ðèñ. 1.11 ñ ëîãàðèìè÷åñêîé øêàëîé ïî âåðòèêàëüíîé îñè ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.1.7.13) ïðè

0.5, 0.75,

p = 0, 0.25,

à òàêæå ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ, ïîñòðîåííûå ïî îðìóëå (1.1.7.14)

(øòðèõîâûå ëèíèè). Ïðè

p = 1

òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì ïîñòðîåíî

ïî îðìóëå (1.1.7.3). Âèäíî, ÷òî ââåäåíèå ðàñòÿæåíèÿ ïîëíîñòüþ ïîäàâëÿåò â

◭

ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è ñèíãóëÿðíóþ îñîáåííîñòü ñ îáîñòðåíèåì.

Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = F (u, w),
ãäå

0 < p < 1,

w = u(pt),

t > 0;

u(0) = a > 0,

(1.1.7.15)

ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü äîñòàòî÷íî îáùåå óòâåðæäåíèå.

F (u, w)  íåïðåðûâíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ óíêöèÿ äâóõ
àðãóìåíòîâ â îáëàñòè D = {a 6 u < ∞, a 6 w < ∞}. Òîãäà çàäà÷à (1.1.7.15) èìååò
Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 41
ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì, åñëè è òîëüêî åñëè âñïîìîãàòåëüíàÿ áîëåå ïðîñòàÿ
çàäà÷à äëÿ ÎÄÓ áåç ðàñòÿæåíèÿ àðãóìåíòà

u′t = F (u, a),

t > 0;

u(0) = a > 0,

(1.1.7.16)

èìååò ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì.
Çàìå÷àíèå 1.13. Ñîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå òàêæå èìååò ìåñòî, åñëè óðàâ-

íåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (1.1.7.15) çàìåíèòü óðàâíåíèåì ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ïðè
(τ

> 0).

w = u(t − τ )

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u(t) = a ïðè −τ 6 t 6 0

åøåíèÿ çàäà÷ â ïðèìåðàõ 1.10 è 1.11 (à òàêæå â ïðèìåðàõ 1.8 è 1.9) íå
èìåëè ñèíãóëÿðíîñòåé ïîñêîëüêó èõ íå èìåëè áîëåå ïðîñòûå âñïîìîãàòåëüíûå
çàäà÷è, îïèñûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî ÎÄÓ

◮

Ïðèìåð 1.12. Çàäà÷à (1.1.7.15) ïðè

u′t = a2

è

u′t = au.

F (u, w) = (u/w)2

èìååò ðåøåíèå ñ

îáîñòðåíèåì, ïîñêîëüêó âñïîìîãàòåëüíàÿ áîëåå ïðîñòàÿ çàäà÷à (1.1.7.16) ïðè

F (u, a) = u2/a2

◭

èìååò ðåøåíèå ñ îáîñòðåíèåì.

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ
çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
1.2.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Çàäà÷à Êîøè

 îáùåì ñëó÷àå îáûêíîâåííîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïîðÿäêà

n

ñ

k

ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, èìååò âèä

(n)

ut

(nk )


(n )

(n−1)

, w1 , w1′ , . . . , w1 1 , . . . , wk , wk′ , . . . , wk
= F t, u, u′t , . . . , ut
u = u(t), wi = u(t − τi ), τi > 0, i = 1, . . . , k,

,

(1.2.1.1)

(j)

n > max(n1 , . . . , nk ). Çäåñü ïîä wi ïîíèìàåòñÿ j -ÿ ïðîèçâîäíàÿ îò óíêöèè u(z), âçÿòàÿ â òî÷êå z = t − τi . Ñ÷èòàåì, ÷òî F ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé

ãäå

óíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ.

τi ìîæíî ïîñòà(i)
Et0 = {t0 − τi 6 t 6 t0 }. Îáùåå
Sk
(i)
íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿ òàê: Et0 =
i=1 Et0 = {t0 − τmax 6 t 6 t0 },
ãäå τmax = max τi  ìàêñèìàëüíîå çàïàçäûâàíèå.
Ïóñòü çàäàíà íà÷àëüíàÿ òî÷êà

t0 .

Êàæäîìó çàïàçäûâàíèþ

âèòü â ñîîòâåòñòâèå íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî

16i6k

Çàäà÷à Êîøè äëÿ ÎÄÓ

ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè (1.2.1.1) îðìóëè-

ðóåòñÿ òàê: òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå

u = u(t),

èìåþùåå íåïðåðûâíûå ïðîèç-

(n−1)
âêëþ÷èòåëüíî, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:
âîäíûå äî ut

u = ϕ0 (t),

u′t = ϕ1 (t),

...,

(n−1)

ut

= ϕn−1 (t)

ïðè

t0 − τmax 6 t 6 t0 ,

(1.2.1.2)

ãäå

ϕj (t)  çàäàííûå

íåïðåðûâíûå óíêöèè.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

42

 ïðèëîæåíèÿõ îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíûå äàííûå â
çàäà÷å Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.2.1.1) çàäàþòñÿ ñîãëàñîâàííûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ îäíîé óíêöèè

ϕ0 (t) = ϕ(t),

ϕ(t),

à èìåííî â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (1.2.1.2) ïîëàãàåòñÿ

ϕ1 (t) = ϕ′t (t),

(j)

ϕj (t) = ϕt (t),

j = 2, . . . , n − 1.

(1.2.1.3)

 ýòîì ñëó÷àå íà÷àëüíûå äàííûå (1.2.1.2)  (1.2.1.3) ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â
êðàòêîé îðìå

u = ϕ(t)

ïðè

t0 − τmax 6 t 6 t0 .

(1.2.1.4)

k ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè â (1.2.1.1)ñëåäóåò ïîëîæèòü τi = τi (t) (i = 1, . . . , k ), ãäå τi = τi (t)  çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå
íåïðåðûâíûå óíêöèè.  ýòîì ñëó÷àå â çàäà÷å Êîøè íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî Et0
Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ÎÄÓ ñ

îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå, êàê è äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Åñëè

n = max(n1 , . . . , nk ), òî óðàâíåíèå (1.2.1.1) îòíîñÿò ê óðàâíåíèÿì
n < max(n1 , . . . , nk )  ê óðàâíåíèÿì îïåðåæàþùåãî

íåéòðàëüíîãî òèïà, à ïðè
òèïà.

1.2.2. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè.
Òî÷íûå ðåøåíèÿ

åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì.

àñ-

ñìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è ñîãëàñîâàííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè îáùåãî
âèäà

u′′ (t) + a2 u(t − τ ) = f (t), t > 0;
u = ϕ(t) ïðè −τ 6 t 6 0.

(1.2.2.1)
(1.2.2.2)

åøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.2.1)  (1.2.2.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ
äâóõ óíêöèé [323℄ (ñì. òàêæå [211℄), êîòîðûå îïèñàíû íèæå.
Êîñèíóñ è ñèíóñ ñ çàïàçäûâàíèåì îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ îðìóë



0,
t < −τ,


−τ 6 t60,
cosd (t, τ ) = 1,
2k
2

[t
−
(k
−
1)τ
]

t
k
1 −
+ · · · + (−1)
, (k − 1)τ < t 6kτ,
2!

(2k)!

(1.2.2.3)



0,
t < −τ,


−τ 6 t60,
sind (t, τ ) = t + τ,
3
2k+1


t
[t
−
(k
−
1)τ
]
t + τ −
+ · · · + (−1)k
, (k − 1)τ < t 6kτ,
3!

(2k + 1)!

(1.2.2.4)

ãäå

k = 1, 2, . . .

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 43
Êîñèíóñ è ñèíóñ ñ çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.2.2.1) ïðè

a = 1 è f (t) = 0.

 [211℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.2.1)  (1.2.2.2) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå

u(t) = ϕ(0) cosd (a(t − τ ), aτ ) + a−1 ϕ′t (0) sind (a(t − τ ), aτ ) −
Z 0
sind (a(t − 2τ − s), aτ )ϕ(s) ds +
−a
−τ
Z t
−1
+a
sind (a(t − τ − s), aτ )f (s) ds.

(1.2.2.5)

0

Àëüòåðíàòèâíîå, íî ìåíåå óäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
(1.2.2.1)  (1.2.2.2) äàíî â [323℄.

åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ äðóãîãî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è ñîãëàñîâàííûìè íà÷àëüíûìè
äàííûìè îáùåãî âèäà

u′′ (t) = −α2 u(t) + βu(t − τ ),
u = ϕ(t) ïðè 0 6 t 6 τ.

t > τ;

(1.2.2.6)
(1.2.2.7)

 [476℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.2.6)  (1.2.2.7) ïðè

α 6= 0 â îáëàñòè t > τ

ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ðåøåíèÿ äâóõ áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷

ïî îðìóëå

u(t) =

ϕ(τ ) − γϕ(0)
ϕ′ (τ ) − γϕ′ (0)
u1 (t) −
1−γ
1−γ

+

γ
1−γ

0

u1 (t) è u2 (t) 
ϕ(t) ≡ 1 è ϕ(t) ≡ t.

ãäå

Z τ



τ
u (t) − u2 (t)
1−γ 1



τ
1−γ


u1 (t) − u2 (t) +

ϕ′′ (t) dt,

γ=

β
α2

,

ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.2.2.6)  (1.2.2.7) ñîîòâåòñòâåííî ïðè

Íèæå ïðèâåäåíû âõîäÿùèå â (1.2.2.8) âñïîìîãàòåëüíûå óíêöèè

u2 (t), êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû ìåòîäîì øàãîâ â [476℄.
1◦ . Íà èíòåðâàëå mτ 6 t 6 (m + 1)τ ðåøåíèå çàäà÷è
ïðè ϕ(t) ≡ 1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
u1 (t) = γ m +(1−γ)

m
X

γ k−1

γ=

β/α2 , à ïîñòîÿííûå

Ak,0 = 1,

Ak,n =

k−1
X

Ak,n

k−n−1
X
j=0

Cnj =

Ak,n

n=0

k=1

ãäå

(1.2.2.8)

[α(t − kτ )]n
n!

u1 (t)

è

(1.2.2.6)  (1.2.2.7)



cos α(t−kτ )− 12 πn ,

(1.2.2.9)

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì

n
j
2−n−2j Cn+2j
,
n + 2j

1 6 n < k,

n!
j ! (n−j)!  áèíîìèàëüíûå êîýèöèåíòû. Îòìåòèì, ÷òî

(1.2.2.10)

0 < Ak,n 6 1.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

44

2◦ . Íà èíòåðâàëå mτ 6 t 6 (m + 1)τ
ïðè ϕ(t) ≡ t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
u2 (t) = γ m (t − mτ ) + τ
+

1−γ
α

m
X

γ k−1

m
X

γ=
ÿííûå Bk,n

Ak,n

[α(t − kτ )]n
n!


cos α(t − kτ ) −



sin α(t − kτ ) − 12 πn ,

1
2 πn



+

Bk,n

[α(t − kτ )]n
n!

Ak,n

âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìóëàì (1.2.2.10), à ïîñòî-

n=0

k=1

k−1
X

n=0

k=1
k−1
X

β/α2 , ïîñòîÿííûå

ãäå

γ k−1

ðåøåíèå çàäà÷è (1.2.2.6)  (1.2.2.7)

(1.2.2.11)

îïðåäåëÿþòñÿ òàê:

k
,
Bk,0 = 21−2k kC2k

Bk,n = 2n+1−2k

k−n−1
X
j=0

n(k − n − j) j
k−n−j
,
Cn+2j C2(k−n−j)
n + 2j

1 6 n < k.

åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′tt (t) = au(pt), t > 0;
u(0) = b, u′t (0) = c.

(1.2.2.12)
(1.2.2.13)

Ñëåäóÿ [355℄, èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2.2.12) â âèäå

u(t) = exps (βt, q),
ãäå

exps (t, q) ≡

exps (t, q)  ýêñïîíåíòà

∞
X

q

n=0

n(n−1) n
t
2

n!

(0 < q < 1),

ñ ðàñòÿæåíèåì (ñì. ïðèìåð 1.5), à

q

(1.2.2.14)

è

β

ÿâëÿþò-

ñÿ èñêîìûìè ïàðàìåòðàìè. Ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóÿ ïîñëåäíþþ îðìóëó
(1.1.6.6), íàõîäèì ïðîèçâîäíûå óíêöèè (1.2.2.14):

u′t = β exps (βqt, q),

u′′tt = β 2 q exps (βq 2 t, q).

Ïîäñòàâèâ âòîðîå ñîîòíîøåíèå â óðàâíåíèå (1.2.2.12), ïîëó÷èì

β 2 q exps (βq 2 t, q) = a exps (βpt, q).
×òîáû óäîâëåòâîðèòü ýòîìó ðàâåíñòâó, íàäî ïîëîæèòü

β 2 q = a,

q 2 = p,
p √
√
÷òî äàåò äâà íàáîðà èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ q =
p, β = ± a/ p, êîòîðûå

îïðå-

äåëÿþò äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (1.2.2.12):

u1,2 (t) = exps (±a1/2 p−1/4 t, p1/2 ).

Ïîýòîìó

îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.2.2.12) èìååò âèä [355℄:

u(t) = C1 exps (−a1/2 p−1/4 t, p1/2 ) + C2 exps (a1/2 p−1/4 t, p1/2 ),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå.

(1.2.2.15)

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 45

è

Ïîäñòàâèâ (1.2.2.15) â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.2.2.13), íàõîäèì êîíñòàíòû C1
C2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.2.12)  (1.2.2.13):

u(t) =
+

−1/2 1/4
1
p ) exps (−a1/2 p−1/4 t, p1/2 )
2 (b − ca
−1/2 1/4
1
p ) exps (a1/2 p−1/4 t, p1/2 ).
2 (b + ca

 îðìóëû (1.2.2.15) è (1.2.2.16) âõîäèò âåëè÷èíà

√

+

a,

(1.2.2.16)

êîòîðàÿ ïðè

a 0;

(1.2.2.24)
(1.2.2.25)

0 < p < 1, 0 < q < 1.
åøåíèå çàäà÷è (1.2.2.24)  (1.2.2.25) èùåòñÿ â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà è

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ÷åòíîé è íå÷åòíîé
óíêöèé

u(t) = Au1 (t) + Bu2 (t),

(1.2.2.26)

ãäå

u1 (t) = 1 +
u2 (t) = t +

∞
X

n=1
∞
X

γ2n t2n ,
γ2n+1 t

γ2n =

2n+1

, γ2n+1 =

n=1
Ôóíêöèÿ

u1 (t)

è

u2 (t)

u1 (0) = 1,

1
(2n)!

n−1
Y

(a + bp2k + cq 2k ),

k=0

1
(2n + 1)!

n−1
Y

(a + bp2k+1 + cq 2k+1 ).

k=0

(1.2.2.27)

óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

u′1 (0) = 0;

u2 (0) = 0,

u′1 (0) = 1.

a = −1, b = c = 0 ýòè óíêöèè ïåðåõîäÿò ñîîòâåòñòâåííî â êîñèíóñ è ñèíóñ,
à ïðè a = 1, b = c = 0  â ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ è ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ.

Ïðè

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 47

1.2.3. Ëèíåéíûå ÎÄÓ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

Ëèíåéíûå ÎÄÓ îáùåãî âèäà ñ çàïàçäûâàíèÿìè è èõ ñâîéñòâà.

 îáùåì

n-ãî ïîðÿäêà ñ
m ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè èìååò âèä

ñëó÷àå ëèíåéíîå îáûêíîâåííîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè è

(n)
ut (t) +

m
n−1
XX
i=0 j=0

τ0 = 0,
ãäå

(i)

aij (t)ut (t − τj ) = f (t),

τj = τj (t) > 0,

(1.2.3.1)

j = 1, . . . , m,

aij (t) è f (t)  íåïðåðûâíûå óíêöèè, t > t0 .
Ïðè f (t) ≡ 0 óðàâíåíèå (1.2.3.1) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì,

f (t) 6≡ 0 

à ïðè

íåîäíîðîäíûì. Óðàâíåíèå (1.2.3.1) óäîáíî çàïèñûâàòü â êðàòêîì âèäå

L[u] = f (t).

(1.2.3.2)

Ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ñ çàïàçäûâàíèÿìè

L

îáëàäàåò ñâîé-

ñòâàìè

L[u1 + u2 ] = L[u1 ] + L[u2 ],
L[Cu] = CL[u],
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, u1 = u1 (t), u2 = u2 (t), u = u(t)  ïðîèçâîëün âêëþ÷èòåëü-

íûå óíêöèè, èìåþùèå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà
íî.
Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè âèäà

L[u] = 0

îáëàäàþò

ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè [94℄:

1◦ .
u = 0.

Ëþáîå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

2◦ .

Ëèíåéíîñòü è îäíîðîäíîñòü óðàâíåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ ïðè ëèíåéíîì îä-

íîðîäíîì ïðåîáðàçîâàíèè èñêîìîé óíêöèè âèäà

u(t) = h(t)ū(t),

ãäå

h(t) 

äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ óíêöèÿ.

3◦ .

Ïóñòü

u1 = u1 (t), . . . , uk = uk (t)  ëþáûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
L[u] = 0. Òîãäà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ

ëèíåéíîãî

îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

u = C1 u1 + · · · + Ck uk ,
ãäå

C1 , . . . , Ck  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîãî

óðàâíåíèÿ. Ýòî ñâîéñòâî ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþò ïðèíöèïîì ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé.
Ïóñòü

{uk }  áåñêîíå÷íàÿ

ðîäíîãî óðàâíåíèÿ

L[u] = 0.

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåøåíèé ëèíåéíîãî îäíî-

Òîãäà ðÿä

∞
P

uk ,

íåçàâèñèìî îò åãî ñõîäèìîñòè,

k=1
íàçûâàåòñÿ îðìàëüíûì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè ðåøåíèÿ
ñÿ êëàññè÷åñêèìè (ò. å.

n

uk

ÿâëÿþò-

ðàç íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè) è

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

48

ðÿä

∞
P

uk

è ñîîòâåòñòâóþùèå ðÿäû èç ïðîèçâîäíûõ

uk

ðàâíîìåðíî ñõîäÿò-

k=1

ñÿ, òî ñóììà ðÿäà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

L[u] = 0.
Ïðîñòåéøèå

ñâîéñòâà

ðåøåíèé

ëèíåéíîãî

íåîäíîðîäíîãî

óðàâíåíèÿ

(1.2.3.2) îïèñàíû íèæå:

1◦ .

ũf (t)  ÷àñòíîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
ũ0 (t)  ÷àñòíîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî
ïðè f (t) ≡ 0, òî ñóììà

Åñëè

(1.2.3.2), à
óðàâíåíèÿ

C ũ0 (t) + ũf (t),
ãäå

C

 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî

óðàâíåíèÿ (1.2.3.2). Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå: îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ëþáîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.

2◦ .

Ïóñòü

u1 è u2 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè íåîäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

ñ îäíîé è òîé æå ëåâîé è ðàçëè÷íûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè, ò. å.

L[u1 ] = f1 (t),
Òîãäà óíêöèÿ

u = u1 + u2

L[u2 ] = f2 (t).

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

L[u] = f1 (t) + f2 (t).

Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. àññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå îáûêíîâåííîå
äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è

m ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè
(n)
ut (t) +

n−1
m
XX
i=0 j=0

τ0 = 0,
ãäå

aij

è

τj  íåêîòîðûå

(i)

aij ut (t − τj ) = 0,

(1.2.3.3)

0 < τ1 < τ2 < · · · < τm ,

äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå,

t > t0 .

Èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2.3.3) ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

u(t) = exp(λt),
ãäå

λ ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé

ïîñòîÿííîé.

Ïîäñòàâèâ (1.2.3.4) â (1.2.3.3) è ñîêðàòèâ íà
ñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ

Φ(λ) = 0,
ãäå

Φ(λ) íàçûâàåòñÿ

(1.2.3.4)

ãäå

eλt , ïîëó÷èì õàðàêòåðèñòè÷å-

λ:

Φ(λ) ≡ λn +

m
n−1
XX

aij λi e−λτj ,

i=0 j=0

õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êâàçèïîëèíîìîì.

(1.2.3.5)

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 49
Óðàâíåíèå (1.2.3.5) ÿâëÿåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì óðàâíåíèåì è èìååò áåñêî-

λk , òàê
2
è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå êîðíè λk = αk ±iβk , ãäå i = −1. Êàæäîìó äåéñòâè-

íå÷íîå ìíîæåñòâî êîðíåé. Îíî ìîæåò èìåòü êàê äåéñòâèòåëüíûå êîðíè
òåëüíîìó èëè êîìïëåêñíîìó êîðíþ

λk

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.2.3.5)

ñîîòâåòñòâóåò îäíî èëè íåñêîëüêî ðåøåíèé îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.2.3.3). Âîçìîæíûå ñèòóàöèè ïåðå÷èñëåíû
íèæå:

1◦ . Åñëè êîðåíü λk ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì è èìååò êðàòíîñòü 1, ò. å.
Φ(λk ) = 0 è Φ′λ (λk ) 6= 0, òî óðàâíåíèå (1.2.3.3) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå (1.2.3.4)
ïðè λ = λk .
2◦ .

Åñëè êîðåíü

λk

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.2.3.5) ÿâëÿåòñÿ äåé-

ñòâèòåëüíûì è èìååò êðàòíîñòü

(rk )
è Φλ (λk )

6= 0,

(r −1)

rk , ò. å. Φ(λk ) = Φ′λ (λk ) = · · · = Φλ k

(λk ) = 0

òî óðàâíåíèå (1.2.3.3) èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäà

uk (t) = Pk (t) exp(λk t),

Pk (t) =

rk
X

Akj tj−1 ,

(1.2.3.6)

j=1

ãäå

Akj  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå.

3◦ . Ïàðå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíåé λk = αk ± iβk êðàòíîñòè 1
(α ±iβk )t óðàâíåíèÿ (1.2.3.3) èëè
ñîîòâåòñòâóþò ïàðà êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé e k
äâà äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

uk1 (t) = exp(αk t) cos(βk t),

uk2 (t) = exp(αk t) sin(βk t).

(1.2.3.7)

λk = iβk ñîîòâåòñòâóþò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ uk1 (t) =
uk2 (t) = sin(βk t).

×èñòî ìíèìûì êîðíÿì

= cos(βk t)
4◦ .

è

Ïàðå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíåé

λk = αk ± iβk

êðàòíîñòè

rk

ñîîòâåòñòâóþò äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.2.3.3) âèäà

uk1 = Pk (t) exp(αk t) cos(βk t),
uk2 = Qk (t) exp(αk t) sin(βk t),

Pk (t) =
Qk (t) =

rk
X

Akj tj−1 ,

j=1
rk
X

(1.2.3.8)

Bkj t

j−1

,

j=1

ãäå

Akj

è

Bkj  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå.

 ñèëó ïðèíöèïà ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ
÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.2.3.3) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëèíåéíûå êîìáèíàöèè îïèñàííûõ â ïï.

1◦



4◦

÷àñòíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì

êîðíÿì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.2.3.5).

◮

Ïðèìåð 1.13. Íàéäåì óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ÎÄÓ

n-ãî

ïî-

ðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

(n)

ut

= au + bw,

èìååò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ.

w = u(t − τ ),

(1.2.3.9)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

50

Ïîäñòàâèì

u = eiβk

â (1.2.3.9). Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà

eiβk

ïîëó÷èì

(iβk )n = a + be−iβk τ .

(1.2.3.10)

n.
n = 2m (m = 1, 2, . . . )

Äàëåå ïî îòäåëüíîñòè ðàññìîòðåíû ñëó÷àè ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ

1◦ .

Äëÿ óðàâíåíèé ÷åòíîãî ïîðÿäêà ïðè

ïîñëå

âûäåëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòè â (1.2.3.10), èìååì

(−1)m βk2m = a + b cos(βk τ ),

sin(βk τ ) = 0.

(1.2.3.11)

Îòñþäà íàõîäèì ñîîòíîøåíèÿ

(−1)m (πk/τ )2m = a + (−1)k b,
êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïàðàìåòðû

k = 1, 2, . . . ,
a, b, τ

(1.2.3.12)

n=
uk2 (t) =

óðàâíåíèÿ (1.2.3.9) ïðè

= 2m, ÷òîáû îíî èìåëî ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ uk1 (t) = sin(βk t) è
= cos(βk t), ãäå βk = πk/τ .
2◦ . Äëÿ óðàâíåíèé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ïðè n = 2m + 1 (m = 0, 1, . . . ) ïîñëå
âûäåëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòè â (1.2.3.10), ïîëó÷èì

(−1)m βk2m+1 = −b sin(βk τ ).

a + b cos(βk τ ) = 0,

Èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ (1.2.3.13) ñëåäóåò, ÷òî ïðè

|a| > |b|

(1.2.3.13)
óðàâíåíèå íå÷åò-

íîãî ïîðÿäêà (1.2.3.9) íå èìååò ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé. Èç (1.2.3.13) ñëåäóåò,
÷òî ëèíèè â ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ

a, b, òî÷êè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò ïåðèîäè-

÷åñêèì ðåøåíèÿì óðàâíåíèé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà (1.2.3.9), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
ïàðàìåòðè÷åñêîé îðìå

a=

(−1)m ξ 2m+1 cos ξ
,
τ 2m+1
sin ξ

b=

(−1)m+1 ξ 2m+1
τ 2m+1
sin ξ

(ξ = τ βk > 0).

(1.2.3.14)

πs < ξ < π(s+1), ãäå s = 0, 1, . . . , îïðåäåëÿþò
◭
a, b ïðè çàäàííîì τ > 0.

Èíòåðâàëû èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà
ðàçëè÷íûå âåòâè â ïëîñêîñòè
Êâàçèïîëèíîì

n

Φ(z) ≡ z +

n−1
m
XX

aij z i e−τj z ,

(1.2.3.15)

i=0 j=0

λ íà z , ÿâëÿåòñÿ öåëîé àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z = x+iy . Åñëè óíêöèÿ Φ(z) íå âûðîæäàåòñÿ

ïîëó÷åííûé èç (1.2.3.5) çàìåíîé

â ïîëèíîì, ò. å. â óðàâíåíèå (1.2.3.3) âõîäèò õîòÿ áû îäíî çàïàçäûâàíèå, òî

Φ(z)

èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî íóëåé, åäèíñòâåííîé ïðåäåëüíîé òî÷êîé

êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîñòü. Âñå êîðíè
ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè

Re zk 6 x∗

zk

êâàçèïîëèíîìà

Φ(z)

ëåæàò â

[94℄.

Ïîêàæåì, ÷òî ðåøåíèÿ äâó÷ëåííîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ

n-ãî

ïî-

ðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà

(n)

ut (t) = bu(t − τ )
ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óíêöèþ Ëàìáåðòà (1.1.3.4).

(1.2.3.16)

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 51
Ïîäñòàâèâ (1.2.3.4) â (1.2.3.16), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê òðàíñöåíäåíòíîìó óðàâíåíèþ äëÿ ïîêàçàòåëÿ ýêñïîíåíòû

λn eτ λ − b = 0.
Ïðè ëþáîì

b>0

λ:
(1.2.3.17)

óðàâíåíèå (1.2.3.17) èìååò äåéñòâèòåëüíûé ïîëîæèòåëü-

íûé êîðåíü, êîòîðûé âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óíêöèþ Ëàìáåðòà ïî îðìóëå

λp =

n
Wp
τ



τ b1/n
n



.

 îáùåì ñëó÷àå òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå (1.2.3.17) ïîäñòàíîâêîé

= λeτ λ/n ïðèâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ ζ n − b = 0,
n êîìïëåêñíûõ êîðíåé [434℄:



b1/n cos 2(k−1)π + i sin 2(k−1)π
ïðè b > 0,
n
n


ζk =
|b|1/n cos (2k−1)π + i sin (2k−1)π
ïðè b < 0,
n
n

(1.2.3.18)

ζ n −Qb äîïóñêàåò àêòîðèçàöèþ
n
è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
k=1 (ζ − ζk ) = 0, ãäå ζ =
= λeτ λ/n , à òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå (1.2.3.17) ðàñïàäàåòñÿ íà n áîëåå ïðî-

ãäå

k = 1, . . . , n, i2 = −1.

ζ =

êîòîðîå èìååò

Ïîýòîìó ðàçíîñòü

ñòûõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé

λeτ λ/n − ζk = 0,

k = 1, . . . , n.

(1.2.3.19)

åøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé âûðàæàþòñÿ ÷åðåç óíêöèþ Ëàìáåðòà êîìïëåêñíîãî
àðãóìåíòà ïî îðìóëàì

λk =

n
W
τ



τ ζk
n



,

k = 1, . . . , n,

ãäå ÷èñëà (êîìïëåêñíûå â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ)
à ïîä

W (z) ïîíèìàþòñÿ âñå

(1.2.3.20)

ζk îïðåäåëåíû â (1.2.3.18),

âåòâè óíêöèè Ëàìáåðòà.

Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

n-ãî

ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è

m

ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè èìåþò âèä

(n)
ut (t)

+

m
n−1
XX
i=0 j=0

τ0 = 0,
ãäå

(i)

aij ut (t − τj ) = f (t),

(1.2.3.21)

0 < τ1 < τ2 < · · · < τm ,

aij è τj  íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, f (t)  íåïðåðûâíàÿ óíêt > t0 .

öèÿ,

Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.2.3.21) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.2.3.3) è ëþáîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.
 òàáë. 1.3 îïèñàíà ñòðóêòóðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé äëÿ íåêîòîðûõ óíêöèé â
ïðàâîé ÷àñòè ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.2.3.21).

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

52

Òàáëèöà

1.3.

Ñòðóêòóðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ

ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè (1.2.3.21) äëÿ íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ âèäîâ óíêöèè

f (x).

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ
P
P

Âèä óíêöèè f (t)

λn +

n−1
i=0

m
j=0

aij λi e−λτj = 0

íóëü íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Pm (t)
íóëü ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (êðàòíîñòè r)
α íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
αt
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ
Pm (t)e
α ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
(α  äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî)
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (êðàòíîñòè r)
iβ íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ
Pm (t) cos βt +
ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (êðàòíîñòè r)

+ Qn (t) sin βt

iβ

α + iβ íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

[Pm (t) cos βt +
+ Qn (t) sin βt]eαt

α + iβ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (êðàòíîñòè r)

Âèä ÷àñòíîãî
ðåøåíèÿ u = ue(t)
Pem (t)

tr Pem (t)

Pem (t)eαt

tr Pem (t)eαt

Peν (t) cos βt +
e ν (t) sin βt
+Q

tr [Peν (t) cos βt +
e ν (t) sin βt]
+Q

[Peν (t) cos βt +
e ν (t) sin βt]eαt
+Q
tr [Peν (t) cos βt +
e ν (t) sin βt]eαt
+Q

Îáîçíà÷åíèÿ: Pm è Qn  ïîëèíîìû ñòåïåíè m è n ñ çàäàííûìè êîýèöèåíòàìè; Pem ,
e ν ïîëèíîìû ñòåïåíè m è ν , êîýèöèåíòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâPeν , Q
êè óêàçàííîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå; ν = max(m, n); α è β 
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, i2 = −1.

1.2.4. Ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ñ
çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à Êîøè. Òî÷íûå ðåøåíèÿ

Ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.
Ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è

n èñêîìûìè óíêöèÿìè â ìàòðè÷íîì

âèäå çàïèñûâàåòñÿ òàê:

u′t (t) = Au(t) + Bu(t − τ ),

ãäå

u = (u1 , . . . , un )T  âåêòîð-ñòîëáåö (èíäåêñ T

t > 0,

(1.2.4.1)

îáîçíà÷àåò îïåðàöèþ òðàíñ-

A è B  êâàäðàòíûå ìàòðèöû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè
n × n, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ êîììóòàòèâíîñòè AB = BA.

ïîíèðîâàíèÿ),
ðàçìåðà

Çàäà÷à Êîøè îðìóëèðóåòñÿ òàê: òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.2.4.1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u = ϕ(t)

ïðè

−τ 6 t 6 0,

(1.2.4.2)

1.2. ÎÄÓ âòîðîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì 53
ãäå

ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . . , ϕn (t))T

 çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-óíêöèÿ.

åøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.4.1)  (1.2.4.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ
äâóõ ìàòðè÷íûõ óíêöèé, êîòîðûå îïèñàíû íèæå.
Ýêñïîíåíòà êâàäðàòíîé ìàòðèöû

exp(At) = E + At + A2

t2
2!

At îïðåäåëÿåòñÿ
+ A3

t3
3!

ñ ïîìîùüþ ðÿäà

+ ··· = E +

∞
X

Ak

k=1

tk
,
k!

E  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè eij = δij , ãäå δij  ñèìâîë Êðîíåêåðà
= 1 ïðè i = j , δij = 0 ïðè i 6= j ). Ýêñïîíåíòà ñ çàïàçäûâàíèåì êâàäðàòíîé
ìàòðèöû At ââåäåíà â [320℄ è îïèñûâàåòñÿ îðìóëàìè:


Θ,
t < −τ,



E,
−τ 6 t < 0,
expd (At, Aτ ) =
(1.2.4.3)
[t−(k−1)τ ]k
t
k

E + A 1! + · · · + A
, (k−1)τ 6 t < kτ,

k!



k = 1, 2, . . . ,

ãäå

(δij

ãäå

Θ  êâàäðàòíàÿ

ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ.

 [320, 322, 460℄ áûëî äîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.4.1) 
(1.2.4.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

e Bτ
e )+
u(t) = exp(A(t + τ )) expd (Bt,
+

Z

0

e − τ − s), Bτ
e ) exp(Aτ )[ϕ′ (s) − Aϕ(s)] ds,
exp(A(t − τ − s)) expd (B(t
s

−τ

ãäå

(1.2.4.4)

e = exp(−Aτ )B.
B

Ïðè âûâîäå ýòîé îðìóëû ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âñå êîì-

ïîíåíòû âåêòîð-óíêöèè

6 t 6 0.

ϕ(t) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå −τ 6

Ëèíåéíûå ñèñòåìû ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ îäíèì çàïàçäûâàíèåì. àñ-

ñìîòðèì ëèíåéíóþ íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è îäíèì çàïàçäûâàíèåì ñïåöèàëüíîãî âèäà, êîòîðàÿ â
ìàòðè÷íîé îðìå çàïèñûâàåòñÿ òàê:

u′′tt (t) = −B2u(t − τ ) + f(t),
u = ϕ(t), u′t = ϕ′t (t) ïðè

t > 0,
−τ 6 t < 0,

(1.2.4.5)
(1.2.4.6)

u = (u1 , . . . , un )T  âåêòîð-ñòîëáåö èñêîìûõ âåëè÷èí, B  êâàäðàòíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè ðàçìåðà n × n, à f(t) =
ãäå

= (f1 (t), . . . , fn (t))T

è

ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . . , ϕn (t))T

 çàäàííûå íåïðåðûâíûå

âåêòîð-óíêöèè.
åøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.4.5)  (1.2.4.6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ
äâóõ ìàòðè÷íûõ óíêöèé, êîòîðûå îïèñàíû íèæå.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

54

Ìàòðè÷íûå êîñèíóñ è ñèíóñ ñ çàïàçäûâàíèåì îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ
îðìóë [323℄:



Θ,
t < −τ,


−τ 6 t < 0,
cosd (Bt, Bτ ) = E,
2
2k


t
[t
−
(k
−
1)τ
]
2
k
2k
E − B
+ · · ·+ (−1) B
, (k − 1)τ 6 t < kτ,
2!

sind (Bt, Bτ ) =



Θ,




B(t + τ ),

(2k)!

(1.2.4.7)

2k+1

3

t < −τ,
−τ 6 t < 0,

[t − (k − 1)τ ]
t

,
(t + τ )B − B3 + · · · + (−1)k B2k+1


3!
(2k + 1)!



(k − 1)τ 6 t < kτ,

(1.2.4.8)

ãäå

k = 1, 2, . . .

Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ:

[cosd (Bt, Bτ )]′t = −B sind (B(t − τ ), Bτ ),
[sind (Bt, Bτ )]′t = B cosd (Bt, Bτ ),
[cosd (Bt, Bτ )]′′tt = −B2 cosd (B(t − τ ), Bτ ),

(1.2.4.9)

[sind (Bt, Bτ )]′′tt = −B2 sind (B(t − τ ), Bτ ).

 [211℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.2.4.5)  (1.2.4.6) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå

u(t) = ϕ(0) cosd (B(t − τ ), Bτ ), τ ) + B−1ϕ′t(0) sind (B(t − τ ), Bτ ) −
−B

Z

0

−τ

+ B−1

Z

sind (B(t − 2τ − s), Bτ )ϕ(s) ds +
t

0

sind (B(t − τ − s), Bτ )f(s) ds.

(1.2.4.10)

Àëüòåðíàòèâíîå, íî ìåíåå óäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè
(1.2.4.5)  (1.2.4.6) äàíî â [323℄.
Çàìå÷àíèå 1.14. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñèñòåìû ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ

çàïàçäûâàíèåì âèäà

ãäå

A  ïîëîæèòåëüíî

u′′tt (t) = −Au(t − τ ) + f (t),
îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà

(1.2.4.6).

t > 0,
n × n,

(1.2.4.11)

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

Ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ. Íà ïåðâîì ýòàïå íàõîäÿò
B, èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ B2 = A. Ìàòðèöà B íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûì êîðíåì
ìàòðèöû A è îáîçíà÷àåòñÿ B = A1/2 . Ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà âñåãäà

ìàòðèöó

èç

èìååò ðîâíî îäèí ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé êâàäðàòíûé êîðåíü, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ àðèìåòè÷åñêèì êâàäðàòíûì êîðíåì. àçëîæèâ òàêóþ ìàòðèöó ïî ñîáñòâåííûì
−1
, ãäå D  äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèâåêòîðàì, ïîëó÷àþò åå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå A = VDV
öà ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè

λi > 0. Òîãäà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé êâàäðàòíûé

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

55

B√
= A1/2 = VD1/2 V−1 , ãäå D1/2 
λi [17℄.
äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè
2
Íà âòîðîì ýòàïå, ïîëîæèâ A = B â óðàâíåíèè (1.2.4.11), ñâîäÿò ðàññìàòðèâàåìóþ
êîðåíü èç ìàòðèöû

A

îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå

çàäà÷ó ê çàäà÷å (1.2.4.5)  (1.2.4.6).

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèÿìè

1.3.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îáùèå çàìå÷àíèÿ îá óñòîé÷èâîñòè
ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

Íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

u′t = f (t, u, w1 , . . . , wm ),

wi = u(t − τi (t)),

i = 1, . . . , m,

(1.3.1.1)

è íà÷àëüíûìè äàííûìè

u(t) = ϕ1 (t)

íà

Et0 ,

(1.3.1.2)

Et0  íåêîòîðîå íà÷àëüíîå ìíîæåñòâî.
u1 (t) çàäà÷è (1.3.1.1), (1.3.1.2) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ
êàæäîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ(ε) > 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâà |ϕ1 (t) − ϕ2 (t)| <
< δ(ε) íà íà÷àëüíîì ìíîæåñòâå ñëåäóåò |u1 (t)−u2 (t)| < ε ïðè t > t0 , ãäå u2 (t) 
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.1.1) ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè u(t) = ϕ2 (t) on Et0 .
ãäå

åøåíèå

Íå îáëàäàþùèå ýòèì ñâîéñòâîì ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ íåóñòîé÷èâûìè.

u1 íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè äëÿ
ϕ2 (t), óäîâëåòâîðÿþùåé ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ1 > 0 óñëîâèþ |ϕ1 (t) − ϕ2 (t)| < δ1 , âûïîëíÿåòñÿ ïðåäåëüíîå
ñîîòíîøåíèå limt→∞ |u1 (t) − u2 (t)| = 0.
Àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå ðåøåíèå u1 íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, êîãäà ê íåìó ïðè t → ∞ ñòðåìèòñÿ ëþáîå äðóãîå ðåøåíèå
Óñòîé÷èâîå ðåøåíèå

ëþáîé íåïðåðûâíîé íà÷àëüíîé óíêöèè

ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, íåçàâèñèìî îò íà÷àëüíûõ äàííûõ. Àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâîå ðåøåíèå, íå ÿâëÿþùååñÿ ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì,
íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.
Ïðè èññëåäîâàíèè íà óñòîé÷èâîñòü íåêîòîðîãî ðåøåíèÿ
(1.3.1.2) ìîæíî çàìåíîé ïåðåìåííûõ

ñëåäóåìîå íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèå

u0

çàäà÷è (1.3.1.1),

v(t) = u(t) − u0 (t) ïðåîáðàçîâàòü èñu0 â òðèâèàëüíîå v(t) ≡ 0. Ïîýòîìó â

äàëüíåéøåì íà óñòîé÷èâîñòü èññëåäóþòñÿ òîëüêî òðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.

Îáùèå çàìå÷àíèÿ îá óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè. Âñå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (ñ èêñèðîâàííîé
íà÷àëüíîé òî÷êîé

t0 ), òàê

æå êàê è ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé,

îäíîâðåìåííî óñòîé÷èâû èëè íåóñòîé÷èâû.  ÷àñòíîñòè, âñå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñìûñëå óñòîé÷èâîñòè âåäóò ñåáÿ òàê æå, êàê è
òðèâèàëüíîå (íóëåâîå) ðåøåíèå òîãî æå óðàâíåíèÿ.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

56

Íàèáîëåå ïðîñòî èññëåäóþòñÿ íà óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè:

(n)

ut (t) +

n−1
X

(k)

ak ut (t) +

k=0 j=1

k=0

ãäå

τj > 0, t > t0 .

m
n−1
XX

(k)

bkj ut (t − τj ) = 0,

(1.3.1.3)

Óñòîé÷èâîñòü èëè íåóñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ

ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì êîðíåé ñîîòâåòñòâóþùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

λn +

n−1
X

ak λk +

m
n−1 X
X

bkj λk e−τj λ = 0,

(1.3.1.4)

k=0 j=1

k=0

âîçíèêàþùåãî ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýêñïîíåíöèàëüíîé óíêöèè

u=eλt â (1.3.1.3).

Åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.3.1.4) èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè, òî íóëåâîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.1.3) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Åñëè õîòÿ
áû îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.3.1.4) èìååò ïîëîæèòåëüíóþ
äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.1.3) áóäóò íåóñòîé÷èâû.
Ïîýòîìó àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè
âèäà (1.3.1.3) ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó ïîëîæåíèÿ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.3.1.4) (ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ òðàíñöåíäåíòíûì óðàâíåíèåì è èìååò
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ êîðíåé).
Äàëåå â ðàçä. 1.3.2 áóäóò îáñóæäàòüñÿ âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé êîíêðåòíûõ ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè, êîòîðûå ÷àñòî
âñòðå÷àþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ.

Ñëó÷àé ìàëûõ çàïàçäûâàíèé.

Åñëè â ëèíåéíîì îäíîðîäíîì ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.1.3) ìàêñèìàëüíîå çàïàçäûâàíèå

τmax = max τj
16j6m

m

äîñòà-

òî÷íî ìàëî, òî åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ìíîãèå ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
(1.3.1.3) áóäóò áëèçêèìè ê ñâîéñòâàì ðåøåíèé áîëåå ïðîñòîãî ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé

(n)
ut (t) +

n−1
X
k=0

(k)
ak ut (t)

+

n−1
m
XX

(k)

bkj ut (t) = 0,

(1.3.1.5)

k=0 j=1

îðìàëüíî ïîëó÷àþùåãîñÿ èç (1.3.1.3) ïðè

τj = 0

äëÿ âñåõ

j = 1, . . . , m.

 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ [94℄:

1◦ .

Åñëè äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå-

íèÿ äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé (1.3.1.5) îòðèöàòåëüíû, è ñëåäîâàòåëüíî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.1.5) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì

τmax àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû è ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.1.3).
2◦ . Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé (1.3.1.5)
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ è, ñëåäî-

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

57

âàòåëüíî, ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.1.5) íåóñòîé÷èâû, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì

τmax íåóñòîé÷èâû è ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.1.3).
3◦ . Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé (1.3.1.5)
èìååò ïðîñòîé êîðåíü λ = 0, à îñòàëüíûå êîðíè èìåþò îòðèöàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì τmax ðåøåíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè
(1.3.1.3) óñòîé÷èâî.

1.3.2. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ îäíèì
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

Ëèíåéíîå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì
îïÿòü ëèíåéíîå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (êîòîðîå èññëåäîâàëîñü ðàíåå â ðàçä. (1.1.3), ñì. óðàâíåíèå (1.1.3.1)):

u′t = au + bw,

w = u(t − τ ).

Èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.2.1) â âèäå

(1.3.2.1)

u = eλt .

 ðåçóëüòàòå

ïðèõîäèì ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà

λ − a − be−λτ = 0.

λ:

(1.3.2.2)

Ëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (1.3.2.1) áóäåì àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.2) áóäóò èìåòü îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

[8℄. Âñå êîðíè óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
(1.3.2.2) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýèöèåíòàìè a è b (τ > 0) èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (Re λ < 0) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííî
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå òðè íåðàâåíñòâà:
(i) aτ < 1,
(ii) a + b < 0,
(1.3.2.3)
p
(iii) bτ + (aτ )2 + µ2 > 0,
ãäå µ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ µ = aτ tg µ, óäîâëåòâîðÿþùèé
óñëîâèþ 0 < µ < π. Ïðè a = 0 ñëåäóåò ïîëîæèòü µ = π/2.
Òåîðåìà Õåéñà

Íà ðèñ. 1.9 áåëûì öâåòîì âûäåëåíà îáëàñòü ïëîñêîñòè

(A, B), ãäå A = aτ

è

B = bτ , â êîòîðîé âñå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.2) èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (Re λ < 0).  ýòîé îáëàñòè òðèâèàëüíîå (íóëåâîå) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.2.1) áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Îáëàñòü
íåóñòîé÷èâîñòè, ãäå õîòÿ áû îäèí êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.2)
èìååò ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü, çàêðàøåíà ñåðûì öâåòîì.

◮

Ïðèìåð 1.14. Ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ îáëàñòü óñòîé÷èâîñòü ïðè óâå-

ëè÷åíèè çàïàçäûâàíèÿ â ñëó÷àå ïðîñòåéøåãî äâó÷ëåííîãî ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = bw,

w = u(t − τ ),

(1.3.2.4)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

58

B
2

A+B=0

A=1
Область
неустойчивости

1

A
0

-2
-1
Область
устойчивости
2

ÖA

1

3

2

-1

2

+ m (A) + B = 0
-2

èñ. 1.9.

Îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ÎÄÓ ïåðâîãî

ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (1.3.2.1).

a = 0 â (1.3.2.1).
τ = 0,

êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ

Ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ, ò. å. ïðè

îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè

ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.3.2.4) ÿâëÿåòñÿ âñÿ îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóîñü
Ïðè

τ > 0,

ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå

a = 0

−∞ < b < 0.

â óñëîâèÿ (1.3.2.3), ïîëó÷èì îáëàñòü

óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.3.2.4) â âèäå êîíå÷íîãî èíòåðâàëà

−
Âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè

τ

π
2τ

< b < 0.

(1.3.2.5)

îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè óìåíüøàåòñÿ, ïðè÷åì ðàç-

ìåðû ýòîé îáëàñòè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè

τ → ∞.

Äðóãèìè ñëîâàìè, íàëè÷èå

çàïàçäûâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåñòàáèëèçèðóþùèì àêòîðîì è óâåëè÷åíèå

τ

ìîæåò

ïðèâåñòè ê íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Êà÷åñòâåííî àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà ÎÄÓ è

◭

ñèñòåì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.
Çàìå÷àíèå 1.15. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = au + b(t)w,
ãäå

b(t)  íåïðåðûâíàÿ

w = u(t − τ ),

óíêöèÿ, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè

|b(t)| < −a

[94℄.

Ëèíåéíûå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

àñ-

ñìîòðèì ëèíåéíîå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà

u′′tt (t) + a1 u′t (t) + b1 u′t (t − τ ) + a0 u(t) + b0 u(t − τ ) = 0,

(1.3.2.6)

êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

λ2 + a1 λ + a0 + (b1 λ + b0 )e−τ λ = 0.

(1.3.2.7)

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè
Îòìåòèì, ÷òî ïðè

τ = 0 íóëåâîå

59

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.2.6) àñèìïòîòè÷å-

ñêè óñòîé÷èâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

a1 + b1 > 0

è

a0 + b0 > 0.

Àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1.3.2.6) è
ðîäñòâåííûõ ÎÄÓ

çàïàçäûâàíèåì ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà (ñì., íà-

ïðèìåð, [151, 164, 165, 186, 194, 252, 272, 275, 292, 333, 378, 506, 571, 583℄).
 [194℄ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.3.2.6) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé

a0 + b0 6= 0

áûëè äîêàçàíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.

a1 + b1 6= 0

è

×èñëî ðàçëè÷íûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé (êîðíè, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî çíà-

êîì, íå ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü
ðàâíî íóëþ, åäèíèöå èëè äâóì. Òàêèì îáðàçîì âîçìîæíû òðè ñèòóàöèè:
1. Ìíèìûõ êîðíåé íåò. Óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ ïðè
óâåëè÷åíèè

τ

îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.

2. Ñóùåñòâóåò îäèí ìíèìûé êîðåíü. Íåóñòîé÷èâîå ïðè

τ = 0

íóëåâîå

ðåøåíèå íèêîãäà íå ñòàíåò óñòîé÷èâûì. Åñëè íóëåâîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî
ïðè

τ = 0,

òî îíî ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì ïðè íàèìåíüøåì çíà÷åíèè

τ,

äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ìíèìûé êîðåíü, è îñòàåòñÿ òàêèì ïðè äàëüíåéøåì
óâåëè÷åíèè

τ.

3. Ñóùåñòâóåò äâà ìíèìûõ êîðíÿ. Óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ ïî ìåðå
óâåëè÷åíèÿ

τ

ìîæåò èçìåíÿòüñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç è â êîíå÷íîì èòîãå (ïðè

äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

τ ) îíî

ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì.

Ïðîñòåéøèå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïðèâåäåíû íèæå.

1◦ .

τ > 0, åñëè
òî÷êîé ïðè τ = 0 (ò. å. ïðè a0 + b0 < 0),

Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî ïðè âñåõ

a) îíî ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé

b) îíî ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì óçëîì èëè íåóñòîé÷èâûì îêóñîì ïðè
(ò. å. ïðè

a1 + b1 > 0

è

a0 + b0 > 0)

è

|a0 | < |b0 |.

2◦ . Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî ïðè âñåõ τ > 0,
ïðè τ = 0 (ò. å. ïðè a1 + b1 < 0 è a0 + b0 > 0) è
2
2 2
2
2
à) (a1 − 2a0 − b1 ) < 4(a0 − b0 ) èëè
2
2
b) a1 > 2a0 + b1 è |a0 | > |b0 |.

τ =0

åñëè îíî óñòîé÷èâî

Çàìå÷àíèå 1.16.  [378℄ ïðîâåäåíî ïîäðîáíîå è âåñüìà ïîëíîå èññëåäîâàíèå

ðàñïîëîæåíèÿ êîðíåé øåñòèïàðàìåòðè÷åñêîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ2 + a1 λ + a0 + (b2 λ2 + b1 λ + b0 )eλτ = 0
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè

λ = λre + iλim .

 ÷àñòíîì ñëó÷àå

b2 = 0

äàííîå óðàâíåíèå

ïåðåõîäèò â õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.3.2.7).

Ëèíåéíûå ÎÄÓ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì ïîäðîáíåå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ÎÄÓ

n-ãî ïîðÿäêà ñ äåéñòâèòåëüíû-

ìè ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è îäíèì ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå çàïèøåì â âèäå

(n)
ut (t) +

n−1
X
j=0

ãäå

n > m, τ > 0, t > t0 .

(j)
aj ut (t)

+

m
X
j=0

(j)

bj ut (t − τ ) = 0,

(1.3.2.8)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

60

Óðàâíåíèþ (1.3.2.8) ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

Φ(z) ≡ P (z) + Q(z)e−τ z = 0,
P (z) ≡ z n +
ãäå

z = x + iy (i2 = −1).

n−1
X

aj z j ,

Q(z) ≡

j=0

Ôóíêöèþ

Φ(z)

m
X

(1.3.2.9)

bj z j ,

j=0

â (1.3.2.9) ïðèíÿòî íàçûâàòü êâàçèïî-

ëèíîìîì.

Φ(z) áóäåì íàçûâàòü óñòîé÷èâûì, åñëè
Φ(z) = 0 èìåþò îòðèöàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü Re z < 0. Êâàçèïîëèíîì Φ(z) áóäåì íàçûâàòü íåóñòîé÷èâûì, åñëè óðàâíåíèå Φ(z) = 0 èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ Re z > 0.
Ñëåäóÿ [152, 195℄, êâàçèïîëèíîì

âñå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

Íèæå îïèñàíî äâà ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ êîðíåé êâàçèïîëèíîìîâ.

Ìåòîä D-ðàçáèåíèé [94℄. Íóëè êâàçèïîëèíîìà Φ(z) ïðè èêñèðîâàííîì τ

ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè åãî êîýèöèåíòîâ. àçîáüåì ïðîñòðàíñòâî êîýèöèåíòîâ íà îáëàñòè ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè, òî÷êè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò ÷èñòî ìíèìûì íóëÿì êâàçèïîëèíîìà
ñëó÷àé

z = 0).

Òàêîå ðàçáèåíèå íàçûâàåòñÿ

 òî÷êàõ êàæäîé îáëàñòè òàêîãî

z = iy

(âêëþ÷àÿ âûðîæäåííûé

D -ðàçáèåíèåì.

D -ðàçáèåíèÿ

êâàçèïîëèíîì èìååò îäèíà-

êîâîå ÷èñëî íóëåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ (ãîâîðÿ î ÷èñëå
íóëåé, çäåñü èìååòñÿ â âèäó ñóììà èç êðàòíîñòåé), òàê êàê èçìåíåíèå ÷èñëà
íóëåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè
êîýèöèåíòîâ ìîæåò ïðîèçîéòè ëèøü ïðè ïåðåõîäå íóëÿ ÷åðåç ìíèìóþ îñü,
ò. å. ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè

D -ðàçáèåíèÿ.

Îáëàñòè, íå èìåþùèå

íè îäíîãî êîðíÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, îïðåäåëÿþò îáëàñòè
àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì.
Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ
ìåòîäîì

D -ðàçáèåíèÿ

ïðîâîäèòñÿ ïóòåì íàõîæäåíèÿ îáëàñòåé

Dk ,

â êîòîðûõ

íåò êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ. Äëÿ âûäåëåíèÿ îáëàñòè

Dk , åñëè

îíà ñâÿçíà, äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî õîòÿ áû îäíà åå òî÷êà ñîîòâåò-

ñòâóåò êâàçèïîëèíîìó, âñå íóëè êîòîðîãî èìåþò îòðèöàòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü. Äëÿ âûÿñíåíèÿ òîãî, êàê èçìåíÿåòñÿ ÷èñëî êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç íåêîòîðóþ ãðàíèöó

D -ðàçáèåíèÿ,

âû÷èñëÿåòñÿ äèåðåíöèàë äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîðíÿ è ïî åãî çíàêó ñóäÿò
îá óìåíüøåíèè èëè óâåëè÷åíèè ÷èñëà êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ.
Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìîå ëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì çàâèñèò îò
áîäíûõ ïàðàìåòðîâ

am (τ

m

ñâî-

ñ÷èòàåòñÿ èêñèðîâàííûì), à ñîîòâåòñòâóþùåå åìó

õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä

Φ(z, a1 , . . . , am ) = 0,

ãäå

z = x + iy .

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî

dΦ = Φz dz +

Pm

∂Φ
s=1 ∂as
m
X


1
dx = − Re

Φz

Êàê ïðàâèëî, äèåðåíöèàë
íèÿ (ò. å. ïðè

z = iy )

dx

s=1

das = 0, ïîëó÷èì

∂Φ
das .

∂as

âû÷èñëÿåòñÿ íà íåêîòîðîé ãðàíèöå

(1.3.2.10)

D -ðàçáèå-

ïðè èçìåíåíèè ëèøü îäíîãî ïàðàìåòðà, êîòîðîå îáåñïå-

÷èâàåò ïåðåõîä ÷åðåç ðàññìàòðèâàåìóþ ãðàíèöó. Åñëè
èç îäíîé îáëàñòè

61

D -ðàçáèåíèÿ

dx > 0,

òî ïðè ïåðåõîäå

â äðóãóþ ÷èñëî êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî

ïîëèíîìà ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ óâåëè÷èâàåòñÿ íà åäèíèöó,
à åñëè

◮

dx < 0  óìåíüøàåòñÿ

íà åäèíèöó.

Ïðèìåð 1.15. Òðåáóåòñÿ íàéòè îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî óðàâíå-

íèÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′′tt = au + bw,

w = u(t − τ ),

â ïðîñòðàíñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ

(1.3.2.11)

a è b ïðè τ > 0.

Çàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

Φ(z) = 0,

Φ(z) ≡ z 2 − a − be−τ z .

(1.3.2.12)

z = 0, èìååì a + b = 0 (îäíà
D -ðàçáèåíèÿ). Ïîëàãàÿ â (1.3.2.12) z = iy , ãäå 0 < y < ∞, ïîëó÷èì
2
ðàâåíñòâî −y = a+b[cos(τ y)−i sin(τ y)], êîòîðîå ïðèâîäèò ê òðàíñöåíäåíòíûì

 âûðîæäåííîì ñëó÷àå, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò
èç ãðàíèö

óðàâíåíèÿì

Ïðè
äèì

b 6= 0,

y 2 + a + b cos(τ y) = 0,
b sin(τ y) = 0.

(1.3.2.13)

íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.13), ïîñëåäîâàòåëüíî íàõî-

y=

πk
,
τ

k = 1, 2, . . . ,
h
 2 i
πk
b = (−1)k+1 a +
.

(1.3.2.14)

τ

Çäåñü âòîðîå ñîîòíîøåíèå îïðåäåëÿåò äâà ìíîæåñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ
ëèíèé ñ óãëàìè íàêëîíà

±π/4,

êîòîðûå çàäàþò ãðàíèöû

D -ðàçáèåíèÿ

â ïëîñ-

êîñòè a, b. Êðîìå òîãî, âòîðîå ñîîòíîøåíèå (1.3.2.14) óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïðè
√
b = 0 è −∞ < a < 0 (y = −a ), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè
îñè a, êîòîðàÿ òàêæå îáðàçóåò ãðàíèöû D -ðàçáèåíèÿ. Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíû
2
2
óêàçàííûå ëèíèè D -ðàçáèåíèÿ â ïëîñêîñòè (A, B), ãäå A = aτ , B = bτ .
Îáëàñòè, ãäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.3.2.12) èìååò îäèíàêîâîå ÷èñëî
êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, çàêðàøåíû îäèíàêîâî (÷èñëî
ýòèõ êîðíåé â óêàçàíî êðóæî÷êàõ).
Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ ïîëóîñè

b = 0, a > 0

õàðàêòåðèñòè÷åñêîå

óðàâíåíèå (1.3.2.12) èìååò îäèí êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ. Ïîýòîìó âî âñåõ òî÷êàõ êîíóñà, êîòîðîé ñîäåðæèò ýòó ïîëóîñü, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå òàêæå èìååò îäèí êîðåíü ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

62

l

k=3

k

50

B

k

k=1

j
j

i

i
-100

-p2

-50

j

j

1 p2
2

A

- -12 p2 0

50

k

k=0

k
l

k=2

-50
èñ. 1.10.

ðàíèöû

D-ðàçáèåíèÿ äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíè-

åì (1.3.2.11). Îáëàñòè, ãäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.3.2.12) èìååò îäèíàêîâîå
÷èñëî êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, çàêðàøåíû îäèíàêîâî (÷èñëî
òàêèõ êîðíåé óêàçàíî â êðóæî÷êå).

×òîáû îïðåäåëèòü ÷èñëî êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ â
äðóãèõ îáëàñòÿõ, âîñïîëüçóåìñÿ îðìóëîé (1.3.2.10), êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì (1.3.2.12)
ïðèíèìàåò âèä





da + e−τ z db
Φ da + Φb db
= Re
.
dx = − Re a
−τ z
Φz

2z + bτ e

(1.3.2.15)

dx ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèö îáëàD -ðàçáèåíèÿ, çàäàííûõ ëèíåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (1.3.2.14), ïîäñòàâèì
ïðàâóþ ÷àñòü (1.3.2.15) z = iy , ãäå y = πk/τ (k = 1, 2, . . . ).  ðåçóëüòàòå

Ïîñêîëüêó äàëåå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü çíàê
ñòåé
â

ïîëó÷èì

dx = Re

da + (−1)k db
2iy + (−1)k bτ

=

(−1)k bτ da + bτ db
.
4y 2 + (bτ )2

Äëÿ êîíêðåòíîñòè äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé

(1.3.2.16)

τ = 1.

Èç (1.3.2.16) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì èêñèðîâàííîì çíà-

a = a∗ > 0 (da = 0) ïðè óâåëè÷åíèè b (db > 0) è b > 0, à òàêæå
ïðè óìåíüøåíèè b (db < 0) è b < 0, çíàê dx ïîëîæèòåëåí. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî â ñìåæíûõ îáëàñòÿõ, ãðàíè÷àùèõ ñ êîíóñîì (ñîäåðæàùèì òî÷êè a > 0),
÷åíèè

÷èñëî êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.12) ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ ðàâíî äâóì, è óâåëè÷èâàåòñÿ ïî ìåðå ïåðåñå÷åíèÿ áîëåå

a = a∗ . Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ïîëîæèòåëüíîì
èêñèðîâàííîì b = b∗ > 0 (db = 0) è óìåíüøåíèè a (da < 0) ïðè ïåðåñå÷åíèè
ïðÿìîé a + b = 0 (êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ k = 0 â (1.3.2.14)), èìååì
dx < 0. Ïîýòîìó âíóòðè òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ (0, 0), (−π 2 , 0),
(− 21 π 2 , 12 π 2 ) õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.3.2.12) íå èìååò êîðíåé ñ ïîëî-

óäàëåííûõ ãðàíèö ïðÿìîé

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

63

æèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, ò. å. â ýòîé îáëàñòè òðèâèàëüíîå ðåøåíèå
èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.2.11) óñòîé÷èâî. Ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîé(1.3.2.14) ïðè

k = 1 è ëèíèè b = b∗ > 0 (db = 0) ïðè óìåíüøåíèè a è äîñòàòî÷íî ìàëîì b∗ , äàåò
dx > 0, ò. å. â îáëàñòè çà òðåóãîëüíèêîì èìååòñÿ êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì
îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ â äðóãèõ îáëàñòÿõ

D -ðàçáèåíèÿ.

Íà ðèñ. 1.10 äëÿ íà-

ãëÿäíîñòè îáëàñòè, ãäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò îäèíàêîâîå ÷èñëî
êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, çàêðàøåíû îäèíàêîâî.

◭

Ìåòîä ÊóêàÄðèñøå. Îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðàçäåëÿþò
÷èñòî ìíèìûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà

z = iy ,

êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè êâàçèïî-

ëèíîìà (1.3.2.9) è óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

Φ(iy) = 0. Ïðåäñòàâèâ åãî â âèäå

P (iy) = −Q(iy)e−iτ y , âîçüìåì ìîäóëü îò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, à çàòåì,

âîçâåäÿ â êâàäðàò, ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå

F (y) = 0,

F (y) ≡ |P (iy)|2 − |Q(iy)|2 .

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè

(1.3.2.17)

2n, êîòîðîå ñîäåðF (y) ê ïîëèíîìó

2
æèò òîëüêî ÷åòíûå ñòåïåíè y . Ïîäñòàíîâêà ζ = y ïðåîáðàçóåò

n-ãî

ïîðÿäêà, êîòîðûé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â àêòîðèçîâàííîì âèäå

F (y) =

n
Y

ζ = y2 ,

(ζ − rj ),

(1.3.2.18)

j=1
ãäå

r1 , . . . , rn  íåêîòîðûå

÷èñëà (â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûå).

Ïðåäïîëàãàÿ òåïåðü, ÷òî çíà÷åíèÿ

iy

è

τ,

óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì

(1.3.2.9) è (1.3.2.17), èçâåñòíû, áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîðåíü
(1.3.2.9) êàê óíêöèþ

τ,

z = x+iy óðàâíåíèÿ
zñ

è ïîïûòàåìñÿ îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ

τ . Òî åñòü íóæíî âû÷èñëèòü
o
n
n 


d
dz
= sign
Re z
s = sign Re

èçìåíåíèåì

dτ z=iy

dτ

z=iy

o

.

 [195℄ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî êîðíÿ

(1.3.2.19)

iy , y > 0,

ïðè

êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïåðåñå÷åíèå ìíèìîé îñè ñ ¾ïîëîæèòåëüíîé ñêîðîñòüþ¿

(s 6= 0),

íàïðàâëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ ìîæíî îïðåäåëÿòü ïî îðìóëå

s = sign F ′ (y),
ãäå óíêöèÿ

F (y)

(1.3.2.20)

îïðåäåëåíà â (1.3.2.17).

Q(z), îïðåäåëåííûå â (1.3.2.9), íå èìåþò îáùèõ
êîðíåé è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî P (0) + Q(0) 6= 0 (ò. å. z = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êâàçèïîëèíîìà Φ(z)). Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ [195℄.
1◦ . Ïóñòü óðàâíåíèå F (y) = 0, îïðåäåëåííîå â (1.3.2.17), íå èìååò ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé. Òîãäà, åñëè êâàçèïîëèíîì Φ(z) óñòîé÷èâ ïðè τ = 0, îí
Ïóñòü ìíîãî÷ëåíû

P (z)

è

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

64

τ > 0, à
τ > 0.

îñòàåòñÿ óñòîé÷èâûì è ïðè âñåõ

τ = 0,

åñëè îí íåóñòîé÷èâ ïðè

îí

îñòàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì è ïðè âñåõ

2◦ .

Ïóñòü óðàâíåíèå

F (y) = 0

èìååò õîòÿ áû îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü,

è âñå ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè. Òîãäà ñ ðîñòîì

τ

óñòîé÷èâûé

êâàçèïîëèíîì ìîæåò ñòàòü íåóñòîé÷èâûì è íàîáîðîò. Ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå
âûì ïðè âñåõ

τ∗ , òàêîå ÷òî êâàçèïîëèíîì Φ(z) èç (1.3.2.9)
τ > τ∗ . Ïðè 0 < τ < τ∗ ñìåíà óñòîé÷èâîñòè

ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èìîæåò ïðîèçîéòè íå

áîëåå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ðàç.

3◦ .

Åñëè

iy (y > 0)

è

ïðîñòîé êîðåíü, òàêîé ÷òî

τ óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó (1.3.2.9) è
s =
6 0, òî y ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì êîðíåì

åñëè

iy



óðàâíåíèÿ

F (y) = 0, à êîðåíü z(τ ) óðàâíåíèÿ (1.3.2.9) ïåðåñåêàåò ìíèìóþ îñü (ñ ðîñòîì τ )
′
â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëÿåìîì âåëè÷èíîé sign F (y).
◦
4 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïîëîæèòåëüíûå êîðíè r1 , r2 , . . . , rp , âõîäÿùèå â
ïðàâóþ ÷àñòü (1.3.2.18) ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè è r1 > r2 > · · · > rp > 0. Òîãäà
√
±iyk = ±i rk (k = 1, 2, . . . , p)  âîçìîæíûå êîðíè óðàâíåíèÿ (1.3.2.9) íà ìíèìîé îñè. Ïóñòü ýòè êîðíè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè. Òîãäà íàïðàâëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ
ìíèìîé îñè äëÿ çíà÷åíèÿ

iyk

îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé

p
Y

sk = sign

j=1, j6=k

(rk − rj ).

r1 âñåãäà
r2  âñåãäà ñïðàâà íàëåâî è ò. ä. Åñëè
ïîëîæèòåëüíû êîðåíü r1 , ïîíÿòíî, ÷òî ìíèìàÿ îñü ïåðå-

Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåñå÷åíèå ìíèìîé îñè ïðè íàèáîëüøåì êîðíå
ïðîèñõîäèò ñëåâà íàïðàâî, ïðè êîðíå
èìååòñÿ òîëüêî îäèí

ñåêàåòñÿ ñëåâà íàïðàâî. Åñëè ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé äâà, òî ïåðâîå ïåðåñå÷åíèå ïðîèñõîäèò ñëåâà íàïðàâî (ïðè

r1 ), à âòîðîå  ñïðàâà

íàëåâî (ïðè

r2 ).

1.3.3. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè
ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè
Ëèíåéíûå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. Ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

u′t (t) = −

n
X
k=1

ak u(t − τk )

(1.3.3.1)

ñâîäèòñÿ ê ïðîáëåìå ðàñïîëîæåíèÿ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

λ+

n
X

ak e−λτk = 0.

(1.3.3.2)

k=1

 [12℄ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.3.3.1) áûëè äîêàçàíû ñëåäóþùèå äâå òåîðåìû.

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

65

P

Ïóñòü ak , τk ∈ [0,P∞) äëÿ âñåõ k = 1, . . . , n è nk=1 ak > 0. Òîãäà
ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà nk=1 ak τk < π/2 âñå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî
óðàâíåíèÿ (1.3.3.2) èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè è íóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.3.1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Åñëè n = 2, a1 = a2 > 0 è a1 τ1 < 1, òî ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì τ2 âñå êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.3.2) èìåþò îòðèöàòåëüíûå
äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.
Òåîðåìà 1.

Òåîðåìà 2.

Pn

k=1 ak

Îòìåòèì, ÷òî ïðè

< 0

äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ

τk

íóëåâîå

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.3.1) íåóñòîé÷èâî.

Ëèíåéíûå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. àññìîòðèì ëèíåéíîå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

u′′tt (t)

+

au′t (t) +

bu(t) =

n
X
k=1

a
0, b > 0,
P>
n
b > k=1 |ck |.

ãäå

à

ck

ck u(t − τk ),

(1.3.3.3)

 äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ

Äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.3.3) ïðè ëþáûõ τk > 0 äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ ëþáîãî èç ñëåäóþùèõ
äâóõ íåðàâåíñòâ [506℄:
Òåîðåìà.

à)

a>

á)

a>

Pn

k=1

b−

n
X
k=1

Pn

|ck |

k=1


1/2
|ck |

,

|ck |τk .

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.3.3) ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

f (λ) ≡ λ2 + aλ + b −

Pn

−λτk
k=1 ck e

f (0) = b −

= 0.

n
X

Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

ck < 0.

k=1

f (+∞) = +∞, óíêöèÿ f (λ) èìååò ïî êðàéíåé ìåðå
îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü λ = λ+ > 0, êîòîðûé ïîðîæäàåò íåîãðàíè÷åííî
λ t
ðàñòóùåå ðåøåíèå u+ = e + óðàâíåíèÿ (1.3.3.3). Ïîýòîìó íóëåâîå ðåøåíèå
 ýòîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó

óðàâíåíèÿ (1.3.3.3) áóäåò íåóñòîé÷èâûì.

Ëèíåéíûå ÎÄÓ ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ñ íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè. àññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ÎÄÓ n-ãî ïîðÿäêà ñ
äåéñòâèòåëüíûìè ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè

çàïàçäûâàíèÿìè

(n)

ut (t) +

n−1
X
k=0

(k)

ak ut (t) +

n−1
m
XX
k=0 j=1

(k)

bkj ut (t − τj ) = 0,

(1.3.3.4)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

66

τj > 0, t > t0 .

ãäå

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.3.4) ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

P (λ) +

m
X

bkj Qj (λ)e−τj λ = 0,

j=1

n

P (λ) ≡ λ +
Òåîðåìà.

n−1
X

k

ak λ ,

k=0

Qj (λ) ≡

n−1
X

(1.3.3.5)

k

bkj λ .

k=0

Ïóñòü êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1.3.3.4) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
m
X
j=1

|b0j | < |a0 |.

Òîãäà, äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.3.4) áûëè àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ
[28, 94℄:
1◦ . Äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé ïîëèíîìà P (λ) äîëæíû áûòü îòðèöàòåëüíû.
2◦ . Ïðè ëþáîì y > 0 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
m
X
j=1

|Qj (iy)| < |P (iy)|,

i2 = −1.

1.3.4. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèÿìè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ

Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé. Ïðè èññëåäîâàíèè íà
óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.1.1) â ïðåäïîëîæåíèè äèåðåíöèðóåìîñòè ïðàâîé ÷àñòè ïî âñåì àðãóìåíòàì, íà÷èíàÿ
ñî âòîðîãî â îêðåñòíîñòè íóëåâûõ çíà÷åíèé òåõ æå àðãóìåíòîâ ïðè

t > t0

÷àñòî

öåëåñîîáðàçíî âûäåëèòü ëèíåéíóþ ÷àñòü è ïðåäñòàâèòü óðàâíåíèå â âèäå

u′t = a0 (t)u + a1 (t)w1 + · · · + am (t)wm + N (t, u, w1 , . . . , wm ),
wi = u(t − τi (t)), i = 1, . . . , m,
ãäå íåëèíåéíàÿ óíêöèÿ

N

(1.3.4.1)

èìååò ïîðÿäîê âûøå ïåðâîãî îòíîñèòåëüíî ñîâî-

êóïíîñòè âñåõ àðãóìåíòîâ, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ ÎÄÓ
(1.3.4.1) ýêâèâàëåíòíî èññëåäîâàíèþ íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ áîëåå
ïðîñòîãî ëèíåéíîãî ÎÄÓ

u′t = a0 (t)u + a1 (t)w1 + · · · + am (t)wm ,
wi = u(t − τi (t)), i = 1, . . . , m,

wi = u(t − τi (t)),

íàçûâàåìîãî óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ÎÄÓ (1.3.4.1).

(1.3.4.2)

1.3. Óñòîé÷èâîñòü (íåóñòîé÷èâîñòü) ðåøåíèé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

67

Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè (1.3.4.1),
ñ÷èòàÿ, ÷òî

ai =

onst,

τi =

onst è

N (t, 0, 0, . . . , 0) = 0.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäó-

þùèå òåîðåìû [94℄, àíàëîãè÷íûå òåîðåìàì Ëÿïóíîâà äëÿ îáû÷íûõ ÎÄÓ áåç
çàïàçäûâàíèÿ.
Òåîðåìà 1.

ÿìè

Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå u = 0 íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíè-

u′t = a0 u + a1 w1 + · · · + am wm + N (t, u, w1 , . . . , wm ),
wi = u(t − τi ), i = 1, . . . , m,

(1.3.4.3)

àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
λ = a0 + a1 e−τ1 λ + · · · + am e−τm λ ,

(1.3.4.4)

ïîëó÷åííîãî äëÿ óêîðî÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðè N
èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|N (t, u, w1 , . . . , wm )| 6 k

m
X
i=0

|wi |,

w0 = u,

≡ 0,

(1.3.4.5)

ãäå k  äîñòàòî÷íî ìàëàÿ ïîñòîÿííàÿ, âñå wi  äîñòàòî÷íî ìàëû (ò. å. |wi | < σ)
è t > t0 .
Åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
(1.3.4.4) èìååò ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü è âûïîëíåíî óñëîâèå
(1.3.4.5), òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.3.4.3) íåóñòîé÷èâî.
Òåîðåìà 2.

Çàìå÷àíèå 1.17. Ôîðìóëèðîâêè àíàëîãè÷íûõ òåîðåì äëÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ ÎÄÓ

ñ ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè ïðèâåäåíû â [94℄.

Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèé òèïà Õàò÷èíñîíà. Íèæå ðàññìîòðåíû ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ñîðìóëèðîâàííûõ âûøå òåîðåì äëÿ àíàëèçà
óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Õàò÷èíñîíà.

◮

Ïðèìåð 1.16. àññìîòðèì íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíè-

åì

u′t = cu(1 − wk ),
êîòîðîå ïðè

k=1

è

c=b

w = u(t − τ ),

(1.3.4.6)

ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà (ñì. ðàçä. 6.1.1,

óðàâíåíèå (6.1.1.5)). Óðàâíåíèå (1.3.4.6) áóäåì íàçûâàòü îáîáùåííûì óðàâíåíèåì Õàò÷èíñîíà.

u = 0 è u = 1.
ïðè c > 0 è k > 0.

Óðàâíåíèå (1.3.4.6) èìååò äâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ
Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 1 è 2, èññëåäóåì èõ íà óñòîé÷èâîñòü
1. Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

u=0

íåóñòîé÷èâî, ïîñêîëüêó õàðàêòåðèñòè÷å-

ñêîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííûì è èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü

λ = c > 0;

êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.3.4.5).

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

68

2. Äëÿ àíàëèçà ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ
ïîäñòàíîâêó

u = 1 − ū. Â ðåçóëüòàòå

u = 1 â óðàâíåíèè (1.3.4.6) ñäåëàåì

ïðèõîäèì ê ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ū′t = −c(1 − ū)[1 − (1 − w̄)k ],
u = 1

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå
ïåðåøëî â òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

w̄ = ū(t − τ ).

ū = 0

èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.3.4.6)

ïðåîáðàçîâàííîãî óðàâíåíèÿ (1.3.4.7),

ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü (1.3.4.6), ñ÷èòàÿ ìàëûìè âåëè÷èíû
ñîîòíîøåíèå

(1.3.4.7)

(1 − w̄)k = 1 − kw̄ + o(w̄),

ū

è

w̄.

Èñïîëüçóÿ

ïîëó÷èì

−c(1 − ū)[1 − (1 − w̄)k ] = −ck w̄ + ckūw̄ + o(w̄).

(1.3.4.8)

Ïîýòîìó ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ (1.3.4.7) èìååò
âèä

ū′t = −ck w̄.

(1.3.4.9)

Óðàâíåíèå (1.3.4.9) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (1.3.2.1), â êîòîðîì
ñëåäóåò ïîëîæèòü

a = 0

è

b = −ck.

Ïîýòîìó äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè

òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.4.9) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Õåéñà

a = 0, b < 0 âûïîëíÿþòñÿ
ïîëîæèòü µ = π/2. Ó÷èòûâàÿ,

(ñì. ðàçä. 1.3.2). Ïåðâûå äâà óñëîâèÿ (1.3.2.3) ïðè
àâòîìàòè÷åñêè, à â òðåòüåì óñëîâèè ñëåäóåò
÷òî ïðè ìàëûõ

|ū|

è

|w̄|

íåëèíåéíîé ÷àñòüþ óíêöèè (1.3.4.8) ìîæíî ïðåíå-

áðå÷ü, ïîëó÷èì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ

u = 1 îáîáùåííîãî
ðåøåíèå
ðåøåíèå

◮

u=1
u=1

óðàâíåíèÿ Õàò÷èíñîíà (1.3.4.6):

àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè
íåóñòîé÷èâî, åñëè

ckτ < π/2;

ckτ > π/2.

(1.3.4.10)

◭

Ïðèìåð 1.17. Äàëüíåéøèì îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ Õàò÷èíñîíà ÿâëÿåòñÿ

íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

u′t = cu[1 − f (w)],
c > 0,

ãäå

à

f (w)  ëþáàÿ

w = u(t − τ ),

(1.3.4.11)

ìîíîòîííàÿ ãëàäêàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ

óñëîâèÿì

f (0) = 0,

f (1) = 1,

f ′ (1) > 0.

(1.3.4.12)

Óðàâíåíèå (1.3.4.11), êàê è óðàâíåíèå (1.3.4.6), èìååò ñòàöèîíàðíûå ðåøå-

u = 0 è u = 1. àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â ïðèìåðå 1.16,
u = 0 íåóñòîé÷èâî, à îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ u = 1 îïðåäåëÿþòñÿ
′
◭
óñëîâèÿìè (1.3.4.10), ãäå k = f (1) > 0.
íèÿ

ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé äðóãèõ íåëèíåéíûõÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå ÎÄÓ äîñòàòî÷íî îáùåãî
âèäà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (u, w),

w = u(t − τ ).

(1.3.4.13)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

69

u = u0 ,
f (u0 , u0 ) = 0, à óíêöèÿ f (u, w) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
â òî÷êå u = u0 , w = u0 .
Äëÿ àíàëèçà íà óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ u = u0 ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.3.4.13) âáëèçè òî÷êè u0 â âèäå


f (u, w) = fu◦ (u − u0 ) + fw◦ (w − u0 ) + o |u − u0 | + |w − u0 | ,
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå (1.3.4.13) èìååò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

ò. å.

fu◦ =

∂f
,
∂u u=u0 , w=u0

à çàòåì ñäåëàåì çàìåíó

fw◦ =

ū = u − u0 ,

(1.3.4.14)

∂f
,
∂w u=u0 , w=u0

êîòîðàÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåâîäèò â òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

u = u0

ū = 0 ïðåîáðàçîâàííî-

ãî óðàâíåíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîñëå îòáðàñûâàíèÿ íåëèíåéíîé ÷àñòè, èìåþùåé
ïîðÿäîê



o |ū| + |w̄| , ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó
ū′t = fu◦ ū + fw◦ w̄,

óðàâíåíèþ

w̄ = ū(t − τ ),

(1.3.4.15)

êîòîðîå ñ òî÷íîñòüþ äî î÷åâèäíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì
(1.3.2.1).
Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.3.4.15), ñîâïàäàþùèå ñ óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ

u = u0

èñõîäíîãî

óðàâíåíèÿ (1.3.4.13), îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (1.3.2.3) ïðè
è

b=

fw◦ .

a = fu◦

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû
ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

1.4.1. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ
ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷

Äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ìîæíî èñïîëüçîâàòü
èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è Ìåëëèíà [8, 94, 140, 163, 523, 524℄.
Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ è îðìóëû èç òåîðèè
âû÷åòîâ.

Âû÷åòû. Âû÷åòîì óíêöèè f (z), ãîëîìîðíîé â âûêîëîòîé îêðåñòíîñòè

òî÷êè

z = a (ò. å. a  èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà óíêöèè f )
z íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Z
1
Res f (z) =
f (z) dz, i2 = −1,

êîìïëåêñíîé

ïëîñêîñòè

2πi

z=a

Cε  îêðóæíîñòü
|z − a| = ε.
ãäå

äîñòàòî÷íîãî ìàëîãî ðàäèóñà

Äëÿ ïðîñòîãî ïîëþñà, êîãäà

îðìóëà

Cε

f (z) ≃

onst /(z

ε, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì

− a)



Res f (z) = lim (z − a)f (z) .
z=a

z→a

ïðè

z → a,

ñïðàâåäëèâà

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

70

Åñëè
óíêöèè

f (z) =
ψ(z),

ϕ(z)
, ãäå
ψ(z)

ϕ(a) 6= 0,

ψ(a) = 0

ò. å.

and

ϕ(a)
.
ψz′ (a)

z=a

z = a  ïîëþñ n-ãî
z=a

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà.
(êîìïëåêñíîçíà÷íîé) óíêöèè

(1.4.1.1)

∗ óíêöèè

ïîðÿäêà

1
dn−1
lim n−1
(n − 1)! z→a dx

Res f (z) =

ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì íóëåì

ψz′ (a) 6= 0, òî

Res f (z) =
Åñëè òî÷êà

z = a

à òî÷êà



òî


(z − a)n f (z) .

Ïðåîáðàçîâàíèå

f (t)

f (z),

(1.4.1.2)

Ëàïëàñà äëÿ ïðîèçâîëüíîé

äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî

t (t > 0)

îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

f˜(s) =
ãäå

Z

∞

f (t)e−st dt,

(1.4.1.3)

0

s = a + ib  êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ.
f (t) íàçûâàåòñÿ îðèãèíàëîì,

Ôóíêöèÿ

ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà

âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ò. å. ìîæåò èìåòü ðàçðûâû òîëüêî ïåðâîãî ðîäà, ïðè÷åì êàæäûé êîíå÷íûé èíòåðâàë ñîäåðæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà)
è èìååò îãðàíè÷åííûé ïîêàçàòåëüíûé ðîñò, ò. å. ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå

M > 0 è σ0 , ÷òî |f (t)| 6 M eσ0 t ïðè t > 0. Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî â óêàçàííîé îöåíêå
âçÿòî íàèìåíüøåå èç âîçìîæíûõ ÷èñåë σ0 , êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåì
ðîñòà óíêöèè f (t).
Ôóíêöèÿ f˜(s) íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèåì è äëÿ âñÿêîãî îðèãèíàëà f (t) îïðåäåëåíà â ïîëóïëîñêîñòè Re s > σ0 è ÿâëÿåòñÿ â ýòîé ïîëóïëîñêîñòè àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé.
Ôîðìóëó (1.4.1.3) êðàòêî áóäåì çàïèñûâàòü òàê:


f˜(s) = L f (t)

èëè

Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà.


f˜(s) = L f (t), s .

Ïî èçâåñòíîìó èçîáðàæåíèþ

f˜(s)

îðèãèíàë íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

f (t) =

1
2πi

Z

c+i∞

f˜(s)esx ds,

i2 = −1,

c−i∞

(1.4.1.4)

ãäå ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ ðàñïîëîæåí ïàðàëëåëüíî ìíèìîé îñè êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè ñïðàâà îò âñåõ îñîáûõ òî÷åê óíêöèè

f˜(s), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò c > σ0 .

Èíòåãðàë â (1.4.1.4) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ ïî Êîøè:

Z

c+i∞

c−i∞

 îáëàñòè
∗

t 1  öåëîå ÷èñëî.

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

71

Ôîðìóëà (1.4.1.4) ñïðàâåäëèâà äëÿ íåïðåðûâíûõ óíêöèé. Åñëè â òî÷êå

t = t0 > 0

óíêöèÿ

f (t) èìååò êîíå÷íûé

ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, òî ïðàâàÿ ÷àñòü

îðìóëû (1.4.1.4) â ýòîé òî÷êå äàåò çíà÷åíèå

1
2 [f (t0 − 0)+ f (t0 + 0)] (ïðè t0

=0

ïåðâûé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ äîëæåí áûòü îïóùåí).

Ôîðìóëó îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (1.4.1.4) êðàòêî áóäåì çàïèñûâàòü òàê:


f (t) = L−1 f˜(s)


f (t) = L−1 f˜(s), t .

èëè

Ñóùåñòâóþò ïîäðîáíûå òàáëèöû ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (ñì., íàïðèìåð, [6, 19, 20, 221, 406, 435, 461, 462℄), êîòîðûå óäîáíî
èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.

1◦ .

 òàáë. 1.4 äàíû îñíîâíûå îðìóëû ñîîòâåòñòâèÿ îðèãèíàëîâ è èçîá-

ðàæåíèé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.

2◦ .

Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà íåêîòîðûõ óíêöèé ïðèâåäåíû â òàáë. 1.5;

áîëåå ïîäðîáíûå òàáëèöû èìåþòñÿ â [20, 406, 461℄.
Òàáëèöà 1.4.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.



Ôóíêöèÿ

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

1

af1 (t) + bf2 (t)

af˜1 (s) + bf˜2 (s)

2

f (t/a), a > 0

af˜(as)

3

f (t − a),
f (ξ) ≡ 0 ïðè ξ < 0

e−as f˜(s)

4

tn f (t); n = 1, 2, . . .

5

1
f (t)
t

(−1)n f˜s(n) (s)
Z ∞
f˜(q) dq
s

6

eat f (t)

f˜(s − a)

7

ft′ (t)

sf˜(s) − f (+0)
n
P
(k−1)
sn−k ft
(+0)
sn f˜(s) −

(n)

8
9
10
11
12

ft

(t)

(n)

tmft (t), m = 1, 2, . . .


(n)
tm f (t) t , m > n
Z t
f (ξ) dξ

Z

0

t
0

f1 (ξ)f2 (t − ξ) dξ

Îïåðàöèÿ
Ëèíåéíàÿ
ñóïåðïîçèöèÿ
Èçìåíåíèå
ìàñøòàáà
Ñäâèã
àðãóìåíòà
Äèåðåíöèðîâàíèå
èçîáðàæåíèÿ
Èíòåãðèðîâàíèå
èçîáðàæåíèÿ
Ñìåùåíèå â
êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè
Äèåðåíöèðîâàíèå
Äèåðåíöèðîâàíèå

k=1

i(m)
h
n
P
(k−1)
sn−k ft
(+0)
(−1)m sn f˜(s) −

Äèåðåíöèðîâàíèå

k=1

s

(m)

(−1)m f˜(s) s

Äèåðåíöèðîâàíèå

f˜(s)
s

Èíòåãðèðîâàíèå

f˜1 (s)f˜2 (s)

Ñâåðòêà

72

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Òàáëèöà 1.5.

Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà íåêîòîðûõ óíêöèé.



Ôóíêöèÿ, f (t)

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, f˜(s)

1

1

1/s

2

tn

3

t

a

n!
sn+1
Γ(a + 1)s−a−1

4

e

−at

5

a −bt

t e

6

sh(at)

7

ch(at)

8

ln t

9

sin(at)

10

cos(at)


a
√
erfc
2 t

11

(s + a)

n = 1, 2, . . .
a > −1

−1

Γ(a + 1)(s + b)−a−1
a
s2 − a2
s
s2 − a2
1
− (ln s + C)
s
a
s2 + a2
s
s2 + a2
√

1
exp −a s
s
1
√
s2 + a2

J0 (at)

12

Ïðèìå÷àíèÿ

a > −1

C  êîíñòàíòà Ýéëåðà,
C ≈ 0.5772156649

a>0
J0 (t)  óíêöèÿ

Áåññåëÿ

Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé. àññìîòðèì âàæíûé
ñëó÷àé ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé âèäà

R(s)
,
f˜(s) =

(1.4.1.5)

Q(s)

ãäå

Q(s)

R(s)  ïîëèíîìû,
R(s).

è

ïîëèíîìà

ïðè÷åì ñòåïåíü ïîëèíîìà

Q(s)

áîëüøå ñòåïåíè

Ïóñòü íóëè çíàìåíàòåëÿ ïðîñòûå, ò. å.

Q(s) ≡ const (s − s1 )(s − s2 ) . . . (s − sn ).
Òîãäà îðèãèíàë ìîæíî íàéòè ïî îðìóëå

f (t) =

n
X
R(sk )
k=1

Q′ (sk )

exp(sk t),

(1.4.1.6)

ãäå øòðèõè îáîçíà÷àþò ïðîèçâîäíûå.
Åñëè

Q(s)

èìååò

m

íóëåé ïîðÿäêà

r1 , . . . , rm , ò. å.

Q(s) ≡ const (s − s1 )r1 (s − s2 )r2 . . . (s − sm )rm ,
òî

f (t) =

m
X
k=1

drk −1
1
lim rk −1
(rk − 1)! s→sk ds




(s − sk )rk f˜(s)est .

(1.4.1.7)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

73

Îáðàùåíèå óíêöèé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì îñîáûõ òî÷åê. Åñëè óíêöèÿ

f˜(s) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ òî÷åê s1 , s2 , . . . , sn

è ïðè

ê íóëþ, òî åå îðèãèíàë ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ îðìóëû

f (t) =

n
X
k=1

s → ∞ ñòðåìèòñÿ

Res [f˜(s)est ].

(1.4.1.8)

s=sk

Îáðàùåíèå óíêöèé ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì îñîáûõ òî÷åê.
(1.4.1.8) ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà óíêöèè
áûõ òî÷åê.  ýòîì ñëó÷àå îðèãèíàë

f (t)

f˜(s)

Ôîðìóëó

ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì îñî-

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîãî

ðÿäà.

(ñì., íàïðèìåð, [20, 46℄). Ïóñòü óíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî f˜(s) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1. Ôóíêöèÿ f˜(s) ìåðîìîðíà (ò. å. îïðåäåëåíà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è íå èìååò â êîíå÷íîé ÷àñòè ïëîñêîñòè îñîáûõ òî÷åê, îòëè÷íûõ îò
ïîëþñîâ) è äèåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé ïîëóïëîñêîñòè Re s > s0.
2. Ñóùåñòâóåò ñèñòåìà âëîæåííûõ â äðóã äðóãà îêðóæíîñòåé
Òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ

Cn : |s| = Rn ,

R1 < R2 < · · · ,

Rn → ∞,

íà êîòîðîé f˜(s) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî
arg s.
R a+i∞
f˜(s) ds.
3. Äëÿ ëþáîãî a > s0 àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ èíòåãðàë a−i∞
Òîãäà
∞
f (t) =

X
k=1

Res [f˜(s)est ],

s=sk

(1.4.1.9)

ãäå ñóììà âû÷åòîâ áåðåòñÿ ïî âñåì îñîáûì òî÷êàì sk óíêöèè f˜(s) â ïîðÿäêå
íåóáûâàíèÿ èõ ìîäóëåé.
f˜(s)

Åñëè âñå îñîáûå òî÷êè óíêöèè

ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ïîëþñàìè, òî

âû÷åòû â (1.4.1.9) ìîæíî íàõîäèòü ñ ïîìîùüþ îðìóëû (1.4.1.1), ïðåäñòàâèâ

f˜(s) â âèäå îòíîøåíèÿ äâóõ

óíêöèé (êîðíè óíêöèè, ñòîÿùåé â çíàìåíàòåëå,

äîëæíû áûòü ïðîñòûìè è ñîâïàäàòü ñ îñîáûìè òî÷êàìè óíêöèè

◮

f˜(s)).

Ïðèìåð 1.18. àññìîòðèì ëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì [94, ñ. 79℄:

u′t (t) = au(t) + bu(t − τ )

(1.4.1.10)

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u(t) = ϕ(t),

−τ 6 t 6 0.

(1.4.1.11)

Ïðèìåíèì ê (1.4.1.10) ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (1.4.1.3):

Z

∞
0

u′t (t)e−st dt =

Z

0

∞

[au(t) + bu(t − τ )]e−st dt.

Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî 7 òàáëèöû 1.4 äëÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, à âî âòîðîì
ñëàãàåìîì â ïðàâîé ÷àñòè ñîâåðøàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ

t − τ = t1

è ðàçáèâàÿ

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

74

R∞

ïîëó÷åííûé ïîñëå ýòîãî èíòåãðàë

−τ íà äâà èíòåãðàëà
Z 0
−sτ

sũ(s) − ϕ(0) = aũ(s) + bũ(s)e
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

ϕ(0) + b

ũ(s) =

Ïóñòü âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

R0

−τ è

R∞

0 , çàïèøåì

ϕ(t)e−s(t+τ ) dt.

+b

−τ

R0

ϕ(t)e−s(t+τ ) dt

−τ

s − a − be−sτ

.

(1.4.1.12)

ln(−bτ ) − aτ + 1 6= 0. Òîãäà
−sτ

Q(s) = s − a − be

êâàçèïîëèíîì

,

(1.4.1.13)

ñòîÿùèé â çíàìåíàòåëå äðîáè (1.4.1.12), èìååò ëèøü ïðîñòûå íóëè

sk . Èñïîëü-

çóÿ îðìóëó îáðàùåíèÿ (1.4.1.9), ìîæíî ïðåäñòàâèòü èñêîìîå ðåøåíèå â âèäå
ðÿäà

u(t) =

∞
X
k=0

esk t
1 + τ be−sk τ



Z

ϕ(0) + b

0

−sk (t+τ )

ϕ(t)e



dt .

−τ

Êîðíè êâàçèïîëèíîìà (1.4.1.13) ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ óíêöèè Ëàì-

λ

áåðòà â âèäå (1.1.3.5), çàìåíèâ â íåé

íà

sk ,

ãäå ïîä

W

â ïðàâîé ÷àñòè

ýòîé îðìóëû ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ
âåòâåé óíêöèè Ëàìáåðòà.
Îïèñàíèå ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.4.1.10)  (1.4.1.11) è äðóãèõ ëèíåéíûõ ñèñòåì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì â âèäå ðÿäà ñ èñïîëüçîâàíèåì óíêöèè

◭

Ëàìáåðòà ìîæíî íàéòè â [115℄.

Çàìå÷àíèå 1.18. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ

àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, à
òàêæå äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé òàêèõ óðàâíåíèé [13℄.

Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà.
òåëüíîé ïîëóîñè

ãäå

a1

è

Z

Ïóñòü óíêöèÿ

t > 0 è óäîâëåòâîðÿåò
1

0

Z

|f (t)|ta1 −1 dt < ∞,

a2  íåêîòîðûå

∞

fˆ(s) =

Z

1

f (t)

∞

îïðåäåëåíà íà äåéñòâè-

|f (t)|ta2 −1 dt < ∞,

äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà,

Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà óíêöèè

f (t)

óñëîâèÿì [434, 435℄:

a1 < a2 .

îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

f (t)ts−1 dt,

(1.4.1.14)

0

ãäå

s = a + ib  êîìïëåêñíàÿ

ïåðåìåííàÿ (a1

< a < a2 ).

Ôîðìóëó (1.4.1.14) êðàòêî áóäåì çàïèñûâàòü òàê:

Îðèãèíàë


fˆ(s) = M f (t)

f (t)

èëè


fˆ(s) = M f (t), s .

çàäàííîãî èçîáðàæåíèÿ

fˆ(s)

ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ

îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà

f (t) =

1
2πi

Z

a+i∞
a−i∞

fˆ(s)t−s ds

(a1 < a < a2 ),

(1.4.1.15)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

75

ãäå ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ ðàñïîëîæåí ïàðàëëåëüíî ìíèìîé îñè êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè

s, à

èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ ïî Êîøè.

Ôîðìóëà (1.4.1.15) ñïðàâåäëèâà äëÿ íåïðåðûâíûõ óíêöèé. Åñëè â òî÷êå

t = t0 > 0

óíêöèÿ

f (t) èìååò êîíå÷íûé

ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, òî ïðàâàÿ ÷àñòü

îðìóëû (1.4.1.15) â ýòîé òî÷êå äàåò çíà÷åíèå

t0 = 0 ïåðâûé

1
2 [f (t0

− 0) + f (t0 + 0)]

(ïðè

÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ äîëæåí áûòü îïóùåí) [20℄.

Ôîðìóëó îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà (1.4.1.15) êðàòêî áóäåì çàïèñûâàòü òàê:


f (t) = M−1 fˆ(s)


f (t) = M−1 fˆ(s), t .

èëè

 òàáë. 1.6 äàíû îñíîâíûå îðìóëû ñîîòâåòñòâèÿ îðèãèíàëîâ è èçîáðàæåíèé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà; â òàáë. 1.7 ïðèâîäÿòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà
íåêîòîðûõ óíêöèé. Ñóùåñòâóþò ïîäðîáíûå òàáëèöû ïðÿìîãî è îáðàòíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà (ñì. [6, 20, 221, 435℄), êîòîðûå óäîáíî èñïîëüçîâàòü
ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.
Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ñâÿçàíî ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà:

M {f (t), s} = L {f (et ), −s} + L {f (e−t ), s}.

(1.4.1.16)

Ôîðìóëà (1.4.1.16) äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü áîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå
òàáëèöû ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.

◮

Ïðèìåð 1.19. Ñëåäóÿ [523, 524℄, ðàññìîòðèì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

u′t (t) + au(t) = bu(pt),

p > 1,

a > 0,

(1.4.1.17)

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ïîëóîãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå

lim u(t) = 0,

t→0+
è óñëîâèåì íîðìèðîâêè

Z

∞

lim u(t) = 0

(1.4.1.18)

t→∞

u(t) dt = 1.

(1.4.1.19)

0

Çàäà÷è, â êîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ òèïà (1.4.1.18)  (1.4.1.19) îïðåäåëÿþò èñêîìóþ óíêöèþ

u(t)

êàê óíêöèþ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, âñòðå÷à-

þòñÿ, íàïðèìåð, â áèîìîäåëÿõ êëåòî÷íîãî ðîñòà [273, 274℄.
Ïðèìåíÿÿ

ïðåîáðàçîâàíèå

Ìåëëèíà

ê

(1.4.1.17)

è

ó÷èòûâàÿ

óñëîâèÿ

(1.4.1.18) (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå äîñòàòî÷íî áûñòðî çàòóõàåò ïðè áîëüøèõ

t),

ïîëó÷èì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

−(s − 1)û(s − 1) + aû(s) = bp−s û(s).

(1.4.1.20)

Óñëîâèå (1.4.1.19), ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà (1.4.1.14),
ïðèíèìàåò âèä

û(1) = 1.

(1.4.1.21)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

76

Òàáëèöà 1.6.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà.



Ôóíêöèÿ

Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà

1

af1 (t) + bf2 (t)

afˆ1 (s) + bfˆ2 (s)

2

f (at), a > 0

a−s fˆ(s)

3

ta f (t)

fˆ(s + a)

4

f (t2 )

5

f (1/t)

fˆ(−s)

6



tλ f atβ , a > 0, β 6= 0

s+λ
1 − s+λ
a β fˆ
β
β

7

ft′ (t)

−(s − 1)fˆ(s − 1)

8

tft′ (t)

−sfˆ(s)

9

ft

(n)

12

tα
tα

Z

Z

(−1)n

(t)

 d n
f (t)
t
dt

10
11

1
2

fˆ

1
2

s




Γ(s) ˆ
f (s − n)
Γ(s − n)

(−1)n sn fˆ(s)

∞

Ëèíåéíàÿ
ñóïåðïîçèöèÿ
Èçìåíåíèå
ìàñøòàáà
Ñäâèã
àðãóìåíòà
Âîçâåäåíèå àðãóìåíòà
â êâàäðàò
Èíâåðñèÿ
àðãóìåíòà
Ñòåïåííîå
ïðåîáðàçîâàíèå
Äèåðåíöèðîâàíèå
Äèåðåíöèðîâàíèå
Äèåðåíöèðîâàíèå
ïîðÿäêà n
Äèåðåíöèðîâàíèå
ïîðÿäêà n

ξ β f1 (tξ)f2 (ξ) dξ

fˆ1 (s + α)fˆ2 (1 − s − α + β)

Èíòåãðèðîâàíèå

t
f2 (ξ) dξ
ξ

fˆ1 (s + α)fˆ2 (s + α + β + 1)

Èíòåãðèðîâàíèå

0

0

Îïåðàöèÿ

∞

ξ β f1

àññìîòðèì òåïåðü âñïîìîãàòåëüíîå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå ÎÄÓ

v ′ (t) + av(t) = 0,

(1.4.1.22)

ïîëó÷åííîå ïóòåì îòáðàñûâàíèÿ ïîñëåäíåãî ÷ëåíà â (1.4.1.17). Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà ê (1.4.1.22), èìååì

ãäå

−(s − 1)F (s − 1) + aF (s) = 0,

(1.4.1.23)

F (s) = M {v(t), s}. Óðàâíåíèå (1.4.1.22) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå v = e−at .

Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå è èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå 6 â òàáë. 1.7, ïîëó÷èì

F (s) = a−s Γ(s),
ãäå

(1.4.1.24)

Γ(s)  ãàììà-óíêöèÿ.
åøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è (1.4.1.20)  (1.4.1.21) èùåì â âèäå

û(s) = F (s)Q(s).

(1.4.1.25)

Ïîäñòàâèâ (1.4.1.25) â (1.4.1.20) è ó÷èòûâàÿ (1.4.1.23), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

Q(s − 1) = (1 − ba−1 p−s )Q(s),

(1.4.1.26)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
Òàáëèöà 1.7.

Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ìåëëèíà íåêîòîðûõ óíêöèé.



Ôóíêöèÿ, f (t)

Ïðåîáðàçîâàíèå Ìåëëèíà, f˜(s)

Ïðèìå÷àíèÿ

1

H(t − a)

−s−1 as

a > 0, s < 0

2

H(a − t)

s−1 as

a > 0, s > 0

3

tn H(t − a)

−(n + s)−1 an+s

a > 0, Re(n + s) < 0

4

tn H(a − t)

(n + s)−1 an+s

a > 0, Re(n + s) > 0

5

e−ct

b

b−1 c−s/b Γ(s/b)

b > 0, Re c > 0, Re s > 0

6

e−ct

−b

b−1 cs/b Γ(−s/b)

b > 0, Re c > 0, Re s < 0

s−1 a−s (ln a − s−1 )

a > 0, Re s > 0

7

77

ln(t)H(a − t)

8

ln(1 + at)

π
sas sin(πs)

9

sin(at)

a−s Γ(s) sin( 21 πs)

a > 0, −1 < Re s < 1

10

cos(at)

a−s Γ(s) cos( 21 πs)

a > 0, 0 < Re s < 1

11

erfc(t)

π −1/2 s−1 Γ[ 21 (s + 1)]

Re s > 0

12

J0 (at)

2s−1 Γ(s/2)
as Γ(1 − s/2)

a > 0, 0 < Re s < 3/2,
J0 (t)  óíêöèÿ Áåññåëÿ

|arg a| < π, −1 < Re s < 0

Îáîçíà÷åíèå: H(t) = {1 ïðè t > 0, 0 ïðè t < 0}  åäèíè÷íàÿ óíêöèÿ Õåâèñàéäà.
ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ýòîò
àêò äîêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé):

Q(s) = C

∞
Y

(1 − ba−1 p−k−s−1 ),

(1.4.1.27)

k=0
ãäå

C  íåêîòîðàÿ

ïîñòîÿííàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâ-

íåíèÿ (1.4.1.20):

û(s) = Ca−s Γ(s)

∞
Y

(1 − ba−1 p−k−s−1 ).

(1.4.1.28)

k=0

Èç óñëîâèÿ òèïà íîðìèðîâêè (1.4.1.21) íàõîäèì êîíñòàíòó

C=a

∞
Y

(1 − ba−1 p−k−2 )−1 .

C:
(1.4.1.29)

k=0

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îðèãèíàëà óíêöèè (1.4.1.28) íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü
áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå â áåñêîíå÷íûé ðÿä. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì Ýéëåðà [110℄:

∞
Y

k

(1 + rq ) = 1 +

k=0

∞
X
r k q k(k−1)/2
k=1

Qk

j=1 (1

− qj )

,

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

78

ãäå

|q| < 1, à r  ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì
q = p−1 , r = −ba−1 p−s−1 , ðåøåíèå (1.4.1.28) ïðåäñòàâèì â âèäå


∞
X
−ks
−s
βk p
û(s) = Ca Γ(s) 1 +
,
(1.4.1.30)

ñëó÷àå

k=1

ãäå êîýèöèåíòû

βk =

βk

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì

ak p

(−1)k bk
Qk
k(k+1)/2

j=1 (1

− p−j )

,

k = 1, 2, . . .

(1.4.1.31)

ÿä (1.4.1.30) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ïîýòîìó èçîá-

û(s) ìîæíî ïî÷ëåííî ïðåîáðàçîâàòü îáðàòíî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 5
ïðè b = 1 èç òàáë. 1.7 è ñâîéñòâî 2 èç òàáë. 1.6.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðåøåíèå

ðàæåíèå

èñõîäíîé çàäà÷è (1.4.1.17)  (1.4.1.19) â âèäå

u(t) = C

∞
X

k

βk e−ap t ,

k=0

ãäå

β0 = 1,

à ïîñòîÿííûå

C

è

βk

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì (1.4.1.29) è

◭

(1.4.1.31).

1.4.2. Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî
íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé â âèäå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ
ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ìîæíî èñêàòü â âèäå ïîëèíîìà (èëè
áåñêîíå÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà) ïî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé [133, 268, 485,
488℄:

u(t) =

k
X

γn t n ,

(1.4.2.1)

n=0
ãäå

k  çàäàåòñÿ,

à ïîñòîÿííûå

γn

ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ â õîäå àíà-

ëèçà.

◮

Ïðèìåð 1.20. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿí-

íûìè êîýèöèåíòàìè è äâóìÿ ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè

u′t = au + bw1 + cw2 ,

w1 = u(pt),

w2 = u(qt);

u(0) = 1.

(1.4.2.2)

åøåíèå èùåì â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà

u=1+

∞
X

γn tn .

(1.4.2.3)

n=1
Ïîäñòàâèì (1.4.2.3) â (1.4.2.2). Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíîé

u′t

=

∞
X

n=1

nγn t

n−1

= γ1 +

∞
X

(n + 1)γn+1 tn ,

n=1

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

79

ïîëó÷èì

γ1 +

∞
X

n

(n + 1)γn+1 t = a + b + c +

∞
X

γn (a + bpn + cq n )tn .

n=1

n=1

Ïðèðàâíèâàíèå êîýèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ
ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ

Ìåíÿÿ

n, ïîñëåäîâàòåëüíî

äàåò ëèíåéíóþ

γn :

(n + 1)γn+1 = γn (a + bpn + cq n ),

γ1 = a + b + c,

tn

n = 1, 2, . . .

íàõîäèì ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Â ðåçóëüòàòå ïîëó-

÷èì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.4.2.2) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà

u=1+

∞
X

γn t n ,

γn =

n=1

1
n!

n−1
Y

(a + bpk + cq k ).

(1.4.2.4)

k=0

0 < p < 1, 0 < q < 1 ðÿä (1.4.2.4) èìååò áåñêîíå÷íûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.
n
n
at
(a+b+c)t .
 ýòîì ñëó÷àå ïðè a, b, c > 0 èìååì a < γn < (a + b + c) è e < u < e

Ïðè

Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå (1.4.2.4) äðóãèì ñïîñîáîì áûëî ïîëó÷åíî â [414℄; â
÷àñòíîì ñëó÷àå

◮

c=0

◭

îíî ïåðåõîäèò â ðåøåíèå, ïðèâåäåííîå â [240℄.

Ïðèìåð 1.21. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t (t) = a − bu2 (pt);
ãäå

u(0) = 0,

(1.4.2.5)

0 < p < 1.
Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.4.2.5) íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíå

âàòåëüíî

u′t

 ÷åòíàÿ óíêöèÿ, à

u  ñóììà

u

íà

−u.

Ñëåäî-

íå÷åòíîé óíêöèè è êîíñòàíòû.

Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå è íóëåâîå íà÷àëüíîå óñëîâèå, ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå
çàäà÷è (1.4.2.5) èùåì â âèäå

u = αt + βt3 + γt5 + δt7 + · · · .

(1.4.2.6)

Ïîäñòàâèì (1.4.2.6) â (1.4.2.5) è ñîáåðåì ñëàãàåìûå ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ t.
Èìååì

α − a + (3β + bp2 α2 )t2 + (5γ + 2bp4 αβ)t4 + [7δ + bp6 (β 2 + 2αγ)]t6 + · · · = 0.
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ êîýèöèåíòû ïðè ðàçëè÷íûõ ñòåïåíÿõ

t2n , ïîëó÷èì óðàâ-

íåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýèöèåíòîâ ðÿäà (1.4.2.6).

α−a=0

(ïðè t0 ),

3β + bp2 α2 = 0

(ïðè t2 ),

5γ + 2bp4 αβ = 0

(ïðè t4 ),

7δ + bp6 (β 2 + 2αγ) = 0

(ïðè t6 ).

åøèâ ýòè óðàâíåíèÿ, â èòîãå ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.2.5)
â âèäå ïîëèíîìà

u = at −

1 2 2 3
3 a bp t

+

2 3 2 6 5
15 a b p t

−

1 4 3 10 1
21 a b p
3



+ 45 p2 t7 ,

(1.4.2.7)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

80

ïîãðåøíîñòü êîòîðîãî ïðè ìàëûõ

t ñîñòàâëÿåò O(t9 ).

Íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæåíû êðèâûå, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííîé

p = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0. Âèäíî, ÷òî ïðè ab > 0 è
0 < p 6 1 êðèâûå íåìîíîòîííû, ñíà÷àëà âîçðàñòàþò, äîñòèãàþò ïîëîæèòåëüíîãî
ýêñòðåìóìà, à çàòåì óáûâàþò, ïåðåñåêàþò îñü u = 0 (÷åì ìåíüøå p, òåì äàëüøå

îðìóëû (1.4.2.7) ïðè

òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñ ýòîé îñüþ) è ïåðåõîäÿò â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé.
Ïðè

ab < 0

óâåëè÷åíèè

âñå êðèâûå ìîíîòîííî âîçðàñòàþò è èõ ðîñò óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè

p îò íóëÿ äî

åäèíèöû.

u

u
(а)

6

p=0

5
4
3

p = 0.5

2

0

èñ. 1.11.

ab > 0
a=2
b=1

5

p = 0.25

3
2
1

p=1
1

2

3

p=1
p = 0.75
p = 0.5
p = 0.25
p=0

4

p = 0.75

1

(б)

6

5

4

t

0

1

2

3

4

ab < 0
a=2
b = -1

5

t

Êðèâûå, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííîé îðìóëû (1.4.2.7) ïðè

p = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 äëÿ äâóõ ïàð çíà÷åíèé
(1.4.2.5): a) a = 2, b = 1 è á) a = 2, b = −1.

îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è

Ôîðìóëà (1.4.2.7) äàåò òî÷íûé ðåçóëüòàò ïðè

p = 0.

Ïîýòîìó ñëåäóåò îæè-

äàòü, ÷òî åå ïîãðåøíîñòü áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà

p

îò åäèíèöû äî íóëÿ. Ïðîâåäåííûå äàëåå ñîïîñòàâëåíèÿ îðìóëû (1.4.2.7) ñ
òî÷íûìè ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1.4.2.5) ïîäòâåðæäàþò âûøåñêàçàííîå.
Íåëèíåéíàÿ çàäà÷à (1.4.2.5) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ
ïîìèìî ñëó÷àÿ
è

p=0

a

è

b

(îòëè÷íûõ îò íóëÿ)

äîïóñêàåò òàêæå äâà äðóãèõ òî÷íûõ ðåøåíèÿ ïðè

p = 1, êîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå.
1◦ . åøåíèå çàäà÷è (1.4.2.5) ïðè p = 12 :
q
 q

2a
a
u(t) =
sin b
t
2b
qb
 q

2a
a
u(t) = − − sh b − t
b

2b

ïðè

p=

1
2

ab > 0,
(1.4.2.8)

ïðè

ab < 0.

2◦ . åøåíèå çàäà÷è (1.4.2.5) ïðè

p = 1:
 q 
a
a
u(t) =
th b
t
b
b
q
 q

a
a
u(t) = − − tg b − t
q

b

b

ïðè

ab > 0,

ïðè

ab < 0.

(1.4.2.9)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

81

Íà ðèñ. 1.12 a ñïëîøíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ïîñòðîåííûå ïî îðìóëàì
(1.4.2.8) è (1.4.2.9) òî÷íûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.4.2.5) ïðè

1
2 è

p=

p = 1.

a = 2, b = 1

äëÿ

Øòðèõîâûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ýòîé

æå çàäà÷è, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ïîëèíîìà (1.4.2.7) ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ
îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ. Íà ðèñ. 1.12 b ñïëîøíûìè è øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è
(1.4.2.5) ïðè

a = 2, b = −1

äëÿ

p=

1
2 è

p = 1.

Âèäíî, ÷òî ïðè

p=

1
2 ïðèáëè-

æåííàÿ îðìóëà (1.4.2.7) õîðîøî ðàáîòàåò íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïðîìåæóòêå
âðåìåíè (0

6 t 6 π ).

Ïðè

p=1

ïîãðåøíîñòü îðìóëû (1.4.2.7) çíà÷èòåëüíî

áîëüøå è åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëèøü ïðè

2

u

ab > 0

0 6 t 6 0.8.

100 u

(а)

ab < 0

80
1

p=1
0.5p

0

p

1.5p

t

p=1

(б)
p = 0.5

60
40

-1

p = 0.5

-2

20
0

t
0.5p

p

1.5p

2p

Òî÷íûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.4.2.5), ïîñòðîåííûå ïî îðìóëàì (1.4.2.8) è
p = 12 è p = 1 äëÿ äâóõ ïàð çíà÷åíèé îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ: a) a = 2,
è á) a = 2, b = −1.

èñ. 1.12.

(1.4.2.9) ïðè

b=1

◭

Çàìå÷àíèå 1.19.  çàäà÷àõ äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, êîãäà

óðàâíåíèå çàäàíî â îáëàñòè
Pk
= n=0 γn (t − t0 )n .

◮

t > t0 , ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå u(t) =

Ïðèìåð 1.22. àññìîòðèì ñìåøàííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ëèíåéíîãî

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′xx (x) + (a + bx2 )u(px) + c = 0;
u′x (0) = 0, u(1) = 0,
ãäå

(1.4.2.10)
(1.4.2.11)

0 < p < 1.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.2.10), (1.4.2.11) èùåì â âèäå ñòåïåííîãî

ðÿäà

u = λ + αx + βx2 + γx3 + δx4 + · · · ,
ãäå êîíñòàíòû

λ, α, β , γ , δ, . . .

(1.4.2.12)

ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ. Ïîäñòàâèâ (1.4.2.12) â

ïåðâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (1.4.2.11), ïîëó÷èì

α = 0.

(1.4.2.13)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

82

Ó÷èòûâàÿ (1.4.2.13), ïîäñòàâèì (1.4.2.12) â óðàâíåíèå (1.4.2.10) è ñîáåðåì ñëà-

x. Èìååì
A + Bx + Cx2 + · · · = 0,

ãàåìûå ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ

(1.4.2.14)

C = 12δ + bλ + ap2 β.
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ êîýèöèåíòû ïðè ðàçëè÷íûõ ñòåïåíÿõ x â (1.4.2.14), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé A = 0, B = 0, C = 0, . . .
åøèâ ýòó ñèñòåìó, âûðàçèì β , γ , δ , . . . ÷åðåç λ, à çàòåì ïîäñòàâèì èõ è
4
(1.4.2.13) â (1.4.2.12). Îñòàâëÿÿ ïåðâûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì x äî x
A = 2β + aλ + c,

B = 6γ,

âêëþ÷èòåëüíî, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííûé ìíîãî÷ëåí

u=λ−

1
2 (aλ

+ c)x2 +

1
(a2 p2 λ + acp2
24

Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

− 2bλ)x4 .

(1.4.2.15)

λ îïðåäåëÿåòñÿ ïóòåì ïîäñòàâêè ìíîãî÷ëå-

íà (1.4.2.15) âî âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (1.4.2.11).  ðåçóëüòàòå èìååì

λ=

a2 p 2

c(12 − ap2 )
.
− 2b − 12a + 24

(1.4.2.16)

Ïîäñòàâèâ (1.4.2.16) â (1.4.2.15), â èòîãå ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.2.10), (1.4.2.11) â âèäå

u=

c[12 − ap2 + (b − 12)x2 + (ap2 − b)x4 ]
.
a2 p2 − 2b − 12a + 24

Ïðèáëèæåííàÿ îðìóëà (1.4.2.17) äëÿ ëþáûõ
òî÷íûé ðåçóëüòàò ïðè

p = 0.

(1.4.2.17)

a, b, c (6a + b 6= 12)

äàåò

Ïîýòîìó ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî åå ïîãðåøíîñòü

áóäåò óìåíüøàòüñÿ ïðè óìåíüøåíèè ïàðàìåòðà

p îò åäèíèöû äî

íóëÿ.

Íà ðèñ. 1.13 ñïëîøíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû êðèâûå, ïîñòðîåííûå ñ ïî-

a = b = c = 1 äëÿ p = 0, 0.5, 1;
êðóæî÷êàìè  ÷èñëåííîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå äëÿ p = 0.5 ìåòîäîì Õüþíà (ñì.
ìîùüþ ïðèáëèæåííîé îðìóëû (1.4.2.17) ïðè

ðàçä. 5.1.4, 5.1.5), øòðèõîâîé ëèíèåé  ÷èñëåííîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå äëÿ

p=1

ìåòîäîì ïðèñòðåëêè (ñì. ðàçä. 5.1.6).

Èç ðèñ. 1.13 âèäíî, ÷òî êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèáëèæåííîìó è ÷èñ-

p = 0.5, î÷åíü áëèçêè äðóã ê äðóãó; ìàêñèìàëüíîå ðàñíèìè ñîñòàâëÿåò 0.02. Ïðè p = 1 ìàêñèìàëüíîå ðàñõîæäåíèå

ëåííîìó ðåøåíèÿì ïðè
õîæäåíèå ìåæäó

ìåæäó ïðèáëèæåííûì è ÷èñëåííûì ðåøåíèÿìè çíà÷èòåëüíî áîëüøå è ðàâíî

◭

0.068.

Ïàäå àïïðîêñèìàöèè. ×àñòè÷íàÿ ñóììà (1.4.2.1) õîðîøî àïïðîêñèìèðóåò
ðåøåíèå ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ

t,

íî îáû÷íî ïëîõî îïèñûâàåò ðåøåíèå äëÿ

ïðîìåæóòî÷íûõ è áîëüøèõ çíà÷åíèé

t,

òàê êàê ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò áûòü

ìåäëåííî ñõîäÿùèìñÿ èëè èìåòü ìàëûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Ýòî òàêæå ñâÿçàíî
ñ òåì, ÷òî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (1.4.2.1) íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò ïðè
â òî âðåìÿ êàê òî÷íîå ðåøåíèå ÷àñòî áûâàåò îãðàíè÷åííûì.

t → ∞,

Ïîýòîìó âìåñòî ñòåïåííûõ ðàçëîæåíèé âèäà (1.4.2.1) èíîãäà öåëåñîîáðàçíî
èñïîëüçîâàòü Ïàä

å àïïðîêñèìàöèè
äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè

N
PM
(t) =

N

è

N (t),
PM

M, à

ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé îòíîøåíèå

èìåííî [7℄:

A 0 + A 1 t + · · · + A N tN
1 + B1 t + · · · + BM tM

,

ãäå

N + M = k.

(1.4.2.18)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

83

u
1.2
p = 0

1.0

p = 0.5

0.8
p = 1

0.6
0.4
0.2

0
èñ. 1.13.

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Êðèâûå, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííîé îðìóëû (1.4.2.17) è ÷èñ-

ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ çàäà÷è (1.4.2.10), (1.4.2.11) ïðè

Êîýèöèåíòû

A1 , . . . , AN

è

B1 , . . . , BM

a = b = c = 1 äëÿ p = 0, 0.5, 1.

âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû

k+1 ñòàðøèõ

÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà ïðàâîé ÷àñòè (1.4.2.18) ñîâïàäàëè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ (1.4.2.1). Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàçëîæåíèÿ
(1.4.2.1) è (1.4.2.18) äîëæíû áûòü àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû ïðè

t → 0.

Íà ïðàêòèêå îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè

N = M.

×àñòî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îðìóëà (1.4.2.18) äîâîëüíî õîðîøî àïïðîê-

ñèìèðóåò òî÷íîå ðåøåíèå âî âñåì äèàïàçîíå

t (äëÿ

äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

N ).

Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ Ïàäå àïïðîêñèìàöèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, ìîæíî íàéòè ñîîòâåòñòâåííî â [7, 448, 604℄ è [108, 133℄.

1.4.3. Ìåòîä ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó
Ìåòîä ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó [33, 446, 448, 604℄ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ è Óð×Ï è ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ òàêæå
äëÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.
Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì ìåòîäà ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿïî
ìàëîìó ïàðàìåòðó

ε

äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëü-

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

84

íûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, u, w, ε),
Ïóñòü óíêöèÿ

f

w = u(pt).

ïðåäñòàâèìà â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì

f (t, u, w, ε) =

∞
X

(1.4.3.1)

ε:

εn fn (t, u, w).

(1.4.3.2)

n=0
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.3.1) ñ íà÷àëüíûì
óñëîâèåì

u=a
ïðè

ε→0

ïðè

t=0

(1.4.3.3)

â âèäå ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà:

u=

∞
X

εn un (t).

(1.4.3.4)

n=0
Ïîäñòàâèì (1.4.3.2) è (1.4.3.4) â óðàâíåíèå (1.4.3.1). Çàòåì, ó÷èòûâàÿ (1.4.3.4),
ðàçëîæèì óíêöèè

fn

â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì

ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ
óíêöèé

ε.

ε

è ïðèðàâíÿåì êîýèöèåíòû

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ

un (t):

u′0 = f0 (t, u0 , w0 ), w0 = u0 (pt);
u′1 = f1 (t, u0 , w0 ) + g1 (t, u0 , w0 )u1 + g1 (t, u0 , w0 )w1 ,
g1 (t, u, w) =

∂f0
∂u

,

g2 (t, u, w) =

∂f0
∂w

(1.4.3.5)

w1 = u1 (pt),

(1.4.3.6)

.

Çäåñü âûïèñàíû òîëüêî ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ. Øòðèõè îáîçíà÷àþò äèåðåíöèðîâàíèå ïî t. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ

un ìîæíî ïîëó÷èòü èç óñëîâèÿ (1.4.3.3)

ñ ó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ (1.4.3.4):

u0 (0) = a,

u1 (0) = u2 (0) = · · · = 0.

Óñïåõ ïðèìåíåíèÿ äàííîãî ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì âîçìîæíîñòüþ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.3.5) äëÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ

u0 .

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî îñòàëüíûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ

un

ïðè

n>1

îïè-

ñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè ñ îäíîðîäíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.

◮

Ïðèìåð 1.23. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïðîïîð-

öèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t + bu = εw2 ,
ãäå

ε  ìàëûé

w = u(pt);

u(0) = a,

(1.4.3.7)

ïàðàìåòð.

åøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå (1.4.3.4), óäåðæèâàÿ òðè ïåðâûõ ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ:

u = u0 + εu1 + ε2 u2 + o(ε2 ),

un = un (t).

(1.4.3.8)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

85

Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèå (1.4.3.8) â óðàâíåíèå (1.4.3.7) è ñîáèðàÿ ÷ëåíû ñ îäè-

ε, ïîëó÷èì

íàêîâûìè ñòåïåíÿìè

u′0 + bu0 + ε(u′1 + bu1 − w02 ) + ε2 (u′2 + bu2 − 2w0 w1 ) + o(ε2 ) = 0.

(1.4.3.9)

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïîäñòàâèâ (1.4.3.8) â íà÷àëüíîå óñëîâèå (1.4.3.7), èìååì

u0 (0) − a + εu1 (0) + ε2 u2 (0) + o(ε2 ) = 0.
Ïðèðàâíèâàÿ òåïåðü êîýèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ

(1.4.3.10)

ε

â ðàâåíñòâàõ

(1.4.3.9) è (1.4.3.10) ê íóëþ, ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîñòûõ ëèíåéíûõ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèé:

u′0 + bu0 = 0,
u′1
u′2

u0 (0) = a;

w02 ,

+ bu1 =
+ bu2 = 2w0 w1 ,

u1 (0) = 0;
u2 (0) = 0.

Ïîñëåäîâàòåëüíî èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ïðè

−bt

u0 = ae
u1 =
u2 =

,



a2
e−bt − e−2bpt ,
b(2p − 1)
 −bt
2a3
pe − (p + 1)e−2pbt
b2 (p + 1)(2p − 1)2

p 6= 1/2,

èìååì


+ e−p(2p+1)bt .

Ïîäñòàâèâ ýòè óíêöèè â (1.4.3.8), íàõîäèì èñêîìîåðåøåíèå â âèäå



εa2
e−bt − e−2bpt +
b(2p − 1)
 −bt
2ε2 a3
pe − (p + 1)e−2pbt
b2 (p + 1)(2p − 1)2

u = e−bt +
+


+ e−p(2p+1)bt + o(ε2 ).

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è
(1.4.3.7) ïðè

p = 1/2:
u = e−bt + εa2 te−bt +

1 2 3 2 −bt
2ε a t e

+ o(ε2 ).

◭

1.4.4. Ìåòîä ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé.
Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå çàäà÷è ñ ïîãðàíè÷íûì ñëîåì
Õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ïðîèëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå äâóõòî÷å÷íîé êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ êâàçèëèíåéíîãî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì,
êîòîðîå ñîäåðæèò ìàëûé ïàðàìåòð ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé

εu′′xx + f (x)u′x + g(x, u, w) = 0,
u(0) = a,
ãäå

0 0.  ýòîì ñëó÷àå ïðè ε → 0 â ìàëîé îêðåñò-

îáðàçóåòñÿ ïîãðàíè÷íûé ñëîé ñ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè

ðåøåíèÿ. Îáëàñòü ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ

Ωi = {0 6 x 6 O(ε)}

â òåðìèíàõ ìåòîäà

ñðàùèâàåìûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ïðèíÿòî íàçûâàòü âíóòðåííåé îá-

06x61
Ωe = {O(ε) < x 6 1}.

ëàñòüþ, à îñòàëüíàÿ (áîëüøàÿ)


÷àñòü îòðåçêà
îáëàñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ

íàçûâàåòñÿ âíåøíåé

Âî âíóòðåííåé îáëàñòè ââîäèòñÿ ïîãðàíñëîéíàÿ (ðàñòÿíóòàÿ) ïåðåìåííàÿ

z = x/ε

(1.4.4.3)

è àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå

u = ui (z) + O(ε),

z = O(1).

Ïîäñòàâèì (1.4.4.4) â (1.4.4.1) è ó÷òåì (1.4.4.3). Ïîñêîëüêó
ïðè

ε→0

è

z = O(1),

â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

(1.4.4.4)

f (x) = f (εz) ≃ f (0)

ε−1 [(ui )′′zz + f (0)(ui )′z ] + O(1) = 0.
Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ óíêöèîíàëüíûé ìíîæèòåëü ïðè

ε−1 ,

ïðèõîäèì ê óðàâíå-

íèþ äëÿ ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â îáëàñòè ïîãðàíè÷íîãî
ñëîÿ

(ui )′′zz + f (0)(ui )′z = 0.
Èíòåãðèðóÿ ýòî ïðîñòîå ëèíåéíîå ÎÄÓ è óäîâëåòâîðÿÿ ïåðâîìó ãðàíè÷íîìó
óñëîâèþ (1.4.4.2), èìååì

ui = c(1 − e−f0 z ) + a,

z = x/ε,

0 6 z 6 O(1),

(1.4.4.5)

f0 = f (0), à c  ïîñòîÿííàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ â õîäå ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà.
Ωe = {O(ε) < x 6 1} ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå u = ue (x)+
+ O(ε). ëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.4.4.1)  (1.4.4.2) â
îáëàñòè Ωe îïðåäåëÿåòñÿ èç óêîðî÷åííîãî óðàâíåíèÿ (ïðåíåáðåãàåì ÷ëåíîì ñî
ãäå

Âî âíåøíåé îáëàñòè

âòîðîé ïðîèçâîäíîé) è âòîðîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ:

f (x)(ue )′x + g(x, ue , we ) = 0;

ue (1) = b.

(1.4.4.6)

Ïóñòü óíêöèÿ

ue = ue (x)

(1.4.4.7)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

87

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1.4.4.6).
Âíóòðåííåå è âíåøíåå ðåøåíèÿ (1.4.4.5) è (1.4.4.7) äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû, ò. å. óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ ñðàùèâàíèÿ

ui (z → ∞) = ue (x → 0),
êîòîðîå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü êîíñòàíòó

c, âõîäÿùóþ

(1.4.4.8)
â ðàâåíñòâî (1.4.4.5):

c = ue (0) − a.

(1.4.4.9)

Ñîñòàâíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.4.1)  (1.4.4.2), ðàâíîìåðíî ïðèãîäíîå â îáëàñòè

0 6 x 6 1,

îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé

u = [a − ue (0)]e−f0 z + ue (x) = [a − ue (0)]e−(f0 /ε)x + ue (x),

(1.4.4.10)

f0 = f (0).

ãäå

x,

Äèåðåíöèðóÿ îðìóëó (1.4.4.5) äâàæäû ïî

íàõîäèì ïðîèçâîäíûå â

îáëàñòè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ:

u′x =
ε→0

Âèäíî, ÷òî ïðè

6 O(ε)
◮

cf0 −(f0 /ε)x
e
,
ε

u′′xx = −

cf02 −(f0 /ε)x
e
.
ε2

(1.4.4.11)

îáå ïðîèçâîäíûå â îáëàñòè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ

06x6

ÿâëÿþòñÿ áîëüøèìè.

Ïðèìåð 1.24. àññìîòðèì íåëèíåéíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî

ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì è ìàëûì ïàðàìåòðîì

ε ïðè ñòàðøåé

ïðîèçâîäíîé

εu′′xx + u′x + ku − sw2 = 0,
u(0) = a,

w = u( 12 x)
u(1) = b.

(0 < x < 1);

(1.4.4.12)
(1.4.4.13)

Çàäà÷à (1.4.4.12)  (1.4.4.13) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è (1.4.4.1)  (1.4.4.2)
ïðè

f (x) = 1, g(x, u, w) = ku − sw2 , p = 1/2.

åøåíèå â îáëàñòè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå (1.4.4.5)
ïðè

f0 = 1,

ò. å.

ui = c(1 − e−z ) + a,
ãäå ïîñòîÿííàÿ

c

z = x/ε,

0 6 z 6 O(1),

(1.4.4.14)

áóäåò îïðåäåëåíà äàëåå.

åøåíèå âî âíåøíåé îáëàñòè îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì è ãðàíè÷íûì óñëîâèåì

(ue )′x + kue − swe2 = 0,

we = ue ( 21 x);

ue (1) = b.

(1.4.4.15)

Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.4.15) èìååò âèä

ue = A exp[(As − k)x],
ãäå

A  äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü

(1.4.4.16)

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

b = A exp(As − k),

(1.4.4.17)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

88

s 6= 0 ìîæíî âûðàçèòü â òåðìèíàõ óíêöèè Ëàìáåðòà A =
= s−1 W (bsek ).
Êîíñòàíòó c, âõîäÿùóþ â àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå (1.4.4.14), íàõîäèì ñ

êîòîðûé ïðè

ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (1.4.4.9):

c = A − a.

(1.4.4.18)

Èñïîëüçóÿ îðìóëó (1.4.4.10) è ðåøåíèÿ (1.4.4.14) è (1.4.4.16), ïîëó÷èì
ñîñòàâíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.4.12)  (1.4.4.13):

u = (a − A) exp(−ε−1 x) + A exp[(As − k)x].

(1.4.4.19)

Íà ðèñ. 1.14 ñïëîøíûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è

(1.4.4.12)  (1.4.4.13),

(1.4.4.19) ïðè

ε = 0.01

äëÿ

ïîëó÷åííûå

ñ

ïîìîùüþ

a = 0, b = 1, s = 1

ñîñòàâíîé

îðìóëû

è òðåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà

k = 1, 2, 3. Øòðèõîâûå ëèíèè ñîîòâåòñòâóþò àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèÿì â ïîãðàíè÷íîì ñëîå, ïîëó÷åííûì ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ
ïî îðìóëàì (1.4.4.14), (1.4.4.18), à òî÷êè  ðåøåíèÿì (1.4.4.16) âî âíåøíåé
îáëàñòè.

u
a = 0, b = 1, s = 1
k=4

2

k=3

k=2

1

e = 0.01

x
0
èñ. 1.14.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.4.4.12)  (1.4.4.13), ïîëó÷åííîå ñ ïîìî-

ùüþ ñîñòàâíîé îðìóëû (1.4.4.19) ïðè

ε = 0.01

äëÿ

a = 0, b = 1, s = 1

è

k = 2, 3, 4

(ñïëîøíûå ëèíèè). Øòðèõîâûå ëèíèè ñîîòâåòñòâóþò àñèìïòîòè÷åñêèì ðåøåíèÿì â
ïîãðàíè÷íîì ñëîå, ïîëó÷åííûì ïî îðìóëàì (1.4.4.14), (1.4.4.18). Òî÷êàìè ïîêàçàíû
ðåøåíèÿ âî âíåøíåé îáëàñòè, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ îðìóëû (1.4.4.16).

◭
Âèäíî, ÷òî â ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ ðåçêî âîçðàñòàþò â óçêîé îáëàñòè âáëèçè
ëåâîé ãðàíèöû, à çàòåì ïîñòåïåííî ìåäëåííî íà÷èíàþò óáûâàòü. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî áîëüøèå ãðàäèåíòû ðåøåíèé ñèëüíî îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ñòàíäàðòíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷ ñ ïîãðàíè÷íûì ñëîåì (ñì., íàïðèìåð, ââîäíóþ ÷àñòü ñòàòüè [439℄ è ññûëêè â íåé).

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

89

1.4.5. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé è äðóãèå ìåòîäû
èòåðàöèîííîãî òèïà

Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå
u = F [u],

(1.4.5.1)

F [u]  íåëèíåéíûé îïåðàòîð.

ãäå

Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.1) èñïîëüçóåòñÿ ðåêóððåíòíàÿ îðìóëà

u0 = ϕ,
ãäå íà÷àëüíóþ óíêöèþ

ϕ

un = F [un−1 ],

n = 1, 2, . . . ,

ìîæíî âûáèðàòü èç ðàçëè÷íûõ ñîîáðàæåíèé. Åñëè

t,

èñêîìàÿ óíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò

îáû÷íî ïîëàãàþò

âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèé íà îïåðàòîð

un

öèé

◮

(1.4.5.2)

F

ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (1.4.5.2) ïðè

ϕ = F [u]|t=0 .

Ïðè

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíê-

n → ∞.

Ïðèìåð 1.25. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî

ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′t = f (t, u, w),
ãäå

w = u(pt);

u(0) = a,

(1.4.5.3)

0 < p < 1.
Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå îò

0

äî

èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå

u(t) = a +

Z

t

è ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå, ïîëó÷èì

t

f (t, u(t), u(pt)) dt.

(1.4.5.4)

0

Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (1.4.5.1), èñïîëüçóåòñÿ ðåêóððåíòíàÿ îðìóëà

u0 = a,

un (t) = a +

Z

t

f (t, un−1 (t), un−1 (pt)) dt,

n = 1, 2, . . . .

0

◭

Ìåòîä, îñíîâàííûé íà ðàçëîæåíèè íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà.

Îïèøåì

ïðåäëîæåííûé â [202℄ (ñì. òàêæå [141, 414℄) èòåðàöèîííûé ìåòîä, îñíîâàííûé
íà ðàçëîæåíèè íåëèíåéíîãî îïåðàòîðà, êîòîðûé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
óðàâíåíèé, âêëþ÷àÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
åøåíèå óðàâíåíèÿ (1.4.5.1) èùåì â âèäå ðÿäà

u=

∞
X

un .

(1.4.5.5)

n=0
Ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, çàïèøåì òîæäåñòâî

F

X
∞

n=0

un




 n−1
∞  X
n
X
X 
uj .
uj − F
= F [u0 ] +
F
n=1

j=0

j=0

(1.4.5.6)

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

90

Ïîäñòàâèâ (1.4.5.5) è (1.4.5.6) â óðàâíåíèå (1.4.5.1), ïîëó÷èì

∞
X

un = F [u0 ] +


 n−1
∞  X
n
X
X 
uj − F
uj .
F
n=1

n=0

j=0

(1.4.5.7)

j=0

Ýòîìó ñîîòíîøåíèþ ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü [202℄:

u0 = ϕ,
u1 = F [u0 ],
un+1 = F [u0 + · · · + un ] − F [u0 + · · · + un−1 ],
Íà÷àëüíóþ óíêöèþ

(1.4.5.8)

n = 1, 2, . . .

ϕ, êàê è â ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, ìîæíî

âûáèðàòü èç ðàçëè÷íûõ ñîîáðàæåíèé. Åñëè èñêîìàÿ óíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî
îò

t, áóäåì

ϕ = F [u]|t=0 .
1 6 n 6 m, ïîëó÷èì

ïîëàãàòü

Îãðàíè÷èâ

êîíå÷íîå ÷èñëî ðåêóððåíòíûõ óðàâíåíèé

(1.4.5.8), êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (1.4.5.1). Â [141, 202, 414℄ íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè
êîòîðûõ áåñêîíå÷íûé ðÿä (1.4.5.5), ñîîòâåòñòâóþùèé

◮

m = ∞, ñõîäèòñÿ.

Ïðèìåð 1.26. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ äâóìÿ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè

u′t = f (t, u, w1 , w2 ),

w1 = u(pt),

w2 = u(qt),

0 < p, q < 1;

u(0) = a.
(1.4.5.9)

Èíòåãðèðóÿ ïî

t

(îò íóëÿ äî

t)

óðàâíåíèþ

u(t) = a +

îáå ÷àñòè (1.4.5.9), ïðèõîäèì ê èíòåãðàëüíîìó

Z

t

f (x, u(t), u(pt), u(qt)) dt,

(1.4.5.10)

0

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (1.4.5.1) ïðè

F [u] = a +

t

f (t, u(t), u(pt), u(qt)) dt.
0

F [u]|t=0 = a. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé óíêöèè â
ϕ = a.  [142, 414℄ óêàçàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíå-

 äàííîì ñëó÷àå
(1.4.5.8) áåðåì

Z

íèè êîòîðûõ îïèñàííûé âûøå èòåðàöèîííûé ìåòîä äàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

◭

(1.4.5.10) â âèäå ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1.4.5.5).

◮

Ïðèìåð 1.27. Â [414℄ ïîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíåíèå ìåòîäà èòåðàöèé ê çà-

äà÷å Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè
(1.4.2.2) ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ (1.4.2.4), êîòîðîå äðóãèì ñïîñîáîì áûëî ïîëó÷å-

◭

íî â ðàçä. 1.4.2.

Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà.

Äëÿ íàãëÿäíîñòè îñíîâíûå èäåè ìåòîäà

ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà (ñì., íàïðèìåð, [102, 103℄) èçëîæèì íà ïðèìåðå çàäà÷è
Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà òèïà
äûâàíèåì (1.4.5.3). Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå îò

0

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäî

t

è ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíîå

óñëîâèå, ïðèõîäèì ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (1.4.5.4).

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

91

åøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.4.5.4) èùåì â âèäå ðÿäà

u(t) =

∞
X

εn un (t),

(1.4.5.11)

n=0
ãäå

0 6 ε 6 1  âñïîìîãàòåëüíûé

ïàðàìåòð. Ïîäñòàâèì (1.4.5.11) â ïðàâóþ

÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.4.5.3), à çàòåì ðàçëîæèì â ðÿä Ìàêëîðåíà ïî ïàðàìåòðó

ε.

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

 X
 X
∞
∞
∞
X
n
n
εn An ,
ε un (pt) =
ε un (t),
f (t, u(t), u(pt)) = f t,
ãäå

An  óíêöèè, íàçûâàåìûå

(1.4.5.12)

n=0

n=0

n=0

ìíîãî÷ëåíàìè Àäîìèàíà, êîòîðûå îïðåäåëÿþò-

ñÿ ïî îðìóëàì

An =

1
n!



∂n
f
∂εn

 X

∞
∞
X
k
k
t,
ε uk (t),
ε uk (pt)
k=0

k=0

.

(1.4.5.13)

ε=0

Ïîäñòàâèâ (1.4.5.11) è (1.4.5.12) â óðàâíåíèå (1.4.5.4), èìååì

∞
X

n

ε un (t) = a +

Z tX
∞

εn An dt.

(1.4.5.14)

0 n=0

n=0

Ñ÷èòàÿ ðÿäû (1.4.5.11) è (1.4.5.12) ñõîäÿùèìèñÿ ïðè

0 6 ε 6 1, ïîëîæèì ε = 1

â (1.4.5.14).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

u0 (t) + u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) + · · · = a +

Z

t

A0 dt +

Z

t

A1 dt +

0

0

Z

t
0

A2 dt + · · · .

Ïðèðàâíèâàÿ â ýòîì ñîîòíîøåíèè ñëàãàåìûå ñëåâà è ñïðàâà â ïîðÿäêå èõ
ðàñïîëîæåíèÿ, ïðèõîäèì ê ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì Àäîìèàíà:

u0 (t) = a;
Z t
An−1 dt,
un (t) =

n = 1, 2, . . .

(1.4.5.15)

0

An çàâèñèò òîëüêî îò âðåìåíè t
è êîìïîíåíò uj , wj , j 6 n, ò. å. A0 = A0 (t, u0 , w0 ), A1 = A1 (t, u0 , w0 , u1 , w1 ) è

Ïîñêîëüêó â îáùåì ñëó÷àå êàæäûé ìíîãî÷ëåí

ò. ä., òî èòåðàöèîííûå îðìóëû (1.4.5.15) ïîçâîëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿòü óíêöèè

un .

Ïîäñòàâèâ â (1.4.5.11) ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé
(1.4.5.15) óíêöèè

un , à çàòåì ïîëàãàÿ ε = 1, íàõîäèì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è.

Çàìå÷àíèå 1.20. Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.4.5.3) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíî-

ñèòåëüíî èñêîìîé óíêöèè, ò. å.

f (t, u, w) = g(t)u + h(t)w, òî ìíîãî÷ëåíû
An = g(t)un (t) + h(t)un (pt).

îïðåäåëÿþòñÿ ïðîñòûìè îðìóëàìè

Àäîìèàíà

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

92

◮

Ïðèìåð 1.28. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî

ïîðÿäêà òèïà ïàíòîãðàà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè

u′t = g(t)u + h(t)w,

w = u(pt);

u(0) = a.

(1.4.5.16)

åøåíèå ýòîé çàäà÷è èùåì ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà â âèäå ðÿäà

u(t) =

∞
X

un (t),

(1.4.5.17)

n=0
÷ëåíû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

u0 (t) = a,

un (t) =

Z

0

a


g(ξ)un−1 (ξ) + h(ξ)un−1 (pξ) dξ,

n = 1, 2, . . .
(1.4.5.18)

Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ [220℄:

h(t) = 21 et/2 ,
t
òî÷íîå ðåøåíèå u(t) = e .

a = 1,
çàäà÷à (1.4.5.16) äîïóñêàåò

g(t) =

1
2,

(1.4.5.19)

 [224℄ äëÿ çàäà÷è Êîøè (1.4.5.16) ñ óíêöèÿìè (1.4.5.19) áûëî ïîëó÷åíî 13
÷ëåíîâ ðÿäà ïî îðìóëàì (1.4.5.18). Ìàêñèìàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, êîòîðîå îïðåäåëÿëîñü ñóììîé ýòèõ ñëàãàåìûõ,
â äèàïàçîíå

06t61

áûëà ìåíüøå

5 · 10−15 .

◭

Ïåðåéäåì òåïåðü ê îïèñàíèþ ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà â îáùåì ñëó÷àå. àññìîòðèì äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäû-

âàíèåì, êîòîðîå çàïèøåì â êðàòêîé îðìå

L[u] = N [u, w],
ãäå

(1.4.5.20)

u = u(t)  èñêîìàÿ óíêöèÿ, w = u(pt), L[u]  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé
N [u, w]  íåëèíåéíûé (â

îïåðàòîð, êîòîðûé ñîäåðæèò ñòàðøóþ ïðîèçâîäíóþ, à

÷àñòíîì ñëó÷àå ëèíåéíûé) äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð èëè óíêöèÿ äâóõ àð-

u è w. Êîýèöèåíòû îïåðàòîðîâ ìîãóò çàâèñåòü îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t. Äëÿ çàâåðøåíèÿ îðìóëèðîâêè çàäà÷è óðàâíåíèå (1.4.5.20) äîëæíî

ãóìåíòîâ

áûòü äîïîëíåíî ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè èëè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
Íà ïåðâîì ýòàïå èùåòñÿ ðåøåíèå âñïîìîãàòåëüíîé áîëåå ïðîñòîé çàäà÷è
äëÿ óêîðî÷åííîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (ïîëó÷åííîãî èç (1.4.5.20) îòáðàñûâàíèåì ïðàâîé ÷àñòè):

L[u0 ] = 0,

(1.4.5.21)

ñ òåìè æå ñàìûìè íà÷àëüíûìè èëè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Çàòåì íåëèíåéíûé
÷ëåí

N [u, w]

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðÿäà

N [u, w] =

∞
X

n=0

An ,

An =

1
n!



∂n
N
∂εn

X
∞

k

ε uk (t),

k=0

k=0

åøåíèå èùåòñÿ â âèäå ðÿäà (1.4.5.17), ãäå

∞
X

u0


ε uk (pt)
k

.

ε=0

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîðìó-

ëèðîâàííîé âûøå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.21), à îñòàëüíûå óíêöèè

un (t)

îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ÎÄÓ

L[un ] = An−1 ,

n = 1, 2, . . . ,

(1.4.5.22)

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

93

ñ îäíîðîäíûìè íà÷àëüíûìè èëè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî
óðàâíåíèÿ (1.4.5.22) íå ñîäåðæàò ÷ëåíîâ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.
Ïîäðîáíîñòè è ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ Àäîìèàíà ïðèâåäåíû, íàïðèìåð, â [101103, 207, 224, 468℄.

Ìåòîä ãîìîòîïè÷åñêîãî àíàëèçà.

Ìåòîä ãîìîòîïè÷åñêîãî àíàëèçà (ñì.,

íàïðèìåð, [345, 346, 354℄) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóàíàëèòè÷åñêóþ ïðîöåäóðó
ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ è Óð×Ï, êîòîðóþ ìîæíî ïðèìåíÿòü òàêæå äëÿ
ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.

Íèæå êðàòêî îïèñàíû õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ýòîãî ìåòîäà.
àññìîòðèì îïÿòü íåëèíåéíîå ÎÄÓ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

(1.4.5.20) ñ íåêîòîðûìè íà÷àëüíûìè èëè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Êëþ÷åâàÿ
èäåÿ ìåòîäà ãîìîòîïèé çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1.4.5.20) ê âñïîìîãàòåëüíîìó ñåìåéñòâó äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ãîìîòîïèé):



(1 − ε) L[u] − L[u0 ] + εh L[u] − N [u, w] = 0,

(1.4.5.23)

ε (0 6 ε 6 1) è ïàðàìåòðà óïðàâëåíèÿ
0 äî 1 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.4.5.23)

êîòîðîå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà ðàçëîæåíèÿ

h. Ïðè óâåëè÷åíèè ε îò
u0 = u0 (t) äî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.20).
îòìåòèòü, ÷òî åñëè óíêöèÿ u = u0 ÿâëÿåòñÿ

ñõîäèìîñòüþ
ìåíÿåòñÿ îò
Âàæíî

ðåøåíèåì èñõîäíîãî

óðàâíåíèÿ (1.4.5.20), òî ýòà óíêöèÿ òàêæå áóäåò ðåøåíèåì ñåìåéñòâà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1.4.5.23) äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

ε

è

h.

Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.4.5.23) èùåì â âèäå êîíå÷íîé ñóììû

um (t) =

m
X

εn un (t),

(1.4.5.24)

n=0
ãäå

un  óíêöèè, ïîäëåæàùèå

îïðåäåëåíèþ â õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà.

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (1.4.5.24) â (1.4.5.23) è ñîáåðåì âìåñòå ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ðàçëè÷íûì ñòåïåíÿì

ε.

Ïðèðàâíèâàÿ çàòåì íóëþ ïîëó÷åííûå

òàêèì îáðàçîì óíêöèîíàëüíûå ìíîæèòåëè ïðè
åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ
õîäèì ÷ëåíû

m

un

un .

εn ,

ïðèõîäèì ê ñèñòåìå äè-

Ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íà-

ñóììû (1.4.5.24). Ïîëàãàÿ äàëåå

ε = 1

â (1.4.5.24) è ñ÷èòàÿ

äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå èñ-

õîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.4.5.20). Ïðèãîäíîñòü èëè íåïðèãîäíîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ
çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ
óïðàâëåíèÿ ñõîäèìîñòüþ

Âîçìîæíûé ñïîñîá âûáîðà

h = hmin ,

h

è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà

çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Áåðåòñÿ çíà÷åíèå

kL[um ] − N [um , wm ]k
k . . . k îïðåäåëÿåòñÿ èññëåäîâàòåëåì).

äëÿ êîòîðîãî íåâÿçêà

(âûáîð íîðìû

u0 = u0 (t)

h.
äîñòèãàåò ìèíèìóìà

Ïîäðîáíîñòè è ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ãîìîòîïè÷åñêîãî àíàëèçà ïðèâåäåíû â [346, 347℄ (íåäîñòàòêè ýòîãî ìåòîäà îáñóæäàþòñÿ
â [354℄).

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

94

Äðóãèå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà âîçìóùåííî-èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìàõ.
Îïèøåì äîñòàòî÷íî îáùóþ ñõåìó èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà ââåäåíèè âñïîìîãàòåëüíîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà. Äëÿ êîíêðåòíîñòè ðàññìîòðèì íåëèíåéíîå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′tt = f (t, u, u′t , w, wt′ ),

w = u(pt).

(1.4.5.25)

Âìåñòî óðàâíåíèÿ (1.4.5.25) ââåäåì âñïîìîãàòåëüíîå áîëåå îáùåå óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì

ε:
u′′tt = F (t, u, u′t , w, wt′ , ε),

w = u(pt),

(1.4.5.26)

ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñîãëàñîâàíèÿ

F (t, u, u′t , w, wt′ , 1) ≡ f (t, u, u′t , w, wt′ ).

(1.4.5.27)

Íà÷àëüíûå èëè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.26) áåðóòñÿ òî÷íî
òàêèå æå, êàê è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.25).
Ïî ïîñòðîåíèþ ðåøåíèå âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.26)
ïðè

ε = 1 ÿâëÿåòñÿ

ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.25).

Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.25) ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñ÷èòàÿ

ε

â (1.4.5.26) ìàëûì ïàðàìåòðîì, èùåòñÿ ðåøåíèå

ε, ò. å. â
n u (t). Âçÿâ ñóììó íåñêîëüêèõ ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ,
ε
n
n=0
ïîëîæèâ ε = 1, ïîëó÷àþò ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è

âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è â âèäå ðåãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì
âèäå

u =

à çàòåì

P∞

äëÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.25). Òî÷íîñòü è ïðèìåíèìîñòü îïèñàííîãî èòåðàöèîííîãî
ìåòîäà çàâèñèò îò óäà÷íîãî âûáîðà âñïîìîãàòåëüíîé óíêöèè
Äëÿ óðàâíåíèé

F

â (1.4.5.26).

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′tt = f (t, u, u′t , w),

w = u(pt),

â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì

(1.4.5.28)

ε

öåëåñîîáðàçíî âûáè-

ðàòü óðàâíåíèå

u′′tt = f (t, u, u′t , εw),
êîòîðîå ïðè
ñòåïåíÿì

ε

ε = 1

w = u(pt),

(1.4.5.29)

ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (1.4.5.28). àçëîæåíèå â ðÿä ïî

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.5.29) ïðèâîäèò ê áîëåå ïðîñòûì ÎÄÓ áåç

çàïàçäûâàíèÿ äëÿ âñåõ ñëàãàåìûõ

un (t).

Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ îïèñàííîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ
ðåøåíèé óðàâíåíèé âèäà (1.4.5.28) ïðèâåäåíû â [118℄.
Çàìå÷àíèå 1.21. Ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èòåðàöèîííîãî òèïà ïðè

áîëüøîì ÷èñëå èòåðàöèé íåðåäêî îòíîñÿò ê ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèì èëè ÷èñëåííûì
ìåòîäàì.

1.4.6. Ïðîåêöèîííûå ìåòîäû òèïà àëåðêèíà. Ìåòîä êîëëîêàöèé

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ìåòîäû òèïà

àëåðêèíà øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ

äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ è Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ âòîðîãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (ñì.,

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

95

íàïðèìåð, [34, 42, 48, 236, 332, 434, 448℄. Ýòè ìåòîäû ìîæíî òàêæå óñïåøíî
ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì.
 äàííîì ðàçäåëå äàíî êðàòêîå îïèñàíèå ìåòîäîâ òèïà

àëåðêèíà äëÿ ðåøå-

íèÿ êðàåâûõ çàäà÷, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì. Äëÿ íàãëÿäíîñòè íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ áóäåì îáîçíà÷àòü

x (âìåñòî t)

è îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, â êîòîðûå ïîìèìî
èñêîìîé óíêöèè

u = u(x)

âõîäèò òàêæå óíêöèÿ

w = u(px), ãäå 0 < p 6 1.

Ïðåäñòàâëåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
áàçèñíûõ óíêöèé. àññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ
F[u] − f (x) = 0

(1.4.6.1)

∗ â òî÷êàõ

x = x1 è x = x2
x1 = 0, x2 = L èëè x1 = −L, x2 = L). Çäåñü

ñ ëèíåéíûìè îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
(âîçìîæåí ëþáîé èç äâóõ âàðèàíòîâ:

F[u] ≡ F(x, u, ux , uxx , w, wx )  ëèíåéíûé èëè íåëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé
îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà; u = u(x)  èñêîìàÿ óíêöèÿ, w = u(px), à f = f (x) 
çàäàííàÿ óíêöèÿ.
Âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ óíêöèé (íàçûâàåìûõ
áàçèñíûìè óíêöèÿìè)

ϕ = ϕn (x)

(n = 1, 2, . . . , N ),

óäîâëåòâîðÿþùèõ òåì æå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ÷òî è óíêöèÿ

(1.4.6.2)

u = u(x).

Âî âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå ìåòîäàõ ïðèáëèæåííîé ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(1.4.6.1) èùåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

uN =

N
X

An ϕn (x),

(1.4.6.3)

n=1
ãäå êîýèöèåíòû

An

îïðåäåëÿþòñÿ â õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è.

Êîíå÷íàÿ ñóììà (1.4.6.3) íàçûâàþòñÿ àïïðîêñèìèðóþùåé óíêöèåé. Âåëè÷èíà îøèáêè (íåâÿçêà)

RN

íàõîäèòñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîíå÷íîé ñóììû â

ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.4.6.1):

RN = F[uN ] − f (x).
Åñëè íåâÿçêà

RN

uN ÿâëÿåòñÿ
ïîëîæåíèÿ RN 6≡ 0.

òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, òî óíêöèÿ

ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.4.6.1).  ñëó÷àå îáùåãî

(1.4.6.4)
òî÷íûì

Çàìå÷àíèå 1.22.  àïïðîêñèìèðóþùåé óíêöèè (1.4.6.3) â êà÷åñòâå ϕn (x) ÷àùå
âñåãî âûáèðàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëèíîìîâ èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé.

Äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà íåîäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê îäíîðîäíûì
çàìåíîé z = b2 x2 + b1 x + b0 + y , ãäå ïîñòîÿííûå b2 , b1 , b0 âûáèðàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà
íåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ.
∗

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

96

Çàìå÷àíèå 1.23. Âìåñòî àïïðîêñèìèðóþùåé óíêöèè (1.4.6.3), ëèíåéíîé îòíîñè-

òåëüíî íåèçâåñòíûõ êîýèöèåíòîâ

An , ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â áîëåå

îáùåì âèäå:

uN = Φ(x, A1 , . . . , AN ),
ãäå

Φ(x, A1 , . . . , AN )  çàäàííàÿ

óíêöèÿ (âûáèðàåòñÿ èç òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé

ñ ó÷åòîì õàðàêòåðíûõ îñîáåííîñòåé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, èëè èñõîäÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ
êîýèöèåíòîâ

A1 , . . . , AN .

Îáùàÿ ñõåìà ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà àëåðêèíà. ×òîáû íàéòè êîýèöèåíòû

An

â (1.4.6.3), ðàññìîòðèì äðóãóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëèíåéíûõ íåçàâèñè-

ìûõ óíêöèé:

ψ = ψk (x)

(k = 1, 2, . . . , N ).

Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.4.6.4) íà

V = {x1 6 x 6 x2 },

ψk

(1.4.6.5)

è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè

â êîòîðîé èùåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.4.6.1). Äàëåå

ïðèðàâíÿåì ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ê íóëþ (äëÿ òî÷íûõ ðåøåíèé òàêèå èíòåãðàëû ðàâíû íóëþ).  ðåçóëüòàòå èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ êîýèöèåíòîâ

Z x2
x1

ãäå íåâÿçêà

RN

ψk RN dx = 0

An :

(k = 1, 2, . . . , N ),

(1.4.6.6)

îïðåäåëåíà â (1.4.6.4).

Ñîîòíîøåíèå (1.4.6.6) îçíà÷àåò, ÷òî àïïðîêñèìèðóþùàÿ óíêöèÿ (1.4.6.3)
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.4.6.1) ¾â ñðåäíåì¿ (èíòåãðàëüíî)
ñ âåñîâûìè óíêZ

öèÿìè

ψk .

óíêöèé

g

Ââîäÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

è

hg, hi =

h, ìîæíî òðàêòîâàòü óðàâíåíèÿ
RN êî âñåì óíêöèÿì ψk .

x2

x1

gh dx

ïðîèçâîëüíûõ

(1.4.6.6) êàê óñëîâèÿ îðòîãîíàëü-

íîñòè íåâÿçêè
Ìåòîä

àëåðêèíà ìîæíî ïðèìåíÿòü íå òîëüêî ê êðàåâûì çàäà÷àì, íî òàêæå

ê çàäà÷àì íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (â ýòîì ñëó÷àå ïîëàãàþò
ñîáñòâåííûå óíêöèè

yn

âìåñòå ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè

f = λu
λn ).

è èùóò

Íèæå îïèñûâàþòñÿ íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ìåòîäû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ìåòîäà

àëåðêèíà.

Ìåòîä Áóáíîâà àëåðêèíà. Â ìåòîäå

àëåðêèíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óí-

êöèé (1.4.6.2) è (1.4.6.5) ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî.  ñëó÷àå îäèíàêîâûõ
óíêöèé

ϕk (x) = ψk (x)

(k = 1, 2, . . . , N ),

äàííûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Áóáíîâà 

Ìåòîä ìîìåíòîâ.

àëåðêèíà.

Ìåòîä ìîìåíòîâ  ýòî ìåòîä

óíêöèÿìè (1.4.6.5), ÿâëÿþùèìèñÿ ñòåïåíÿìè

(1.4.6.7)

àëåðêèíà ñ âåñîâûìè

x:

k

ψk = x .

(1.4.6.8)

Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Èíîãäà âåñîâûå óíêöèè ψk âûðàæàþòñÿ
÷åðåç

ϕk

ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé

ψk = F[ϕk ]

(k = 1, 2, . . . ),

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ãäå

97

F  äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ (1.4.6.1). Äàííàÿ âåðñèÿ ìåòîäà

àëåðêèíà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.

Ìåòîä êîëëîêàöèé.

òî÷åê

xk , k = 1, . . . , N ,

 ìåòîäå êîëëîêàöèé âûáèðàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

è íàêëàäûâàþò óñëîâèå, ÷òîáû íåâÿçêà (1.4.6.4) â ýòèõ

òî÷êàõ ðàâíÿëàñü íóëþ:

RN = 0

ïðè

x = xk

Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è òî÷êè

(k = 1, . . . , N ).
xk ,

(1.4.6.9)

â êîòîðûõ íåâÿçêà

RN

îáðàùà-

åòñÿ â íóëü, ñ÷èòàþòñÿ íàèáîëåå ñóùåñòâåííûìè. ×èñëî òî÷åê êîëëîêàöèé

N

áåðåòñÿ ðàâíûì ÷èñëó ñëàãàåìûõ â ñóììå (1.4.6.3). Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü
ïîëíóþ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ êîýèöèåíòîâ

An

(äëÿ ëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ýòà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà ëè-

íåéíà).
Äëÿ áàçèñíûõ óíêöèé ïîëèíîìèàëüíîãî âèäà (1.4.6.2) ïðè âûáîðå òî÷åê
êîëëîêàöèé

xk â (1.4.6.9) ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü óçëû ×åáûøåâà, êîòîðûå
x ∈ (−1, 1) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì


2k − 1
xk = cos
π , k = 1, . . . , N,

íà èíòåðâàëå

2N

èëè äðóãèå ïîäõîäÿùèå óçëû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè íåêîòîðûõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ âåñîâîé óíêöèåé. Åñëè âñå óçëû ðàñïîëîæåíû íà
îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, òî ìåòîä îáû÷íî ðàáîòàåò õóæå è ìîæåò
ïðèâîäèòü äàæå ê ðàñõîäÿùèìñÿ ðåøåíèÿì ïðè

N → ∞.

Îòìåòèì, ÷òî ìåòîä êîëëîêàöèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåöèàëüíûé ÷àñòíûé
ñëó÷àé ìåòîäà

àëåðêèíà, â êîòîðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåñîâûõ óíêöèé

(1.4.6.5) ñîñòîèò èç äåëüòà-óíêöèé Äèðàêà:

ψk = δ(x − xk ).
 ìåòîäå êîëëîêàöèé íå íóæíî âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû, ÷òî ñóùåñòâåííî
óïðîùàåò ðåøåíèå íåëèíåéíûõ çàäà÷ (õîòÿ îáû÷íî ýòîò ìåòîä ïðèâîäèò ê
ìåíåå òî÷íûì ðåçóëüòàòàì, ÷åì äðóãèå ìîäèèêàöèè ìåòîäà

◮

àëåðêèíà).

Ïðèìåð 1.29. àññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ëèíåéíîãî îáûêíîâåííî-

ãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè è ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′xx + g(x)w − f (x) = 0,

w = u(px),

(1.4.6.10)

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà

u(−1) = u(1) = 0.

(1.4.6.11)

Áóäåì ñ÷èòàòü êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1.4.6.10) ãëàäêèìè ÷åòíûìè óíêöèÿìè, ò. å.

f (x) = f (−x) è g(x) = g(−x). Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è

(1.4.6.10)  (1.4.6.11) áóäåì ïðèìåíÿòü ìåòîä êîëëîêàöèé.

1. Î ÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÅ ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

98

1◦ .

 êà÷åñòâå áàçèñíûõ óíêöèé âîçüìåì ïîëèíîìû

un (x) = x2n−2 (1 − x2 ),

n = 1, 2, . . . , N,

êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (1.4.6.11):

un (±1) = 0.

àññìîòðèì òðè òî÷êè êîëëîêàöèé

x1 = −σ,

x2 = 0,

x3 = σ

(0 < σ < 1)

è îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ áàçèñíûìè óíêöèÿìè (N

(1.4.6.12)

= 2). Òîãäà àïïðîêñèìèðóþùàÿ

óíêöèÿ èìååò âèä

u = A1 (1 − x2 ) + A2 x2 (1 − x2 ),

ãäå

A1

è

A2

(1.4.6.13)

w = A1 (1 − p2 x2 ) + A2 p2 x2 (1 − p2 x2 ),

 èñêîìûå êîýèöèåíòû. Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé (1.4.6.13) â

ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.4.6.10) ïðèâîäèò ê íåâÿçêå





R(x) = A1 −2 + (1 − p2 x2 )g(x) + A2 2 − 12x2 + p2 x2 (1 − p2 x2 )g(x) − f (x).

R(x) äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ñ
ó÷åòîì ñâîéñòâ f (σ) = f (−σ) è g(σ) = g(−σ) ïîëó÷èì äâà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ äëÿ êîýèöèåíòîâ A1 è A2 :


A1 −2 + g(0) + 2A2 − f (0) = 0,




A1 −2 + (1 − p2 σ 2 )g(σ) + A2 2 − 12σ 2 + p2 σ 2 (1 − p2 σ 2 )g(σ) − f (σ) = 0.
 òî÷êàõ êîëëîêàöèé (1.4.6.12) íåâÿçêà

(1.4.6.14)

2◦ . Äëÿ êîíêðåòíîñòè â óðàâíåíèè (1.4.6.10) âûáåðåì óíêöèè
f (x) = −1,

g(x) = 1 + x2 .

(1.4.6.15)

åøèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (1.4.6.14), íàõîäèì êîýèöèåíòû:

A1 =

12 − p2 (1 + σ 2 )(1 − p2 σ 2 )
,
10 + p2 (1 + σ 2 )(1 + p2 σ 2 )

A2 =

1 − p2 (1 + σ 2 )
.
10 + p2 (1 + σ 2 )(1 + p2 σ 2 )

(1.4.6.16)

Íà ðèñ. 1.15 øòðèõîâûìè ëèíèÿìè 1 è 2 èçîáðàæåíû ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (1.4.6.10), (1.4.6.11), (1.4.6.15) ïðè

p = 1,

ïîëó÷åííûå ìåòîäîì

σ = 1/2 (òî÷êè
√
2/2
êîëëîêàöèé ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà) è σ =
êîëëîêàöèé ñ èñïîëüçîâàíèåì îðìóë (1.4.6.13), (1.4.6.16) äëÿ

(óçëû ×åáûøåâà). Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ýòîé
çàäà÷è ïðè

p = 1,

êîòîðîå ïîëó÷åíî ìåòîäîì ïðèñòðåëêè (ñì. ðàçä. 5.1.6).

Âèäíî, ÷òî îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååò ìåñòî õîðîøåå ñîâïàäåíèå ïðèáëèæåííûõ è
÷èñëåííîãî ðåøåíèé (èñïîëüçîâàíèå óçëîâ ×åáûøåâà ïðèâîäèò ê áîëåå òî÷íîìó ðåçóëüòàòó). Ïðè

p = 1/2

ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì

êîëëîêàöèé ïî îðìóëàì (1.4.6.13), (1.4.6.16) äëÿ

σ = 1/2

è

σ=

√

2/2,

ïðàê-

òè÷åñêè ñîâïàäàþò è îáîçíà÷åíû íà ðèñ. 1.15 øòðèõîâîé ëèíèåé 3. Êðóæî÷êè
ñîîòâåòñòâóþò ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ïðè

p = 1/2,

ïîëó÷åííîìó ñ ïîìîùüþ

êîìáèíàöèè ìåòîäà ïðèñòðåëêè è ìåòîäà Õüþíà (ñì. ðàçä. 5.1.4, 5.1.5). Âèäíî î÷åíü õîðîøåå ñîâïàäåíèå ïðèáëèæåííûõ è ÷èñëåííîãî ðåøåíèé (ìàêñèìàëüíîå ðàñõîæäåíèå ìåæäó ïðèáëèæåííûìè è ÷èñëåííûìè ðåøåíèÿìè ïðè

1.4. Òî÷íûå è ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

99

1.2 u
3

1.0
0.8

1
2

0.6
0.4
0.2
-1 èñ.

1.15.

2
2

-0.5

0

0.5

2
2

x

Ñðàâíåíèå ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé (1.4.6.13), (1.4.6.16)

çàäà÷è (1.4.6.10), (1.4.6.11), (1.4.6.15), ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì êîëëîêàöèé, ñ ÷èñëåííûìè
ðåøåíèÿìè.

p = 1/2
0.006).

è

σ = 1/2

ðàâíÿåòñÿ

0.009,

à ïðè

p = 1/2

è

σ =

√

2/2

ñîñòàâëÿåò

◭

Ìåòîä ìèíèìèçàöèè ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé îøèáêè.
äåíèÿ êîýèöèåíòîâ

An

Èíîãäà äëÿ íàõîæ-

àïïðîêñèìèðóþùåé óíêöèè (1.4.6.3) èñïîëüçóþò

ìåòîä, îñíîâàííûé íà ìèíèìèçàöèè óíêöèîíàëà

Φ=
Äëÿ çàäàííûõ óíêöèé
êîýèöèåíòîâ

An .

ϕn

Z L
0

2
RN
dx → min .

â ñóììå (1.4.6.3) èíòåãðàë

(1.4.6.17)

Φ

ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé

Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà óíêöèîíàëà (1.4.6.17)

èìåþò âèä

∂Φ
∂An

=0

(n = 1, . . . , N ).

(1.4.6.18)

Ñîîòíîøåíèÿ (1.4.6.18) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðàòêóþ çàïèñü ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ (èëè òðàíñöåíäåíòíûõ) óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùóþ îïðåäåëèòü èñêîìûå
êîýèöèåíòû

An .

Çàìå÷àíèå 1.24. Ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû òèïà

àëåðêèíà (â ïåðâóþ

î÷åðåäü, ìåòîä êîëëîêàöèé) ïðè áîëüøîì ÷èñëå ÷ëåíîâ â àïïðîêñèìèðóþùåé óíêöèè
(1.4.6.3) íåðåäêî îòíîñÿò ê ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèì èëè ÷èñëåííûì ìåòîäàì.
Çàìå÷àíèå 1.25. ×èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ðàñ-

ñìàòðèâàþòñÿ â ðàçä. 5.1.

2. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì

2.1. Ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé è çàäà÷ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
2.1.1. Ñâîéñòâà ðåøåíèé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

Ïðèìåðû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì.
 ëèòåðàòóðå è ïðèëîæåíèÿõ âñòðå÷àþòñÿ ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ïàðàáîëè÷åñêîãî èëè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå â ñëó÷àå

n

ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ

èìåþò âèä

ut − L1 [u] − L2 [w] = Φ(x, t),
utt − L1 [u] − L2 [w] = Φ(x, t),

(2.1.1.1)
(2.1.1.2)

ãäå

L1 [u] ≡
L2 [w] ≡

n
X

i,j=1
n
X

aij (x, t)
(1)

aij (x, t)
(2)

i,j=1

w = u(x, t − τ ),

∂2u
∂xi ∂xj

+

∂2w
∂xi ∂xj

+

n
X
i=1
n
X

bi (x, t)

∂u
∂xi

+ c1 (x, t)u,

b2 (x, t)

∂w
∂xi

+ c2 (x, t)w,

(1)

(2)

i=1

x = (x1 , . . . , xn ),

τ > 0.

Óðàâíåíèÿ (2.1.1.1) è (2.1.1.2) íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè, åñëè
 ñëó÷àå ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ

(2.1.1.3)

τ = τ (t)

Φ(x, t) ≡ 0.

â ëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ ñ

w = u(x, t−τ (t)),
çàïàçäûâàíèåì èìååì w =

÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè (2.1.1.1)  (2.1.1.3) ñëåäóåò ïîëîæèòü
â ÷àñòíîñòè, äëÿ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

= u(x, pt), ãäå 0 < p < 1.

Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Íèæå äëÿ êðàòêîñòè ëèíåéíîå îäíîðîäíîå
Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå

L[u] = 0.

(2.1.1.4)

Äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïîâ ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð

L[u]

â (2.1.1.4) îïðåäåëÿåòñÿ ëåâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèé

(2.1.1.1) è (2.1.1.2) ñîîòâåòñòâåííî.  îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.1.1.4) ìîæåò

100

2.1. Ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

101

áûòü ïðîèçâîëüíûì ëèíåéíûì îäíîðîäíûì Óð×Ï ëþáîãî ïîðÿäêà ïî ïåðåìåííûì

t , x1 ,

...,

xn

ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì

çàïàçäûâàíèåì ïî âðåìåíè.

L

Ëèíåéíûé îïåðàòîð

îáëàäàåò ñâîéñòâàìè

L[u1 + u2 ] = L[u1 ] + L[u2 ],
L[Au] = AL[u], A = const .
Ó ïðîèçâîëüíîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1.1.4) èìååòñÿ òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

u

Ôóíêöèÿ

u ≡ 0.

íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.1.1.4), åñëè

ïðè ïîäñòàíîâêå â íåãî
íûå ïðîèçâîäíûå

u

u

óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî è åñëè âñå ÷àñò-

â óðàâíåíèè (2.1.1.4) íåïðåðûâíû; ïîíÿòèå êëàññè÷åñêîãî

ðåøåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.  äàëüíåéøåì, äëÿ êðàòêîñòè, îáû÷íî ìû áóäåì ïèñàòü ¾ðåøåíèå¿
âìåñòî ¾êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå¿.

Ïðèìåíåíèå ÷àñòíûõ ðåøåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ äðóãèõ ðåøåíèé. Íèæå

ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ Óð×Ï
ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì áîëåå ïðîñòûõ ëèíåéíûõ
îäíîðîäíûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ [436℄.

1◦ .

Ïóñòü

u1 = u1 (x, t), u2 = u2 (x, t),

...,

uk = uk (x, t)  ëþáûå

÷àñòíûå

ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1.1.4). Òîãäà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ
ðåøåíèé

u = A1 u1 + A2 u2 + · · · + Ak uk ,
ãäå

A1 , A2 ,

...,

Ak

(2.1.1.5)

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

óðàâíåíèÿ (2.1.1.4). Â èçèêå ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ëèíåéíîé
ñóïåðïîçèöèè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

{uk }  áåñêîíå÷íàÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåøåíèé óðàâ-

íåíèÿ (2.1.1.4). Òîãäà âíå çàâèñèìîñòè îò ñõîäèìîñòè ðÿä

P∞

k=1 uk íàçûâàåòñÿ

îðìàëüíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.1.1.4). Åñëè âñå ðåøåíèÿ
êëàññè÷åñêèìè, à ðÿä

P∞

k=1 uk

uk

ÿâëÿþòñÿ

è åãî ïðîèçâîäíûå (êîòîðûå ñîäåðæèò ðàññìàò-

ðèâàåìîå óðàâíåíèå) ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ, òî ýòîò ðÿä îïðåäåëÿåò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

2◦ .

Ïóñòü êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

çàâèñÿò îò âðåìåíè

= ũ(x, t),

t.

Åñëè óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

òî óíêöèÿ

ũ(x, t + a),

ãäå

a  ïðîèçâîëüíàÿ

L íå
ũ =

ïîñòîÿííàÿ, òàêæå

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ.

L íå çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ïðîñòðàíxk , à óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå ũ =
ũ(x, t)|xk ⇒xk +b , ãäå b  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, òàêæå

Åñëè êîýèöèåíòû îïåðàòîðà
ñòâåííîé ïåðåìåííîé

= ũ(x, t),

òî óíêöèÿ

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ.

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

102

3◦ .

Ïóñòü êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

t.

çàâèñÿò îò âðåìåíè

= ũ(x, t),

Åñëè óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

ũ ïî

òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

∂ 2 ũ
,
∂t2

∂ ũ
,
∂t

âðåìåíè

∗

∂ k ũ
,
∂tk

...,

L íå
ũ =

...,

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

4◦ .

Ïóñòü êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

çàâèñÿò îò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ

ũ = ũ(x, t),

èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

L

íå

x1 , . . . , xn . Åñëè óðàâíåíèå (2.1.1.4)
ũ ïî ýòèì ïåðå-

òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

ìåííûì

∂ ũ
,
∂x1

∂ ũ
,
∂x2

∂ ũ
,
∂x3

∂ 2 ũ
,
∂x21

...,

∂ 2 ũ
,
∂x1 ∂x2

∂ k+m ũ
∂xk2 ∂xm
3

...,

,

...

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

L

Åñëè êîýèöèåíòû îïåðàòîðà
ñòâåííîé ïåðåìåííîé

= ũ(x, t),

x1 ,

íå çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ïðîñòðàí-

à óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

ũ =

òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

∂ 2 ũ
,
∂x21

∂ ũ
,
∂x1

...,

∂ k ũ
,
∂xk1

...

òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

5◦ .

L ïîũ = ũ(x, t). Òîãäà

Ïóñòü êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

ñòîÿííûå è ïóñòü óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

ũ

ëþáûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

ïî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì

(âêëþ÷àÿ ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå)

∂ ũ
,
∂t

∂ ũ
,
∂x1

∂ 2 ũ
,
∂x22

...,

∂ 2 ũ
,
∂t∂x1

...,

∂ k ũ
,
∂xk3

ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

6◦ .

Ïóñòü óðàâíåíèå (2.1.1.4) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

âèñÿùåå îò ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà
åðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

L

µ,

...

ũ = ũ(x, t; µ),

çà-

è ïóñòü êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äè-

íå çàâèñÿò îò

µ

(íî ìîãóò çàâèñåòü îò âðåìåíè

è ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ). Òîãäà, äèåðåíöèðóÿ

ũ

ïî

µ,

ïîëó÷èì

äðóãèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.1.1.4):

∂ ũ
,
∂µ
Ïóñòü êîíñòàíòû
ðà

µ. Òîãäà

ãäå

A1 ,

µ1 ,

...,

∂ 2 ũ
,
∂µ2

µk

...,

∂ k ũ
,
∂µk

...

ïðèíàäëåæàò ê îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåò-

ñóììà

u = A1 ũ(x, t; µ1 ) + · · · + Ak ũ(x, t; µk ),

...,

Ak  ïðîèçâîëüíûå

(2.1.1.6)

ïîñòîÿííûå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ëèíåé-

íîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1.1.4). ×èñëî ñëàãàåìûõ â ñóììå (2.1.1.6) ìîæåò
áûòü êîíå÷íûì èëè áåñêîíå÷íûì.

Çäåñü è äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå
êîëè÷åñòâî ðàç ïî t è x1 , . . . , xn (èëè ïî ïàðàìåòðàì).
∗

ũ

äèåðåíöèðóåìî äîñòàòî÷íîå

2.1. Ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

103

7◦ . åøåíèÿ ìîæíî òàêæå ñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×àñòíîå ðåøåíèå
ũ(x, t; µ), çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà µ (êàê è â ï. 6◦ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî êîýèöèåíòû
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà L íå çàâèñÿò îò µ), ñíà÷àëà óìíîæàåì íà ïðîèçâîëüíóþ
óíêöèþ ϕ(µ). Çàòåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå èíòåãðèðóåì ïî µ íà îòðåçêå
[α, β].  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óíêöèþ
Z β
ϕ(µ)ũ(x, t; µ) dµ,
α

êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1.1.4).

8◦ .

 ñëó÷àå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì

äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ ðåøåíèé èç áîëåå ïðîñòûõ ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå [105℄.
Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì èìååò
îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäà

u = ũ(x, t; µ),

µ  ñâîáîäíûé

ãäå

ïàðàìåòð, íå âõîäÿùèé â èñõîäíîå óðàâíåíèå. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò òàêæå äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ðåøåíèÿ

u1 = Re ũ(x, t, α + iβ),
ãäå

α

è

β  ïðîèçâîëüíûå

u2 = Im ũ(x, t, α + iβ),

âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû,

âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

z.

i2 = −1,

à

Re z

è

Im z 

Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîýèöèåíòû êîòîðîãî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t, èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

u = ũ(x, t).

Òîãäà ýòî óðàâíåíèå òàêæå äîïóñêàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåé-

ñòâî ðåøåíèé

u1 = Re ũ(x, t + iα),
ãäå

α  ïðîèçâîëüíàÿ

u2 = Im ũ(x, t + iα),

âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà,

i2 = −1.

Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîýèöèåíòû êîòîðîãî íå çàâèñÿò îò ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé
èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

u = ũ(x, t).

xk ,

Òîãäà ýòî óðàâíåíèå òàêæå äîïóñêàåò

îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé

u1 = Re ũ(x, t)
ãäå

α  ïðîèçâîëüíàÿ

xk ⇒xk +iα

,

u2 = Im ũ(x, t)

xk ⇒xk +iα

,

âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà.

Ñâîéñòâà, ïðèâåäåííûå â ïï.

1◦  8◦ ,

ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå

÷àñòíûå ðåøåíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ äðóãèõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

◮

Ïðèìåð 2.1. Ëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûìçàïàçäûâàíèåì òèïà óðàâíå-

íèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

ut = uxx − aw,

w = u(x, t − τ ),

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

104

èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

p

ũ(x, t) = exp
ãäå

µ  ïðîèçâîëüíàÿ



µ + ae−µτ x + µt ,

ïîñòîÿííàÿ. Äèåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî

µ

(ñì.

◦
ï. 6 ), ïîëó÷àåì äðóãîå áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå

ũ1 (x, t) =
◮



1 − aτ e−µτ
p
2 µ + ae−µτ

x + t exp

p



µ + ae−µτ x + µt .

◭

Ïðèìåð 2.2. Ëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì âîëíîâîãî òèïà

utt = wxx ,
èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

ãäå



w = u(x, t − τ ),



ũ(x, t) = exp µeµτ /2 x + µt ,

µ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïîëàãàÿ

â ýòîì ðåøåíèè

µ = iα (ñì. ï. 8◦ ), à

çàòåì âûäåëÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷èì äâà áîëåå ñëîæíûõ
ðåøåíèÿ





u1 = exp −α sin( 12 ατ )x cos α cos( 21 ατ )x + αt ,

 

u2 = exp −α sin( 12 ατ )x sin α cos( 21 ατ )x + αt .

◭

åøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ è ñóììû óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ.
1◦ .

Ìíîãèå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ èìåþò ðåøåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé, çàâèñÿùèõ îò ðàçíûõ àðãóìåíòîâ. Òàêèå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ; ÷àñòî èõ
êðàòêî íàçûâàþò ðåøåíèÿìè ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
 òàáë. 2.1 ïðèâåäåíû ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ òèïû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ
äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè è
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå äîïóñêàþò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ÷àñòíûõ ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ ðàçäåëåíèÿ

λ, β1 ,

...,

βn

òàêæå ÿâ-

ëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé. Â ïîñëåäíåé ñòðîêå òàáë. 2.1
èñïîëüçîâàíû êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ:

Lt  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàt, à Lx  ëèíåéíûé

òîð, êîýèöèåíòû êîòîðîãî çàâèñÿò òîëüêî îò âðåìåíè

äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, êîýèöèåíòû êîòîðîãî çàâèñÿò òîëüêî îò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî

Lt [C] = 0

è

Lx [C] = 0,

ãäå

C

ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.)
Äëÿ óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì. ñòðîêó 1 â òàáë. 2.1)
ïàðàìåòðû ðàçäåëåíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îäíîìó àëãåáðàè÷åñêîìó (òðàíñöåíäåíòíîìó) óðàâíåíèþ

D(λ, β1 , . . . , βn ) = 0,

(2.1.1.7)

2.1. Ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
Òàáëèöà 2.1.

105

Íåêîòîðûå ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì,

äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

Âèä ÷àñòíûõ ðåøåíèé



Âèä óðàâíåíèÿ (2.1.1.4)

1

Êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ
ïîñòîÿííû

2

Êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ
íå çàâèñÿò îò t
Êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ
íå çàâèñÿò îò x1 , . . . , xn
Êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ
íå çàâèñÿò îò x1 , . . . , xk
Óðàâíåíèå ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå

3
4
5

u(x, t) = A exp(λt + β1 x1 + · · · + βn xn ),
λ, β1 , . . . , βn ñâÿçàíû

àëãåáðàè÷åñêèì (òðàíñöåíäåíòíûì) óðàâíåíèåì
u(x, t) = eλt ψ(x),

ãäå λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ
u(x, t) = exp(β1 x1 + · · · + βn xn )ψ(t),
ãäå β1 , . . . , βn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå
u(x, t) = exp(β1x1 + · · · + βkxk)ψ(t, xk+1, . . . , xn),
ãäå β1 , . . . , βk  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå
u(x, t) = ϕ(t)ψ(x),
ϕ(t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Lt [ϕ] + λϕ(t − τ ) = 0,
ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Lx [ψ] − λψ = 0

Lt [u] + Lx [w] = 0

êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå (2.1.1.4).
 èçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ óðàâíåíèå (2.1.1.7) îáû÷íî íàçûâàþò äèñïåðñèîííûì óðàâíåíèåì. Ëþáûå

n

èç

n+1

ïàðàìåòðîâ ðàçäåëåíèÿ â (2.1.1.7) ìîæíî

ñ÷èòàòü ïðîèçâîëüíûìè.

◮

Ïðèìåð 2.3. àññìîòðèì ëèíåéíîå òåëåãðàíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

utt + kut = auxx + bux + c1 u + c2 w,

w = u(x, t − τ ).

(2.1.1.8)

Èùåì ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ (òèïà áåãóùåé âîëíû) â ýêñïîíåíöèàëüíîì âèäå

u = A exp(βx + λt),
ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê äèñïåðñèîííîìó

óðàâíåíèþ

λ2 + kλ = aβ 2 + bβ + c1 + c2 e−λτ ,
ãäå îäèí èç äâóõ ïàðàìåòðîâ

β

èëè

λ

ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ çàäàííûì (äîñòàòî÷íî

ïðîèçâîëüíî), à äðóãîé îïðåäåëÿåòñÿ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (2.1.1.8) òàêæå
äîïóñêàåò áîëåå ñëîæíûå ðåøåíèÿ (ñì. âòîðóþ è òðåòüþ ñòðîêè òàáë. 2.1,

◭

ïîñëåäíèé ñòîëáåö).

◮

Ïðèìåð 2.4. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîñòîÿííûì

çàïàçäûâàíèåì

ut = awxx ,

w = u(x, t − τ ),

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

106

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
âèäà

u = [A cos(kx) + B sin(kx)]e−λt ,
−λt

u = [A exp(kx) + B exp(−kx)]e
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

k = (λe−λτ/a)1/2
−λτ

, k = (−λe

(λ > 0);

1/2

/a)

(λ < 0),

(2.1.1.9)

ïîñòîÿííûå.

Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèÿ (2.1.1.9) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ðåøåíèé ñ
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = ϕ(x)ψ(t).

◭

2◦ . Ëèíåéíûå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè
x, t âèäà
(1)

(2)

(j)
Lt [v]

Kj
X

Lt [u] + Lt [w] + Mx(1) [u] + Mx(2) [w] + c1 u + c2 w = f (x) + g(t),
ãäå

≡

i=1

∂iv
(j)
ai (t) i
∂t

,

Mx(j) [v]

≡

Nj
X

(j)

bi (x)

i=1

∂iv
∂xi

,

j = 1, 2,

èìåþò òî÷íûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû óíêöèé
ðàçëè÷íûõ àðãóìåíòîâ:

u = ϕ(x) + ψ(t).

(2.1.1.10)

Òàêèå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

◮

Ïðèìåð 2.5. Ëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (2.1.1.8) èìååò ðåøåíèå

ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (2.1.1.10), ãäå óíêöèè
è

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

aϕ′′xx + bϕ′x + (c1 + c2 )ϕ = 0,
′′
ψtt
+ kψt′ = c1 ψ + c2 ψ̄, ψ̄ = ψ(t − τ ).

◭

2.1.2. Îáùèå ñâîéñòâà è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè çàäà÷ ñ
çàïàçäûâàíèåì
Ìíîãèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
áåç çàïàçäûâàíèÿ.

ðàíè÷íûå óñëîâèÿ â çàäà÷å Êîøè è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çà-

äà÷àõ äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì îðìóëèðóþòñÿ
òî÷íî òàêæå, êàê è äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåç çàïàçäûâàíèÿ.
Îòìåòèì äâå îñíîâíûå êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè, êîòîðûå îòëè÷àþò çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì îò çàäà÷ äëÿ
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåç çàïàçäûâàíèÿ.
Âî-ïåðâûõ, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (íà÷àëüíûå äàííûå) äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â çàäà÷àõ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

τ > 0,

çàäàþòñÿ

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
íà öåëîì èíòåðâàëå

t0 − τ 6 t 6 t0

(à íå â òî÷êå

t = t0 ,

êàê â çàäà÷àõ áåç

t = t0 .
t0 = τ .

çàïàçäûâàíèÿ). Ïðè ýòîì èùåòñÿ ðåøåíèå, íåïðåðûâíîå â òî÷êå
âñåãî èñïîëüçóåòñÿ íà÷àëüíàÿ òî÷êà

t0 = 0,

107

èíîãäà âñòðå÷àåòñÿ

×àùå

Âî-âòîðûõ, äàæå åñëè íà÷àëüíûå äàííûå áóäóò èìåòü íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî

t ñêîëü óãîäíî âûñîêîãî ïîðÿäêà, ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè è íà÷àëüíî-

êðàåâûõ çàäà÷ â ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ áóäóò èìåòü ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà
ó ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî

t

ïîðÿäêà

k

â òî÷êàõ

t = t0 + (k − 1)τ ,

ãäå

k =

= 1, 2, . . . ; îäíàêî ïðîèçâîäíûå áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ â ýòèõ òî÷êàõ áóäóò óæå
íåïðåðûâíû (ò. å. ïðîèñõîäèò ðàñïðîñòðàíåíèå ðàçðûâîâ ïðîèçâîäíûõ èñêîìîé
âåëè÷èíû ñ ïîñòåïåííûì ñãëàæèâàíèåì).
Âî-òðåòüèõ, íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïîâ ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîãóò áûòü
íåêîððåêòíûìè ïî Àäàìàðó (ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ íåóñòîé÷èâû îòíîñèòåëüíî
ìàëûõ èçìåíåíèé íà÷àëüíûõ äàííûõ).
Äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ
è ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (òàêèì æå îáðàçîì, êàê ýòî äåëàåòñÿ
äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåç çàïàçäûâàíèÿ [90, 436℄).

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.2.1. Ïåðâàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî
óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì

Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. àññìîòðèì ïåðâóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà

∂u
∂t
ãäå

= a1

∂2u
∂x2

+ a2

∂2w
∂x2

+ c1 u + c2 w + f (x, t),

w = u(x, t − τ ),

(2.2.1.1)

a1 > 0, a2 > 0, a1 + a2 > 0, îïðåäåëåííîãî â îáëàñòè Ω = {0 < x < h, t > 0}.

Óðàâíåíèå (2.2.1.1) äîïîëíèì íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî
ðîäà (óñëîâèÿìè Äèðèõëå):

u = g1 (t)

ïðè

x = 0, t > −τ ;

u = g2 (t)

ïðè

x = h, t > −τ,

(2.2.1.2)

è îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(x, t)

0 < x < h, −τ 6 t 6 0.

ïðè

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óíêöèè

f

è

ϕ,

(2.2.1.3)

âõîäÿùèå â óðàâíåíèå (2.2.1.1) è íà-

÷àëüíîå óñëîâèå (2.2.1.3), íåïðåðûâíû, à óíêöèè

g1

è

g2 ,

ñòîÿùèå â ãðà-

íè÷íûõ óñëîâèÿõ (2.2.1.2), íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû ïî

t.

Êðîìå òîãî,

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

108

áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíîå óñëîâèÿ (2.2.1.2) è (2.2.1.3)
ñîâìåñòíû, ò. å. âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ

ϕ(0, t) = g1 (t),

ϕ(h, t) = g2 (t).

 [324326, 380, 473℄ äëÿ ðåøåíèÿ îäíîìåðíûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèåì ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì òèïà (2.2.1.1) è
ðîäñòâåííûõ óðàâíåíèé, èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ óíêöèé.

Ñëåäóÿ

[324, 325℄, ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1.1)  (2.2.1.3) èùåì â âèäå ñóììû

u = u0 (x, t) + u1 (x, t) + u2 (x, t),

(2.2.1.4)

ãäå óíêöèÿ

u0 (x, t) = g1 (t) +

x
[g (t) − g1 (t)]
h 2

(2.2.1.5)

óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.2), à óíêöèè

u1 (x, t)

è

u2 = u2 (x, t)

u1 =

îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ îïèñàííûõ íèæå áî-

ëåå ïðîñòûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ñ îäíîðîäíûìè (íóëåâûìè) ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè.
Çàäà÷à 1. Ôóíêöèÿ

u1

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

∂u1
∂t

= a1

∂ 2 u1
∂x2

+ a2

∂ 2 w1
∂x2

+ c1 u1 + c2 w1 ,

w1 = u1 (x, t − τ ),

(2.2.1.6)

îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

u1 = 0

x = 0, t > −τ ;

ïðè

u1 = 0

ïðè

x = h, t > −τ,

(2.2.1.7)

è íåîäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u1 = Φ(x, t)

0 < x < h, −τ 6 t 6 0,

ïðè

(2.2.1.8)

ãäå

Φ(x, t) = ϕ(x, t) − g1 (t) −
Çàäà÷à 2. Ôóíêöèÿ

u2

x
[g (t) − g1 (t)].
h 2

(2.2.1.9)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

∂u2
∂t
ãäå

= a1

∂ 2 u2
∂x2

+ a2

∂ 2 w2
∂x2

+ c1 u2 + c2 w2 + F (x, t),

w2 = u2 (x, t − τ ),

(2.2.1.10)

o
n
∂
x
F (x, t) = f (x, t) −
g1 (t) + [g2 (t) − g1 (t)] +
∂t
h
o
n
x
+ c1 g1 (t) + [g2 (t) − g1 (t)] +
h
n
o
x
+ c2 g1 (t − τ ) + [g2 (t − τ ) − g1 (t − τ )] ,
h

(2.2.1.11)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

109

è íóëåâûì (îäíîðîäíûì) ãðàíè÷íûì è íà÷àëüíîìó óñëîâèÿì

u2 = 0
u2 = 0

x = 0, t > −τ ; u2 = 0
0 < x < h, −τ 6 t 6 0.

ïðè
ïðè

x = h, t > −τ ;

ïðè

(2.2.1.12)
(2.2.1.13)

åøåíèå çàäà÷è 1. àññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.6) ñ ãðàíè÷íûì è íà÷àëüíûì óñëîâèÿìè (2.2.1.7) è (2.2.1.8). Ñíà÷àëà èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.1.6) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé
ðàçíûõ àðãóìåíòîâ

u1p = X(x)T (t).

(2.2.1.14)

Ïîäñòàâèâ (2.2.1.14) â (2.2.1.6), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

X(x)[T ′ (t) − c1 T (t) − c2 T (t − τ )] = X ′′ (x)[a1 T (t) + a2 T (t − τ )].

(2.2.1.15)

àçäåëÿÿ â ýòîì óðàâíåíèè ïåðåìåííûå, ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî
ïîðÿäêà è ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:

X ′′ (x) = −λ2 X(x),

(2.2.1.16)

2

′

2

T (t) = (c1 − a1 λ )T (t) + (c2 − a2 λ )T (t − τ ).

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óíêöèÿ

(2.2.1.17)

u1 äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëî-

âèÿì (2.2.1.7), è èñïîëüçóÿ (2.2.1.14), ïðèõîäèì ê îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ óíêöèè

X:
X(0) = X(h) = 0.

(2.2.1.18)

Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîé îäíîðîäíîé çàäà÷è (2.2.1.16), (2.2.1.18), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàäà÷è Øòóðìà  Ëèóâèëëÿ (èëè çàäà÷è íà
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè ñëåäóþùèõ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà

λ:
λn =

πn
,
h

n = 1, 2, . . . ,

(2.2.1.19)

à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå óíêöèè èìåþò âèä

Xn (x) = sin



πnx
h

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñîáñòâåííûå óíêöèè



.

(2.2.1.20)

Xn (x)

è

Xm (x)

îðòîãîíàëüíû â

òîì ñìûñëå, ÷òî

Z

h

Xn (x)Xm (x) dx = 0

ïðè

0

n 6= m.

(2.2.1.21)

Ïîäñòàâèâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (2.2.1.19) â (2.2.1.17), ïîëó÷èì ÎÄÓ ñ

T = Tn (t):
 2 i
2 i
h
πn
πn
Tn (t) + c2 − a2
Tn (t − τ ).

çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

h

Tn′ (t) = c1 − a1



h

h

(2.2.1.22)

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

110

åøåíèå ëèíåéíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.2.1.6)  (2.2.1.7) èùåì â âèäå
ðÿäà

u1 (x, t) =

∞
X

Xn (x)Tn (t),

(2.2.1.23)

n=1

u1n (x, t) = Xn (x)Tn (t)  ÷àñòíûå

ãäå óíêöèè

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.1.6),

óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.7). Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè, ðÿä (2.2.1.23) òàêæå ÿâëÿåòñÿ îðìàëüíûì ðåøåíèåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.6) è
óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.7).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.22), ïðåäñòàâèì íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.2.1.8) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì (2.2.1.20):

Φ(x, t) =

∞
X

Φn (t)Xn (x) =

∞
X

Φn (t) sin

n=1

n=1

πnx
,
h

0 6 x 6 h, −τ 6 t 6 0.
(2.2.1.24)

Xm (x) = sin πmx
(m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîh
ñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé x îò 0 äî h, à çàòåì ó÷èòûâàÿ (2.2.1.21), ïîëó÷èì
Z h


2
πnξ
Φ(ξ, t) sin
Φn (t) =
dξ, −τ 6 t 6 0,
(2.2.1.25)

Óìíîæàÿ (2.2.1.24) íà

h

ãäå óíêöèÿ

Φ(ξ, t)

h

0

îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.1.9).

Èç ñîîòíîøåíèé (2.2.1.23) è (2.2.1.24) íàõîäèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.17):

Tn (t) = Φn (t),
Çäåñü óíêöèè

Φn (t)

−τ 6 t 6 0.

(2.2.1.26)

çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.2.1.25).

Çàäà÷à (2.2.1.22), (2.2.1.26) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ
çàäà÷åé (1.1.5.5), (1.1.5.6), ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 1.1.5. Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ

αn = c1 − a1




πn 2
,
h

βn = c2 − a2




πn 2
,
h

σn = e−αn τ βn ,

(2.2.1.27)

è èñïîëüçóÿ îðìóëû (1.1.5.7) è (1.1.5.3), ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå çàäà÷à
(2.2.1.22), (2.2.1.26) â âèäå

Tn (t) = eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +
Z 0
eαn (t−s) expd (σn (t − τ − s), σn τ )[Φ′n (s) − αn Φn (s)] ds,
+

(2.2.1.28)

−τ

ãäå

expd (t, τ )  ýêñïîíåíòà ñ

çàïàçäûâàíèåì, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé

[t/τ ]+1

expd (t, τ ) ≡
à ñèìâîë

[A]

X [t − (k − 1)τ ]k
k!

k=0

îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà

A.

,

(2.2.1.29)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

111

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (2.2.1.20) è (2.2.1.28) â (2.2.1.23), ïîëó÷èì ðåøåíèå
çàäà÷è (2.2.1.6)  (2.2.1.7) â ñëåäóþùåì âèäå [325℄:

u1 (x, t) =
+

∞
X

n=1
Z 0

sin



πnx
h

αn (t−s)

e

−τ

ãäå

Φn (t) =

2
h


eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +
expd (σn (t − τ −

s), σn τ )[Φ′n (s)



− αn Φn (s)] ds ,
(2.2.1.30)

 
Z h

πnξ
ξ
dξ.
ϕ(ξ, t) − g1 (t) − [g2 (t) − g1 (t)] sin
h

0

h

(2.2.1.31)

g1 (t) = g2 (t) ≡ 0 íà
h = 1 è ñòàöèîíàðíûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ â âèäå ÷àñòè
ïàðàáîëû ϕ(x, t) = 4x(1−x) êîýèöèåíòû Ôóðüå (2.2.1.31) îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
(
32
äëÿ íå÷åòíûõ n,
3 3
Φn = π n
0
äëÿ ÷åòíûõ n.
◭
◮

Ïðèìåð 2.6. Äëÿ îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé

åäèíè÷íîì îòðåçêå

åøåíèå çàäà÷è 2.

àññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.10)  (2.2.1.11) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûì
óñëîâèÿìè (2.2.1.12) è (2.2.1.13).
Ñíà÷àëà ðàçëîæèì íåîäíîðîäíóþ ñîñòàâëÿþùóþ óðàâíåíèÿ (2.2.1.10) â ðÿä
ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì (2.2.1.20):

F (x, t) =

∞
X

Fn (t) sin

n=1
ãäå óíêöèÿ

F (x, t)

πnx
,
h

Fn (t) =

2
h

Z

h

F (ξ, t) sin
0



πnξ
h


dξ,

(2.2.1.32)

îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.1.11).

åøåíèå çàäà÷è (2.2.1.10)  (2.2.1.13) èùåì â âèäå ðÿäà

u2 (x, t) =

∞
X

Un (t) sin

n=1

πnx
,
h

(2.2.1.33)

êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.12). Ïîäñòàâèâ
(2.2.1.33) â (2.2.1.10), ïîëó÷èì ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

Un (t):
 2 i
h
 2 i
h
πn
πn
Un′ (t) = c1 − a1
Un (t) + c2 − a2
Un (t − τ ) + Fn (t),

äëÿ óíêöèé

h

h

(2.2.1.34)

ãäå óíêöèè

Fn (t)

íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âòîðîé îðìóëû â (2.2.1.32). Äëÿ

çàâåðøåíèÿ îðìóëèðîâêè çàäà÷è óðàâíåíèÿ (2.2.1.34) äîïîëíèì îäíîðîäíûìè
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

Un (t) = 0,

−τ 6 t 6 0,

êîòîðûå ñëåäóþò èç (2.2.1.13) è (2.2.1.33).

(2.2.1.35)

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

112

Çàäà÷à (2.2.1.34)  (2.2.1.35) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ
çàäà÷åé (1.1.5.8)  (1.1.5.9), ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 1.1.5. Ïîýòîìó ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1.12)  (2.2.1.35) â îáëàñòè

Un (t) =

Z

0

t

t > 0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå èíòåãðàëà

eαn (t−s) expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds,

ãäå ïàðàìåòðû

σn = e−αn τ βn ,

(2.2.1.36)

αn è βn îïðåäåëåíû â (2.2.1.27). Ïîäñòàâèâ (2.2.1.36) â (2.2.1.33)

íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1.10)  (2.2.1.13) [325℄:

u2 (x, t) =

∞ Z
X

n=1

0

t

αn (t−s)

e



expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds sin

πnx
.
h

(2.2.1.37)

Ïîäñòàâèâ óíêöèè (2.2.1.5), (2.2.1.30), (2.2.1.37) â (2.2.1.4), ìîæíî ïîëó÷èòü ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (2.2.1.1)  (2.2.1.3).
Çàìå÷àíèå 2.1.  [324, 325℄ îïèñàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ðÿäîâ

(2.2.1.30), (2.2.1.37), îïðåäåëÿþùèõ ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.1.1)  (2.2.1.3). Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è îáñóæäàþòñÿ â ðàçä. 2.2.5, ãäå ïîêà-

a2 >
(2.2.1.3) ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíîé ïî Àäàìàðó.

çàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

a1

íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à (2.2.1.1) 

2.2.2. Äðóãèå çàäà÷è äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ â âèäå ñóììû ðåøåíèé
áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷. Îïèøåì òåïåðü ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ äðóãèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ
îäíîìåðíûì ëèíåéíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1). Äëÿ êðàòêîñòè, äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî óðàâíåíèå
òàê:

L[u, w] = f (x, t),
ãäå

t > 0,

L[u, w] ≡ ut − a1 uxx − a2 wxx − c1 u − c2 w

è

(2.2.2.1)

w = u(x, t − τ ).

Óðàâíåíèå (2.2.2.1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñ ðàçëè÷íûìè ëèíåéíûìè íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, êîòîðûå, íå êîíêðåòèçèðóÿ, áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå

Γ1 [u] = g1 (t)
Γ2 [u] = g2 (t)

ïðè
ïðè

x = 0, t > −τ ;
x = h, t > −τ,

(2.2.2.2)

è îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(x, t)

ïðè

0 < x < h, −τ 6 t 6 0,

(2.2.2.3)

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âõîäÿùèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.2.2.2) ëèíåéíûå îïåðàòîðû

Γ1,2 [u]

íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè

t.

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ãðà-

íè÷íûå óñëîâèÿ ïðèâåäåíû â òðåòüåì ñòîëáöå òàáë. 2.2.

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

113

åøåíèå çàäà÷è (2.2.2.1)  (2.2.2.3) èùåì â âèäå ñóììû (2.2.1.4), ãäå

u0 = u0 (x, t)

(2.2.2.4)

ÿâëÿåòñÿ ëþáîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.2.2), ò. å. âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ

Γ1 [u0 ] = g1 (t),
Îïðåäåëåíèå óíêöèè

u0

Γ2 [u0 ] = g2 (t).

(2.2.2.5)

íå ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâ-

íåíèé. Ýòó óíêöèþ ìîæíî èñêàòü ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ,

x ìíîãî÷ëåíà: w0 = α0 (t)+α1 (t)x+α2 (t)x2
ïîëîæèòü α2 ≡ 0). Ôóíêöèîíàëüíûå êîýè-

íàïðèìåð, â âèäå êâàäðàòè÷íîãî ïî
(â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìîæíî
öèåíòû

αk (t) îïðåäåëÿþòñÿ

ïóòåì ïîäñòàíîâêè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà â ãðàíè÷íûå

óñëîâèÿ (2.2.2.5).
 òàáë. 2.2 ïðèâåäåíû ïðîñòåéøèå óíêöèè

u0 = u0 (x, t),

êîòîðûå óäîâëå-

òâîðÿþò íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì â
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷àõ äëÿ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî è ãèïåðáîëè÷åñêîãî
òèïà ñ îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé.  ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ òðåòüåãî
ðîäà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
Òàáëèöà 2.2.

k1 > 0 è k2 > 0.

Ïðîñòåéøèå óíêöèè

u0 = u0 (x, t),

êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íàèáîëåå

ðàñïðîñòðàíåííûì íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà êîíöàõ îòðåçêà

Íà÷àëüíî êðàåâàÿ
çàäà÷à

ðàíè÷íûå
óñëîâèÿ

1

Ïåðâàÿ

u = g1 (t)
u = g2 (t)

2

Âòîðàÿ

ux = g1 (t)

3

Òðåòüÿ

ux = g2 (t)

ïðè
ïðè

ux − k1 u = g1 (t)
ux + k2 u = g2 (t)

Ôóíêöèÿ u0 = u0 (x, t),
óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
x=0
x=h

ïðè
ïðè

0 6 x 6 h.

x=0
x=h

ïðè
ïðè

u0 = g1 (t) +


x
g2 (t) − g1 (t)
h

u0 = xg1 (t) +


x2 
g2 (t) − g1 (t)
2h

x=0
(k2 x − 1 − k2 h)g1 (t) + (1 + k1 x)g2 (t)
u0 =
k2 + k1 + k1 k2 h
x=h

4 Ñìåøàííàÿ

u = g1 (t)
ux = g2 (t)

ïðè
ïðè

x=0
x=h

u0 = g1 (t) + xg2 (t)

5 Ñìåøàííàÿ

ux = g1 (t)
u = g2 (t)

ïðè
ïðè

x=0
x=h

u0 = (x − l)g1 (t) + g2 (t)

Çàìå÷àíèå 2.2.

ðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé íà÷àëüíî-êðàåâûõ

çàäà÷ ÷àñòî íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óñëîâèÿìè Äèðèõëå, Íåéìàíà è îáèíà.

Äâå äðóãèå óíêöèè

u1 = u1 (x, t) è u2 = u2 (x, t), âõîäÿùèå â (2.2.1.4), îïðå-

äåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ îïèñàííûõ íèæå áîëåå ïðîñòûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ ñ îäíîðîäíûìè (íóëåâûìè) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

114

u1

Çàäà÷à 1. Ôóíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

L[u1 , w1 ] = 0,

w1 = u1 (x, t − τ ),

(2.2.2.6)

îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

Γ1 [u1 ] = 0

x = 0, t > −τ ;

ïðè

Γ2 [u1 ] = 0

ïðè

x = h, t > −τ,

(2.2.2.7)

è íåîäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u1 = Φ(x, t)

ïðè

0 < x < h, −τ 6 t 6 0,

(2.2.2.8)

ãäå

Φ(x, t) = ϕ(x, t) − u0 (x, t).
Çàäà÷à 2. Ôóíêöèÿ

u2

(2.2.2.9)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

L[u2 , w2 ] = F (x, t),

w2 = u2 (x, t − τ ),

(2.2.2.10)

F (x, t) = f (x, t) − L[u0 , w0 ],

w0 = u0 (x, t − τ ),

(2.2.2.11)

ãäå

è íóëåâûì ãðàíè÷íûì è íà÷àëüíîìó óñëîâèÿì

Γ1 [u2 ] = 0
u2 = 0

x = 0, t > −τ ;

ïðè

Γ2 [u2 ] = 0

ïðè

x = h, t > −τ ;

(2.2.2.12)

0 < x < h, −τ 6 t 6 0.

ïðè

(2.2.2.13)

åøåíèå çàäà÷è 1. àññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.6) (èëè (2.2.2.6)) ñ ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûì óñëîâèÿìè (2.2.2.7)
and (2.2.2.8). Êàê è ðàíåå, ñíà÷àëà èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.1.6) â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ (2.2.1.14), ò. å.

u1p = X(x)T (t).

àçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè, ïðèõîäèì ê ëèíåéíûì ÎÄÓ è
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

X ′′ (x) = −λ2 X(x),

(2.2.2.14)

2

′

2

T (t) = (c1 − a1 λ )T (t) + (c2 − a2 λ )T (t − τ ),

(2.2.2.15)

êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè (2.2.1.16) è (2.2.1.17). Òðåáóÿ, ÷òîáû óíêöèÿ

u1p = X(x)T (t) óäîâëåòâîðÿëà

îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.7),

ïðèõîäèì ê îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ óíêöèè

Γ1 [X] = 0

ïðè

x = 0,

Γ2 [X] = 0

ïðè

X:

x = h.

(2.2.2.16)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

115

Ñîáñòâåííûå óíêöèè â çàäà÷àõ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, îïèñûâàåìûå
′′
Xxx
= −λ2 X ñ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà êîíöàõ îòðåçêà 0 6 x 6 h.
Òàáëèöà 2.3.

îäíîðîäíûì ÎÄÓ

Íà÷àëüíî êðàåâàÿ
çàäà÷à
1
2

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå
óíêöèè Xn = Xn (x), n = 1, 2, . . .

ðàíè÷íûå
óñëîâèÿ

Ïåðâàÿ

X=0
X=0

ïðè
ïðè

x=0
x=h

Âòîðàÿ

Xx′ = 0
Xx′ = 0

ïðè
ïðè

x=0
x=h

Xx′ +
Xx′ +

ïðè
ïðè

k1 X = 0
k2 X = 0

λn =

πn
πnx
; Xn = sin
h
h

πn
;
h
πnx
X0 = 1, Xn = cos
h
λ0 = 0, λn =

λn  êîðíè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
k1 + k2
tg(λh)
(λn > 0);
= 2
λ
λ − k1 k2
k1
sin(λn x)
Xn = cos(λn x) +
λn

x=0
x=h

3

Òðåòüÿ

4

Ñìåøàííàÿ

X=0
Xx′ = 0

ïðè
ïðè

x=0
x=h

λn =

π(2n − 1)x
π(2n − 1)
; Xn = sin
2h
2h

5

Ñìåøàííàÿ

Xx′ = 0
X=0

ïðè
ïðè

x=0
x=h

λn =

π(2n − 1)x
π(2n − 1)
; Xn = cos
2h
2h

Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ

X = Xn (x)

ëèíåéíîé îäíîðîäíîé çàäà÷è íà ñîá-

ñòâåííûå çíà÷åíèÿ (2.2.2.14), (2.2.2.16) ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî
ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà

λ = λn ,

λ:

X = Xn (x),

n = 1, 2, . . .

(2.2.2.17)

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè äëÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ
êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ÎÄÓ (2.2.2.14), äëÿ ïÿòè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèâåäåíû â òàáë. 2.3.
Ïîäñòàâèâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ = λn â (2.2.2.15), ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóT = Tn (t).

þùèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

åøåíèå ëèíåéíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.2.2.6)  (2.2.2.9) èùåì â âèäå
ðÿäà

u1 (x, t) =

∞
X

Xn (x)Tn (t),

(2.2.2.18)

n=1
ãäå óíêöèè

u1n (x, t) = Xn (x)Tn (t)  ÷àñòíûå

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.2.6),

óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.2.7).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.2.15) ïðè

λ = λn , ïðåäñòàâèì íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.2.2.8) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåí-

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

116

íûì óíêöèÿì:

∞
X

Φ(x, t) =

Φn (t)Xn (x),

n=1

0 6 x 6 h, −τ 6 t 6 0.

(2.2.2.19)

Xm (x) (m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííîé
h, à çàòåì ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîáñòâåííûå óíêöèè Xn (x)
Xm (x) îðòîãîíàëüíû ïðè n 6= m, ò. å. âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.1.21),

Óìíîæàÿ (2.2.2.19) íà

x

ïåðåìåííîé
è

îò

0

äî

èìååì

Φ(ξ, t)

ãäå óíêöèÿ

Z

1
kXn k2

Φn (t) =

h

Φ(ξ, t)Xn (ξ) dξ,

0

−τ 6 t 6 0,

îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.2.9) è

(2.2.2.20)

kXn k2 =

Rh
0

Xn2 (ξ) dξ .

Èç ñîîòíîøåíèé (2.2.2.18) è (2.2.2.19) ïîëó÷èì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì (2.2.2.15) ïðè

λ = λn

â âèäå

Tn (t) = Φn (t),
ãäå óíêöèè

Φn (t)

−τ 6 t 6 0,

(2.2.2.21)

çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.2.2.20).

Ââîäÿ äàëåå îáîçíà÷åíèÿ

αn = c1 − a1 λ2n ,

βn = c2 − a2 λ2n ,

σn = e−αn τ βn

(2.2.2.22)

è ðàññóæäàÿ, êàê ýòî äåëàëîñü â ðàçä. 2.2.1, ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.2.15),
(2.2.2.21) ïðè

λ = λn

â âèäå

Tn (t) = eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +
Z 0
eαn (t−s) expd (σn (t − τ − s), σn τ )[Φ′n (s) − αn Φn (s)] ds,
+

(2.2.2.23)

−τ

ãäå

P[t/τ ]+1

expd (t, τ ) ≡

k=0

[t−(k−1)τ ]k
 ýêñïîíåíòà ñ çàïàçäûâàíèåì.
k!

Ïîäñòàâèâ óíêöèè (2.2.2.23) â îðìóëó (2.2.2.18), íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è
(2.2.2.6)  (2.2.2.9):

u1 (x, t) =

∞
X

n=1
0

+

Z


Xn (x) eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +
αn (t−s)

e

−τ

expd (σn (t − τ −

s), σn τ )[Φ′n (s)



− αn Φn (s)] ds ,
(2.2.2.24)

ãäå

Φn (t) =

1
kXn k2

Z

0

h


ϕ(ξ, t) − u0 (ξ, t) Xn (ξ) dξ,

kXn k2 =

Z

0

h

Xn2 (ξ) dξ.
(2.2.2.25)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

117

Äëÿ ëþáîé èç ïÿòè îñíîâíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
êîòîðûõ ïðèâåäåíû â òàáë. 2.2, â îðìóëû (2.2.2.24)  (2.2.2.25) ñëåäóåò ïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

Xn (x),

λn

è ñîáñòâåííûå óíêöèè

ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 2.3.

åøåíèå çàäà÷è 2.

àññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì (2.2.2.10)  (2.2.2.11) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûì
óñëîâèÿìè (2.2.2.12) è (2.2.2.13).
Ñíà÷àëà ðàçëîæèì íåîäíîðîäíóþ ñîñòàâëÿþùóþ óðàâíåíèÿ (2.2.2.10) â ðÿä
ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì (2.2.2.17):

∞
X

F (x, t) =

Fn (t)Xn (x),

1
kXn k2

Fn (t) =

n=1

F (x, t)

ãäå óíêöèÿ

Z

h

F (ξ, t)Xn (ξ) dξ,

îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.2.11), à

kXn k2 =

åøåíèå çàäà÷è (2.2.2.10)  (2.2.2.13) èùåì â âèäå ðÿäà

u2 (x, t) =

∞
X

(2.2.2.26)

0

Rh
0

Xn2 (ξ) dξ .

Un (t)Xn (x),

(2.2.2.27)

n=1
êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.2.12). Ïîäñòàâèâ
(2.2.2.27) â (2.2.2.10) è ó÷èòûâàÿ (2.2.2.26), ïîëó÷èì ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

Un′ (t)

= (c1 −

ãäå óíêöèè

Fn (t)

a1 λ2n )Un (t)

Un (t):

+ (c2 − a2 λ2n )Un (t − τ ) + Fn (t),

(2.2.2.28)

íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âòîðîé îðìóëû â (2.2.2.26). Äëÿ

çàâåðøåíèÿ îðìóëèðîâêè çàäà÷è óðàâíåíèÿ (2.2.2.28) äîïîëíèì îäíîðîäíûìè
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

Un (t) = 0,

−τ 6 t 6 0,

(2.2.2.29)

êîòîðûå ñëåäóþò èç (2.2.2.13) è (2.2.2.27).
Çàäà÷à (2.2.2.28)  (2.2.2.29) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ
çàäà÷åé (2.2.1.34)  (2.2.1.35). Ïîýòîìó åå ðåøåíèå â îáëàñòè

t > 0

ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå

Un (t) =

Z

t

0

eαn (t−s) expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds,

ãäå ïàðàìåòðû

σn = e−αn τ βn ,

(2.2.2.30)

αn è βn îïðåäåëåíû â (2.2.2.22). Ïîäñòàâèâ (2.2.2.30) â (2.2.2.27)

íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.2.10)  (2.2.2.13):

u2 (x, t) =

∞ Z
X

n=1

t
0


eαn (t−s) expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds Xn (x).

(2.2.2.31)

åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.2.2.1)  (2.2.2.3) ñ ëþáûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ïðåäñòàâëåííûìè â òàáë. 2.2, ìîæíî ïîëó÷èòü ïîäñòàâèâ óíê-

u0 = u0 (x, t) èç
λn è ñîáñòâåííûå óíêöèè

öèè (2.2.2.4), (2.2.2.24) è (2.2.2.31) â (2.2.1.4) è âçÿâ óíêöèè
òàáë. 2.2, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

Xn (x)  èç òàáë. 2.3.

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

118

2.2.3. Çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. àññìîòðèì m-ìåðíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷å-

ñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 L[u] + a2 L[w] + c1 u + c2 w + f (x, t), w = u(x, t − τ ),
a1 > 0, a2 > 0, a1 + a2 > 0, x = (x1 , . . . , xm ),
Ω = {x ∈ V, t > 0}, ãäå V
Rm ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé S = ∂V .

îïðåäåëåííîå â îáëàñòè
îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â

(2.2.3.1)

 îòêðûòàÿ ñâÿçíàÿ

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì
óðàâíåíèå (2.2.3.1), ìîãóò çàâèñåòü îò

x1 , . . . , xm ,

L[u],

âõîäÿùåãî â

t.
m-ìåðíûé

íî íå çàâèñÿò îò âðåìåíè

 ÷àñòíîñòè, â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.2.3.1) ìîæåò âõîäèòü

Pm ∂ 2 u
L[u] = ∆u ≡
i=1 ∂x2i èëè áîëåå ñëîæíûé
ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè L[u] = div[p(x)∇u], ãäå p(x) > 0.
îïåðàòîð Ëàïëàñà

îïåðàòîð ñ

Óðàâíåíèå (2.2.3.1) äîïîëíèì íåîäíîðîäíûì ëèíåéíûì ãðàíè÷íûì óñëîâè-

åì, êîòîðîå çàïèøåì â âèäå

Γ[u] = g(x, t)

ïðè

x ∈ S,

t > −τ,

(2.2.3.2)

è îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(x, t)

ïðè

x ∈ V,

−τ 6 t 6 0.

(2.2.3.3)

Îòìåòèì, ÷òî êîýèöèåíòû äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà
ìîãóò çàâèñåòü îò ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ
âðåìåíè

x1 , . . . , xm ,

Γ[u] â (2.2.3.2)

íî íå çàâèñÿò îò

t.

Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.2.3.1)  (2.2.3.3) ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ýòàïîâ, îïèñàííûõ äàëåå.

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â âèäå ñóììû ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷. åøåíèå çàäà÷è (2.2.3.1)  (2.2.3.3) èùåì â âèäå
ñóììû

u = u0 (x, t) + u1 (x, t) + u2 (x, t),

(2.2.3.4)

u0 = u0 (x, t)

(2.2.3.5)

ãäå

ÿâëÿåòñÿ ëþáîé äâàæäû äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.2.3.2), ò. å.

Γ[u0 ] = g(x, t)

ïðè

x ∈ S,

t > −τ.

(2.2.3.6)

Çàìå÷àíèå 2.3. Äëÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Äèðèõëå â (2.2.3.2) ñëåäóåò ïîëîæèòü

Γ[u] = u.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå óíêöèè u0 ìîæíî âçÿòü ëþáóþ äîñòàòî÷íî
S ãëàäêóþ
óíêöèþ G(x, t), îïðåäåëåííóþ ïðè t > −τ â çàìêíóòîé îáëàñòè V
S , êîòîðàÿ
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ G(x, t)|x∈S = g(x, t).

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
Ôóíêöèè

u1 = u1 (x, t)

è

u2 = u2 (x, t)

119

â (2.2.3.4) îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì

ðåøåíèÿ îïèñàííûõ íèæå áîëåå ïðîñòûõ, ÷åì èñõîäíàÿ, íà÷àëüíî-êðàåâûõ
çàäà÷ ñ îäíîðîäíûìè (íóëåâûìè) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.

u1

Çàäà÷à 1. Ôóíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

w1 = u1 (x, t − τ ),

(u1 )t = a1 L[u1 ] + a2 L[w1 ] + c1 u1 + c2 w1 ,

t > 0,
(2.2.3.7)

îäíîðîäíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ

Γ[u1 ] = 0

x ∈ S,

ïðè

t > −τ,

(2.2.3.8)

è íåîäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

u1 = Φ(x, t)

ïðè

x ∈ V,

−τ 6 t 6 0,

(2.2.3.9)

ãäå

Φ(x, t) = ϕ(x, t) − u0 (x, t).
Çàäà÷à 2. Ôóíêöèÿ

u2

(2.2.3.10)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó Óð×Ï ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

(u1 )2 = a1 L[u2 ] + a2 L[w2 ] + c1 u2 + c2 w2 + F (x, t),

w2 = u2 (x, t − τ ),

(2.2.3.11)

ãäå

F (x, t) = f (x, t) − (u0 )t + a1 L[u0 ] + a2 L[w0 ] + c1 u0 + c2 w0 ,

w0 = u0 (x, t − τ ),

(2.2.3.12)

è íóëåâûì ãðàíè÷íîìó è íà÷àëüíîìó óñëîâèÿì

Γ[u2 ] = 0
u2 = 0

ïðè
ïðè

x ∈ S,
x ∈ V,

t > −τ ;
−τ 6 t 6 0.

(2.2.3.13)
(2.2.3.14)

åøåíèå çàäà÷è 1. àññìîòðèì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.3.7) ñ ãðàíè÷íûì è íà÷àëüíûì óñëîâèÿìè (2.2.3.8) è (2.2.3.9). Êàê è
ðàíåå, ñíà÷àëà èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.3.7) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ

u1p = X(x)T (t).

(2.2.3.15)

Ïîäñòàâëÿÿ (2.2.3.15) â (2.2.3.7) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè, ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî
ïîðÿäêà è ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

L[X] = −µX,
T ′ (t) = (c1 − a1 µ)T (t) + (c2 − a2 µ)T (t − τ ),

(2.2.3.16)
(2.2.3.17)

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

120

ãäå óðàâíåíèå (2.2.3.17) ïðè

µ = λ2

ñîâïàäàåò ñ (2.2.2.15). Òðåáóÿ, ÷òîáû

óíêöèÿ (2.2.3.15) óäîâëåòâîðÿëà îäíîðîäíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.2.3.8),
ïðèõîäèì ê îäíîðîäíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ äëÿ óíêöèè

Γ[X] = 0
Îòíîñèòåëüíî

ëèíåéíîé

ïðè

îäíîðîäíîé

X = X(x):

x ∈ S.
çàäà÷è

(2.2.3.18)
íà

ñîáñòâåííûå

çíà÷åíèÿ

(2.2.3.16), (2.2.3.18) áóäåì ñ÷èòàòü âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.

1◦ .

Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.2.3.16), (2.2.3.18) ñóùåñòâóþò äëÿ

äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé

0 6 µ1 6 µ2 6 · · · 6 µn 6 µn+1 6 · · · ,

µ = µn (n = 1, 2, . . . ), òàêèõ, ÷òî

µn → ∞

ïðè

n → ∞,

(2.2.3.19)

ïðè÷åì â ýòîé óïîðÿäî÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàæäîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïîâòîðÿåòñÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâà åãî êðàòíîñòü.

2◦ . Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì µ = µn ñîáñòâåííûå óíêöèè
X = Xn (x) ìîæíî âûáðàòü âåùåñòâåííûìè è îðòîíîðìèðîâàííûìè, òàê ÷òî
âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ

Z

V

3◦ .

Xm (x)Xn (x) dV = δmn ,

Ëþáàÿ óíêöèÿ

òîé îáëàñòè

V+ε

F (x)

δmn

(
1
=
0

ïðè
ïðè

m = n,
m 6= n.

(2.2.3.20)

äâàæäû íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ â îòêðû-

V)

(âêëþ÷àþùåé

è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ

(2.2.3.18), ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ïî îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå ñîáñòâåííûõ óíêöèé

Xn (x):

F (x) =

∞
X

Fn Xn (x),

Fn =

V

n=1
è ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðåãóëÿðíî â îáëàñòè

◮

Z

F (x)Xn (x) dV,

(2.2.3.21)

V̄ = V ∪ S .

Ïðèìåð 2.7. Óêàçàííûì âûøå óñëîâèÿì

1◦  3◦

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíàÿ

îäíîðîäíàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ [14℄, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
îïåðàòîðà

L[X] ≡ div[p(x)∇X]

è îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

div[p(x)∇X] = −µX,

x ∈ V,

(2.2.3.22)

ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì

α(x)X + β(x)
Çäåñü

∂/∂ν

∂X
∂ν

=0

ïðè

x ∈ S.

 ïðîèçâîäíàÿ ïî âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè

(2.2.3.23)

S,

à óíê-

öèîíàëüíûå êîýèöèåíòû, âõîäÿùèå â (2.2.3.22) è (2.2.3.23), óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì

p(x) ∈ C 1 (V̄ ), α(x) ∈ C(S),
p(x) > 0, α(x) > 0, β(x) > 0,

β(x) ∈ C(S),
α(x) + β(x) > 0.

(2.2.3.24)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

121

Âàæíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè çàäà÷è (2.2.3.22)  (2.2.3.23) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå îäíîðîäíûå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ

∆X = −µX,

x∈V

åëüìãîëüöà

(L = ∆),

(2.2.3.25)

ñ îäíîðîäíûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå, Íåéìàíà èëè îáèíà.  [436℄ ïðèâåäåíû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè ìíîãèõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ
óðàâíåíèÿ (2.2.3.25) ñ ðàçëè÷íûìè îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè äëÿ
îáëàñòåé

V

◭

ðàçëè÷íîé îðìû.

Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè ëèíåéíîé îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (2.2.3.16), (2.2.3.18) èçâåñòíû è âûïîëíåíû
ïðèâåäåííûå âûøå óñëîâèÿ

1◦  3◦ .

Ïîäñòàâèâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

µ = µn

â (2.2.3.17), ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

T = Tn (t).
åøåíèå ëèíåéíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.2.3.7)  (2.2.3.10) èùåì â
âèäå ðÿäà

u1 (x, t) =

∞
X

Xn (x)Tn (t),

(2.2.3.26)

n=1

u1n (x, t) = Xn (x)Tn (t)  ÷àñòíûå

ãäå óíêöèè

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.3.7),

óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (2.2.3.8).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.3.17), ïðåäñòàâèì íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.2.3.9) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì

Φ(x, t) =

∞
X

Φn (t)Xn (x),

n=1

x ∈ V,

−τ 6 t 6 0.

Xm (x) (m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ
Φn (t):
Z
Φ(x, t)Xn (x) dV, −τ 6 t 6 0,
Φn (t) =

Óìíîæàÿ (2.2.3.27) íà

(2.2.3.27)
ïî îáëàñòè

V,

à

çàòåì ó÷èòûâàÿ (2.2.3.20), íàõîäèì óíêöèè

(2.2.3.28)

V

ãäå óíêöèÿ

Φ(x, t) îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.3.10). Èç ñîîòíîøåíèé (2.2.3.26)

è (2.2.3.28) ïîëó÷èì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.3.17)
ïðè

µ = µn

â âèäå

Tn (t) = Φn (t),
ãäå óíêöèè

Φn (t)

−τ 6 t 6 0,

(2.2.3.29)

çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.2.3.28).

Ïîñêîëüêó çàäà÷à (2.2.3.17), (2.2.3.29) ïðè

µ = µn

ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáî-

çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (2.2.2.15), (2.2.2.21), åå ðåøåíèå ìîæíî íàéòè ñ
ïîìîùüþ îðìóë

Tn (t) = eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +
Z 0
eαn (t−s) expd (σn (t − τ − s), σn τ )[Φ′n (s) − αn Φn (s)] ds,
+
−τ

αn = c1 − a1 µn ,

βn = c2 − a2 µn ,

σn = e−αn τ βn ,

(2.2.3.30)

122

ãäå

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
expd (t, τ )  ýêñïîíåíòà ñ

çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.29).

Ïîäñòàâèâ óíêöèè (2.2.3.30) â îðìóëó (2.2.3.26), íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è
(2.2.3.7)  (2.2.3.10):

u1 (x, t) =

∞
X

n=1
0

+

Z

−τ

ãäå

Φn (t) =

R 
V


Xn (x) eαn (t+τ ) expd (σn t, σn τ )Φn (−τ ) +


eαn (t−s) expd (σn (t − τ − s), σn τ )[Φ′n (s) − αn Φn (s)] ds ,

(2.2.3.31)


ϕ(x, t) − u0 (x, t) Xn (x) dV .

åøåíèå çàäà÷è 2.

àññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì (2.2.3.11)  (2.2.3.12) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûì
óñëîâèÿìè (2.2.3.13) è (2.2.3.14).
Ñíà÷àëà ðàçëîæèì íåîäíîðîäíóþ ñîñòàâëÿþùóþ óðàâíåíèÿ (2.2.3.11) â ðÿä
ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì çàäà÷è (2.2.3.16), (2.2.3.18):

F (x, t) =

∞
X

Fn (t)Xn (x),

Fn (t) =

n=1

F (x, t)

ãäå óíêöèÿ

Z

V

F (x, t)Xn (x) dξ,

(2.2.3.32)

îïðåäåëåíà îðìóëîé (2.2.3.12).

åøåíèå çàäà÷è (2.2.3.11)  (2.2.3.14) èùåì â âèäå ðÿäà

u2 (x, t) =

∞
X

Un (t)Xn (x),

(2.2.3.33)

n=1
êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.3.13). Ïîäñòàâèâ
(2.2.3.33) â (2.2.3.11) è ó÷èòûâàÿ (2.2.3.32), ïîëó÷èì ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå
ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

Un (t):

Un′ (t) = (c1 − a1 µn )Un (t) + (c2 − a2 µn )Un (t − τ ) + Fn (t),
ãäå óíêöèè

Fn (t)

(2.2.3.34)

íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ âòîðîé îðìóëû â (2.2.3.32). Äëÿ

çàâåðøåíèÿ îðìóëèðîâêè çàäà÷è óðàâíåíèÿ (2.2.3.34) äîïîëíèì îäíîðîäíûìè
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

Un (t) = 0,

−τ 6 t 6 0,

(2.2.3.35)

êîòîðûå ñëåäóþò èç (2.2.3.14) è (2.2.3.33).
Çàäà÷à (2.2.3.34)  (2.2.3.35) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ
çàäà÷åé (2.2.2.28)  (2.2.2.29). Ïîýòîìó åå ðåøåíèå â îáëàñòè

t > 0

ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå

Un (t) =

Z

0

t

eαn (t−s) expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds,

σn = e−αn τ βn ,

(2.2.3.36)

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

123

αn è βn îïðåäåëåíû â (2.2.3.30). Ïîäñòàâèâ (2.2.3.36) â (2.2.3.33)

ãäå ïàðàìåòðû

íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.3.11)  (2.2.3.14):

u2 (x, t) =

∞ Z
X

n=1

t

αn (t−s)

e
0



expd (σn (t − s), σn τ )Fn (s) ds Xn (x).

(2.2.3.37)

Ôîðìóëû (2.2.3.4), (2.2.3.31), (2.2.3.37) ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ
àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà÷è (2.2.3.1)  (2.2.3.3). Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

µn

è ñîáñòâåííûå óíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé

çàäà÷è (2.2.3.16), (2.2.3.18).

◮

Ïðèìåð 2.8. Ïîëàãàÿ â (2.2.3.1)

L[u] = ∆u,

ãäå

∆  îïåðàòîð

Ëàïëà-

ñà, ïðèõîäèì ê çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ
åëüìãîëüöà (2.2.3.25).  òðåõìåðíîì ñëó÷àå äëÿ îäíîðîäíûõ óñëîâèé Äèðèõëå
íà ãðàíèöàõ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñî ñòîðîíàìè

a, b, c,

êîòîðûå

çàïèñûâàþòñÿ òàê:

X|x=0 = X|x=a = X|y=0 = X|y=b = X|z=0 = X|z=c = 0,
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå óíêöèè èìåþò âèä
[436℄:

µklm = π 2



k2
a2



l2
m2
+ 2 , k, l, m = 1, 2, 3, . . . ,
2
b
c
 
 

πkx
πly
πmz
8
sin
sin
sin
.
abc
a
b
c

+

Xklm (x, y, z) =

◭

2.2.4. Çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. àññìîòðèì ïåðâóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîìåðíîãî îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà

utt = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,
ãäå

w = u(x, t − τ ),

(2.2.4.1)

a1 > 0, a2 > 0, a1 + a2 > 0, îïðåäåëåííîãî â îáëàñòè Ω = {0 < x < h, t > 0}.

Óðàâíåíèå (2.2.4.1) äîïîëíèì îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

Γ1 [u] = 0

x = 0, t > −τ ;

ïðè

Γ2 [u] = 0

ïðè

x = h, t > −τ,

(2.2.4.2)

è ñîãëàñîâàííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè îáùåãî âèäà

u = ϕ(x, t)
ut = ϕt (x, t)

0 < x < h, −τ 6 t 6 0,
0 < x < h, −τ 6 t 6 0.

ïðè
ïðè

(2.2.4.3)

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âõîäÿùèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.2.4.2) ëèíåéíûå îïåðàòîðû

Γ1,2 [u]

íå çàâèñÿò ÿâíî îò

t.

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ãðàíè÷íûå

óñëîâèÿ ïðèâåäåíû â òðåòüåì ñòîëáöå òàáë. 2.2, ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü

= g2 (t) ≡ 0.

g1 (t) =

 ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå â (2.2.4.2)

ñëåäóåò ïîëîæèòü

Γ1 [u] = Γ2 [u] = u.

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

124

Çàìå÷àíèå 2.4. åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (2.2.4.1) ïðè

a2 = c1 = 0

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå (2.2.4.2) è íà÷àëüíûìè

äàííûìè (2.2.4.3) áûëî ïîëó÷åíî ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â ðàáîòå [476℄.

Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.2.4.1)(2.2.4.3). Ñíà÷àëà èùåì
÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.4.1) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ

up = X(x)T (t).

àðãóìåíòîâ

àçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè,

ïðèõîäèì ê ëèíåéíûì ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà

X ′′ (x) = −λ2 X(x),

(2.2.4.4)

T ′′ (t) = (c1 − a1 λ2 )T (t) + (c2 − a2 λ2 )T (t − τ ).

Òðåáóÿ, ÷òîáû óíêöèÿ

up = X(x)T (t)

(2.2.4.5)

óäîâëåòâîðÿëà îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì

óñëîâèÿì (2.2.4.2), ïðèõîäèì ê îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ óíêöèè

X:
Γ1 [X] = 0

ïðè

x = 0,

Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ

Γ2 [X] = 0

X = Xn (x)

ïðè

x = h.

(2.2.4.6)

ëèíåéíîé îäíîðîäíîé çàäà÷è íà ñîá-

ñòâåííûå çíà÷åíèÿ (2.2.4.4), (2.2.4.6), êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (2.2.2.14),
(2.2.2.16), ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà

λ:
λ = λn ,

X = Xn (x),

n = 1, 2, . . .

(2.2.4.7)

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè äëÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ
êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ÎÄÓ (2.2.4.4), äëÿ ïÿòè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèâåäåíû â òàáë. 2.3.
Ïîäñòàâèâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λ = λn

â (2.2.4.5), ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâó-

þùèå ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

T = Tn (t).

åøåíèå ëèíåéíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.2.4.1)  (2.2.4.3) èùåì â âèäå
ðÿäà

u(x, t) =

∞
X

Xn (x)Tn (t),

(2.2.4.8)

n=1
ãäå óíêöèè

upn (x, t) = Xn (x)Tn (t)  ÷àñòíûå

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.2.4.1),

óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.4.2).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.4.5) ïðè

λ = λn ,

ïðåäñòàâèì ïåðâîå íà÷àëüíîå óñëîâèå (2.2.4.3) â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî

ñîáñòâåííûì óíêöèÿì:

ϕ(x, t) =

∞
X

n=1

x

îò

0 6 x 6 h, −τ 6 t 6 0.

(2.2.4.9)

Xm (x) (m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííîé
0 äî h, à çàòåì ó÷èòûâàÿ, ÷òîñîáñòâåííûå óíêöèè Xn (x)

Óìíîæàÿ (2.2.4.9) íà
ïåðåìåííîé

ϕn (t)Xn (x),

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
è

Xm (x)

îðòîãîíàëüíû ïðè

íàõîäèì óíêöèè

ϕn (t):

ϕn (t) =

1
kXn k2

ãäå

kXn k2 =

Rh
0

Z

n 6= m,

125

ò. å. âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.1.21),

h

ϕ(ξ, t)Xn (ξ) dξ,

−τ 6 t 6 0,

0

(2.2.4.10)

Xn2 (ξ) dξ .

Èç ñîîòíîøåíèé (2.2.4.8) è (2.2.4.9) è íà÷àëüíûõ óñëîâèé (2.2.4.3) ïîëó÷èì
íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.2.15) ïðè

Tn (t) = ϕn (t),
ãäå óíêöèè

ϕn (t)

Tn′ (t) = ϕ′n (t)

ïðè

λ = λn

−τ 6 t 6 0,

â âèäå
(2.2.4.11)

çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (2.2.4.10).

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è òèïà Êîøè äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.4.5) ïðè

c1 = 0

è íà÷àëüíûìè äàííûìè

(2.2.4.11) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû ðàáîòû [476℄, ãäå ðàññìàòðèâàëàñü
àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ñîîòâåòñòâóþùåå
ðåøåíèå äëÿ óíêöèé

Tn (t),

ïîëó÷åííîå ìåòîäîì øàãîâ, âåñüìà ãðîìîçäêî è

ïðèâåäåíî â ðàçä. 1.2.2. Êðîìå òîãî, ðåøåíèå çàäà÷è (2.2.4.5), (2.2.4.11) ìîæåò
áûòü íàéäåíî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (ñì. ðàçä. 1.4.1) èëè ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì. ðàçä. 5.1).
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

Tn (t)

ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (2.2.4.1) 

(2.2.4.3) îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì (2.2.4.8), â êîòîðîì ñîáñòâåííûå óíêöèè
(è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

λn ) äëÿ

Xn (x)

ïÿòè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ãðàíè÷íûõ

óñëîâèé áåðóòñÿ èç òàáë. 2.3.
Îòìåòèì, ÷òî íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è (2.2.4.1)  (2.2.4.3) ïðè âûïîëíåíèè
íåðàâåíñòâà

a2 > a1

íåêîððåêòíû ïî Àäàìàðó (ñì. çàìå÷àíèå 2.8 â ðàçä. 2.2.5).

Çàìå÷àíèå 2.5.  [476℄ áûëî ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé

çàäà÷è äëÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.4.1) ïðè
óñëîâèÿìè Äèðèõëå

a2 = c1 = 0

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè

u|x=0 = u|x=h = 0.

2.2.5. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé
ëèíåéíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷

Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå. åøåíèÿ
ñïåöèàëüíîãî âèäà. àññìîòðèì óíêöèè ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âèäà



πnx
un = An exp(̺n t) sin
,
h

ãäå

An  ñâîáîäíûé

n = 1, 2, . . . ,

ïàðàìåòð, à ýêñïîíåíöèàëüíûé ïîêàçàòåëü

(2.2.5.1)

̺n

óäîâëåòâî-

ðÿåò òðàíñöåíäåíòíîìó óðàâíåíèþ

̺n = − a1 + a2 e−̺n τ


 πn 2
h

+ c1 + c2 e−̺n τ .

(2.2.5.2)

126

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Ôóíêöèè (2.2.5.1) ïðè óñëîâèè (2.2.5.2) ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî
(2.2.1.1) ïðè
(2.2.1.2) ïðè

òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

f (x, t) ≡ 0 è óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
g1 (t) = g2 (t) ≡ 0. Îòìåòèì, ÷òî òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå

(2.2.5.2) ìîæíî ïîëó÷èòü èç ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.22), åñëè èñêàòü åãî
òî÷íûå ðåøåíèÿ â ýêñïîíåíöèàëüíîì âèäå

Tn = An exp(̺n t).

åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè (2.2.1.2) è äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðÿäà, ÷ëåíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ óíêöèè âèäà
(2.2.5.1)  (2.2.5.2). Ýòî ðåøåíèå áóäåò ñòðåìèòüñÿ òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2.5.2) áóäóò èìåòü îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå
ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì). Åñëè õîòÿ áû îäèí êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2.5.2) áóäåò èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ äåéñòâèòåëüíóþ
÷àñòü, òî òðèâèàëüíîå (è ëþáîå äðóãîå) ðåøåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì.

Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ.

Ïðè îò-

τ = 0 óðàâíåíèå (2.2.5.2) èìååò åäèíñòâåííûé äåéñòâè̺n = c1 + c2 − (a1 + a2 )(πn/h)2 .  ýòîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèè

ñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ
òåëüíûé êîðåíü
óñëîâèÿ

c1 + c2 − (a1 + a2 )(π/h)2 < 0
âñå ýêñïîíåíöèàëüíûå ïîêàçàòåëè

̺n

áóäóò îòðèöàòåëüíû è ñîîòâåòñòâóþùèå

t → ∞.
τ > 0. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ (2.2.1.27), çàïèøåì óðàâ-

ðåøåíèÿ (2.2.5.1) áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè
Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî

íåíèå (2.2.5.2) â áîëåå êîìïàêòíîé îðìå

̺n − αn − βn e−̺n τ = 0,

αn = c1 − a1 λ2n ,

βn = c2 − a2 λ2n ,

λn = πn/h.

(2.2.5.3)

Ñ òî÷íîñòüþ äî î÷åâèäíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé óðàâíåíèå (2.2.5.3) ñîâïàäàåò ñ
òðàíñöåíäåíòíûì óðàâíåíèåì (1.1.3.3), êîòîðîå ðàññìàòðèâàëîñü â ðàçä. 1.1.3.
Âñå êîðíè óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2.5.3) áóäóò èìåòü
îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííî
âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå òðè íåðàâåíñòâà (ñì. òåîðåìó Õåéñà â ðàçä. 1.3.2):

(i)
(ii)
(iii)

(c1 − a1 λ2n )τ < 1,

c1 + c2 − (a1 + a2 )λ2n < 0,
p
c2 − a2 λ2n + (c1 − a1 λ2n )2 + (µ/τ )2 > 0,

(2.2.5.4)

λn = πn/h, n = 1, 2, . . . , µ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ µ =
= τ (c1 − a1 λ2n ) tg µ, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ 0 < µ < π (â âûðîæäåííîì
2
ñëó÷àå ïðè c1 − a1 λn = 0 ñëåäóåò ïîëîæèòü µ = π/2).
ãäå

Ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (2.2.5.4) âñå ðåøåíèÿ îäíîðîä-

íîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1),

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

127

óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì âèäà (2.2.1.2) ïðè

= g2 = 0,

ñòðåìÿòñÿ ê òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ ïðè

g1 =

t → ∞.

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ. Ìíîãî-

ïàðàìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà (2.2.5.4), ñîäåðæàùèå øåñòü íåïðåðûâíûõ ïàðàìåòðîâ

a1 , a2 , c1 , c2 , h, τ

è äèñêðåòíûé ïàðàìåòð

n,

íåóäîáíû äëÿ ïðàêòè-

÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. Íèæå ïðèâåäåíû áîëåå ïðîñòûå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
(2.2.5.3) áóäóò èìåòü îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.

a1 > 0, a2 > 0, λn > λ1 , òî ïåðâûå äâà íåðàâåíñòâà (2.2.5.4) âûn, åñëè îíè âûïîëíÿþòñÿ äëÿ n = 1. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî
p
z12 + z22 > −z1 ïðè z2 6= 0, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäíåå óñëîâèå (2.2.5.4)
2
âûïîëíÿåòñÿ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî c2 − c1 + (a1 − a2 )λn > 0. Ïðè
a1 > a2 â ýòîì íåðàâåíñòâå ìîæíî çàìåíèòü λn íà λ1 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
Ïîñêîëüêó

ïîëíÿþòñÿ äëÿ âñåõ

ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
ãäå

λ1 = π/h.

(c1 − a1 λ21 )τ < 1,

c1 + c2 − (a1 + a2 )λ21 < 0,
c2 − c1 + (a1 − a2 )λ21 > 0,
a1 > a2 > 0, a1 > 0,

(2.2.5.5)

Ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (2.2.5.5) âñå êîðíè

óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2.2.5.3) áóäóò èìåòü îòðèöàòåëüíûå
äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè.

◮

Ïðèìåð 2.9. Ïðè

c1 = c2 = 0 è a1 > a2 > 0 óñëîâèÿ (2.2.5.5) âûïîëíÿþòñÿ

è âñå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1), óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
(2.2.1.2), ñòðåìÿòñÿ ê òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ ïðè

t → ∞.

◭

Çàìå÷àíèå 2.6. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè (2.2.5.5) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå, åñëè

íåðàâåíñòâà

a1 > a2 > 0

â ï. (iv) çàìåíèòü íà

a2 < 0 è a1 + a2 > 0 .

Óñëîâèÿ íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé. åøåíèÿ îäíîðîäíîãî

óðàâíåíèÿ ïà-

ðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1), óäîâëåòâîðÿþùèå
îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.2), áóäóò íåóñòîé÷èâûìè, åñëè íàðóøàåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ (2.2.5.4). Ïîýòîìó äëÿ íåóñòîé÷èâîñòè
ðåøåíèé äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, âûïîëíåíèÿ îäíîãî èç äâóõ íåðàâåíñòâ:

(i) (c1 − a1 λ21 )τ > 1,

(ii) c1 + c2 − (a1 + a2 )λ21 > 0,
ãäå

(2.2.5.6)

λ1 = π/h.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè

a1 > a2

õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.2.5.2) ìîæåò

èìåòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé ñ ïîëîæèòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ.

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

128

àññìîòðèì òåïåðü ëåâóþ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà (2.2.5.4). Ïðè áîëü-

λn → ∞ è
p
c2 − a2 λ2n + (c1 − a1 λ2n )2 + (µ/τ )2 = (a1 − a2 )λ2n + c2 − c1 + O(λ−2
n ).

øèõ

n

èìååì

Ïîýòîìó ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

a 2 > a1
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî

n

(2.2.5.7)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

c2 − a2 λ2n +

p

(c1 − a1 λ2n )2 + (µ/τ )2 < 0,

÷òî ñîîòâåòñòâóåò îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè.

Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îðìóëà äëÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîêàçàòåëÿ ̺n ïðè áîëüøèõ n. åøåíèÿ òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
(2.2.5.3) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñ ïîìîùüþ óíêöèè Ëàìáåðòà

W = W (z)

â

âèäå (ñð. ñ îðìóëîé (1.1.3.5)):

̺n = αn +

1
W (z),
τ

z = βn τ e−αn τ ,

(2.2.5.8)

W ïîíèìàþòñÿ âñå âåòâè ýòîé óíêöèè.
a1 > 0 è a2 > 0 äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n êîýèöèåíòû αn è βn îòðèöàòåëüíû, ïðè÷åì limn→∞ αn = −∞ è limn→∞ βn = −∞. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå
ãäå ïîä

Ïðè

è èñïîëüçóÿ äâà ãëàâíûõ ÷ëåíà àñèìïòîòè÷åñêîé îðìóëû äëÿ óíêöèè Ëàì-

áåðòà (1.1.3.10), äëÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîêàçàòåëÿ
ïðè

a1 /a2 = O(1)

̺n

ïîëó÷èì ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå [68℄:

Re ̺n =

1
τ

ln

a2
a1

(ïðè n → ∞).

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

n

(2.2.5.9)

ìîãóò âîçíèêíóòü äâå êà÷åñòâåííî

ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè:

Re ̺n < 0
Re ̺n > 0

ïðè
ïðè

a 2 < a1 ,
a 2 > a1 .

(2.2.5.10)

 ïåðâîì ñëó÷àå (2.2.5.10) òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ìîæåò áûòü êàê óñòîé÷èâûì, òàê è íåóñòîé÷èâûì â çàâèñèìîñòè îò âûïîëíåíèÿ èëè íåâûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (2.2.5.4) (èëè áîëåå ïðîñòûõ óñëîâèé (2.2.5.5) è (2.2.5.6)). Âî
âòîðîì ñëó÷àå (2.2.5.10) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì

n,

ñîîòâåòñòâóþùåå òî÷-

íîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå âûäåëåíèåì äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â (2.2.5.1), áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàòü ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè

t,

ò. å. òðèâèàëüíîå

ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1) ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.2) áóäåò
íåóñòîé÷èâûì.
Çàìå÷àíèå 2.7. Ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé

a1 = 0, c1 = c2 = 0 îáñóæäàåòñÿ â ðàçä. 2.3.2.

2.2. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

129

Íåóñòîé÷èâîñòü íåîäíîðîäíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì. Ïîêàæåì, ÷òî íåóñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïðèâîäèò ê íåóñòîé÷èâîñòè ëþáîãî ðåøåíèÿ îáùåé íåîäíîðîäíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì
(2.2.1.1)  (2.2.1.3).
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå (2.2.5.2) èìååò êîðåíü
ñ

Re ̺n > 0,

u = u(x, t)  ïðîèçâîëüíîå

à

̺n

ðåøåíèå ïåðâîé íà÷àëüíî-êðàåâîé

çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1)  (2.2.1.3). Òîãäà óíêöèÿ

us (x, t) = u(x, t) + un (x, t),
ãäå

un (x, t)  ýêñïîíåíöèàëüíî

(2.2.5.11)

ðàñòóùàÿ óíêöèÿ âèäà (2.2.5.1) ñ

Re ̺n > 0,

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.2.1.1) è óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.2.1.2). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

n

âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

|us (x, t) − u(x, t)| 6 |An |

0 < x < h, −τ 6 t 6 0.

ïðè

Èç (2.2.5.12) âèäíî, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî

u

äëÿ ðåøåíèé
äðóãà, îäíàêî

us óðàâíåíèÿ (2.2.1.1)
ïðè t → ∞ ýòè ðåøåíèÿ
è

|An | = ε

(2.2.5.12)

íà÷àëüíûå äàííûå

ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò
â òî÷êå

x = h/2

áóäóò íåîãðàíè÷åííî

ðàñõîäèòüñÿ èç-çà ïîëîæèòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ýêñïîíåíöèàëüíîãî
ïîêàçàòåëÿ

Re ̺n > 0

ïðè áîëüøèõ

n

â îðìóëå (2.2.5.1), ò. å.

lim |us (x, t) − u(x, t)|x=h/2 → ∞

t→∞

ïðè

t → ∞.

Ñêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîå ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ñ çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1)  (2.2.1.3) ïðè íàëè÷èè êîðíÿ òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
(2.2.5.2) ñ

Re ̺n > 0

ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ íà÷àëü-

íûõ äàííûõ.

Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé äðóãèõ íà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷. Óñëîâèÿ (2.2.5.4), (2.2.5.5), (2.2.5.6), (2.2.5.7) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé äðóãèõ íà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷.  ÷àñòíîñòè, ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷, îïèñàííûõ â ðàçä. 2.2.2,
íåóñòîé÷èâû ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà (2.2.5.7).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ â äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ (2.2.5.5), (2.2.5.6) ñëåäóåò ïîäñòàâèòü íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå

λ1 ,

ïðèâåäåííîå â òàáë. 2.3.

Äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Íåéìàíà (âòîðàÿ ñòðîêà òàáë. 2.3) äîïîëíèòåëüíî íàäî
èññëåäîâàòü çíàê äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîðíÿ
(2.2.5.2) ïðè

̺0

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

n = 0.

Çàìå÷àíèå 2.8. Ìîæíî ïîêàçàòü [68℄, ÷òî íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíå-

íèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà (2.2.4.1) ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, ðàññìîòðåííûå â
ðàçä. 2.2.4, òàêæå íåóñòîé÷èâû ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

a2 > a1 .

130

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

2.3. èïåðáîëè÷åñêîå è äèåðåíöèàëüíîðàçíîñòíîå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
2.3.1. Âûâîä ãèïåðáîëè÷åñêîãî è äèåðåíöèàëüíîðàçíîñòíîãî óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè

Êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (äèóçèè). Êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü òåïëîïðîâîäíîñòè (äèóçèè) îñíîâàíà íà çàêîíå Ôóðüå [47℄:

q = −λ∇θ,

ãäå

(2.3.1.1)

q  ïîòîê òåïëà, λ  êîýèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè, θ  òåìïåðàòóðà, ∇ 

îïåðàòîð ãðàäèåíòà.

 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïðè îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ òåïëà çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè èìååò âèä

ρcp θt = − div q,
ãäå

t  âðåìÿ, ρ  ïëîòíîñòü, cp  óäåëüíàÿ

(2.3.1.2)

òåïëîåìêîñòü òåëà (ñðåäû).

Ïîäñòàâèâ (2.3.1.1) â (2.3.1.2), ïîëó÷èì êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè [35, 47℄:

θt = a ∆θ,

(2.3.1.3)

a = λ/(ρcp )  êîýèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè, ∆  îïåðàòîð Ëàïëàñà
òðåõìåðíîì ñëó÷àå èìååì ∆θ = θxx + θyy + θzz , ãäå x, y , z  äåêàðòîâû

ãäå
(â

êîîðäèíàòû).
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå äèóçèè òàêæå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (2.3.1.3), ãäå

θ  êîíöåíòðàöèÿ, a  êîýèöèåíò

äèóçèè.

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.3) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà è îáëàäàåò èçè÷åñêè ïàðàäîêñàëüíûì ñâîéñòâîì  áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ íå íàáëþäàåòñÿ íà
ïðàêòèêå, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè òàêèõ
óðàâíåíèé.

èïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (äèóçèè). Óêàçàííûé

âûøå íåäîñòàòîê ìîäåëè Ôóðüå (2.3.1.1) ïðèâåë ê íåîáõîäèìîñòè ðàçðàáîòêè
äðóãèõ ìîäåëåé òåïëîïðîâîäíîñòè (äèóçèè), êîòîðûå äàþò êîíå÷íóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé.  ðåçóëüòàòå ïîÿâèëàñü áîëåå ñëîæíàÿ
ìîäåëü òåïëîïðîâîäíîñòè, îñíîâàííàÿ íà äèåðåíöèàëüíîì çàêîíå Êàòòàíåî  Âåðíîòòå [175, 176, 529, 530℄ (ñì. òàêæå [47, 79, 239, 315℄):

q = −λ∇θ − τ qt .

(2.3.1.4)

Ìîäåëü (2.3.1.4) îòëè÷àåòñÿ îò çàêîíà Ôóðüå (2.3.1.1) íàëè÷èåì äîïîëíèòåëüíîãî íåñòàöèîíàðíîãî ÷ëåíà, ïðîïîðöèîíàëüíîãî
ïåðåõîäèò â (2.3.1.1).

τ . Ïðè τ = 0 ìîäåëü (2.3.1.4)

2.3. èïåðáîëè÷åñêîå è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

131

Èñïîëüçîâàíèå ìîäåëè (2.3.1.4) ñ ó÷åòîì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ (2.3.1.2) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà

τ θtt + θt = a ∆θ,
ãäå âðåìÿ ðåëàêñàöèè

τ

ñ÷èòàåòñÿ ìàëûì. Ïðè

τ =0

(2.3.1.5)
óðàâíåíèå (2.3.1.5) ïåðå-

õîäèò â (2.3.1.3).

Îöåíêè âåëè÷èí òåïëîâîãî è äèóçèîííîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè.

1◦ . Îöåíêè òåïëîâîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè. Âðåìÿ ðåëàêñàöèè τ , âõîäÿùåå â

ìîäåëü (2.3.1.4) è óðàâíåíèå (2.3.1.5) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé íåðàâíîâåñíîñòè ïðîöåññà òåïëîïðîâîäíîñòè è ó÷èòûâàåò èíåðöèîííîñòü òåïëîâîãî ïîòîêà.
Äëÿ ìåòàëëîâ, ñâåðõïðîâîäíèêîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ òåîðåòè÷åñêèå îöåíêè
òåïëîâîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè äàþò
Ñòîëü ìàëûå çíà÷åíèÿ

τ

τ ≈ 10−12  10−6

[247, 410, 413, 527℄.

íóæíî ó÷èòûâàòü ïðè àíàëèçå âûñîêîèíòåíñèâíûõ

íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ, âðåìÿ ïðîòåêàíèÿ êîòîðûõ ñîïîñòàâèìî ñ âðåìåíåì ðåëàêñàöèè, íàïðèìåð, ïðè îáðàáîòêå ìàòåðèàëîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâåðõêîðîòêèõ ëàçåðíûõ èìïóëüñîâ è âûñîêîñêîðîñòíûõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ
[111, 410, 477℄. Ê ïîäîáíûì ïðîöåññàì îòíîñÿòñÿ òàêæå ïðîöåññû íàãðåâàíèÿ ïðè òðåíèè ñ âûñîêîé ñêîðîñòüþ, ëîêàëüíîãî íàãðåâà ïðè äèíàìè÷åñêîì
ðàñïðîñòðàíåíèè òðåùèíû â îêîëîçâóêîâîì ðåæèìå è ò.ï. [44, 309℄. Äëÿ ìàòåðèàëîâ è ñðåä ñ íåîäíîðîäíîé âíóòðåííåé ñòðóêòóðîé (êàïèëëÿðíî-ïîðèñòûå
òåëà, ïàñòû, ñóñïåíçèè, ïîðîøêè, ãàçîæèäêîñòíûå ìíîãîàçíûå ñðåäû, áèîëîãè÷åñêèå ñóáñòàíöèè, ïèùåâûå ïðîäóêòû, äðåâåñèíà è äð.) âðåìÿ ðåëàêñàöèè
ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå [10, 47, 86, 203, 208℄. Íàïðèìåð, â [313, 389℄
óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî òåïëîâîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè ìÿñíûõ ïðîäóêòîâ è íåêîòîðûõ

τ ïîðÿäêà äåñÿòè è áîëåå ñåêóíä.
2◦ . Òåïëîâàÿ è äèóçèîííàÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé. Äè-

ñûïó÷èõ ñðåä ìîæåò äàâàòü çíà÷åíèÿ

óçèîííîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè. Äëÿ ïðîñòûõ ñèñòåì, òàêèõ êàê ñìåñè èäåàëüíûõ
ãàçîâ, õàðàêòåðíîå âðåìÿ äèóçèîííîé ðåëàêñàöèè

τD , ò. å.

âðåìÿ óñòàíîâëå-

íèÿ ëîêàëüíî-ðàâíîâåñíûõ çíà÷åíèé êîíöåíòðàöèè äèóíäèðóþùåãî êîìïîíåíòà, ñîâïàäàåò ñ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì òåïëîâîé ðåëàêñàöèè

τT

(çäåñü äëÿ

íàãëÿäíîñòè ïîñòàâëåí èíäåêñ ¾T ¿), ò. å. âðåìåíåì óñòàíîâëåíèÿ ëîêàëüíîðàâíîâåñíûõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû. Îäíàêî â ñèñòåìàõ ñ áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðîé, â ÷àñòíîñòè â ðàñïëàâàõ ìåòàëëîâ [79, 80℄ èìååì

τD ≫ τT .

 òàêèõ

ñèñòåìàõ ñíà÷àëà óñòàíàâëèâàåòñÿ òåïëîâîå ðàâíîâåñèå è ëèøü çàòåì äèóçèîííîå. Êàæäîé èç ýòèõ ñòàäèé óñòàíîâëåíèÿ ëîêàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü (êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ èñõîäÿ èç ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5)): äèóçèîííàÿ ñêîðîñòü

VD = (D/τD )1/2

è ñêîðîñòü òåïëîâîé âîëíû

VT = (a/τT )1/2 .

Äëÿ îäíîðîä-

íûõ ãàçîîáðàçíûõ è æèäêèõ ñðåä ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñêîðîñòü

VT ïðèìåðíî ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà. Äëÿ ðàñïëàâîâ ìåòàëëîâ
VD ≈ 1  10 ì/ñ è VT ≈ 103  104 ì/ñ, ò. å. VD ≪ VT . Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëîòû â âîçäóõå ïðèìåðíî ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà VT ≈ 330 ì/ .
Äèóçèîííàÿ ñêîðîñòü VD â êàïèëëÿðíî-ïîðèñòûõ òåëàõ ìåíüøå, ÷åì VT

òåïëîâîé âîëíû

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

132

ïðèìåðíî â

106  107

ðàç, ïîýòîìó åå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü â óðàâíåíèÿõ ìàñ-

ñîïåðåíîñà [47℄ (ñì. ñòð. 455). Äëÿ äèóçèè â ïîëèìåðàõ âðåìÿ ðåëàêñàöèè
ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî ñåêóíä [312℄. Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî
òåïëîâîå è äèóçèîííîå âðåìåíà ðåëàêñàöèè ìîãóò âàðüèðîâàòüñÿ â î÷åíü
øèðîêèõ ïðåäåëàõ è äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ òåïëî- è
ìàññîïåðåíîñà.

Äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè. Äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíîé ìîäåëè Êàòòàíåî  Âåðíîòòå (2.3.1.4) ÷àñòî (íî íå âñåãäà) èñïîëüçóþò
äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ òåïëîâîãî ïîòîêà [59, 79, 239,
449, 521℄:

q|t+τ = −λ∇θ,
â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü âû÷èñëÿåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè
â ìîìåíò âðåìåíè

t.

(2.3.1.6)

t + τ,

à ïðàâàÿ ÷àñòü 

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñîîòíîøåíèÿ (2.3.1.6) çàêëþ÷àåòñÿ â

òîì, ÷òî ïðîöåññ òåïëîïåðåíîñà â ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ñðåäàõ îáëàäàåò
èíåðöèîííûìè ñâîéñòâàìè: ñèñòåìà ðåàãèðóåò íà òåïëîâîå âîçäåéñòâèå (èëè
òåïëîâîé ïîòîê îòêëèêàåòñÿ íà èçìåíåíèå ãðàäèåíòà òåìïåðàòóðû) íå â òîò
æå ìîìåíò âðåìåíè
âðåìÿ ðåëàêñàöèè

τ

t,

êàê â êëàññè÷åñêîì ëîêàëüíî-ðàâíîâåñíîì ñëó÷àå, à íà

ïîçæå.

 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè

ãäå

θ|t+τ = θ(x, t + τ ).

θt |t+τ = a ∆θ,

(2.3.1.7)

Çàìå÷àíèå 2.9. Òîò àêò, ÷òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ âðåìåííûì


çàïàçäû-

âàíèåì ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå àäåêâàòíîé ìîäåëüþ, áûë âïåðâûå îòìå÷åí Ìàêñâåëëîì
[382℄.

Åñëè îðìàëüíî ðàçëîæèòü ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.3.1.7) â ðÿä Òåéëîðà
ïî ìàëîìó

τ

è óäåðæàòü äâà ãëàâíûõ ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, òî ïîëó÷èì ãèïåðáî-

ëè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5) (ýòî ñòàíäàðòíîå ðàññóæäåíèå,
èñïîëüçóåìîå â ëèòåðàòóðå, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, íèêàê íå
îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó ñóùåñòâåííûì îáðàçîì èçìåíÿåò ñâîéñòâà óðàâíåíèÿ).
Îáîçíà÷àÿ â (2.3.1.7)

u = θ(x, t + τ ),

ut = a ∆w,

ïðèõîäèì ê Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

w = u(x, t − τ ),

(2.3.1.8)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (2.1.1.1).

2.3.2. Çàäà÷à Ñòîêñà è íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ
äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè

Òî÷íûå ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâ-

2.3. èïåðáîëè÷åñêîå è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

133

íåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.7) óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèä

θt |t+τ = aθxx .

(2.3.2.1)

Çäåñü, êàê è ðàíåå, ëåâàÿ ÷àñòü âû÷èñëÿåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè

t + τ,

à ïðàâàÿ

÷àñòü  â ìîìåíò âðåìåíè t.
Íèæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.3.2.1).

1◦ .

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

ak2 = λe−λτ

θ = [A cos(kx) + B sin(kx)]e−λt ,
−λt

θ = [A exp(kx) + B exp(−kx)]e
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

,

2

−λτ

ak = −λe

(λ > 0);

(2.3.2.2)

(λ < 0),

(2.3.2.3)

ïîñòîÿííûå.

åøåíèå (2.3.2.2) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíà-

t → ∞. Ïðè 0 < λ < ∞ è τ > 0 îáëàñòü èçìåíåíèÿ
k îãðàíè÷åíà: 0 < k 6 kmax = (eaτ )−1/2 . Ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè k,
òàêîì, ÷òî 0 < k < kmax , óðàâíåíèå (2.3.2.1) äîïóñêàåò äâà âåùåñòâåííûõ
ðåøåíèÿ âèäà (2.3.2.2), ñîîòâåòñòâóþùèõ äâóì ïîëîæèòåëüíûì êîðíÿì λ1 è λ2
−λτ = ak 2 .
òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ λe

òå

x

è çàòóõàåò ïðè

ïàðàìåòðà

åøåíèÿ (2.3.2.2) è (2.3.2.3)  ÷àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ
ïåðåìåííûìè

θ = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

(2.3.2.4)

ϕ(x) è ψ(t) óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè

êîýèöèåíòàìè

ϕ′′xx + cϕ = 0,
ψt′ (t + τ ) + acψ(t) = 0,

(2.3.2.5)
(2.3.2.6)

ïåðâîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì,
à âòîðîå  äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì. Çàìåíîé

t̄ = t + τ

ïî-

ñëåäíåå óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (åãî
ðåøåíèå ïðèâåäåíî â ðàçä. 1.1.3).

2◦ .

åøåíèå, ïåðèîäè÷åñêîå ïî t:

θ = e−γx [A cos(ωt − βx) + B sin(ωt − βx)] + C,
 1/2
 1/2
ω
cos(τ ω)
ω
β=
[1 + sin(τ ω)]1/2 , γ =
2a

ãäå

A, B , C , ω  ïðîèçâîëüíûå

2a

[1 + sin(τ ω)]1/2

ïîñòîÿííûå.

åøåíèå (2.3.2.7) çàòóõàåò ïðè

x → ∞, åñëè C = 0

è

τω <

1
2 π.

(2.3.2.7)

,

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

134

3◦ .

Ïîëèíîìèàëüíûå ðåøåíèÿ:

θ
θ
θ
θ
θ

= Ax + B,
= A(x2 + 2at) + B,
= A(x3 + 6atx) + B,
= A[x4 + 12a(t − τ )x2 + 12a2 (t − 2τ )2 ] + B,
= A[x5 + 20a(t − τ )x3 + 60a2 (t − 2τ )2 x] + B,
n
X
(2n)(2n − 1) . . . (2n − 2k + 1) k
a (t − kτ )k x2n−2k ,
θ = x2n +
k!

k=1

θ = x2n+1 +

n
X
(2n + 1)(2n) . . . (2n − 2k + 2)

k!

k=1

ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

ðåøåíèÿ íåçàâèñèìû îò

ak (t − kτ )k x2n−2k+1 ,

n  íàòóðàëüíîå
âðåìåíè ðåëàêñàöèè τ .
ïîñòîÿííûå, à

÷èñëî. Ïåðâûå òðè

Çàäà÷à Ñòîêñà ñ ïåðèîäè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (0

6 x < ∞).

àññìîòðèì çàäà÷ó Ñòîêñà áåç íà÷àëüíûõ äàííûõ, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ îäíîìåðíûì äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.2.1)
è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ñïåöèàëüíîãî âèäà

θ = A cos(ωt)
ãäå

ïðè

x = 0,

θ→0

ïðè

x → ∞,

(2.3.2.8)

A, ω  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Òðåáóåòñÿ íàéòè ïåðèîäè÷åñêîå
t ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3.2.1) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.3.2.8).

ïî âðå-

ìåíè

Çàäà÷à (2.3.2.1), (2.3.2.8) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåøåíèÿ (2.3.2.7) (ñì. [59, 449℄):

θ = Ae−γx cos(ωt − βx),

(2.3.2.9)

ãäå

β=




ω 1/2
[1 + sin(τ ω)]1/2 , γ
2a


1 3π
ω 6=
+ 2πk ,
τ
2

åøåíèå (2.3.2.9), (2.3.2.10) ïðè

=




cos(τ ω)
ω 1/2
,
2a
[1 + sin(τ ω)]1/2

(2.3.2.10)

k = 0, 1, 2, . . .

τ = 0

ïåðåõîäèò â ðåøåíèå àíàëîãè÷-

íîé çàäà÷è Ñòîêñà áåç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ êëàññè÷åñêîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, êîòîðîå äàåòñÿ îðìóëîé (2.3.2.9), ãäå

β=γ=




ω 1/2
.
2a

(2.3.2.11)

åøåíèå àíàëîãè÷íîé çàäà÷è áåç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ îäíîìåðíîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5) (ïðè

∆θ = θxx )

äëÿ äè-

åðåíöèàëüíîé ìîäåëè Êàòòàíåî  Âåðíîòòå (2.3.1.4) îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé

2.3. èïåðáîëè÷åñêîå è äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
(2.3.2.9), ãäå

β=
γ=






ω 1/2 
τω
2a
ω
2a

1/2 

+ (1 + τ 2 ω 2 )1/2

τ ω + (1 + τ 2 ω 2 )1/2

1/2

135

,

−1/2

(2.3.2.12)

.

Ñðàâíåíèå îðìóë (2.3.2.9), (2.3.2.10) è (2.3.2.9), (2.3.2.11) ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïðè ìàëûõ

ωτ

(òî÷íåå, ïðè

0 < ωτ < π/2) äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ γ äëÿ äèåðåí-

öèàëüíî-ðàçíîñòíîé ìîäåëè ìåíüøå, ÷åì äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè (êîòîðàÿ
îïèñûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì), à êîýèöèåíò ñäâèãà

β äëÿ äèå-

ðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîé ìîäåëè áîëüøå, ÷åì äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè.
Äâà ãëàâíûõ ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ îðìóë (2.3.2.10) è (2.3.2.12) â ðÿä ïî ìàëûì

τ

(ïðè

ωτ ≪ 1) ñîâïàäàþò. Ïðè ìàëûõ τ > 0 è áîëüøèõ ÷àñòîòàõ ω ≫ τ −1

êîýèöèåíòû (2.3.2.12) èìåþò ñëåäóþùèå àñèìïòîòèêè:

β=ω

q

τ
,
a

1
2 aτ

,

γ= √

ò. å. ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõ äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ

γ

(2.3.2.13)
íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû

ω,

÷òî êà÷åñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.2.11). Îáà îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðà
â (2.3.2.13) ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà âîçìóùåíèÿ
áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ïðîèçâåäåíèÿ

ωτ

τ.

Ïðè

ðåøåíèÿ (2.3.2.9), (2.3.2.10) è (2.3.2.9),

(2.3.2.12) îòëè÷àþòñÿ êà÷åñòâåííî  äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ

γ

àëüíî-ðàçíîñòíîé ìîäåëè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ÷àñòîòû

äëÿ äèåðåíöè-

ω

(è íå ñòðåìèò-

ñÿ ê ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå êàê ìîäåëè Êàòòàíåî  Âåðíîòòå, ñì. àñèìïòîòèêè
(2.3.2.13)).

Òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Ñòîêñà ñ îáúåìíîé ðåàêöèåé ïåðâîãî ïîðÿäêà.

Îäíîìåðíîå ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå òåïëîìàññîïåðåíîñà ñ èñòî÷íèêîì èìååò âèä

θt |t+τ = aθxx − kθ|t+τ ,
ãäå

(2.3.2.14)

θ|t+τ = θ(x, t+τ ).  çàäà÷àõ ìàññîïåðåíîñà, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðè k > 0

â óðàâíåíèè (2.3.2.14) ñîîòâåòñòâóåò îáúåìíîé õèìè÷åñêîé ðåàêöèè ïåðâîãî
ïîðÿäêà [433℄.
àññìîòðèì çàäà÷ó Ñòîêñà áåç íà÷àëüíûõ äàííûõ äëÿ îäíîìåðíîãî äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ èñòî÷íèêîì (2.3.2.14)
ñî ñïåöèàëüíûìè ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.3.2.8).
Çàäà÷à (2.3.2.14), (2.3.2.8) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

θ = Ae−γx cos(ωt − βx),
p
1/2
1 
,
β= √
ω 2 + k2 + ω sin(τ ω) − k cos(τ ω)
2a

γ = √ √
2a

 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå

ω cos(τ ω) + k sin(τ ω)

ω 2 + k2 + ω sin(τ ω) − k cos(τ ω)

1/2

(2.3.2.15)

.

k = 0, îðìóëû (2.3.2.15) ïåðåõîäÿò â (2.3.2.9), (2.3.2.10).

136

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Çàìå÷àíèå 2.10. Çàìåíà

θ(x, t) = e−kt η(x, t)
ïðåîáðàçóåò óðàâíåíèå (2.3.2.14) ê áîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ áåç èñòî÷íèêà âèäà
(2.3.2.1):

ηt |t+τ = aekτ ηxx .

Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïåðâàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.2.1) ìîæåò áûòü
çàïèñàíà â âèäå

ut = awxx , w = u(x, t − τ );
u = g1 (t) ïðè x = 0, t > −τ ; u = g2 (t) ïðè x = h, t > −τ ;
u = ϕ(x, t) ïðè 0 < x < h, −τ 6 t 6 0,

(2.3.2.16)

ãäå èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå

u(x, t) = θ(x, t + τ ).

Çàäà÷à (2.3.2.16)  ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è (2.2.1.1)  (2.2.1.3) ïðè

a2 = a, c1 = c2 = 0, f (x, t) ≡ 0.

a1 = 0,

Èç ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â ðàçä. 2.2.5

ñëåäóåò, ÷òî îäíîðîäíàÿ çàäà÷à (2.3.2.16) ïðè

g1 (t) = g2 (t) ≡ 0

ϕ(x, t) ≡ 0
λn âûïðè αn = 0):
è

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ (2.2.5.1), ãäå ýêñïîíåíöèàëüíûé ïîêàçàòåëü
ðàæàåòñÿ ÷åðåç óíêöèþ Ëàìáåðòà (ñì. îðìóëó (2.2.5.8)

λn =

1
W (z),
τ

z = −aτ




πn 2
.
h

(2.3.2.17)

Èñïîëüçóÿ àñèìïòîòè÷åñêóþ îðìóëó äëÿ óíêöèè Ëàìáåðòà (1.1.3.10), äëÿ
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè

λn

ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

Re λn =
ò. å.

λn → ∞

ïðè

n → ∞.

1
τ

n

ïîëó÷èì [68℄:



2 ln n − ln ln n + O(1) ,

Ïîýòîìó ïðè áîëüøèõ

n

(2.3.2.18)

ñîîòâåòñòâåííîå òî÷íîå

ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå âûäåëåíèåì äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â (2.2.5.1), áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàòü ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè t, à íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à
ñ çàïàçäûâàíèåì (2.3.2.16) íåóñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî ìàëûõ âîçìóùåíèé íà÷àëüíûõ äàííûõ (äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà èñïîëüçóþòñÿ ðàññóæäåíèÿ,
àíàëîãè÷íûå ïðîâåäåííûì â ðàçä. 2.2.5). Ïî-âèäèìîìó, âïåðâûå ýòîò àêò áûë
îáíàðóæåí â ðàáîòå [308℄, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàëîñü óðàâíåíèå (2.3.2.1) ñ
îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà è ñïåöèàëüíûì íà÷àëüíûì
óñëîâèåì (ñì. òàêæå [59, 300℄).
Òàêèì îáðàçîì, ïîïûòêà îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.1) ñ ïîìîùüþ èñïîëüçîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîé ìîäåëè
(2.3.1.6) ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè

τ

(çàïàçäûâàíèåì) ïðèâîäèò ê çàäà÷å

(2.3.2.16), ðåøåíèÿ êîòîðîé íåóñòîé÷èâû ïðè ëþáûõ

τ > 0.

Ýòî îçíà÷àåò,

÷òî äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíàÿ ìîäåëü (2.3.1.6) íåïðèãîäíà äëÿ îïèñàíèÿ
òåïëîâûõ (è äèóçèîííûõ) ïðîöåññîâ.

2.4. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

137

Îòìåòèì, ÷òî äèåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü Êàòòàíåî  Âåðíîòòå (2.3.1.4) ïðèâîäèò ê óñòîé÷èâîìó òðèâèàëüíîìó ðåøåíèþ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5) (îáà êîðíÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèáî îòðèöàòåëüíû, ëèáî èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè). Âûâîä ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5) èç äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (2.3.1.7)
ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëîìó
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî

τ ≪ t).

τ

íåêîððåêòåí ïðè

t∼τ

(ïðè ðàçëîæåíèè ïðåä-

Èìåííî ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ

t ∼ τ

èñïîëüçîâàíèå

ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè (2.3.1.5) ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü
îïèñàííûé ðàíåå íåäîñòàòîê ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
(2.3.1.3).

2.4. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì
2.4.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ

 íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿ ñðàâíèòåëüíî íåìíîãî ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ
àíàëèçó è ðåøåíèþ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì.  [587℄ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîãî Óð×Ï ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ìîäåëèðóåòñÿ ðîñò è äåëåíèå êëåòîê, èìåþùèõ
ðàñïðåäåëåíèå ïî ðàçìåðó. Åãî ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå ðÿäà, ÷ëåíû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ áîëåå ïðîñòûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ. Â
[218℄ èññëåäóåòñÿ áîëåå ñëîæíîå ëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé (îíî
ïîëó÷åíî äîáàâëåíèåì äèóçèîííîãî ÷ëåíà ê óðàâíåíèþ, èññëåäîâàííîìó
â [587℄).
 ðàáîòå [355℄ êðàòêî îáñóæäàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè è âîëíîâûõ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ïî äâóì àðãóìåíòàì âèäà

ut (α2 x, t) = uxx (x, βt)

è

utt (α2 x, t) = uxx (x, β 2 t)

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè Äèðèõëå è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
îáùåãî âèäà. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Îñëîæíÿþùèì àêòîðîì â ýòèõ çàäà÷àõ ÿâëÿåòñÿ íåîðòîãîíàëüíîñòü
ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ óíêöèé

Xn (x).

 ðàáîòàõ [74, 75, 78℄, ðàññìàòðèâàëèñü âîïðîñû îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè è ãëàäêîñòè ëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ Óð×Ï ñ ðàñòÿæåíèÿìè è ñæàòèÿìè àðãóìåíòîâ íåèçâåñòíîé óíêöèè ïîä çíàêàìè ñòàðøèõ
ïðîèçâîäíûõ (ñì. òàêæå [53℄).
Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ Óð×Ï
ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè îáñóæäàþòñÿ â ñòàòüÿõ [97, 105, 263,

138

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

444℄.  [502℄ ñòðîèòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
Óð×Ï ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ïî
çàïàçäûâàíèåì ïî

x.

t è ïðîïîðöèîíàëüíûì

àáîòû [125, 479, 514℄ ïîñâÿùåíû ÷èñëåííûì ìåòîäàì

ðåøåíèÿ Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì [125, 479℄ è áîëåå ñëîæíûì ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì [514℄.

2.4.2. Ïåðâàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì

Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. àññìîòðèì ïåðâóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,

w = u(x, pt),

Ω = {0 < x < h, t > 0}
a2 > 0, a1 + a2 > 0, 0 < p < 1). Óðàâíåíèå (2.4.2.1)
îïðåäåëåííîãî â îáëàñòè

(2.4.2.1)

(ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî

a1 > 0,

äîïîëíèì îäíîðîäíûìè

ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà (óñëîâèÿìè Äèðèõëå):

u=0

ïðè

x = 0,

u=0

x = h,

ïðè

(2.4.2.2)

è îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(x)

ïðè

t = 0.

(2.4.2.3)

àññóæäàÿ òî÷íî òàê æå, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (2.2.1.1) ïðè

f = 0,

ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ

ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.2.1) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ
àðãóìåíòîâ

un (x, t) = Tn (t) sin
ãäå óíêöèè

Tn (t)



πnx
h


,

n = 1, 2, . . . ,

(2.4.2.4)

óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîð-

öèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

 2 i
 2 i
h
h
πn
πn
Tn′ (t) = c1 − a1
Tn (t) + c2 − a2
Tn (pt),
h

h

êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç (2.2.1.22) îðìàëüíîé çàìåíîé

T (t − τ )

(2.4.2.5)
íà

T (pt).

×àñòíûå ðåøåíèÿ (2.4.2.4) óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
(2.4.2.2).
Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè, ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.4.2.1)  (2.4.2.3) èùåì â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà

u(x, t) =

∞
X

n=1

Tn (t) sin



πnx
h



,

(2.4.2.6)

2.4. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

139

êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.4.2.1) è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.4.2.2).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.2.5), ïðåäñòàâèì óíêöèþ

ϕ(x),

âõîäÿùóþ â íà÷àëüíîå óñëîâèå

(2.4.2.3), â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì

∞
X

ϕ(x) =

An sin

n=1

πnx
.
h

(2.4.2.7)

Xm (x) = sin πmx
(m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ
h
ïåðåìåííîé x îò 0 äî h, íàõîäèì êîýèöèåíòû An :

Óìíîæàÿ (2.4.2.7) íà
ñòðàíñòâåííîé

2
h

An =

Z

h

ϕ(ξ) sin

0



πnξ
h



dξ.

ïî ïðî-

(2.4.2.8)

Èç ñîîòíîøåíèé (2.4.2.6) è (2.4.2.7) ïîëó÷èì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.2.5) â âèäå

Tn (0) = An ,
ãäå êîýèöèåíòû

An

(2.4.2.9)

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëå (2.4.2.8).

Ëèíåéíàÿ çàäà÷à (2.4.2.5), (2.4.2.9) ñ íîðìèðîâàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

An = 1 ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (1.4.2.2) ïðè c = 0,
ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 1.4.2. Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ

αn = c1 − a1




πn 2
,
h

βn = c2 − a2




πn 2
h

(2.4.2.10)

è èñïîëüçóÿ îðìóëû (1.4.2.4), ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå çàäà÷è (2.4.2.5),
(2.4.2.9) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà



Tn (t) = An 1 +
Ïðè

0 < p < 1 ðÿä

∞
X

γmn t

m

m=1



,

γmn =

1
m!

m−1
Y

(αn + βn pk ).

(2.4.2.11)

k=0

(2.4.2.11) èìååò áåñêîíå÷íûé ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (2.4.2.11) â îðìóëó (2.4.2.6), ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (2.4.2.1)  (2.4.2.3):

u(x, t) =

∞
X

An 1 +

n=1

γmn =
ãäå êîýèöèåíòû



1
m!

An , αn , βn

∞
X

m=1
m−1
Y

γmn t

m





πnx
,
sin
h

(2.4.2.12)

k

(αn + βn p ),

k=0

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì (2.4.2.8) è (2.4.2.10).

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

140

2.4.3. Äðóãèå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì

Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ â âèäå ñóììû ðåøåíèé
áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷. Îïèøåì òåïåðü ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ äðóãèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ
îäíîìåðíûì ëèíåéíûì îäíîðîäíûì Óð×Ï ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.2.1). Äëÿ êðàòêîñòè, äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî
óðàâíåíèå òàê:

L[u, w] = 0,
ãäå

t > 0,

L[u, w] ≡ ut − a1 uxx − a2 wxx − c1 u − c2 w

è

(2.4.3.1)

w = u(x, pt) (0 < p < 1).

Óðàâíåíèå (2.4.3.1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñ ðàçëè÷íûìè ëèíåéíûìè îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, êîòîðûå áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå

Γ1 [u] = 0

ïðè

x = 0,

Γ2 [u] = 0

ïðè

x = h,

(2.4.3.2)

è îáùèì íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u = ϕ(x)

ïðè

t = 0.

(2.4.3.3)

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþ-

Γ1,2 [u], ïðèâåäåíû
g1 (t) = g2 (t) ≡ 0.

ùèå âèä îïåðàòîðîâ (óíêöèé)
ãäå ñëåäóåò ïîëîæèòü

â òðåòüåì ñòîëáöå òàáë. 2.2,

Êàê è ðàíåå, ñíà÷àëà èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.4.3.1) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ

u1 = X(x)T (t).

àçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè, ïðèõîäèì ê ëèíåéíûì ÎÄÓ è
ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

X ′′ (x) = −λ2 X(x),

(2.4.3.4)

2

′

2

T (t) = (c1 − a1 λ )T (t) + (c2 − a2 λ )T (pt).

Òðåáóÿ, ÷òîáû óíêöèÿ

u1 = X(x)T (t)

(2.4.3.5)

óäîâëåòâîðÿëà îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì

óñëîâèÿì (2.4.3.2), ïðèõîäèì ê îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ óíêöèè

X:
Γ1 [X] = 0

ïðè

x = 0,

Íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ

Γ2 [X] = 0

X = Xn (x)

ïðè

x = h.

(2.4.3.6)

ëèíåéíîé îäíîðîäíîé çàäà÷è íà ñîá-

ñòâåííûå çíà÷åíèÿ (2.4.3.4), (2.4.3.6) ñóùåñòâóþò òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà

λ:

λ = λn ,

X = Xn (x),

n = 1, 2, . . .

(2.4.3.7)

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå óíêöèè äëÿ îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ
êðàåâûõ çàäà÷, îïèñûâàåìûõ ÎÄÓ (2.4.3.4), äëÿ ïÿòè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïðèâåäåíû â òàáë. 2.3.

2.4. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

141

Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè, ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.4.3.1)  (2.4.3.1) èùåì â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà

u(x, t) =

∞
X

Tn (t)Xn (x),

(2.4.3.8)

n=1
ãäå óíêöèè

Tn (t) îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì

(2.4.3.5) ïðè

λ = λn . Ïî

ïîñòðîå-

íèþ ðÿä (2.4.3.8) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.4.3.1) è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì (2.4.3.2).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.3.5) ïðè

λ = λn ,

ïðåäñòàâèì óíêöèþ

ϕ(x),

âõîäÿùóþ â íà÷àëüíîå

óñëîâèå (2.4.3.3), â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì

ϕ(x) =

∞
X

An Xn (x).

(2.4.3.9)

n=1

Xm (x) (m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîñòðàíñòâåííîé
h, à çàòåì ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîáñòâåííûå óíêöèè Xn (x)
è Xm (x) îðòîãîíàëüíû ïðè n 6= m, ò. å. âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.1.21),
íàõîäèì êîýèöèåíòû An :
Z h
Z h
1
2
Xn2 (ξ) dξ.
ϕ(ξ)Xn (ξ) dξ, kXn k =
An =
(2.4.3.10)
2

Óìíîæàÿ (2.4.3.9) íà
ïåðåìåííîé

x

0

îò

kXn k

äî

0

0

Èç ñîîòíîøåíèé (2.4.3.8) è (2.4.3.9) ïîëó÷èì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.3.5) ïðè

λ = λn

â âèäå

Tn (0) = An ,
ãäå êîýèöèåíòû

An

(2.4.3.11)

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëå (2.4.3.10).

Ëèíåéíàÿ çàäà÷à ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.3.5), (2.4.3.11)
ïðè

λ = λn

ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé (2.4.2.5),

(2.4.2.9), ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 2.4.2. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è (2.4.2.5),
(2.4.2.9) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà



Tn (t) = An 1 +

∞
X

γmn t

m

m=1

αn = c1 −



a1 λ2n ,

,

γmn =

1
m!

βn = c2 −

m−1
Y

(αn + βn pk ),

k=0
a2 λ2n .

(2.4.3.12)

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (2.4.3.12) â îðìóëó (2.4.3.8), ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (2.4.3.1)  (2.4.3.3):

u(x, t) =

∞
X

n=1
ãäå êîýèöèåíòû
(2.4.3.12).

An

è

γmn



∞
X
m
An 1 +
γmn t Xn (x),

(2.4.3.13)

m=1

âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèé (2.4.3.10) è

142

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.4.3.1)  (2.4.3.3) ñ ëþáûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ïðåäñòàâëåííûìè â òàáë. 2.2, ìîæíî ïîëó÷èòü ïî îðìóëàì
(2.4.3.10), (2.4.3.12), (2.4.3.13), âçÿâ ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
è ñîáñòâåííûå óíêöèè

Xn (x)

λn

èç òàáë. 2.3.

Çàìå÷àíèå 2.11. åøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ

n-ìåðíûõ

îäíîðîäíûõ Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â ðàçä. 2.2.3 äëÿ óðàâíåíèé ñ
ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

Àâòîìîäåëüíàÿ çàäà÷à äëÿ ëèíåéíîãî Óð×Ï ñ äâóìÿ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. àññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
äâóìÿ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = a1 uxx + a2 wxx ,
ãäå

w = u(px, qt) (x > 0, t > 0),

p > 0 è q > 0  ìàñøòàáíûå

(2.4.3.14)

êîýèöèåíòû.

Äîïîëíèì óðàâíåíèå (2.4.3.14) íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìè ñïåöèàëüíîãî âèäà

u=A
ãäå

ïðè

A è B  ïðîèçâîëüíûå

t = 0,

u=B

ïðè

x = 0,

(2.4.3.15)

ïîñòîÿííûå.

åøåíèå çàäà÷è (2.4.3.14)  (2.4.3.15) ÿâëÿåòñÿ àâòîìîäåëüíûì è ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U (z)

z = xt−1/2 ,

(2.4.3.16)

óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ÎÄÓ ñ ïðî-

ïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

′′
′′
+ a2 Wzz
, W = U (σz),
− 12 zUz′ = a1 Uzz
U (0) = B, U (∞) = A.

σ = pq −1/2 ;

(2.4.3.17)
(2.4.3.18)

Ïóñòü ìàñøòàáíûå êîýèöèåíòû ñâÿçàíû ãèïåðáîëè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì

q = p2 ,

òîãäà

σ = 1

è

U = W.

 ýòîì ñïåöèàëüíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå

(2.4.3.17) ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ è ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (2.4.3.14)  (2.4.3.15)
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé

ãäå



x
u = B + (A − B) erf √
, a = a1 + a2 ,
2 at
Rζ
erf ζ = √2π 0 exp(−ξ 2 ) dξ  èíòåãðàë âåðîÿòíîñòåé.

(2.4.3.19)

2.4.4. Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì

Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. àññìîòðèì ïåðâóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòî-

ÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

utt = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,

w = u(x, pt),

(2.4.4.1)

2.4. Ëèíåéíûå íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì
Ω = {0 < x < h, t > 0}
a2 > 0, a1 + a2 > 0, 0 < p < 1). Óðàâíåíèå (2.4.4.1)
îïðåäåëåííîãî â îáëàñòè

(ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî

143

a1 > 0,

äîïîëíèì îäíîðîäíûìè

ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà (óñëîâèÿìè Äèðèõëå):

u=0

ïðè

x = 0,

u=0

ïðè

x = h,

(2.4.4.2)

ut = ψ(x)

ïðè

t = 0.

(2.4.4.3)

è îáùèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u = ϕ(x)

t = 0,

ïðè

àññóæäàÿ òàê æå, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà
(2.4.2.1), ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.4.1) äîïóñêàåò
òî÷íûå ðåøåíèÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ

un (x, t) = Tn (t) sin
ãäå óíêöèè

Tn (t)



πnx
h


,

n = 1, 2, . . . ,

(2.4.4.4)

óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîð-

öèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

 2 i
h
 2 i
h
πn
πn
Tn′′ (t) = c1 − a1
Tn (t) + c2 − a2
Tn (pt),
h

h

(2.4.4.5)

êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç (2.4.2.5) îðìàëüíîé çàìåíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé
íà âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ. ×àñòíûå ðåøåíèÿ (2.4.4.4) óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.4.4.2).
Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè, ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (2.4.4.1)  (2.4.4.3) èùåì â âèäå áåñêîíå÷íîãî ðÿäà

u(x, t) =

∞
X

Tn (t) sin

n=1



πnx
h



,

(2.4.4.6)

êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.4.4.1) è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.4.4.2).
×òîáû íàéòè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìçàïàçäûâàíèåì (2.4.4.5), ïðåäñòàâèì óíêöèè

ϕ(x)

è

ψ(x),

âõîäÿùèå â íà÷àëüíûå

óñëîâèÿ (2.4.4.3), â âèäå ðàçëîæåíèé ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì

ϕ(x) =

∞
X

An sin

n=1

πnx
,
h

ψ(x) =

∞
X

Bn sin

n=1

πnx
.
h

(2.4.4.7)

Xm (x) = sin πmx
(m = 1, 2, . . . ) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîh
ñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé x îò 0 äî h, íàõîäèì êîýèöèåíòû An è Bn :
Z h
Z h




2
πnξ
πnξ
2
ϕ(ξ) sin
ψ(ξ) sin
dξ, Bn =
dξ.
An =
(2.4.4.8)

Óìíîæàÿ (2.4.4.7) íà

h

h

0

h

0

h

Èç ñîîòíîøåíèé (2.4.4.6) è (2.4.4.7) ïîëó÷èì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ÎÄÓ ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.4.5) â âèäå

Tn (0) = An ,
ãäå êîýèöèåíòû

An

è

Bn

Tn′ (0) = Bn ,

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì (2.4.4.8).

(2.4.4.9)

144

2. Ë ÈÍÅÉÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Ëèíåéíàÿ çàäà÷à äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (2.4.4.5), (2.4.4.9) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé
(1.2.2.24), (1.2.2.25) ïðè

c = 0, ðàññìîòðåííîé â ðàçä. 1.2.2. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå

è èñïîëüçóÿ îðìóëû (1.2.2.26) è (1.2.2.26), ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå çàäà÷è
(2.4.4.5), (2.4.4.9) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äâóõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ

Tn (t) = An Tn1 (t) + Bn Tn2 (t),

(2.4.4.10)

ãäå

Tn1 (t) = 1 +

∞
X

γn,2m t

2m

,

γn,2m =

m=1

Tn2 (t) = t +

∞
X

1
(2m)!

γn,2m+1 t2m+1 , γn,2m+1 =

m=1
à êîýèöèåíòû

αn

è

βn

m−1
Y

(αn + βn p2k );

k=0

1
(2m + 1)!

m−1
Y

(αn + βn p2k+1 ),

k=0

(2.4.4.11)

îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì (2.4.2.10). Ïðè

00

ñîîòâåòñòâóþùèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì è ÎÄÓ ñ îïåðåæåíèåì,

ðàññìàòðèâàþòñÿ îäíîâðåìåííî.
Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
ak 2 Uzz
− λUz′ + U f (W/U ) = 0,
ãäå

f (ζ)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ,

W = U (z − σ).

(3.1.2.6)

1◦ . Óðàâíåíèå (3.1.2.6) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà
U = C exp(βz),

3.1. Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû
ãäå

151

C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíò-

íîãî) óðàâíåíèÿ

ak 2 β 2 − λβ + f (e−σβ ) = 0.
Ïàðàìåòðû

2◦ .

k

è

λ â (3.1.2.6)

ìîãóò áûòü ëþáûìè.

Óðàâíåíèå (3.1.2.6) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãî-

íîìåòðè÷åñêîãî âèäà



U = eµz An cos(βn z) + Bn sin(βn z) ,

Çäåñü

An , Bn , µ  ïðîèçâîëüíûå

βn =

πn
,
σ

n = ±1, ±2, . . .

ïîñòîÿííûå, à ïàðàìåòðû

λ

è

k

â óðàâíåíèè

(3.1.2.6) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì:

λ = 2ak2 µ,
Óðàâíåíèå 2.

k=±



f (−1)n e−µσ
a(βn2 + µ2 )


1/2

.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
ak2 Uzz
−λUz′ +U f (U −cW )+W g(U −cW )+h(U −cW ) = 0,
ãäå

c > 0,

(3.1.2.7)

f (ζ), g(ζ), h(ζ)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè è W = U (z−σ), äîïóñêàåò òî÷íûå

ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âèäà



U = eµz An cos(βn z) + Bn sin(βn z) + D,
µ=

Çäåñü

1
σ

ln c, βn =

2πn
,
σ

n = ±1, ±2, . . .

An , Bn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, D  êîðåíü

àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñ-

öåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

à ïàðàìåòðû



D f (ξ) + g(ξ) + h(ξ) = 0,

λèk

óðàâíåíèÿ (3.1.2.7) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì:

2

λ = 2ak µ,
Óðàâíåíèå 3.

ξ = (1 − c)D,

k=±



cf (ξ) + g(ξ)
ac(βn2 + µ2 )

1/2

.

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
ak2 Uzz
−λUz′ +U f (U +cW )+W g(U +cW )+h(U +cW ) = 0,
ãäå

c > 0,

(3.1.2.8)

f (ζ), g(ζ), h(ζ)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè è W = U (z −σ), äîïóñêàåò òî÷íîå

ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âèäà



U = eµz An cos(βn z) + Bn sin(βn z) + D,

µ=
Çäåñü

1
σ

ln c, βn =

An , Bn  ïðîèçâîëüíûå

(2n − 1)π
,
σ

n = 0, ±1, ±2, . . .

ïîñòîÿííûå, à

D  êîðåíü

àëãåáðàè÷åñêîãî (èëè

òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ



D f (ξ) + g(ξ) + h(ξ) = 0,

ξ = (1 + c)D.

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

152

Ïàðàìåòðû

λ

è

k

óðàâíåíèÿ (3.1.2.8) îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì:

λ = 2ak 2 µ,
Óðàâíåíèå 4.

k=±

h

i
cf (ξ) + g(ξ) 1/2
ac(βn2 − µ2 )

(µ 6= ±βn ).

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
ak 2 Uzz
− λUz′ + U f (U 2 + W 2 ) + W g(U 2 + W 2 ) = 0,
ãäå

f (ζ), g(ζ)  ïðîèçâîëüíûå

óíêöèè è

ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âèäà

W = U (z − σ),

(3.1.2.9)

äîïóñêàåò òî÷íûå

U = An cos(βn z) + Bn sin(βn z),
βn =
Êîýèöèåíòû

An

Bn

è

π(2n + 1)
,
2σ

(3.1.2.10)

n = 0, ±1, ±2, . . .

â (3.1.2.10) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ

(òðàíñöåíäåíòíûõ) óðàâíåíèé:

−ak 2 βn2 An − λβn Bn + An f (A2n + Bn2 ) + (−1)n+1 Bn g(A2n + Bn2 ) = 0,
−ak 2 βn2 Bn + λβn An + Bn f (A2n + Bn2 ) + (−1)n An g(A2n + Bn2 ) = 0.

(3.1.2.11)

Bn ïðîèçâîëüíûìè.
ïàðàìåòðîâ λ è k :

Ìîæíî ñ÷èòàòü
øåíèÿ äëÿ

An

λ=
Óðàâíåíèå 5.

′′
ak2 Uzz
− λUz′ +
ãäå

è

(−1)n+1 g(A2n + Bn2 )
,
βn

Òîãäà èç (3.1.2.11) ñëåäóþò ñîîòíî-

k=±

h

i
f (A2n + Bn2 ) 1/2
.
aβn2

àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

1
ϕ′U





ϕ′′
f ϕ(U ) − ϕ(W ) + U′ U3 g ϕ(U ) − ϕ(W ) = 0,
(ϕU )

(3.1.2.12)

f (ζ), g(ζ), ϕ(U )  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè. Îíî äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ,

êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîì âèäå

ϕ(U ) = Az + B,
ãäå

A, B

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à ïàðàìåòðû

îðìóëàì:

k=±
◮

(3.1.2.13)

Ïðèìåð 3.2. Ïîëàãàÿ

h

i
g(Aσ) 1/2
,
aA2

ϕ(U ) = U k

λ=

k

f (Aσ)
.
A

è

λ

îïðåäåëÿþòñÿ ïî

(3.1.2.14)

â (3.1.2.12) è (3.1.2.13), ïðèõîäèì ê

óðàâíåíèþ

′′
ak 2 Uzz
− λUz′ + U 1−k fˆ(U k − W k ) + U 1−2k ĝ(U k − W k ) = 0,

U = (Az +B)1/k . Íîâûå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
k−1
1
èñõîäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè: fˆ(ζ) =
◭
k f (ζ), ĝ(ζ) = k 2 g(ζ).

êîòîðîå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå
ñâÿçàíû ñ

3.1. Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû
◮

Ïðèìåð 3.3. Ïîëàãàÿ

ϕ(U ) = eβU

153

â (3.1.2.12) è (3.1.2.13), ïðèõîäèì ê

óðàâíåíèþ

′′
ak2 Uzz
− λUz′ + e−βU fˆ(eβU − eβW ) + e−2βU ĝ(eβU − eβW ) = 0,

öèè ñâÿçàíû ñ

U=

1
β

ln(Az + B). Íîâûå ïðîèçâîëüíûå óíê1
èñõîäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè: fˆ(ζ) =
f (ζ), ĝ(ζ) = 1 g(ζ).
◭

êîòîðîå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

β

β

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì. Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ïî îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé íå äîïóñêàþò
òî÷íûõ ðåøåíèé òèïà áåãóùåé âîëíû.
Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû èìåþò íåçàâèñÿùèå ÿâíî îò

x

è

t

óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ îäèíàêîâûì ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ïî äâóì íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì, ñîäåðæàùèå íåèçâåñòíûå óíêöèè

u = u(x, t) è w = u(px, qt) ïðè q = p.  ÷àñòíîñòè, ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå
óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì [444℄:

ut = [g(u)ux ]x + F (u, w),

w = u(px, pt),

èìåþò ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû (3.1.2.3), ãäå óíêöèÿ

U (z)

îïèñûâàåòñÿ

ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

λUz′ = k2 [g(U )Uz′ ]′z + F (U, W ),

W = U (pz).

3.1.3. åøåíèÿ òèïà ðîíòà áåãóùåé âîëíû íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà

åøåíèÿ òèïà áåãóùåãî ðîíòà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé
âîëíû

u = U (z),
ãäå

λ > 0.

z = x + λt,

(3.1.3.1)

Ïîäñòàâèâ (3.1.3.1) â Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.1.1.1),

äëÿ óíêöèè

U (z)

ïîëó÷èì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
aUzz
− λUz′ + f (U, W ) = 0,

W = U (z − λτ ).

(3.1.3.2)

Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå
äîïóñêàþò èçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå
(3.1.1.1) èìååò ïðîñòûå ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ

u = u1

è

u = u2 ,

ãäå

u1 è u2 
f (u, w)

íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Ñêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ óíêöèÿ
â ýòèõ òî÷êàõ îáðàùàåòñÿ â íóëü, ò. å.

f (u1 , u1 ) = f (u2 , u2 ) = 0.

 ïðèëîæåíèÿõ îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ðåøåíèÿì òèïà
áåãóùåé âîëíû (3.1.3.1), â êîòîðûõ óíêöèÿ

U (z) íå òîëüêî óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.3.2), íî è äîïîëíèòåëüíûì àñèìïòîòè÷åñêèì ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì ñîïðÿæåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè

U (z) → u1

ïðè

z → −∞,

U (z) → u2

ïðè

z → ∞.

(3.1.3.3)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

154

Çäåñü

u1

è

u2

ìîæíî ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè. Îãðàíè÷åííûå ìîíîòîííûå ðåøå-

íèÿ (3.1.3.1) óðàâíåíèÿ (3.1.1.1), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (3.1.3.3), íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿìè òèïà ðîíòà áåãóùåé âîëíû (èëè êðàòêî ðåøåíèÿìè òèïà
áåãóùåãî ðîíòà).
Íèæå áóäóò îïèñàíû êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ðåøåíèé òèïà ðîíòà áåãóùåé âîëíû íåêîòîðûõ Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, âñòðå÷àþùèõñÿ
â ïðèëîæåíèÿõ.

Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì. åàêöèîííî-

äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì èìååò
âèä

ut = auxx + bu(1 − cw),
ãäå

w = u(x, t − τ ),

(3.1.3.4)

a > 0, b > 0, c > 0. Îíî îïèñûâàåò äèíàìèêó ïîïóëÿöèè (ò. å. ñîâîêóïíîñòè

îñîáåé îäíîãî âèäà) ñ ó÷åòîì ïåðèîäà âçðîñëåíèÿ, êîãäà îñîáè íå ñïîñîáíû
ê ðàçìíîæåíèþ (ïîäðîáíîñòè ñì. â ðàçä. 6.2.2). Óðàâíåíèå (3.1.3.4) èíîãäà
íàçûâàþò òàêæå óðàâíåíèåì Ôèøåðà  ÊÏÏ (Êîëìîãîðîâà  Ïåòðîâñêîãî 
Ïèñêóíîâà) ñ çàïàçäûâàíèåì ïîñêîëüêó ýòî óðàâíåíèå ïðè

τ =0

ðàññìàòðèâà-

ëîñü â ðàáîòàõ [41, 237℄.
Óðàâíåíèå (3.1.3.4) èìååò äâà ïðîñòûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ

u = 0

è

u = 1/c è äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû (3.1.3.1), ãäå óíêöèÿ
U (z) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
aU ′′ (z) − λU ′ (z) + bU (z)[1 − cU (z − λτ )] = 0.
Ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ

U (z),

(3.1.3.5)

óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (3.1.3.5) è àñèìïòî-

òè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ñîïðÿæåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè

U (z) → 0

ïðè

z → −∞,

U (z) → 1/c

ïðè

z → ∞,

(3.1.3.6)

áóäåò îïðåäåëÿòü ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà.
Ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ, ñîðìóëèðîâàííûå íèæå â âèäå òåîðåì.

ÎÄÓ (3.1.3.5)  (3.1.3.6)
[235, 395℄. Ïðè τ = 0 êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ √
èìååò ìîíîòîííîå ðåøåíèå, åñëè è òîëüêî
åñëè
λ
>
2
ab. Äðóãèìè ñëîâàìè,
√
ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ λ = 2 ab ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî äîïóñòèìîé
ñêîðîñòüþ áåãóùåé âîëíû äëÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ (3.1.3.4).
√
[291, 568℄. Äëÿ ëþáîãî λ > 2 ab ñóùåñòâóåò τ∗(λ) > 0 òàêîå,
÷òî äëÿ τ 6 τ∗(λ) óðàâíåíèå (3.1.3.4) èìååò ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà,
äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ λ.
Òåîðåìà 1

Òåîðåìà 2

Ïîÿñíèì îòêóäà â òåîðåìàõ 1 è 2 âîçíèêàåò îãðàíè÷åíèå ñíèçó äëÿ ñêîðîñòè
áåãóùåé âîëíû
îòðèöàòåëüíûõ

λ. Äëÿ ýòîãî ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèå (3.1.3.5) ïðè áîëüøèõ
z , ñ÷èòàÿ |U | ≪ 1.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ïðèáëèæåííîìó

ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ

aU ′′ (z) − λU ′ (z) + bU (z) = 0,

3.1. Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû
÷àñòíûå ðåøåíèÿ êîòîðîãî èùåì â ýêñïîíåíöèàëüíîì âèäå
ïîêàçàòåëÿ

β

U = exp(βz).

155

Äëÿ

èìååì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

aβ 2 − λβ + b = 0,
êîðíè êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì

λ±

β1,2 =
Âèäíî, ÷òî ïðè

√
λ > 2 ab

√

λ2 − 4ab
.
2a

îáà êîðíÿ ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè äåéñòâèòåëü-

íûìè ÷èñëàìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ýêñïîíåíöèàëüíûå ðåøåíèÿ ìîíîòîííî
áûñòðî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè

z → −∞.

Ïðè

√
λ < 2 ab

îáà êîðíÿ ÿâëÿþòñÿ

êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ñîîòâåòñòâóþùèå èì ðåøåíèÿ õîòÿ è áûñòðî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè

z → −∞,

íî íîñÿò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð (ò. å. â ýòîì ñëó÷àå

ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííûì).
Ñîðìóëèðóåì åùå îäíó òåîðåìó, óòî÷íÿþùóþ òåîðåìó 1.

[251℄ (ñì. òàêæå [336℄). åàêöèîííî-äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.3.4) ïðè a = b = c = 1 èìååò ïîëîæèòåëüíîå
ìîíîòîííîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà âèäà (3.1.3.1), ñâÿçûâàþùåå ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ 0 è 1, åñëè è òîëüêî åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
(a) 0 6 τ 6 1/e = 0.367879441 . . . è 2 6 λ < +∞;
p
(b) 1/e < τ 6 τ1 = 0.560771160 . . . è 2 6 λ 6 λ∗(τ ) = 1/ φ(τ ).
Çäåñü êîíñòàíòà τ1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ
Òåîðåìà 3

2τ 2 exp 1 +

p

p


1 + 4τ 2 − 2τ = 1 + 1 + 4τ 2 ,

à óíêöèÿ φ(τ ) îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì îáðàçîì
φ = ξh(ξ),
 ñëó÷àå

τ = h(ξ) ≡ 2ξ+

p

1+

4ξ 2




exp



2ξ
−1− p
1 + 4ξ 2



,

0 6 ξ 6 0.445 . . .

τ > τ1 = 0.560771160 . . . äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
a = b = c = 1 íå èìååò ìîíîòîííîãî ðåøåíèÿ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.3.4) ïðè
òèïà áåãóùåãî ðîíòà.

Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè óñëîâèè
îãðàíè÷åííîñòè ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ. Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâ-

íåíèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åííîñòè ïèòàòåëüíûõ
âåùåñòâ, êîòîðîå îáîáùàåò óðàâíåíèå (3.1.3.4), èìååò âèä

ut = auxx + bu
ãäå

1 − cw
,
1 + γw

w = u(x, t − τ ),

(3.1.3.7)

γ > 0.  ÷àñòíîì ñëó÷àå γ = 0 ýòî óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (3.1.3.4).
Óðàâíåíèå (3.1.3.7), êàê è óðàâíåíèå (3.1.3.4) èìååò äâà ïðîñòûõ ñòàöèî-

íàðíûõ ðåøåíèÿ

u=0

è

u = 1/c

è äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé

âîëíû âèäà (3.1.3.1).
 [256℄ (ñì. òàêæå [291℄) áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óðàâíåíèå (3.1.3.7) èìååò
ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 2, ñîðìóëèðîâàííîé âûøå.

156

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Çàìå÷àíèå 3.5. Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå áóäåò ñïðàâåäëèâî òàêæå äëÿ áîëåå

ñëîæíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (3.1.3.7) ïóòåì çàìåíû
çíàìåíàòåëÿ

1 + γw

íà

1 + γ1 u + γ2 w ,

ãäå

γ1 > 0

è

γ2 > 0 .

åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Íèêîëñîíà ñ çàïàçäûâàíèåì. åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Íèêîëñîíà ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì

ut = uxx − δu + pwe−κw ,

w = u(x, t − τ ),

(3.1.3.8)

p > 0, δ > 0, κ > 0.
Ïðè p/δ > 1 óðàâíåíèå (3.1.3.8) èìååò äâà ïðîñòûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿ
u = 0 è u = (1/κ) ln(p/δ) è äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû
(3.1.3.1), ãäå óíêöèÿ U (z) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ãäå

U ′′ (z) − λU ′ (z) − δU (z) + pU (z − λτ )e−κU (z−λτ ) = 0.
Ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ

U (z), óäîâëåòâîðÿþùàÿ

(3.1.3.9)

óðàâíåíèþ (3.1.3.9) è àñèìï-

òîòè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ñîïðÿæåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè

U (z) → 0

ïðè

z → −∞,

U (z) → (1/κ) ln(p/δ)

ïðè

z → ∞,

(3.1.3.10)

áóäåò îïðåäåëÿòü ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà.
 [500℄ áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Ïóñòü 1 < p/δ 6 e. Òîãäà ñóùåñòâóåò λ∗ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
λ > λ∗ óðàâíåíèå (3.1.3.9) èìååò ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà (3.1.3.1),
äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ λ.
åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Áåëîóñîâà  Æàáîòèíñêîãî ñ çàïàçäûâàíèåì. åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Áåëîóñîâà  Æàáîòèíñêîãî ñ çàÒåîðåìà 4.

ïàçäûâàíèåì îïèñûâàåòñÿ êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé [568℄:

ut = uxx + u(1 − u − av̄),
vt = vxx − buv,
ãäå

v̄ = v(x, t − τ ),

(3.1.3.11)

u è v  êîíöåíòðàöèè áîðíîé êèñëîòû è èîíîâ áðîìèäà, a è b  ïîëîæèòåëü-

íûå êîíñòàíòû. Óðàâíåíèÿ (3.1.3.6) è èõ îáîáùåíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ òàêæå äëÿ îïèñàíèÿ áîëåå ñëîæíûõ áèîõèìè÷åñêèõ è áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.
Áîëåå ïðîñòàÿ ñèñòåìà áåç çàïàçäûâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ

τ = 0

â (3.1.3.6),

ðàññìàòðèâàëàñü â [393℄.
Ñèñòåìà (3.1.3.11) èìååò ïðîñòûå ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ:
è

u = 0, v =

onst

u = 1, v = 0.
Ñèñòåìà (3.1.3.6) äîïóñêàåò ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû

u = U (z),
ãäå

v = V (z),

z = x + λt,

(3.1.3.12)

λ > 0, à óíêöèè U (z) è V (z) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
U ′′ (z) − λU ′ (z) + U (z)[1 − U (z) − aV (z − λτ )] = 0,
V ′′ (z) − λV ′ (z) − bU (z)V (z) = 0.

(3.1.3.13)

3.1. Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû

157

Äîïîëíèì óðàâíåíèÿ (3.1.3.13) àñèìïòîòè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
ñîïðÿæåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè

U (z) → 0
V (z) → 1
Ôóíêöèè

ïðè
ïðè

U (z)

è

z → −∞,
z → −∞,

V (z),

U (z) → 1
V (z) → 0

ïðè
ïðè

z → ∞,
z → ∞.

(3.1.3.14)

óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

(3.1.3.13) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (3.1.3.14), îïðåäåëÿþò ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà äëÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ
çàïàçäûâàíèåì (3.1.3.11).
 [568℄ áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Ýòà òåîðåìà â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ a è b ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ äâóõ ïóíêòîâ:
√
1◦ . Ïóñòü 0 < b 6 1 − a. Òîãäà äëÿ ëþáîãî λ > 2 1 − a è τ > 0
ñèñòåìà (3.1.3.11) èìååò ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ
ñî ñêîðîñòüþ λ.
√
2◦ . Ïóñòü 1 − a < b. Òîãäà äëÿ ëþáîãî λ > 2 b è τ > 0 ñèñòåìà (3.1.3.11)
èìååò ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ λ.
Äèóçèîííàÿ ìîäåëü òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððà ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè. åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððà ñ êîÒåîðåìà 5.

îïåðàòèâíûì âçàèìîäåéñòâèåì è íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè îïèñûâàåòñÿ
ñèñòåìîé óðàâíåíèé [291℄:

∂u(x, t)
∂t
∂v(x, t)
∂t

∂ 2 u(x, t)
∂x2
∂ 2 v(x, t)
a2
∂x2

= a1

+ b1 u(x, t)[1 − c1 u(x, t − τ1 ) + d1 v(x, t − τ2 )],

=

+ b2 v(x, t)[1 + d2 u(x, t − τ3 ) − c2 v(x, t − τ4 )],

(3.1.3.15)

ai , bi , ci , di , τj (i = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4)  ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.
c1 c2 − d1 d2 > 0. Òîãäà ñèñòåìà (3.1.3.15) èìååò ÷åòûðå ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ: (0, 0), (1/c1 , 0), (0, 1/c2 ), (k1 , k2 ), ãäå

ãäå

Ïóñòü

k1 =

d1 + c2
c1 c2 − d1 d2

,

k2 =

c1 + d2
c1 c2 − d1 d2

.

(3.1.3.16)

Ïåðåõîäÿ â (3.1.3.15) ê ïåðåìåííûì áåãóùåé âîëíû (3.1.3.12), ïîëó÷èì
ñèñòåìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè

a1 U ′′ (z) − λUz′ (z) + b1 U (z)[1 − c1 U (z − λτ1 ) + d1 V (z − λτ2 )] = 0,
a2 V ′′ (z) − λV ′ (z) + b2 V (z)[1 + d2 U (z − λτ3 ) − c2 V (z − λτ4 )] = 0.

(3.1.3.17)

Óðàâíåíèÿ (3.1.3.17) äîïîëíèì àñèìïòîòè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè

U (z) → 0
V (z) → 0
ãäå ïîñòîÿííûå

ïðè
ïðè

k1

è

k2

z → −∞,
z → −∞,

U (z) → k1
V (z) → k2

îïðåäåëåíû â (3.1.3.16).

 [291℄ áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

ïðè
ïðè

z → ∞,
z → ∞,

(3.1.3.18)

158

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òåîðåìà 6.

Ïóñòü c1 c2 − d1 d2 > 0. Òîãäà äëÿ ëþáîãî

p

 p
λ > max 2 a1 b1 c1 k1 , 2 a2 b2 c2 k2

ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ñèñòåìà òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððà ñ çàïàçäûâàíèÿìè
(3.1.3.15) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ τ1 è τ4 èìååò äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ λ
ðåøåíèå òèïà áåãóùåãî ðîíòà (3.1.3.12), êîòîðîå àñèìïòîòè÷åñêè ñâÿçàíî ñî
ñòàöèîíàðíûìè ðåøåíèÿìè (0, 0) è (k1 , k2 ).

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

3.2.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Òåðìèíîëîãèÿ. Ïðèìåðû

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ
ÿâëÿåòñÿ ñàìûì ðàñïðîñòðàíåííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè [90, 173, 332, 434, 436, 604℄. Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè

x

è

t

è èñêîìîé óíêöèåé

u = u(x, t)

ýòîò ìåòîä

áàçèðóåòñÿ íà ïîèñêå òî÷íûõ ðåøåíèé â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ
àðãóìåíòîâ

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

(3.2.1.1)

îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè îáûêíîâåííûìè

äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è îïðåäåëÿþòñÿ â õîäå ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà.
Èíòåãðèðîâàíèå îòäåëüíûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ïåðâîãî ïîðÿäêà îñíîâàíî íà ïîèñêå òî÷íûõ ðåøåíèé â âèäå ñóììû óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ
[26, 32, 434℄:

u = ϕ(x) + ψ(t).

(3.2.1.2)

Íåêîòîðûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè âòîðîãî è áîëåå
âûñîêèõ ïîðÿäêîâ áåç çàïàçäûâàíèÿ è ñ çàïàçäûâàíèåì òàêæå èìåþò òî÷íûå
ðåøåíèÿ âèäà (3.2.1.1) èëè (3.2.1.2). Ïîäîáíûå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèÿìè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ [60, 63, 447℄. Îáà òèïà ýòèõ òî÷íûõ ðåøåíèé èíîãäà áóäåì îáúåäèíÿòü è íàçûâàòü ðåøåíèÿìè ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

Ïðèìåðû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèõ ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.  ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ïðîâîäèòñÿ ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è â ëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ áåç çàïàçäûâàíèÿ. Òî÷íîå ðåøåíèå èùåòñÿ â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ èëè ñóììû óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ. Ïîäñòàâèâ (3.2.1.1)
èëè (3.2.1.2) â ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå è äåëàÿ ýëåìåíòàðíûå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, ïðèõîäÿò ê ðàâåíñòâó äâóõ âûðàæåíèé (äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

159

ïåðåìåííûìè), çàâèñÿùèõ îò ðàçíûõ àðãóìåíòîâ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäîå èç óêàçàííûõ âûðàæåíèé ðàâíî îäíîé è
òîé æå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå.  ðåçóëüòàòå äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí
îáû÷íî ïîëó÷àþò ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ äëÿ
äëÿ

ϕ = ϕ(x) è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψ = ψ(t).

Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà ïðîñòûõ êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ.

◮

Ïðèìåð 3.4. Ïîêàæåì, ÷òî ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = a(uk ux )x + bw,

w = u(x, t − τ ),

(3.2.1.3)

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâèâ (3.2.1.1) â óðàâíåíèå (3.2.1.3), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ

ϕψt′ = aψ k + 1 (ϕk ϕ′x )′x + bϕψ̄,
Ïåðåíåñÿ ÷ëåí

bϕψ̄

ψ̄ = ψ(t − τ ).

â ëåâóþ ÷àñòü (3.2.1.4), à çàòåì ðàçäåëèâ íà

÷èì

ψt′ − bψ̄
ψ k+1

=

a(ϕk ϕ′x )′x
ϕ

(3.2.1.4)

ϕψ k + 1 ,

ïîëó-

.

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííîé t, à ïðàâàÿ  òîëüêî
îò

x. Ýòî

âîçìîæíî ëèøü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé

ψt′ − bψ̄
ψ k+1
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

= C,

a(ϕk ϕ′x )′x
ϕ

= C,

(3.2.1.5)

ïîñòîÿííàÿ. åøåíèå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèè

ψ = ψ(t) â (3.2.1.5) ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäîì

øàãîâ (ñì. ðàçä. 1.1.5). ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà áåç çàïàçäûâàíèÿ äëÿ óíêöèè

ϕ = ϕ(x) â (3.2.1.5) äîïóñêàåò ïîíèæåíèå ïîðÿäêà (ïîñêîëüêó íå çàâèñèò ÿâíî
îò x), åãî îáùåå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â íåÿâíîé îðìå.
Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè âèäà
(3.2.1.1) íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (3.2.1.3) ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ïðîöåäóðå,
èñïîëüçóåìîé äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå ïðîñòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì ïðè

k = 0.

Ïðèíöèïèàëüíàÿ ðàçíèöà ìåæäó ëèíåéíûìè è

íåëèíåéíûìè äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ
ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé íå ïðèìåíèì ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, ò. å.
íåëüçÿ ñêëàäûâàòü ðåøåíèÿ âèäà (3.2.1.1) íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (3.2.1.3) ïðè

k 6= 0,

ïîëó÷åííûå ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (3.2.1.5) äëÿ ðàçëè÷íûõ

êîíñòàíò

◭

C.

Çàìå÷àíèå 3.6.  óðàâíåíèÿõ (3.2.1.3) è (3.2.1.5) ïîñòîÿííîå çàïàçäûâàíèå

τ = τ (t),
å. t − τ = pt).

æåò áûòü çàìåíåíî ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì ïðîèçâîëüíîãî âèäà
íîñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

◮

τ = (1 − p)t (ò.

τ

ìî-

â ÷àñò-

Ïðèìåð 3.5. Óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ýêñïîíåíöè-

àëüíîé íåëèíåéíîñòüþ è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + beλ(u−w) ,

w = u(x, t − τ ),

(3.2.1.6)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

160

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â âèäå ñóììû óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ. Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (3.2.1.2) â óðàâíåíèå (3.2.1.6). Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

ψt′ − beλ(ψ−ψ̄) = aϕ′′xx ,

ψ̄ = ψ(t − τ ),

ëåâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííîé

t,

(3.2.1.7)

à ïðàâàÿ  òîëüêî îò

x.

Ïðèðàâíèâàÿ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (3.2.1.7) êîíñòàíòå, ïîëó÷èì

ψt′ − beλ(ψ−ψ̄) = C,

aϕ′′xx = C.

(3.2.1.8)

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì äëÿ

ψ = ψ(t)

−λψ ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
â (3.2.1.8) ïîäñòàíîâêîé θ = e
Èíòåãðèðóÿ äâàæäû ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ

C 2
2a x

ϕ=

ϕ = ϕ(x)

â (3.2.1.8), èìååì

+ C1 x + C2 .

◭

Çàìå÷àíèå 3.7.  óðàâíåíèÿõ (3.2.1.6) è (3.2.1.8) ïîñòîÿííîå çàïàçäûâàíèå

τ = τ (t),
å. t − τ = pt).

æåò áûòü çàìåíåíî ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì ïðîèçâîëüíîãî âèäà
íîñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

◮

τ = (1 − p)t (ò.

τ

ìî-

â ÷àñò-

Ïðèìåð 3.6. Ïîêàæåì, ÷òî ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è èñòî÷íèêîì ëîãàðèìè÷åñêîãî òèïà

ut = auxx + bu ln w,

w = u(x, t − τ ),

(3.2.1.9)

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ

u = ϕ(x)ψ(t).

(3.2.1.10)

Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (3.2.1.10) â óðàâíåíèå (3.2.1.9). Ïîñëå äåëåíèÿ
íà

ϕψ

è ïåðåíîñà èç ïðàâîé ÷àñòè îäíîãî èç ñëàãàåìûõ â ëåâóþ ÷àñòü ïîëó-

÷åííîãî ðàâåíñòâà, èìååì

ψt′
ψ

− b ln ψ̄ = a

ϕ′′xx
ϕ

+ b ln ϕ,

ψ̄ = ψ(t − τ ).

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííîé t, à ïðàâàÿ  òîëüêî
îò

x.

Ïðèðàâíèâàÿ èõ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå, ïîëó÷àåì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

äëÿ óíêöèè

ψ(t)

è ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ äëÿ óíêöèè

ψt′
ψ

− b ln ψ̄ = C,

a

ϕ′′xx
ϕ

ϕ(x):

+ b ln ϕ = C.

(3.2.1.11)

Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì äëÿ
â (3.2.1.11) ïîäñòàíîâêîé
äëÿ

ψ=

ψ = ψ(t)

eθ ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
◭

θ.
Çàìå÷àíèå 3.8.  óðàâíåíèÿõ (3.2.1.9) è (3.2.1.11) ïîñòîÿííîå çàïàçäûâàíèå

τ

τ = τ (t),
å. t − τ = pt).

â

ìîæåò áûòü çàìåíåíî ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì ïðîèçâîëüíîãî âèäà
÷àñòíîñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

τ = (1 − pt) (ò.

Íèæå îïèñàíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (3.1.1.1),
ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè (çàâèñÿùèå îò êîìáèíàöèé

u

è

w)

è äî-

ïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ.

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

161

3.2.2. åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì,
äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè. Íèæå ïðèâåäåíû òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ

íåêîòîðûõ

íåëèíåéíûõ

ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ

óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, ñîäåðæàùèõ îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.
Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

(3.2.2.1)

1◦ . Óðàâíåíèå (3.2.2.1) èìååò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ, ïåðèîäè÷åñêîå ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòå

x:

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t),
ãäå

C1 , C2 , β  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ(t)

(3.2.2.2)
óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2◦ .



ψt′ (t) = −aβ 2 ψ(t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

(3.2.2.3)

Óðàâíåíèå (3.2.2.1) èìååò äðóãîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäå-

ëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]ψ(t),
ãäå

C1 , C2 , β  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ(t)

(3.2.2.4)
óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ (t) = aβ 2 ψ(t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

(3.2.2.5)

3◦ . Óðàâíåíèå (3.2.2.1) èìååò âûðîæäåííîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = (C1 x + C2 )ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.3) ïðè

4◦ .

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

(3.2.2.6)

ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ ñ

β = 0.

Óðàâíåíèå (3.2.2.1) èìååò òàêæå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäå-

ëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u = eαx+βt θ(z),
ãäå

α, β , γ , λ  ïðîèçâîëüíûå

z = λx + γt,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

(3.2.2.7)

θ(z) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
aλ2 θzz
(z) + (2aαλ − γ)θz′ (z) + (aα2 − β)θ(z) +


+ θ(z)f e−βτ θ(z − σ)/θ(z) = 0, σ = γτ.

åøåíèå (3.2.2.7) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê íåëèíåéíóþ ñóïåðïîçèöèþ äâóõ ðåøåíèé òèïà áåãóùåé âîëíû.

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

162

Çàìå÷àíèå 3.9. ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.3) è (3.2.2.5) äîïóñêàþò ÷àñòíûå

ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ(t) = Aeλn t ,
ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

λ1

è

λ2  êîðíè

λ1 = −aβ 2 + f (e−λ1 τ )
2

λ2 = aβ + f (e

Óðàâíåíèå 2.

−λ2 τ

n = 1, 2,
òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé

äëÿ óðàâíåíèÿ (3.2.2.3),

)

äëÿ óðàâíåíèÿ (3.2.2.5).

Íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u)

(3.2.2.8)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t).
Çäåñü óíêöèè

ϕ(x)

è

ψ(t)

(3.2.2.9)

îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïîñòî-

ÿííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ (t) = C1 ψ(t) + ψ(t)f (ψ(t − τ )/ψ(t)) + bψ(t) ln ψ(t),
ãäå

C1  ïðîèçâîëüíàÿ

(3.2.2.10)
(3.2.2.11)

ïîñòîÿííàÿ.

Çàìå÷àíèå 3.10. ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà (3.2.2.10) íå çàâèñèò ÿâíî îò

x è åãî îáùåå

ðåøåíèå ìîæåò âûðàæåíî â íåÿâíîì âèäå. Ýòî óðàâíåíèå èìååò ÷àñòíîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå

h
i
b
C
1
ϕ = exp − (x + C2 )2 + 1 +
,
4a

ãäå

C2  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 3.

b

2

ïîñòîÿííàÿ.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + f (u − w).
1◦ .

(3.2.2.12)

Óðàâíåíèå (3.2.2.12) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ, êâàäðàòè÷íîå ïî

x:

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

(3.2.2.13)

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2◦ .



ψt′ (t) = 2C2 a + f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

(3.2.2.14)

Óðàâíåíèå (3.2.2.12) èìååò òàêæå ðåøåíèå áîëåå îáùåå, ÷åì (3.2.2.13),

ðåøåíèå âèäà

u = C1 x2 + C2 x + C3 t + θ(z),

z = βx + γt,

(3.2.2.15)

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
ãäå

C1 , C2 , C3 , β , γ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ(z)

163

îïèñûâàåòñÿ

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì



′′
aβ 2 θzz
(z) − γθz′ (z) + 2C1 a − C3 + f θ(z) − θ(z − σ) + C3 τ = 0,

Çíà÷åíèÿì

C1 = C2 = C3 = 0 â (3.2.2.15)

σ = γτ.

ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå òèïà áåãóùåé

âîëíû.
Çàìå÷àíèå 3.11. ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.14) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå, ëèíåé-

t, âèäà ψ(t) = λt + C3 , ãäå C3  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à
àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ 2C2 a − λ + f (τ λ) = 0.
íîå ïî

Óðàâíåíèå 4.

λ

êîðåíü

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu + f (u − w),
êîòîðîå ïðè

b=0

(3.2.2.16)

ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (3.2.2.12).

1◦ . Óðàâíåíèå (3.2.2.16) ïðè

ab > 0

èìååò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëå-

íèåì ïåðåìåííûõ, ïåðèîäè÷åñêîå ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

u = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

çàïàçäûâàíèåì

2◦ .

p
λ = b/a,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

(3.2.2.17)

ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò



ψt′ (t) = bψ(t) + f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

Óðàâíåíèå (3.2.2.16) ïðè

ab < 0

x:

ÎÄÓ ñ

(3.2.2.18)

èìååò äðóãîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

λ=

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

p

−b/a,

(3.2.2.19)

ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.18).

3◦ .

Óðàâíåíèå (3.2.2.16) ïðè

b = 0 èìååò âûðîæäåííîå

ðåøåíèå ñ àääèòèâ-

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = C1 x + C2 + ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

4◦ .

ψ(t)

b = 0.
ab > 0 èìååò òàêæå ðåøåíèå áîëåå îáùåå, ÷åì

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.18) ïðè

Óðàâíåíèå (3.2.2.16) ïðè

(3.2.2.17), ðåøåíèå âèäà

u = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) + θ(z),
ãäå

z = βx + γt,

λ=

p

b/a,

(3.2.2.20)

C1 , C2 , β , γ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ θ(z) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
γθz′ (z) = aβ 2 θzz
(z) + bθ(z) + f (θ(z) − θ(z − σ)),

σ = γτ.

(3.2.2.21)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

164

 îòëè÷èå îò (3.2.2.17), ðåøåíèå (3.2.2.20) íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

x;

îíî îïèñûâàåò íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå ïå-

ðèîäè÷åñêîé ñòîÿ÷åé âîëíû è áåãóùåé âîëíû.

5◦ .

Óðàâíåíèå (3.2.2.16) ïðè

ab < 0 èìååò òàêæå ðåøåíèå áîëåå îáùåå, ÷åì

ðåøåíèå (3.2.2.19):

ãäå

C1 , C2 , β , γ

u = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) + θ(z),
p
z = βx + γt, λ = −b/a,

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

(3.2.2.22)

θ(z)

óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.21).
 òàáë. 3.2 ñîáðàíû îïèñàííûå âûøå è íåêîòîðûå äðóãèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ïî äàííûì [450, 454, 456℄). Îäèííàäöàòü óðàâíåíèé ñîäåðæàò îäíó

f (z) è g(z), ãäå z = u−w èëè
z = u/w, à îäíî óðàâíåíèå  ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ äâóõ àðãóìåíòîâ f (z1 , z2 ).

èëè äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

Ïðèâåäåííûå ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé,
êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ äàëåå â ðàçä. 3.4 (ýòîò ìåòîä ïîçâîëÿåò íàõîäèòü
òàêæå áîëåå ñëîæíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ).

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì
îáùåãî âèäà. Ìíîãèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäå-

ëåíèåì ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ ñëó÷àÿ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííîäèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (ñì. òàáë. 3.2), óäàåòñÿ
ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà.
 òàáë. 3.3 ïðèâåäåíû íåëèíåéíûå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ
ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî

τ = τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîëîæèòåëüíàÿ íåïðå-

ðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ (â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå ïðîïîðöèîíàëüíîãî
çàïàçäûâàíèÿ â óðàâíåíèÿõ ñëåäóåò ïîëîæèòü

τ = (1 − p)t, ò. å. t − τ = pt).

Çàìå÷àíèå 3.12. Âñå óðàâíåíèÿ è ðåøåíèÿ, ïðèâåäåííûå â òàáë. 3.3, ìîæíî îáîá-

ùèòü, çàìåíèâ â èñõîäíûõ óðàâíåíèÿõ ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

f (w/u) è f (u − w) íà ïðîèçâîëüíûå óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ f (t, w/u) è f (t, u − w),
f (ψ̄/ψ) è f (ψ− ψ̄) íà f (t, ψ̄/ψ) è f (t, ψ− ψ̄).

à â îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèÿõ  óíêöèè

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè. Âñå óðàâíåíèÿ è èõ ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ïðèâåäåííûå â òàáë. 3.3, óäàåòñÿ îáîáùèòü íà ñëó÷àé
íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè îáùåãî âèäà. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèÿõ è èõ ðåøåíèÿõ ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà íàäî çàìåíèòü íà ïðîèçâîëüíûå óíêöèè

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Òàáëèöà 3.2.

165

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì,

äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.
Îáîçíà÷åíèÿ:

w = u(x, t − τ ), ψ̄ = ψ(t − τ ), C1 , C2 , C3  ïðîèçâîëüíûå

Èñõîäíîå óðàâíåíèå
ut = auxx + uf (w/u)

ïîñòîÿííûå.

Âèä ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ èëè êîíñòàíòû
u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t);
ψt′ = −aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]ψ(t); ψt′ = aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
ψt′ = ψf (ψ̄/ψ)

u = (C1 x + C2 )ψ(t)

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ = C1 ψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

ut = auxx + bu ln u+
+ uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

ut = auxx + f (u − w)

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t)

ψt′ = 2C2 a + f (ψ − ψ̄)

u = ect [C1 cos(λx) + C2 sin(λx)],
åñëè b = f (0, 1/k) − c > 0;
u = ect [C1 exp(−λx) + C2 exp(λx)],
åñëè b = f (0, 1/k) − c < 0

c = (ln k)/τ , λ = (b/a)1/2 ,
k > 0;
c = (ln k)/τ , λ = |b/a|1/2 ,
k>0

ut = auxx + bu+
+ f (u − w)

ut = auxx +
+uf (u − kw, w/u)

u = C1 cos(λx)
ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄);
p + C2 sin(λx) + ψ(t),
ãäå λ = b/a (ïðè ab > 0);
′
u = C1 exp(−λx)
p + C2 exp(λx) + ψ(t), ψt = bψ + f (ψ − ψ̄)
ãäå λ = −b/a (ïðè ab < 0)

ut = a(uk ux )x+uf (w/u) u = ϕ(x)ψ(t)

a(ϕk ϕ′x )′x = C1 ϕ,
ψt′ = C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

k+1 ψ(t), ψ ′ = ψf (ψ̄/ψ);
ut = a(uk ux )x + buk+1 + u = [C1 cos(βx)
t
p + C2 sin(βx)]
+ uf (w/u)
ãäå β = b(k + 1)/a, b(k + 1) > 0;
1
ψt′ = ψf (ψ̄/ψ);
u = (C1 e−βxp+ C2 eβx ) k+1 ψ(t),
ãäå β = −b(k + 1)/a,
b(k+1) 0;
u = λ1 ln(C1 e−βx + C2 eβx ) + ψ(t),
p
ãäå β = −bλ/a, bλ < 0;
u = ϕ(x)+ψ(t) (îáîáùàåò ïðåäûäóùèå
ut =a(eλu ux )x+f (u−w) u =

k

ut = a(u ux )x +
+uf (w/u)+
+uk+1 g(w/u)
ut = a(eλu ux )x +
+f (u − w)+
+eλu g(u − w)

ut = [(a ln u + b)ux ]x −
− cu ln u + uf (w/u)

ðåøåíèÿ)
u = eλt ϕ(x),
ãäå λ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî
óðàâíåíèÿ λ = f (e−λτ )
u = βt + ϕ(x),
ãäå β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ β = f (βτ )
p
u = exp(±λx)ψ(t), λ = c/a

ψt′ = 2C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)
ψt′ = f (ψ − ψ̄);
ψt′ = f (ψ − ψ̄);
a(eλϕ ϕ′x )′x + beλϕ = C1 ,
ψt′ = C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)
a(ϕk ϕ′x )′x +
+g(e−λτ )ϕk+1 = 0,

ýòî ÎÄÓ ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = ϕk+1

a(eλϕ ϕ′x )′x+g(βτ )eλϕ= 0,

ýòî ÎÄÓ ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = eλϕ

ψt′ = λ2 (a+b)ψ+ψf (ψ̄/ψ)

166

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà

3.3.

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

îáùåãî âèäà, äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì

w = u(x, t − τ (t)), ψ̄ = ψ(t − τ (t)), f (z)  ïðîèçâîëüíàÿ
C1 , C2 , C3  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.

ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷åíèÿ:
óíêöèÿ,

Èñõîäíîå óðàâíåíèå

Âèä ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ

ut = auxx + uf (w/u)

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t);
u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]ψ(t);
u = (C1 x + C2 )ψ(t)

ψt′ = −aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
ψt′ = aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
ψt′ = ψf (ψ̄/ψ)

u = ϕ(x)ψ(t)

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ = C1 ψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t)

ψt′ = 2C2 a + f (ψ − ψ̄)

ut = auxx + bu ln u+
+ uf (w/u)
ut = auxx + f (u − w)
ut = auxx + bu+
+ f (u − w)

u = C1 cos(λx)
ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄);
p + C2 sin(λx) + ψ(t),
ãäå λ = b/a (ïðè ab > 0);
′
u = C1 exp(−λx)
p + C2 exp(λx) + ψ(t), ψt = bψ + f (ψ − ψ̄)
ãäå λ = −b/a (ïðè ab < 0)

ut = a(uk ux )x+uf (w/u) u = ϕ(x)ψ(t)

a(ϕk ϕ′x )′x = C1 ϕ,
ψt′ = C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

ut = a(uk ux )x + buk+1 + u = ϕ(x)ψ(t)
+ uf (w/u)
1
ut = a(eλu ux )x+f (u−w) u =
ln(C1 λx2 + C2 x + C3 ) + ψ(t)
λ
ut = a(eλu ux )x + beλu + u = ϕ(x) + ψ(t)
+f (u − w)

a(ϕk ϕ′x )′x +bϕk+1 = C1 ϕ,
ψt′ = C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)
ψt′ = 2C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)
a(eλϕ ϕ′x )′x + beλϕ = C1 ,
ψt′ = C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)

íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, ñëåäóÿ ïðàâèëàì:

f (w/u) ⇒ f (w1 /u, . . . , wn /u), f (u − w) ⇒ f (u − w1 , . . . , u − wn );
f (ψ̄/ψ) ⇒ f (ψ̄1 /ψ, . . . , ψ̄n /ψ), f (ψ − ψ̄) ⇒ f (ψ − ψ̄1 , . . . , ψ − ψ̄n );
wk = u(x, t − τk (t)), ψ̄k = ψ(t − τk (t)), k = 1, . . . , n.
◮

(3.2.2.23)

Ïðèìåð 3.7. åàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ íåñêîëüêèìè çàïàç-

äûâàíèÿìè

ut = auxx + uf (w1 /u, . . . , wn /u),

wk = u(x, t − τk (t)),

k = 1, . . . , n,

êîòîðîå îáîáùàåò ïåðâîå óðàâíåíèå èç òàáë. 3.3, äîïóñêàåò ïåðèîäè÷åñêîå (ïî
ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

x)

ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäû-

âàíèÿìè

ψt′ = −aβ 2 ψ + ψf (ψ̄1 /ψ, . . . , ψ̄n /ψ),

ψ̄k = ψ(t − τk (t)).

◭

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
◮

167

Ïðèìåð 3.8. Äðóãîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ íåñêîëüêè-

ìè çàïàçäûâàíèÿìè

ut = auxx + f (u − w1 , . . . , u − wn ),

wk = u(x, t − τk (t)),

k = 1, . . . , n,

îáîáùàþùåå òðåòüå óðàâíåíèå èç òàáë. 3.3, äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè çàïàçäû-

âàíèÿìè

ψt′ = 2C2 a + f (ψ − ψ̄1 , . . . , ψ − ψ̄n ),

ψ̄k = ψ(t − τk (t)).

◭

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Îïèøåì òåïåðü âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ ðàññìîòðåííûõ ðàíåå îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííîäèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è èõ ðåøåíèé ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íà ñëó÷àé áîëåå ñëîæíûõ

n-ìåðíûõ ðåàêöèîííî-äèóçè-

îííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì.
 òàáë. 3.4 ïðèâåäåíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî
òèïà ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé èñïîëüçîâàëèñü êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ:

x = (x1, . . . , xm ),
∆u =

m
X
∂2u
j=1

∂x2j

,

u = u(x, t), w = u(x, t − τ ),
m
m
h
i
X
X
∂
∂u
ej ∂ , div[s(u)∇u] =
s(u)
,
∇u =
j=1

∂xj

j=1

∂xj

∂xj

xj  äåêàðòîâû êîîðäèíàòû, ej  åäèíè÷íûé âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé íàïðàâëåíèå îòñ÷åòà ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû xj . Äâóìåðíûì è òðåõìåðíûì
óðàâíåíèÿì ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ m = 2 è m = 3.  ðåçóëüòàòå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ äëÿ óíêöèè ϕ = ϕ(x ) ïîëó÷àþò m-ìåðíîå ñòàöèîíàðíîå
ãäå

óðàâíåíèå, ïðèâåäåííîå â ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáë. 3.4.  âîñüìè ñëó÷àÿõ èç
îäèííàäöàòè óðàâíåíèÿ äëÿ

ϕ

ëèíåéíû èëè ìîãóò áûòü òî÷íî ëèíåàðèçîâàíû.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ Óð×Ï ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãàõ [90, 436℄.

3.2.3. Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì,
äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà îðäîíà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà  îðäîíà
ñ çàïàçäûâàíèåì îòëè÷àþòñÿ îò ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì îðìàëüíîé çàìåíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè

ut

íà âòîðóþ

168

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà 3.4.

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííû-

ìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì
è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷åíèÿ:

= ψ(t − τ ), C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

w = u(x, t − τ ), ψ̄ =

Èñõîäíîå óðàâíåíèå

Âèä ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ

ut = a∆u + uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

∆ϕ = Cϕ,
ψt′ = aCψ + ψf (ψ̄/ψ)

ut = a∆u + bu ln u+
+ uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

a∆ϕ = Cϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ = Cψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

ut = a∆u + f (u − w)

u = ϕ(x) + ψ(t)

∆ϕ = C ,
ψt′ = aC + f (ψ − ψ̄)

ut = a∆u + bu+
+ f (u − w)

u = ϕ(x) + ψ(t)

ut = a∆u+
+uf (u − kw, w/u)
ut = a div(uk ∇u)+
+uf (w/u)

u = ect ϕ(x),
c = (ln k)/τ , k > 0
u = ϕ(x)ψ(t)

ut = a div(uk ∇u)+
u = ϕ(x)ψ(t)
+ buk+1 + uf (w/u)

a∆ϕ + bϕ = 0,
ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄)

a∆ϕ + [f (0, 1/k) − c]ϕ = 0
a div(ϕk ∇ϕ) = Cϕ,
ψt′ = Cψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)
a div(ϕk ∇ϕ) + bϕk+1 = Cϕ,
ψt′ = Cψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

ut = a div(eλu ∇u)+
+f (u − w)

u=

1
ln ϕ(x) + ψ(t)
λ

∆ϕ = Cλ,
ψt′ = aCeλψ + f (ψ − ψ̄)

ut = a div(eλu ∇u)+
+ beλu + f (u − w)

u=

1
ln ϕ(x) + ψ(t)
λ

(a/λ)∆ϕ + bϕ = C ,
ψt′ = Ceλψ + f (ψ − ψ̄)

ut = a div(uk ∇u)+
+uf (w/u)+
+uk+1 g(w/u)

u = eλt ϕ(x),
a div(ϕk ∇ϕ)+
ãäå λ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî
+g(e−λτ )ϕk+1 = 0,
−λτ
óðàâíåíèÿ λ = f (e )
ýòî Óð×Ï ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = ϕk+1

ut = a div(eλu ∇u)+
+f (u − w)+
+eλu g(u − w)

u = βt + ϕ(x),
ãäå β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ β = f (βτ )

ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè

utt .

a div(eλϕ ∇ϕ)+
+g(βτ )eλϕ = 0,

ýòî Óð×Ï ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = eλϕ

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îáùàÿ ñòðóêòóðà ðåøåíèé

ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ýòèõ äâóõ ðàçëè÷íûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ çàïàçäûâàíèåì îäèíàêîâà (ò. å. â äàííîì ñëó÷àå ðàáîòàåò ïðèíöèï àíàëîãèè ðåøåíèé [105℄).
 òàáë. 3.5 ïðèâåäåíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ïî äàííûì [452℄). Äåñÿòü óðàâ-

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

169

íåíèé ñîäåðæàò îäíó èëè äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

g(z),
äâóõ

z = u − w èëè z = u/w,
àðãóìåíòîâ f (z1 , z2 ).
ãäå

f (z) è

à îäíî óðàâíåíèå  ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà. Ìíîãèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëå-

íèåì ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åííûå ðàíåå äëÿ ñëó÷àÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà
Êëåéíà 

îðäîíà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (ñì. òàáë. 3.6), óäàåòñÿ ðàñ-

ïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûì
çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà.
 òàáë. 3.6 ïðèâåäåíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà,äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî

τ = τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ

íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ (â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå ïðîïîðöèîíàëüíîãî çàïàçäûâàíèÿ â óðàâíåíèÿõ ñëåäóåò ïîëîæèòü

t − τ = pt).

τ = (1 − p)t,

ò. å.

Âñå óðàâíåíèÿ è èõ ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäå-

ëåíèåì ïåðåìåííûõ, ïðèâåäåííûå â òàáë. 3.6, óäàåòñÿ îáîáùèòü íà ñëó÷àé
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ íåñêîëüêèìè ïåðåìåííûìè

çàïàçäûâàíèÿìè îáùåãî âèäà. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèÿõ è èõ ðåøåíèÿõ ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà íàäî çàìåíèòü íà ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, ñëåäóÿ ïðàâèëàì (3.2.2.23).

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Îïèøåì òåïåðü âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ ðàññìîòðåííûõ ðàíåå îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì è èõ ðåøåíèé ñ ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ íà ñëó÷àé áîëåå ñëîæíûõ

n-ìåðíûõ

óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì.
 òàáë. 3.7 ïðèâåäåíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì,
äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

3.2.4. Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òåïåðü íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì äîñòàòî÷íî
îáùåãî âèäà
L[u]

= M[u] + F (t, u, w),
w = u(x, t − τ ), x = (x1 , . . . , xm ),
ãäå L  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïî ïåðåìåííîé

(3.2.4.1)

t

ïîðÿäêà

n,

êîýèöèåíòû êîòîðîãî ìîãóò çàâèñåòü îò t:

L[u]

=

n
X
i=1

ci (t)

∂iu
,
∂ti

(3.2.4.2)

170

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà 3.5.

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äî-

ïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.
Îáîçíà÷åíèÿ:

w = u(x, t − τ ), ψ̄ = ψ(t − τ ), C1 , C2 , C3  ïðîèçâîëüíûå

Èñõîäíîå óðàâíåíèå
utt = auxx + uf (w/u)

Âèä ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ èëè êîíñòàíòû

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t);
u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]ψ(t);
u = (C1 x + C2 )ψ(t)

′′
ψtt
= −aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
′′
ψtt = aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
′′
ψtt
= ψf (ψ̄/ψ)

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

utt = auxx + bu ln u+
+ uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

utt = auxx + f (u − w)

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t)

utt = auxx + bu+
+ f (u − w)

utt = auxx +
+uf (u − kw, w/u)

ïîñòîÿííûå.

′′
ψtt
= 2C2 a + f (ψ − ψ̄)

′′
u = C1 cos(λx)
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄);
p + C2 sin(λx) + ψ(t),
ãäå λ = b/a (ïðè ab > 0);
′′
u = C1 exp(−λx)
p + C2 exp(λx) + ψ(t), ψtt = bψ + f (ψ − ψ̄)
ãäå λ = −b/a (ïðè ab < 0)

u = ect [C1 cos(λx) + C2 sin(λx)],
åñëè b = f (0, 1/k) − c2 > 0;
u = ect [C1 exp(−λx) + C2 exp(λx)],
åñëè b = f (0, 1/k) − c2 < 0

utt= a(uk ux )x+uf (w/u) u = ϕ(x)ψ(t)

c = (ln k)/τ , λ = (b/a)1/2 ,
k > 0;
c = (ln k)/τ , λ = |b/a|1/2 ,
k>0
a(ϕk ϕ′x )′x = C1 ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

k+1 ψ(t), ψ ′′ = ψf (ψ̄/ψ);
utt = a(uk ux )x +buk+1 + u = [C1 cos(βx)
tt
p + C2 sin(βx)]
+ uf (w/u)
ãäå β = b(k + 1)/a, b(k + 1) > 0;
1
′′
ψtt
= ψf (ψ̄/ψ);
u = (C1 e−βxp+ C2 eβx ) k+1 ψ(t),
ãäå β = −b(k + 1)/a,
b(k+1) 0;
′′
ψtt
= f (ψ − ψ̄);
u = λ1 ln(C1 e−βx + C2 eβx ) + ψ(t),
p
ãäå β = −bλ/a, bλ < 0;
λϕ ′ ′
ϕx )x + beλϕ = C1 ,
u = ϕ(x)+ψ(t) (îáîáùàåò ïðåäûäóùèå a(e
′′
ψ
=
C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)
tt
ðåøåíèÿ)

utt = a(uk ux )x +
+uf (w/u)+
+uk+1 g(w/u)

u = eλt ϕ(x),
ãäå λ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî
óðàâíåíèÿ λ2 = f (e−λτ )

utt = [(a ln u + b)ux ]x − u = exp(±λx)ψ(t), λ =
− cu ln u + uf (w/u)

p

c/a

a(ϕk ϕ′x )′x +
+g(e−λτ )ϕk+1 = 0,

ýòî ÎÄÓ ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = ϕk+1
′′
ψtt
= λ2 (a + b)ψ+
+ψf (ψ̄/ψ)

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Òàáëèöà 3.6.

171

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî

âèäà, äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðå-

w = u(x, t−τ (t)), ψ̄ = ψ(t−τ (t)), f (z)  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ,
C1 , C2 , C3  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.

ìåííûõ. Îáîçíà÷åíèÿ:

Èñõîäíîå óðàâíåíèå

Âèä ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ

utt = auxx + uf (w/u)

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]ψ(t);
u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]ψ(t);
u = (C1 x + C2 )ψ(t)

′′
ψtt
= −aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
′′
ψtt = aβ 2 ψ + ψf (ψ̄/ψ);
′′
ψtt
= ψf (ψ̄/ψ)

u = ϕ(x)ψ(t)

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

utt = auxx + bu ln u+
+ uf (w/u)

u = C2 x2 + C1 x + ψ(t)

utt = auxx + f (u − w)

′′
ψtt
= 2C2 a + f (ψ − ψ̄)

′′
u = C1 cos(λx)
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄);
p + C2 sin(λx) + ψ(t),
ãäå λ = b/a (ïðè ab > 0);
′′
u = C1 exp(−λx)
p + C2 exp(λx) + ψ(t), ψtt = bψ + f (ψ − ψ̄)
ãäå λ = −b/a (ïðè ab < 0)

utt = auxx + bu+
+ f (u − w)

utt= a(uk ux )x+uf (w/u) u = ϕ(x)ψ(t)

a(ϕk ϕ′x )′x = C1 ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

utt = a(uk ux )x +buk+1 + u = ϕ(x)ψ(t)
+ uf (w/u)

a(ϕk ϕ′x )′x +bϕk+1 = C1 ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

utt = a(eλu ux )x +
+f (u − w)

1
ln(C1 λx2 + C2 x + C3 ) + ψ(t)
λ

u=

′′
ψtt
= 2C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)

a(eλϕ ϕ′x )′x + beλϕ = C1 ,
′′
ψtt
= C1 eλψ + f (ψ − ψ̄)

utt = a(eλu ux )x + beλu + u = ϕ(x) + ψ(t)
+f (u − w)

à M  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ëþáîãî ïîðÿäêà ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì

x1 , . . . , xm ,

êîýèöèåíòû êîòîðîãî ìîãóò çàâèñåòü îò

x1 , . . . , xm .
 ÷àñòíîñòè, M ìîæåò áûòü ýëëèïòè÷åñêèì îïåðàòîðîì

m
m

 X
X
∂u
∂u
∂
bi (x)
aij (x)
+
.
M[u] =
i,j=1

∂xi

∂xj

∂xi

m=1

(3.2.4.3)

Òàêæå M ìîæåò áûòü áèãàðìîíè÷åñêèì îïåðàòîðîì âèäà
M[u]

Ïîäñòàâèâ L[u]

= ut ,

= a∆∆u,

M[u]

∆u ≡

m
X
∂2u
i=1

∂x2i

.

= auxx , Ft = 0, m = 1

â (3.2.4.1), ïîëó÷èì

íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.1.1).
Ïîëàãàÿ L[u]

= utt ,

M[u]

= auxx , Ft = 0, m = 1

íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ Êëåéíà 

â (3.2.4.1), ïðèõîäèì ê

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.1.3).

172

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà 3.7.

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè

ïåðåìåííûìè è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷åíèÿ:

= ψ(t − τ ), C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

Èñõîäíîå óðàâíåíèå

Âèä ðåøåíèé

utt = a∆u + uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

w = u(x, t − τ ), ψ̄ =

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ
∆ϕ = Cϕ,

′′
ψtt
= aCψ + ψf (ψ̄/ψ)

utt = a∆u + bu ln u+
+ uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)

a∆ϕ = Cϕ − bϕ ln ϕ,
′′
ψtt
= Cψ + bψ ln ψ+
+ ψf (ψ̄/ψ)

utt = a∆u + f (u − w)

u = ϕ(x) + ψ(t)

utt = a∆u + bu+
+ f (u − w)

u = ϕ(x) + ψ(t)

∆ϕ = C ,
′′
ψtt
= aC + f (ψ − ψ̄)

utt = a∆u+
+uf (u − kw, w/u)
utt = a div(uk ∇u)+
+uf (w/u)

u = ect ϕ(x),
c = (ln k)/τ , k > 0
u = ϕ(x)ψ(t)

u=

1
ln ϕ(x) + ψ(t)
λ

utt = a div(eλu ∇u)+
+ beλu + f (u − w)

u=

1
ln ϕ(x) + ψ(t)
λ

utt = a div(uk ∇u)+
+uf (w/u)+
+uk+1 g(w/u)

a∆ϕ + [f (0, 1/k) − c2 ]ϕ = 0
a div(ϕk ∇ϕ) = Cϕ,
′′
ψtt
= Cψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)
a div(ϕk ∇ϕ) + bϕk+1 = Cϕ,
′′
ψtt
= Cψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ)

utt = a div(uk ∇u)+
u = ϕ(x)ψ(t)
+ buk+1 + uf (w/u)
utt = a div(eλu ∇u)+
+f (u − w)

a∆ϕ + bϕ = 0,
′′
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄)

∆ϕ = Cλ,
′′
ψtt
= aCeλψ + f (ψ − ψ̄)
(a/λ)∆ϕ + bϕ = C ,
′′
ψtt
= Ceλψ + f (ψ − ψ̄)

u = eλt ϕ(x),
a div(ϕk ∇ϕ)+
ãäå λ  êîðåíü òðàíñöåíäåíòíîãî
+g(e−λτ )ϕk+1 = 0,
2
−λτ
óðàâíåíèÿ λ = f (e )
ýòî Óð×Ï ëèíåàðèçóåòñÿ
çàìåíîé ξ = ϕk+1

Íèæå ïðèâåäåíî íåñêîëüêî òî÷íûõ ðåøåíèé ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (3.2.4.1), êîòîðûå ñîäåðæàò ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ
äâóõ àðãóìåíòîâ

f (t, z),

ãäå

z = z(u, w).

Îïðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ âûâîäÿòñÿ

ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ñâîéñòâ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ L
è M:

x)ψ(t)] = ϕ(x)L[ψ(t)],
M[ϕ(x )ψ(t)] = ψ(t)M[ϕ(x )],
L[ϕ(

Óðàâíåíèå 1.

x) + ψ(t)] = L[ψ(t)],
M[ϕ(x) + ψ(t)] = M[ϕ(x )].

L[ϕ(

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
L[u]

= M[u] + uf (t, w/u),

w = u(x, t − τ ),

(3.2.4.4)

3.2. åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

173

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Ôóíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t)

u = ϕ(x)ψ(t).

(3.2.4.5)

îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûì ñòàöèîíàðíûì Óð×Ï è

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:
M[ϕ]

= Cϕ;
L[ψ] = Cψ + ψf (t, ψ̄/ψ),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíûå

(3.2.4.6)

ψ̄ = ψ(t − τ ),

(3.2.4.7)

ïîñòîÿííûå.

Íèæå ðàññìîòðåíû äâà ïðîñòûõ ñëó÷àÿ, êîãäà ìîæíî íàéòè ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.2.4.6) èëè (3.2.4.7):

1◦ .

Åñëè M  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êî-

ýèöèåíòàìè, òî óðàâíåíèå (3.2.4.6) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ϕ(x) = A exp

β1 , . . . , βm  ïðîèçâîëüíûå

Pm




i=1 βi xi , ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

êîíñòàíòû, ñâÿçàííûå îäíèì äèñïåðñèîííûì ñîîò-

íîøåíèåì ïîëèíîìèàëüíîãî âèäà (ïðè

C = 0 è m > 2 óðàâíåíèå (3.2.4.6) ìîæåò

èìåòü òàêæå ïîëèíîìèàëüíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ).

2◦ .

Åñëè L  ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð âèäà (3.2.4.2) ñ ïîñòî-

ÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ci

= onst) è óíêöèÿ èñòî÷íèêà íå çàâèñèò ÿâíî îò
f = f (w/u), òî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.2.4.7)
λt
äîïóñêàåò ýêñïîíåíöèàëüíûå ðåøåíèÿ ψ(t) = Be , ãäå B  ïðîèçâîëüíàÿ
ïîñòîÿííàÿ, à λ  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ
n
X
ci λi = C + f (e−τ λ ).
âðåìåíè

t,

ò. å.

i=1

Çàìå÷àíèå 3.13. Åñëè ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû L è M èìåþò

ïîñòîÿííûå êîýèöèåíòû, à óíêöèÿ èñòî÷íèêà

f

íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè

t,

òî

óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.2.4.4) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà



m
X
βi xi θ(z),
u = exp αt +

z = γt +

λi xi ,

(3.2.4.8)

i=1

i=1

ãäå α, βi , γ , λi  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ
çàïàçäûâàíèåì.
Óðàâíåíèå 2.

m
X

θ(z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

Áîëåå ñëîæíîå íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíè-

åì
L[u]

= M[u] + bu ln u + uf (t, w/u),

(3.2.4.9)

òàêæå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.2.4.5), ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûì

ñòàöèîíàðíûì Óð×Ï è íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:
M[ϕ]

= Cϕ − bϕ ln ϕ;
L[ψ] = Cψ + bψ ln ψ + ψf (t, ψ̄)/ψ),

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

ψ̄ = ψ(t − τ ),

174

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Óðàâíåíèå 3.

Äðóãîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïî-

ñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
L[u]

= M[u] + bu + f (t, u − w)

(3.2.4.10)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Ôóíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t)

u = ϕ(x) + ψ(t).

(3.2.4.11)

îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûì ñòàöèîíàðíûì Óð×Ï è

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:
M[ϕ]

= C − bϕ;
L[ψ] = C + bψ + f (t, ψ − ψ̄),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(t − τ ),

ïîñòîÿííàÿ.

Çàìå÷àíèå 3.14. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ (3.2.4.4), (3.2.4.9) è (3.2.4.10) â ñëó÷àå

ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà

τ = τ (t)

òàêæå èìåþò ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëè-

êàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (3.2.4.5) è (3.2.4.11).

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
3.3.1. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Êàê è ðàíåå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè

x, t è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì τ .
Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ìíîãèå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè èìåþò
òî÷íûå ðåøåíèÿ â âèäå ñóììû ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé óíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ (ñì., íàïðèìåð, [90, 434, 436℄):

u(x, t) = ϕ1 (x)ψ1 (t) + ϕ2 (x)ψ2 (t) + · · · + ϕk (x)ψk (t).

(3.3.1.1)

Ìíîãèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ñ êâàäðàòè÷íûìè è ñòåïåííûìè


íåëèíåéíîñòÿìè, âêëþ÷àÿ íåêîòîðûå
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, òàêæå èìåþò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (3.3.1.1). Òàêèå
ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé áóäåì íàçûâàòü ðåøåíèÿìè ñ îáîáùåííûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.  îáùåì ñëó÷àå óíêöèè

ϕj (x) è ψj (t) çàðàíåå íåèç-

âåñòíû è ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â õîäå èññëåäîâàíèÿ.
Çàìå÷àíèå 3.15. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ è ìåòîäû ïî-

ñòðîåíèÿ òàêèõ ðåøåíèé äëÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ ðàññìàòðèâàëèñü,
íàïðèìåð, â [15, 16, 60, 63, 8789, 243246, 425, 447, 459℄.
Çàìå÷àíèå 3.16. Âûðàæåíèÿ âèäà (3.3.1.1) ÷àñòî èñïîëüçóþò â ïðèêëàäíîé è âû-

÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ è ÷èñëåííûõ
ðåøåíèé Óð×Ï ïðîåêöèîííûìè ìåòîäàìè òèïà Áóáíîâà 

àëåðêèíà [91, 236, 467℄.

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

175

Íà ïðàêòèêå ïðè ïîñòðîåíèè òî÷íûõ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè íàèáîëåå ÷àñòî
âñòðå÷àþòñÿ ðåøåíèÿ ñïåöèàëüíîãî âèäà, ñîäåðæàùèå òðè èñêîìûå óíêöèè
[15, 16, 60, 63, 447℄:

u(x, t) = ϕ(t)θ(x) + ψ(t)

(3.3.1.2)

(â ïðàâîé ÷àñòè íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè).  ÷àñòíîì ñëó÷àå

ψ(t) = 0

ýòî ðåøåíèå ïåðåõîäèò â ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, à â ñëó÷àå

ϕ(t) = 1  â

ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

Ìåòîä, îñíîâàííûé íà àïðèîðíîì çàäàíèè îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòíûõ óíêöèé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ êâàäðàòè÷íîé è ñòå-

ïåííîé

íåëèíåéíîñòüþ, êîòîðûå íå çàâèñÿò ÿâíî îò

x, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëå-

äóþùèé óïðîùåííûé ïîäõîä. åøåíèÿ èùåì â âèäå êîíå÷íûõ ñóìì (3.3.1.1).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà êîîðäèíàòíûõ óíêöèé

ϕm (x)

îïèñûâàåòñÿ ëè-

íåéíûìè ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå
ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé èìåþò âèä

ϕm (x) = xαm ,

ϕm (x) = eβm x ,

ϕm (x) = cos(λm x),

ϕm (x) = sin(λm x).
(3.3.1.3)

Êîíå÷íûå íàáîðû ýòèõ óíêöèé (â ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà
(3.3.1.1), ãäå ïîñòîÿííûå

αm , βm , λm ,

çàäàþòñÿ èëè ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â

õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà. Âòîðàÿ ñèñòåìà óíêöèé

ψk (t) îïðåäåëÿåòñÿ

ïóòåì

ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, ïîëó÷àåìûõ ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (3.3.1.1) ñ óíêöèÿìè (3.3.1.3) â ðàññìàòðèâàåìîå
óðàâíåíèå.
ßâíîå çàäàíèå îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòíûõ óíêöèé

{ϕj (x)}

ðåçêî óïðî-

ùàåò ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé; ïðè ýòîì îòäåëüíûå ðåøåíèÿ
âèäà (3.3.1.1) ìîãóò áûòü ïîòåðÿíû. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî èçâåñòíûå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Óð×Ï ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå çàäàþòñÿ
êîîðäèíàòíûìè óíêöèÿìè âèäà (3.3.1.3) (÷àùå âñåãî ïðè

n = 2).

Ìåòîä èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ. àññìîòðèì ýâîëþöèîííîå óðàâ-

íåíèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì [453℄:

ut = F [u] + sw,
ãäå

F [u]  íåëèíåéíûé
x âèäà

w = u(x, t − τ ),

(3.3.1.4)

äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïå-

ðåìåííîé

F [u] ≡ F (x, u, ux , . . . , u(n)
x ),
à

s  íåêîòîðàÿ

êîíñòàíòà.

(3.3.1.5)

176

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Îïðåäåëåíèå [246℄. Êîíå÷íîìåðíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî


Lk = ϕ1 (x), . . . , ϕk (x) ,

(3.3.1.6)

ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âñåâîçìîæíûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ëèíåéíî-

ϕk (x), íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà F , åñëè F [Lk ] ⊆ Lk .  ýòîì ñëó÷àå
ñóùåñòâóþò óíêöèè f1 , . . . , fk òàêèå, ÷òî
íåçàâèñèìûõ óíêöèé

F

ϕ1 (x),

X
k
j=1

...,

 X
k
fj (C1 , . . . , Ck )ϕj (x)
Cj ϕj (x) =

(3.3.1.7)

j=1

äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ

C1 ,

...,

Ck . Îòìåòèì, ÷òî
C1 , . . . , Ck .

óíêöèè

ϕj (x),

âõî-

äÿùèå â (3.3.1.7), íå äîëæíû çàâèñåòü îò

Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (3.3.1.6) èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî äèåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà

F . Òîãäà

óðàâíåíèå (3.3.1.4) èìå-

åò ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà [246℄:

u=

k
X

ψj (t)ϕj (x),

(3.3.1.8)

j=1

ãäå óíêöèè

ψ1 (t), . . . , ψk (t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèåðåí-

öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì [453℄:

ψj′ = fj (ψ1 , . . . , ψk ) + sψ̄,

ψ̄ = ψ(t − τ ),

i = 1, . . . , k.

(3.3.1.9)

Çäåñü øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî t.
Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà âûðàæåíèå
(3.3.1.8) ïîäñòàâëÿåòñÿ â óðàâíåíèå (3.3.1.4). Çàòåì èñïîëüçóåòñÿ ñîîòíîøåíèå
(3.3.1.7), â êîòîðîì êîíñòàíòû

Cj

ψj = ψj (t). Ïîñëå
ϕj = ϕj (x), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

çàìåíåíû íà óíêöèè

îáúåäèíåíèÿ ÷ëåíîâ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ

k
X
[ψj′ − fj (ψ1 , . . . , ψk ) − sψ̄j ]ϕj (x) = 0.
j=1

Ïîñêîëüêó óíêöèè

ϕj

ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî âñå âûðàæåíèÿ â êâàäðàòíûõ

ñêîáêàõ íàäî ïðèðàâíÿòü íóëþ. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ÎÄÓ (3.3.1.9).
Çàìå÷àíèå 3.17. Çàïàçäûâàíèå â óðàâíåíèÿõ (3.3.1.4) è (3.3.1.9) ìîæåò ïðîèçâîëü-

íûì îáðàçîì çàâèñåòü îò âðåìåíè, ò. å.

τ = τ (t).

 òàáë. 3.8 ïðèâåäåíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû è ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ýòèõ îïåðàòîðîâ
(ïî äàííûì [60, 246, 447℄). Äîáàâëåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà

+ βux + γu + δ
ïîäïðîñòðàíñòâ.

L[u] = αuxx +

ê íåëèíåéíûì îïåðàòîðàì  4  8 íå ìåíÿåò èíâàðèàíòíûõ

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Òàáëèöà

3.8.

177

Íåêîòîðûå íåëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû è ëèíåéíûå

ïîäïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ýòèõ îïåðàòîðîâ (a,

b, c, α, β , γ , δ 

ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû).

 Íåëèíåéíûé îïåðàòîð F [u]
1

auxx +bu2x +βux +γu+δ

2

auxx +bu2x +cu2+
+βux +γu+δ

3

auuxx +bu2x +cu2+
+αuxx +βux +γu+δ
uuxx −u2x

(÷àñòíûé ñëó÷àé
3-ãî îïåðàòîðà)

4

uuxx − 23 u2x

(÷àñòíûé ñëó÷àé
3-ãî îïåðàòîðà)

5

uuxx − 43 u2x +au2

(÷àñòíûé ñëó÷àé
3-ãî îïåðàòîðà)

6
7

[(au2 +bu+c)ux]x

8

u2uxx − 12 uu2x +au3

9

uxuxx

Ïîäïðîñòðàíñòâà, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî F [u]

L3 = 1, x, x2}
p
p

L3 = 1, sin(x c/b ), cos(x c/b ) ïðè bc > 0,
p
p

L3 = 1, sh(x |c/b| ), ch(x |c/b| ) ïðè bc < 0

L3 = 1, sin(λx ), cos(λx ) ïðè c/(a+b) = λ2 > 0,
L3 = 1, sh(λx ), ch(λx ) ïðè c/(a+b) = −λ2 < 0,
L3 = 1, x, x2} ïðè c = 0,
L2 = x2, xσ}, σ = a/(a+b) ïðè c = α = β = δ = 0, a 6= −b

L3 = 1, sin(λx ), cos(λx ) , λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ,
L3 = 1, sh(λx ), ch(λx ) , λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ,
L3 = 1, x, x2}

L4 = 1, x, x2, x3

L5 = 1, cos(kx), sin(kx), cos(2kx), sin(2kx) ïðè a = k2 > 0,
L5 = 1, ch(kx), sh(kx), ch(2kx), sh(2kx) ïðè a = −k2< 0,
L5 = 1, x, x2, x3, x4 ïðè a = 0

L2 = 1, x
√
√

L3 = 1, cos( 2a x), sin( 2a x) ïðè a > 0,
p
p

L3 = 1, ch( 2|a| x), sh( 2|a| x) ïðè a < 0,
2
L3 = 1, x, x ïðè a = 0

L4 = 1, x, x2, x3 ,

L3 = 1, x3/2, x3 ,
L2 = 1, ϕ(x) , ϕ′xϕ′′xx = p1 +p2ϕ, p1, p2  êîíñòàíòû

Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì. àññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ èñïîëüçîâàíèÿ óòâåðæäåíèÿ 1 è òàáë. 3.8 äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ è çàïàçäûâàíèåì.

◮

Ïðèìåð 3.9. àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàç-

äûâàíèåì

ut = [(a1 u + a0 )ux ]x + b1 u + b2 w,

w = u(x, t − τ ).

a = b è c = 0 ñëåäóåò, ÷òî íåëèíåéíûé äèb2 = 0 äîïóñ2
ïîäïðîñòðàíñòâî L3 = {1, x, x } (ïîä äåéñòâèåì

Èç òðåòüåé ñòðîêè òàáë. 3.8 ïðè

åðåíöèàëüíûé îïåðàòîð â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.3.1.10) ïðè
êàåò èíâàðèàíòíîå ëèíåéíîå

(3.3.1.10)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

178

ýòîãî îïåðàòîðà êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåí

C1 + C2 x + C3 x2

ïðåîáðàçóåòñÿ â

àíàëîãè÷íûé ìíîãî÷ëåí ñ äðóãèìè êîýèöèåíòàìè). Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå è
óòâåðæäåíèå 1 ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå (3.3.1.10) èìååò
ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïîëèíîìèàëüíîãî âèäà ïî
ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

u = ψ1 (t) + ψ2 (t)x + ψ3 (t)x2 .
Çäåñü óíêöèè

(3.3.1.11)

ψj = ψj (t) (j = 1, 2, 3) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäû-

âàíèåì

ψ1′ = 2a1 ψ1 ψ3 + a1 ψ22 + 2a0 ψ3 + b1 ψ1 + b2 ψ̄1 ,
ψ2′ = 6a1 ψ2 ψ3 + b1 ψ + b2 ψ̄2 ,
ψ3′ = 6a1 ψ32 + b1 ψ3 + b2 ψ̄3 ,
ãäå

ψ̄j = ψj (t − τ ).
◮

Ïðèìåð

◭

3.10. àññìîòðèì

áîëåå ñëîæíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå

óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì è êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = [(a1 u + a0 )ux ]x + ku2 + b1 u + b2 w,
Ýòî óðàâíåíèå ïðè

k 6= 0.
1◦ .

Ïðè

k=0

a1 k < 0

w = u(x, t − τ ).

(3.3.1.12)

ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (3.3.1.10). Äàëåå ÷èòàåì, ÷òî

íåëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð â ïðàâîé ÷àñòè

b2 = 0 äîïóñêàåò èíâàðèàíòíîå
ëèíåéíîå òðåõìåðíîå
p
−λx
λx
, e }, ãäå λ = −k/(2a1 ) (ñì. òðåòüþ ñòðîêó
ïîäïðîñòðàíñòâî L3 = {1, e
òàáë. 3.8 ïðè a = b è c = k 6= 0).  ýòîì ñëó÷àå èç óòâåðæäåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî
óðàâíåíèÿ (3.3.1.12) ïðè

óðàâíåíèå (3.3.1.12) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = ψ1 (t) + ψ2 (t) exp(−λx) + ψ3 (t) exp(λx),
Çäåñü óíêöèè

ψ = ψn (t)
ψ1′
ψ2′
ψ3′

ãäå

r
k
λ= −
.
2a1

(3.3.1.13)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

= kψ12 + 2kψ2 ψ3 + b1 ψ1 + b2 ψ̄1 ,
= ( 32 kψ1 + a0 λ2 + b1 )ψ2 + b2 ψ̄2 ,
= ( 32 kψ1 + a0 λ2 + b1 )ψ3 + b2 ψ̄3 ,

ψ̄j = ψj (t − τ ) (i = 1, 2, 3).
2◦ . Ïðè a1 k > 0 àíàëîãè÷íûì

îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå

(3.3.1.12) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ψ1 (t) + ψ2 (t) cos(λx) + ψ3 (t) sin(λx),
ãäå óíêöèè

ψ = ψn (t)
ψ1′
ψ2′
ψ3′

λ=

r

k
2a1

,

(3.3.1.14)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

= kψ12 +

2
1
2 k(ψ2

+ ψ32 ) + b1 ψ1 + b2 ψ̄1 ,

= ( 32 kψ1 + b1 − a0 λ2 )ψ2 + b2 ψ̄2 ,
= ( 32 kψ1 + b1 − a0 λ2 )ψ3 + b2 ψ̄3 .

◭

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ.

179

Íèæå ïðèâåäåíû äâà áîëåå îáùèõ óòâåðæäåíèÿ,

ïîçâîëÿþùèõ ïîëó÷àòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.

1◦ .

àññìîòðèì áîëåå ñëîæíîå, ÷åì (3.3.1.4), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ íåñêîëü-

êèìè çàïàçäûâàíèÿìè

ut = F [u] +

p
X

sj wj ,

wj = u(x, t − τj ),

j=1

(3.3.1.15)

F [u]  íåëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð n-ãî ïîðÿäêà ïî x âèäà
(3.3.1.5), à τj  âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ (j = 1, . . . , p ), êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ ïðîèçãäå

âîëüíûìè íåçàâèñèìûìè êîíñòàíòàìè.
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (3.3.1.6) èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà

F , ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (3.3.1.7). Òîãäà óðàâ-

íåíèå (3.3.1.15) èìååò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.3.1.8), ãäå óíêöèè

ψ1 (t), . . . , ψk (t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ p âðå-

ìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ

ψj′ (t)

p

X
sj ψj (t − τj ),
= fj ψ1 (t), . . . , ψk (t) +

j = 1, . . . , k.

(3.3.1.16)

j=1

2◦ .

àññìîòðèì òåïåðü äðóãîå íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

L[u] = F [u; w],
ãäå

L[u]  ïðîèçâîëüíûé

q
X

(j)

aj (t)ut ,

t âèäà
(3.3.1.18)

j=1

F [u; w]  íåëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé
u è w:

öèè

(3.3.1.17)

ëèíåéíûé äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïî

L[u] ≡
à

w = u(x, t − τ ),

îïåðàòîð ïî

x, ñîäåðæàùèé



F [u; w] ≡ F u, ux , uxx . . . , ux(m) ; w, wx , wxx , . . . , wx(r) .

Ïóñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå óíêöèè

ϕ1 (x),

...,

ϕk (x)

óíê-

(3.3.1.19)

îáðàçóþò êîíå÷íî-

Lk .
C1 , . . . , Ck è C̄1 , . . . , C̄k  äâà ìíîæåñòâà ïðîèçâîëüíûõ âåùåñòâåííûõ êîíñòàíò è ïóñòü ñóùåñòâóåò óíêöèè f1 , . . . , fk òàêèå, ÷òî
 X
X
k
k
k
X
fj (C1 , . . . , Cn ; C̄1 , . . . , C̄n )ϕj (x).
C̄j ϕj (x) =
Cj ϕj (x);
F

ìåðíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî
Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü

j=1

j=1

j=1

(3.3.1.20)

Òîãäà óðàâíåíèå (3.3.1.17) èìååò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.3.1.8), ãäå óíêöèè

ψ1 (t),

...,

ψk (t)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè



L[ψj (t)] = fj ψ1 (t), . . . , ψk (t); ψ1 (t − τ ), . . . , ψk (t − τ ) ,

j = 1, . . . , k.
(3.3.1.21)

180

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Óòâåðæäåíèå 3 ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îòëè÷íûõ
îò îáñóæäàåìûõ âûøå, â òîì ÷èñëå íåëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé
òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì. Â óðàâíåíèÿõ (3.3.1.17) è (3.3.1.21)

çàïàçäûâàíèå ìîæåò çàâèñåòü îò âðåìåíè, ò. å.

τ = τ (t).

Çàìå÷àíèå 3.18. Äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïî-

ëåçíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé, îïèñàííûé äàëåå â ðàçä. 3.4.

3.3.2. åøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ è îïðåäåëåíèÿ. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, êîòîu = U (z) èç ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé
z = z(x, t), äîïóñêàþùèõ ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ

ðûå ïîëó÷åíû çàìåíîé
èçèêè äëÿ óíêöèè

ïåðåìåííûìè, áóäóò èìåòü òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà

u(x, t) = U (z),

z=

ãäå

k
X

ϕj (x)ψj (t).

(3.3.2.1)

j=1

Ìíîãèå íåëèíåéíûå Óð×Ï êîòîðûå íå ñâîäÿòñÿ ê ëèíåéíûì, òàêæå èìåþò
òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (3.3.2.1). Òàêèå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ðåøåíèÿìè ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.  îáùåì ñëó÷àå óíêöèè

ψj (t), U (z)

äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Ôóíêöèþ

ϕj

è

ϕj (x),

â (3.3.2.1) çàðàíåå íåèçâåñòíû è ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â õîäå

U

áóäåì íàçûâàòü âíåøíåé óíêöèåé, à

ψj  âíóòðåííèìè óíêöèÿìè. Óêàçàííàÿ òåðìèíîëîãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ

íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå â
ðÿäå ñëó÷àåâ òàêæå äîïóñêàþò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (3.3.2.1).
Çàìå÷àíèå 3.19. åøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ñì. ðàçä. 3.3.1)

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ÷àñòíîãî âèäà, ñîîòâåòñòâóþùèì ñëó÷àþ

U (z) = z .

Íàëè÷èå âíåøíåé óíêöèè

U

â (3.3.2.1), êîòîðóþ

òðåáóåòñÿ íàéòè, ÿâëÿåòñÿ îñëîæíÿþùèì àêòîðîì ïðè ïîñòðîåíèè òî÷íûõ ðåøåíèé
ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

×àñòî (â óçêîì ñìûñëå) òåðìèí ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ áîëåå ïðîñòûõ òî÷íûõ ðåøåíèé âèäà (ñì., íàïðèìåð, [5, 63, 215, 264, 303, 387, 388, 600℄):

u = U (z),

z = ϕ(x) + ψ(t),

(3.3.2.2)

U (z), ϕ(x), ψ(t) ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè.
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ϕ 6= const è ψ 6= const.

ãäå âñå òðè óíêöèè
ðåøåíèé (3.3.2.2)

Ïðè ïîñòðîåíèè

Çàìå÷àíèå 3.20. Ïðè óíêöèîíàëüíîì ðàçäåëåíèè ïåðåìåííûõ ïîèñê ðåøåíèé

ïðîñòåéøåãî âèäà

u = U (ϕ(x) + ψ(t))

è

u = U (ϕ(x)ψ(t))

ïðèâîäèò ê îäèíàêîâûì

ðåçóëüòàòàì, ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå U (ϕ(x)ψ(t))
z
ãäå U1 (z) = U (e ), ϕ1 (x) = ln ϕ(x), ψ1 (t) = ln ψ(t).

= U1 (ϕ1 (x) + ψ1 (t)),

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

181

Ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïðåîáðàçîâàíèÿõ èñêîìîé óíêöèè.  ðÿäå ñëó÷àåâ ïîèñê ðåøåíèÿ â âèäå (3.3.2.1) óäàåòñÿ ïðîâåñòè â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà
èñïîëüçóåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå, ñâîäÿùåå èñõîäíîå óðàâíåíèå ê áîëåå ïðîñòîìó
óðàâíåíèþ ñ êâàäðàòè÷íîé (èíîãäà ñòåïåííîé)


íåëèíåéíîñòüþ. Çàòåì èùåòñÿ
ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ.
Ê ñîæàëåíèþ, íåò ðåãóëÿðíûõ ìåòîäîâ ñâåäåíèÿ Óð×Ï çàäàííîãî âèäà ê
Óð×Ï ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ. Óðàâíåíèÿ ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ èíîãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé èñêîìîé óíêöèè

u = U (z).

âèäà

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò âèä:

u = zλ
(äëÿ
u = λ ln z (äëÿ
λz

u=e
ãäå

(äëÿ

óðàâíåíèé ñî ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ),
óðàâíåíèé ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé íåëèíåéíîñòüþ),
óðàâíåíèé ñ ëîãàðèìè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ),

λ  ïîñòîÿííàÿ, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ. Óêàçàííûé ïîäõîä ýêâèâàëåíòåí
U (z) â âûðàæåíèè (3.3.2.1); óñïåõ

àïðèîðíîìó çàäàíèþ âèäà âíåøíåé óíêöèè

åãî ðåàëèçàöèè â îñíîâíîì çàâèñèò îò îïûòà è èíòóèöèè èññëåäîâàòåëÿ.
Çàìå÷àíèå 3.21. Ìíîãî íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè áåç çàïàç-

äûâàíèÿ, ñâîäÿùèõñÿ ñ ïîìîùüþ ïîäõîäÿùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ê óðàâíåíèÿì ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ, îïèñàíû â [15, 60, 63, 243246, 447℄.

Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì. Íèæå ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íà ïðåîáðàçîâàíèé èñêîìîé óíêöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ Óð×Ï
âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì.

◮

Ïðèìåð 3.11. àññìîòðèì øåñòèïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðåàêöèîí-

íî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñî ñòåïåííûìè íåëèíåéíîñòÿìè è çàïàçäûâàíèåì

ut = a(un ux )x + bun+1 + cu + ku1−n + mu1−n wn ,

w = u(x, t − τ ),

(3.3.2.3)

ãäå

a, b, c, k, n, m  ñâîáîäíûå

ïàðàìåòðû. Ïîäñòàíîâêà

z = un

ïðåîáðàçóåò

(3.3.2.3) ê óðàâíåíèþ ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ

zt = azzxx +

a 2
z
n x

+ bnz 2 + cnz + kn + mnz̄,

z̄ = z(x, t − τ ).

(3.3.2.4)

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, âèä êîòîðûõ çàâèñèò îò êîýèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ â
ïðàâîé ÷àñòè (3.3.2.4). åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.3.2.4) íåòðóäíî íàéòè, èñïîëüçóÿ òàáë. 3.8 (ñì. ñòðîêè  3  6).  ÷àñòíîñòè, ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà ab(n + 1) > 0 áóäóò ðåøåíèÿ ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè óíêöèÿìè,
ab(n + 1) < 0  ðåøåíèÿ ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè óíêöèÿìè.

à ïðè

Óêàçàííûé ñïîñîá ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

182

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà




1/n
u = ϕ(t) C1 cos(βx) + C2 sin(βx) + ψ(t)



1/n
u = ϕ(t) C1 ch(βx) + C2 sh(βx) + ψ(t)

Çäåñü

C1

C2  ïðîèçâîëüíûå

è

ϕ = ϕ(t)

è

ab(n + 1) > 0,

ïðè

ab(n + 1) < 0.
(3.3.2.5)

ïîñòîÿííûå,

β=
à óíêöèè

ïðè

ψ = ψ(t)

r

|b|n2
,
|a(n + 1)|

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèå-

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ϕ′t =

bn(n + 2)
ϕψ
n+1

+ cnϕ + mnϕ̄,

ψt′ = n(bψ 2 + cψ + k) +

ϕ̄ = ϕ(t − τ ),

(3.3.2.6)

bn
(C12 ± C22 )ϕ2 + mnψ̄,
n+1

ψ̄ = ψ(t − τ ).

Âåðõíèé çíàê âî âòîðîì óðàâíåíèè ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó ðåøåíèþ (3.3.2.5),
à íèæíèé çíàê  âòîðîìó ðåøåíèþ (3.3.2.5).
Ïðè

C1 = C2

ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ (3.3.2.6) (ñ íèæíèì çíàêîì) ìîæíî

óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü
íåíèÿ

bψ 2 + cψ + k = 0.

ψ =

onst, ãäå

ψ  êîðåíü

êâàäðàòíîãî óðàâ-

 ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíåíèå (3.3.2.6) ÿâëÿåòñÿ

ëèíåéíûì îäíîðîäíûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (1.1.3.1), êîòîðîå ïîäðîáíî
èññëåäîâàëîñü â ðàçä. 1.1.3. Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ϕ = C3 eλt , ãäå C3  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

λ  êîðåíü

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ=
◮

bn(n + 2)
ψ
n+1

+ cne−λτ .

◭

Ïðèìåð 3.12. àññìîòðèì òåïåðü øåñòèïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðå-

àêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè íåëèíåéíîñòÿìè è
çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + beλu + c + ke−λu + mwλ(w−u) ,
Çàìåíà

z=

w = u(x, t − τ ).

(3.3.2.7)

eλu ïðèâîäèò (3.3.2.7) ê óðàâíåíèþ ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ

zt = azzxx + bλz 2 + cλz + kλ + mλz̄,

z̄ = z(x, t − τ ).

(3.3.2.8)

åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.3.2.8) ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ òàáë. 3.8 (ñì. ñòðîêó
 3). Âèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

abλ > 0

èìååò ðåøåíèå ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè óíêöèÿìè, ïðè

b = 0
x.

ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè óíêöèÿìè, à ïðè
êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåí ïî ïåðåìåííîé

óðàâíåíèå (3.3.2.8)

abλ < 0  ðåøåíèå

ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

Óêàçàííîé çàìåíîé, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî íàéòè òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ (3.3.2.7), êîòîðûå âûðàæàþòñÿ
÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè:

u=
u=

1
λ
1
λ

p
p 
 
ln eαt C1 cos(x β ) + C2 sin(x β ) + γ
p
p
 

ln eαt C1 ch(x −β ) + C2 sh(x −β ) + γ

ïðè

abλ > 0,

ïðè

abλ < 0.

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Çäåñü

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à

α = λ(bγ + c + me−λτ ),
ãäå

γ = γ1,2  êîðíè
◮

183

êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ

β = bλ/a,

bγ 2 + (c + m)γ + k = 0.

◭

Ïðèìåð 3.13. Ïÿòèïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðåàêöèîííî-äèóçèîí-

íûõ óðàâíåíèé ñ ëîãàðèìè÷åñêèìè íåëèíåéíîñòÿìè è çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu ln2 u + cu ln u + ku + mu ln w,
çàìåíîé

u=

w = u(x, t − τ ),

(3.3.2.9)

ez ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ

zt = azxx + azx2 + bz 2 + cz + k + mz̄,

z̄ = z(x, t − τ ).

(3.3.2.10)

åøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.3.2.10) ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ òàáë. 3.8 (ñì. óðàâíåíèÿ
 1 è 2). Âèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà

ab > 0 óðàâíåíèå (3.3.2.10)
ab < 0  ðåøåíèå

èìååò ðåøåíèå ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè óíêöèÿìè, ïðè
ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè óíêöèÿìè. Ïðè

b = 0

óðàâíåíèå (3.3.2.10) äîïóñêàåò

ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â âèäå êâàäðàòè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

z = ψ1 (t)x2 + ψ2 (t)x + ψ3 (t),

÷òî

ïðèâîäèò ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.2.9):

u = exp[ψ1 (t)x2 + ψ2 (t)x + ψ3 (t)].
Ôóíêöèè

ψk = ψk (t)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψ1′ = 4aψ12 + cψ1 + mψ̄1 ,
ψ2′ = 4aψ1 ψ2 + cψ2 + mψ̄2 ,
ψ3′ = cψ3 + 2aψ1 + aψ22 + k + mψ̄3 ,
ψ̄j = ψj (t − τ ), j = 1, 2, 3. Ïåðâîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò ñòàöèîíàðíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ψ1 = −(c + m)/(4a).  ýòîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíåíèå

ãäå

ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ïîäðîáíî èññëåäîâàëîñü â ðàçä. 1.1.3 è èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ2 = Ceλt ,

à ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì

◭

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.

3.3.3. Èñïîëüçîâàíèå ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ

ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì íà íà÷àëüíîì ýòàïå
ìîæíî ñäåëàòü ïîäõîäÿùåå ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, à çàòåì
óæå â íîâûõ ïåðåìåííûõ èñêàòü ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì èëè óíêöèîíàëüíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Íàèáîëåå ïðîñòûìè ëèíåéíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè
ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà

x, t, u

=⇒

y, z, u,

ãäå

y = k1 x + λ1 t,

z = k2 x + λ2 t,

(3.3.3.1)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

184

ãäå

k1 , k2 , λ1 , λ2  íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé

ïîçâîëèëî òàêæå ïîëó÷èòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì è àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (3.2.2.1) (ñì. ðåøåíèå (3.2.2.7)), (3.2.2.12) (ñì. ðåøåíèå
(3.2.2.15) ïðè

C1 = 0),

(3.2.2.16) (ñì. ðåøåíèå (3.2.2.20)).

Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà  îðäîíà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà  îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.1.3) íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå äâà ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ:

x, t, u

=⇒

x, z, u,

ãäå

z = t ± a−1/2 x.

(3.3.3.2)

 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê äâóì Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì [452℄:

auxx ± 2a1/2 uxz + F (u, w) = 0,

u = u(x, z),

z = t ± a−1/2 x,

Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ

w = u(x, z − τ ).

t ± a−1/2 x = C± ,

ãäå

C±

(3.3.3.3)

 ïðîèçâîëüíûå ïî-

ñòîÿííûå, îïðåäåëÿþò äâà ðàçëè÷íûõ ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèê äëÿ ëèíåéíîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (3.1.1.3) ïðè

F ≡0

(ñì., íàïðèìåð, [90, 436℄).

Ïðåîáðàçîâàííûå óðàâíåíèÿ (3.3.3.3) ÷àñòî áîëåå óäîáíû, ÷åì èñõîäíîå
óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.1.1.3) è ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ
îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ îòíîñèòåëüíî íîâûõ àðãóìåíòîâ

x è z.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì [452℄. Äëÿ èëëþ-

ñòðàöèè ýåêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âèäà (3.3.3.2)
ïðèâåäåì íåñêîëüêî íåëèíåéíûõ Óð×Ï ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûõ ðåøåíèé.
Óðàâíåíèå 1.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâà-

íèåì

utt = auxx + f (w/u)

(3.3.3.4)

â ïåðåìåííûõ (3.3.3.2) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = (x + C)ϕ(z),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

z = t ± a−1/2 x,

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèè

ϕ(z)

óäîâëåòâîðÿþò íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

Óðàâíåíèå 2.



±2a1/2 ϕ′ (z) + f ϕ(z − τ )/ϕ(z) = 0.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâà-

íèåì

utt = auxx + f (u − w)

(3.3.3.5)

â ïåðåìåííûõ (3.3.3.2) äîïóñêàåò íåñêîëüêî òî÷íûõ ðåøåíèé, îïèñàííûõ íèæå.

3.3. åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
1◦ .

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = Cx2 + ϕ(z)x + ψ(z),
ãäå

C

185

z = t ± a−1/2 x,

 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèè

ϕ(z)

è

ψ(z)

îïèñûâàþòñÿ ðàç-

íîñòíûìè óðàâíåíèÿìè

ϕ(z) = ϕ(z − τ ),


f ψ(z) − ψ(z − τ ) = ∓2a1/2 ϕ′ (z) − 2Ca.

Èç ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.3.6) ñëåäóåò, ÷òî

(3.3.3.6)
(3.3.3.7)

ϕ(z) ÿâëÿåòñÿ ëþáîé τ -ïåðèîäè-

÷åñêîé óíêöèåé, êîòîðóþ â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà

∞ 

X
2πnz
2πnz
An cos
ϕ(z) = A0 +
+ Bn sin
,

τ

n=1

ãäå

An

è

Bn  ïðîèçâîëüíûå

(3.3.3.8)

τ

ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâèâ (3.3.3.8) â (3.3.3.7), ïî-

ëó÷èì óðàâíåíèå, êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó ðàçíîñòíîìó
óðàâíåíèþ âèäà

2◦ .

ψ(z) − ψ(z − τ ) = g∓ (z)

ñ èçâåñòíîé ïðàâîé ÷àñòüþ.

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = Cxz + ϕ(x) + ψ(z),
ãäå

z = t ± a−1/2 x,

C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèè ϕ(x) è ψ(z)

îïèñûâàþòñÿ ëèíåé-

íûì ÎÄÓ è ëèíåéíûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì

aϕ′′xx ± 2Ca1/2 + f (Cτ x + B) = 0,
ϕ(z) − ϕ(z − τ ) = B,
B  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ôóíêöèè ϕ(x) è ψ(z) äîïóñêàþò ïðåäñòàâëåíèå
â çàìêíóòîì âèäå.
Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâà-

íèåì

utt = auxx + f (u + kw)

(3.3.3.9)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(z)x + ψ(z),
ãäå óíêöèè

Ïðè

ϕ(z)

k>0

è

ψ(z)

z = t ± a−1/2 x,

(3.3.3.10)

îïèñûâàþòñÿ ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè

ϕ(z) + kϕ(z − τ ) = 0,


f ψ(z) + kψ(z − τ ) = ∓2a1/2 ϕ′ (z).

(3.3.3.11)
(3.3.3.12)

îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.3.3.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

ϕ(z) = k

z/τ

∞ h
X
n=1

An cos

(2n − 1)πz
τ

+ Bn sin

(2n − 1)πz
τ

i

,

(3.3.3.13)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

186

ãäå

An

Bn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òàêèå, ÷òî ðÿä â (3.3.3.13) ñõîäèòñÿ.
k = 1 ñîîòâåòñòâóåò îáùàÿ τ -àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ (3.3.3.13).
Ïðè k < 0 óðàâíåíèå (3.3.3.11) èìååò îáùåå ðåøåíèå
∞ 

X
2πnz
2πnz
An cos
ϕ(z) = |k|z/τ
(3.3.3.14)
+ Bn sin
.
è

Çíà÷åíèþ

τ

n=0

τ

Ïîäñòàâèâ (3.3.3.13) èëè (3.3.3.14) â (3.3.3.12), ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, êîòî-

ðûå ìîæíî ïðèâåñòè ê ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì ðàçíîñòíûì óðàâíåíèÿì âèäà

ψ(z) + kψ(z − τ ) = g∓ (z)
Óðàâíåíèå 4.

ñ èçâåñòíîé ïðàâîé ÷àñòüþ.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + u1−2k f (uk − wk ),

k 6= 1,

(3.3.3.15)

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [x + θ(z)]1/k ,
ãäå óíêöèÿ

θ = θ(z) îïèñûâàåòñÿ

z = t ± a−1/2 x,

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàç-

äûâàíèåì

±2a1/2 θz′ + a +
Óðàâíåíèå 5.

k2
f (θ − θ̄)
1−k

= 0,

θ̄ = θ(z − τ ).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + ebu+cw f (u − w)

(3.3.3.16)

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x) + θ(z),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

z = t ± a−1/2 x,

óäîâëåòâîðÿåò íåëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

ϕ′′xx = Ke(b+c)ϕ ,
ãäå

K  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ θ = θ(z) îïèñûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì

óðàâíåíèåì

aK + ebθ+cθ̄ f (θ − θ̄) = 0,

Îòìåòèì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå ÎÄÓ äëÿ

θ̄ = θ(z − τ ).

ϕ âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ óíêöè-

ÿõ [448℄.
Óðàâíåíèå 6.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + e−2βu f (beβu + ceβw )

(3.3.3.17)

äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u=
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

1
β

ln[ϕ(z)x + ψ(z)],

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ

bϕ + cϕ̄ = 0,
à óíêöèÿ

ψ = ψ(z)

z = t ± a−1/2 x,

ϕ̄ = ϕ(z − τ ),

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàç-

äûâàíèåì

±2a1/2 (ϕ′z ψ − ϕψz′ ) − aϕ2 + βf (bψ + cψ̄) = 0,

ψ̄ = ψ(z − τ ).

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

187

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

3.4.1. Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
Ñëåäóÿ [451℄, ðàññìîòðèì êëàññ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì ñëåäóþùåãî âèäà:

ut = auxx + uf (z) + wg(z) + h(z),
w = u(x, t − τ ), z = z(u, w),

ãäå

f (z), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå

óíêöèè,

(3.4.1.1)

z = z(u, w)  íåêîòîðàÿ

çàäàííàÿ

óíêöèÿ (â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòà óíêöèÿ ìîæåò áûòü èñêîìîé). Êðîìå òîãî,
ïî õîäó äåëà èíîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêæå áîëåå îáùèå óðàâíåíèÿ, êîãäà

f , g, h äîïîëíèòåëüíî
ïåðåìåííîé x èëè t.

ÿâíî çàâèñÿò òàêæå îò îäíîé íåçàâèñèìîé

óíêöèè

Çàìå÷àíèå 3.22. Âìåñòî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ut â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.4.1.1)
ìîæåò ñòîÿòü âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ utt èëè ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî âðåPn
(m)
ìåíè L[u] =
, ãäå cm  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
m=1 cm ut

Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u=

N
X

ϕn (x)ψn (t),

(3.4.1.2)

n=1
ãäå óíêöèè

ϕn (x) è ψn (t) ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà.

Íàïîìíèì, ÷òî íàèáîëåå ÷àñòî â ñóììå (3.4.1.2) èñïîëüçóþòñÿ êîîðäèíàòíûå
óíêöèè, ïðèâåäåííûå â (3.3.1.3).
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî äëÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (3.4.1.1),
êîòîðûå ñîäåðæàò ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå
ìåòîäû îáîáùåííîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, îïèñàííûå â êíèãàõ [60, 63, 246,
447℄ è ðàçä. 3.3.
àçðàáîòàííûé â [451℄ ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé îñíîâàí íà ïîèñêå
ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (3.4.1.2) óðàâíåíèé âèäà
(3.4.1.1) è ðîäñòâåííûõ áîëåå ñëîæíûõ óðàâíåíèé ñ ïðèâëå÷åíèåì îäíîé èç
ñëåäóþùèõ äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé:

z(u, w) = p(x),
z(u, w) = q(t),

w = u(x, t − τ );
w = u(x, t − τ ),

(3.4.1.3)
(3.4.1.4)

êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ïî ïåðåìåííîé
ñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ

= z(u, w)

x

t,

ãäå ïðî-

èãðàåò ðîëü ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà. Ôóíêöèÿ

ÿâëÿåòñÿ àðãóìåíòîì ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé

f , g, h,

z=

âõîäÿùèõ â

p(x) è q(t) çàâèñÿò îò x è t íåÿâíî (âûðàæàþòñÿ
óíêöèè ϕn (x) è ψn (t)) è îïðåäåëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå

óðàâíåíèå (3.4.1.1). Ôóíêöèè
ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç

èññëåäîâàíèÿ óðàâíåíèé (3.4.1.3) èëè (3.4.1.4) ñ ó÷åòîì (3.4.1.2). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî íåò íåîáõîäèìîñòè ïîëó÷àòü îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3.4.1.3) èëè
(3.4.1.4), äîñòàòî÷íî èìåòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ.

188

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

åøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.1.3) (èëè (3.4.1.4)) ñ ó÷åòîì (3.4.1.2)
îïðåäåëÿåò äîïóñòèìûé âèä òî÷íîãî ðåøåíèÿ, îêîí÷àòåëüíûé âèä êîòîðîãî
îïðåäåëÿåòñÿ äàëåå ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå (3.4.1.1). Ñâÿçè (3.4.1.3) è (3.4.1.4) äàëåå áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî óíêöèîíàëüíûìè ñâÿçÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Ïðè âûïîëíåíèè ëþáîãî èç ñîîòíîøåíèé (3.4.1.3) èëè (3.4.1.4) óðàâíåíèå
(3.4.1.1) ¾ëèíåàðèçóåòñÿ¿, ÷òî ïîçâîëÿåò äàëåå èñïîëüçîâàòü ïðîöåäóðó ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.
Çàìå÷àíèå 3.23. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè â ðàçä. 3.4 ïðîñòåéøóþ (âûðîæäåííóþ) óíê-

öèîíàëüíóþ ñâÿçü âèäà

z(u, w) =

onst áóäåì îòíîñèòü ê óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè

ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3).
Çàìå÷àíèå 3.24. Òåðìèí ¾óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü¿ ââåäåí ïî àíàëîãèè ñ òåðìèíîì

äèåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â ìåòîäå äèåðåíöèàëüíûõ ñâÿçåé
(ïðåäëîæåí Í.Í. ßíåíêî â [96℄), ïðèìåíÿåìîì äëÿ ïîèñêà òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï è ñèñòåì òàêèõ óðàâíåíèé. Èçëîæåíèå ýòîãî ìåòîäà è ïðèìåðû åãî
ïðèìåíåíèÿ ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [60, 63, 77, 447℄.
Çàìå÷àíèå

3.25.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ (3.4.1.3) è

(3.4.1.4) ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü áîëåå ñëîæíûå, ÷åì (3.4.1.2), ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ïðèìåðû òàêèõ ðåøåíèé ìîæíî íàéòè â ðàçä. 3.4.3).

Äàëåå ïðèâåäåíû ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (3.4.1.1) è ðîäñòâåííûõ
áîëåå ñëîæíûõ óðàâíåíèé.

3.4.2. Òî÷íûå ðåøåíèÿêâàçèëèíåéíûõ
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì
 äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà (3.4.1.1), êîòîðûå ëèíåéíû îòíîñèòåëüíî îáåèõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðèâåäåííûå äàëåå òî÷íûå ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé áûëè
ïîëó÷åíû â [451℄.

Óðàâíåíèå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò w/u.

Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò îòíîøåíèÿ

w/u,

âèäà

ut = auxx + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.1)

g=h=0è
z = w/u.
1◦ . Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.1.1) ïðè

w/u = q(t),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.2)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

189

Î÷åâèäíî, ÷òî ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.2) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè
âçÿòü ïðîñòîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t),
êîòîðîå äàåò

q(t) = ψ(t − τ )/ψ(t).

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.3) â (3.4.2.1) è ðàçäåëÿÿ

ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèé

ãäå

(3.4.2.3)

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t):

ϕ′′ = kϕ,
ψ ′ (t) = akψ(t) + ψ(t)f (ψ(t − τ )/ψ(t)),

k  ïðîèçâîëüíàÿ

(3.4.2.4)
(3.4.2.5)

ïîñòîÿííàÿ.

Îáùåå ðåøåíèå ÎÄÓ (3.4.2.4) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè

ãäå

C1


p
p




|k| x + C2 sin |k| x

C1 cos √
√



ϕ(x) = C1 exp − k x + C2 exp k x


C1 x + C2
è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïðè
ïðè
ïðè

k < 0;
k > 0;
k = 0,

(3.4.2.6)

ïîñòîÿííûå. ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.5) äî-

ïóñêàåò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ(t) = C3 eλt ,
ãäå

C3  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

λ  êîðåíü

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ = ak + f (e−λτ ).
2◦ .

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.1) â

p(x) = p0 =

ïðîñòåéøåì ñëó÷àå

onst çàïèñûâàåòñÿ òàê:

w/u = p0 ,

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.7)

v(x, t) = v(x, t − τ ),

(3.4.2.8)

åøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.2.7) ïðè

ct

u = e v(x, t),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

p0 > 0

èùåì â âèäå

v(x, t)  τ -ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ,
w/u = p0 = e−cτ .

ïîäëå-

æàùàÿ îïðåäåëåíèþ.  äàííîì ñëó÷àå èìååì

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.8) â óðàâíåíèå (3.4.2.1), ïîëó÷èì ëèíåéíóþ çàäà÷ó äëÿ
îïðåäåëåíèÿ óíêöèè

v:

vt = avxx + bv,
ãäå

v(x, t) = v(x, t − τ ),

(3.4.2.9)

Äëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷èì îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (3.4.2.9)

v = V1 (x, t; b). Îíî

b=

f (e−cτ ) − c.

èìååò âèä

V1 (x, t; b) =
+

∞
X

n=0
∞
X

n=1

βn =

2πn
,
τ



exp(−λn x) An cos(βn t − γn x) + Bn sin(βn t − γn x) +


exp(λn x) Cn cos(βn t + γn x) + Dn sin(βn t + γn x) ,

λn =

p

b2 + βn2 − b
2a

1/2

,

γn =

p

b2 + βn2 + b
2a

1/2

,

(3.4.2.10)

(3.4.2.11)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

190

An , Bn , Cn , Dn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, äëÿ êîòîðûõ ðÿä (3.4.2.10) 
(V1 )t , (V1 )xx ñõîäÿòñÿ (ñõîäèìîñòü, íàïðèìåð,
çàâåäîìî ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè ïîëîæèòü An = Bn = Cn = Dn = 0 ïðè
n > N , ãäå N  ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî).
ãäå

(3.4.2.11) è åãî ïðîèçâîäíûå

Âûäåëèì ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ñëó÷àè:

τ -ïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.4.2.9), çàòóõàþùèå ïðè
x → ∞, äàþòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11) ïðè A0 = B0 = 0, Cn = Dn = 0,
n = 1, 2, . . . ;
(ii) τ -ïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.4.2.9), îãðàíè÷åííûå
ïðè x → ∞, äàþòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11) ïðè Cn = Dn = 0, n =
= 1, 2, . . . ;
(i)

(iii) ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11)
ïðè

An = Bn = Cn = Dn = 0, n = 1, 2, . . .

Ïîäâîäÿ èòîãè, èìååì òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.2.1):

u = ect V1 (x, t; b),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

b = f (e−cτ ) − c,

τ -ïåðèîäè÷åñêàÿ

óíêöèÿ

(3.4.2.12)

V1 (x, t; b)

îïðå-

äåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11).

3◦ .

åøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.2.7) ïðè

u = ect v(x, t),
ãäå

p0 < 0 èùåì â âèäå

v(x, t) = −v(x, t − τ ),

c  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, v(x, t)  τ -àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ
w/u = p0 = −e−cτ .

(3.4.2.13)
óíêöèÿ. Â

äàííîì ñëó÷àå

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.13) â óðàâíåíèå (3.4.2.1), ïîëó÷èì ëèíåéíóþ çàäà÷ó äëÿ
îïðåäåëåíèÿ óíêöèè

v:

vt = avxx + bv,
ãäå

b = f (−e−cτ ) − c.

v(x, t) = −v(x, t − τ ),

(3.4.2.14)

Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (3.4.2.14), êîòîðîå äëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷èì

= V2 (x, t; b),
V2 (x, t; b) =

+

∞
X

n=1
∞
X

n=1

βn =

v =

èìååò âèä

π(2n − 1)
,
τ



exp(−λn x) An cos(βn t − γn x) + Bn sin(βn t − γn x) +


exp(λn x) Cn cos(βn t + γn x) + Dn sin(βn t + γn x) ,
λn =

p

b2 + βn2 − b
2a

1/2

,

γn =

p

b2 + βn2 + b
2a

(3.4.2.15)

1/2

,

(3.4.2.16)

An , Bn , Cn , Dn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, äëÿ êîòîðûõ ðÿäû (3.4.2.15) 
(V2 )t è (V2 )xx ñõîäÿòñÿ. Çàòóõàþùèå ïðè x → ∞ τ -àíòèïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè t ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.4.2.14)
äàþòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.15)  (3.4.2.16) ïðè Cn = Dn = 0, n = 1, 2, . . .
ãäå

(3.4.2.16) è ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

191

Ïîäâîäÿ èòîãè, èìååì òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.2.1):

u = ect V2 (x, t; b),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

b = f (−e−cτ ) − c,

τ -àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ

(3.4.2.17)
óíêöèÿ

V2 (x, t; b)

îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.15)  (3.4.2.16).
Çàìå÷àíèå 3.26. åøåíèÿ (3.4.2.10)  (3.4.2.11) è (3.4.2.15)  (3.4.2.16) î÷åíü ïî-

õîæè ïî âíåøíåìó âèäó. Îäíàêî â ïåðâîì ðåøåíèè ïåðâàÿ ñóììà íà÷èíàåòñÿ ñ
à âî âòîðîì ðåøåíèè  ñ
Óðàâíåíèå 2.

n = 1;

îòëè÷àþòñÿ òàêæå çíà÷åíèÿ

n = 0,

βn .

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),
Ýòî óðàâíåíèå ïðè

b = 0

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.18)

ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (3.4.2.1). Òî÷íîå ðåøåíèå

óðàâíåíèÿ (3.4.2.18), îïðåäåëÿåìîå äèåðåíöèàëüíîé ñâÿçüþ âòîðîãî ðîäà
(3.4.2.2), èìååò âèä (3.4.2.3), ò. å.

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′ + bϕ ln ϕ = Cϕ,
ψ ′ = bψ ln ψ + Cψ + ψf (ψ̄/ψ),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(t − τ ),

ïîñòîÿííàÿ.

Óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò ëèíåéíîé êîìáèíàöèè u è w.
Óðàâíåíèå 3.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ, çàâèñÿùóþ îò ðàçíîñòè

u − w, âèäà

ut = auxx + bu + f (u − w),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.19)

f (z) = b,
g = 0, z = u − w; äëÿ óäîáñòâà óíêöèÿ h áûëà ïåðåîáîçíà÷åíà íà f .
1◦ . Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.1.1) ïðè

u − w = q(t),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.20)

Î÷åâèäíî, ÷òî ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.20) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè âçÿòü ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x) + ψ(t),

(3.4.2.21)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

192

êîòîðîå äàåò

q(t) = ψ(t) − ψ(t − τ ).

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.21) â (3.4.2.19) è ðàçäåëÿÿ

ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

ϕ = ϕ(x)

è

ψ =

= ψ(t):
aϕ′′xx + bϕ = k,
ψt′ (t) = bψ(t) + k + f (ψ(t) − ψ(t − τ )),

ãäå

k  ïðîèçâîëüíàÿ

(3.4.2.22)
(3.4.2.23)

ïîñòîÿííàÿ.

b 6= 0 è k = 0 èìååò âèä
p
β = b/a
ïðè b > 0;
p
(3.4.2.24)
β = −b/a ïðè b < 0,

Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.2.22) ïðè

(
C1 cos(βx) + C2 sin(βx),
ϕ(x) =
C1 exp(−βx) + C2 exp(βx),
ãäå

C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. åøåíèå (3.4.2.21), (3.4.2.24) ïðè b > 0
x.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.2.22) ïðè b = 0 è k 6= 0 îïðåäåëÿåòñÿ

ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé
îðìóëîé

ϕ(x) =
2◦ .

k
2a

x2 + C1 x + C2 .

(3.4.2.25)

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.19)

èìååò âèä

u − w = p(x),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.26)

àçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.26) ìîæíî, íàïðèìåð, óäîâëåòâîðèòü, åñëè
âçÿòü ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = tϕ(x) + ψ(x),
êîòîðîå äàåò

(3.4.2.27)

p(x) = τ ϕ(x).

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.27) â (3.4.2.19), ïîëó÷èì îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèé

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x):

aϕ′′xx + bϕ = 0,
′′
aψxx
+ bψ + f (τ ϕ) − ϕ = 0.
Óðàâíåíèå (3.4.2.28) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (3.4.2.22) ïðè

(3.4.2.28)
(3.4.2.29)

k = 0, åãî ðåøå-

íèå äàåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.24). Ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè
êîýèöèåíòàìè (3.4.2.29) ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ.
Áîëåå ñëîæíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.19) (ñîäåðæàùèå ëþáîå
÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ) ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûå âûøå ðåøåíèÿ (3.4.2.21) è (3.4.2.27) è ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

(î íåëèíåéíîé ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé). Ïóñòü u0 (x, t)  íåêîòîðîå ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.19), à óíêöèÿ v =
= V1 (x, t; b) ÿâëÿåòñÿ ëþáûì τ -ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèåì ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè ñ èñòî÷íèêîì (3.4.2.9). Òîãäà ñóììà
Òåîðåìà 1

u = u0 (x, t) + V1 (x, t; b)

(3.4.2.30)

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.19). Îáùèé âèä óíêöèè V1(x, t; b)
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11).

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

193

Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé îðìóëû (3.4.2.30) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.19) ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ äëÿ
óíêöèè

v

(3.4.2.9).

Çàìå÷àíèå 3.27.  îðìóëå (3.4.2.30) â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ u0 (x, t) íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.2.19) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ïðîñòðàíñòâåííî îäíî-

u0 (t), ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå u0 (x) èëè ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû
u0 = u0 (αx + βt).

ðîäíîå ðåøåíèå

Óðàâíåíèå 4.

àññìîòðèì óðàâíåíèå

ut = auxx + bu + f (u − kw),

k > 0,

(3.4.2.31)

f (z) = b, g = 0,
íà f ).

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.1.1) ïðè

z = u − kw (äëÿ óäîáñòâà óíêöèÿ h áûëà ïåðåîáîçíà÷åíà
1◦ . Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ

(3.4.2.31)

çàïèñûâàåòñÿ òàê:

u − kw = p(x),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.32)

Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.32) ìîæíî, íàïðèìåð, óäîâëåòâîðèòü, åñëè âçÿòü ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = ect ϕ(x) + ψ(x),
êîòîðîå äàåò

c=

1
τ

ln k,

(3.4.2.33)

p(x) = (1 − k)ψ(x).

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.33) â (3.4.2.31), ïîëó÷èì îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèé

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x):

aϕ′′ + (b − c)ϕ = 0,
aψ ′′ + bψ + f (η) = 0,

(3.4.2.34)

η = (1 − k)ψ.

(3.4.2.35)

Ëèíåéíîå ÎÄÓ (3.4.2.34) ñ òî÷íîñòüþ äî ýëåìåíòàðíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé

k = 0; åãî ðåøåíèå äàåòñÿ îðìóëàìè
çàìåíèòü íà b − c. Íåëèíåéíîå ÎÄÓ (3.4.2.35)

ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì (3.4.2.22) ïðè
(3.4.2.24), â êîòîðûõ

b

íàäî

ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíûì, åãî îáùåå ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîì âèäå.

2◦ .

Áîëåå ñëîæíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.31) (ñîäåðæàùèå ëþ-

áîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ) ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå
âûøå ðåøåíèå (3.4.2.33)  (3.4.2.35) è ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

(îáîáùàåò òåîðåìó 1). Ïóñòü u0(x, t)  íåêîòîðîå ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.31), à óíêöèÿ v = V1 (x, t; b) ÿâëÿåòñÿ ëþáûì τ -ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèåì ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
ñ èñòî÷íèêîì (3.4.2.9). Òîãäà ñóììà
Òåîðåìà 2

u = u0 (x, t) + ect V1 (x, t; b − c),

(3.4.2.36)

ãäå c = (ln k)/τ , òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.31). Îáùèé âèä
óíêöèè V1 (x, t; b) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11).

194

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé îðìóëû (3.4.2.36) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.31) ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ äëÿ
óíêöèè

v

(3.4.2.9).

Ôîðìóëà (3.4.2.36) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü øèðîêèé êëàññ òî÷íûõ ðåøåíèé
íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.31).  êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.31) â (3.4.2.36) ìîæíî èñïîëüçîâàòü êîí-

u0 , óäîâëåòâîðÿþùóþ àëãåáðàè÷åñêîìó (èëè òðàíñöåíäåíòíîìó) óðàâíåíèþ bu0 + f ((1 − k)u0 ) = 0.  êà÷åñòâå óíêöèè u0 (x, t) â (3.4.2.36) ìîæíî
âçÿòü òàêæå ïðîñòûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäà u0 = u0 (x) è u0 = u0 (t), à òàêæå
áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû u0 = θ(αx + βt), ãäå α è β  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ θ(y) óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì


aα2 θ ′′ (y) − βθ ′ (y) + bθ(y) + f θ(y) − kθ(y − σ) = 0, y = αx + βt, σ = βτ.
ñòàíòó

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü òî÷íîå ðåøåíèå (3.4.2.33).

Çàìå÷àíèå 3.28. Ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå îáùåå, ÷åì (3.4.2.31), óðàâíåíèå

ut = auxx + bu + f (w1 − kw2 ),

w1 = u(t − τ1 ),

w2 = u(t − τ2 ),

k > 0,

(3.4.2.37)

τ1 è τ2 (τ1 6= τ2 ). Òîãäà ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ w1 − kw2 =
ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè âçÿòü ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðå1
1
ìåííûõ âèäà (3.4.2.33), â êîòîðîì c =
τ ln k íàäî çàìåíèòü íà c = τ2 −τ1 ln k . Òîãäà
áóäåò ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2, ñ êîòîðîé â îðìóëå (3.4.2.36)
1
ñëåäóåò ïîëîæèòü c =
τ2 −τ1 ln k .
ñ äâóìÿ çàïàçäûâàíèÿìè

= p(x)

Óðàâíåíèå 5.

àññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå

ut = auxx + bu + f (u + kw),

k > 0,

êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (3.4.2.31) çíàêîì ïàðàìåòðà

(3.4.2.38)

k â êèíåòè÷åñêîì

÷ëåíå. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Ïóñòü u0 (x, t)  íåêîòîðîå ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ
çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.38), à óíêöèÿ v = V2(x, t; b) ÿâëÿåòñÿ ëþáûì τ -àíòèïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèåì ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ èñòî÷íèêîì
(3.4.2.14). Òîãäà ñóììà
Òåîðåìà 3.

u = u0 (x, t) + ect V2 (x, t; b − c),

c=

1
τ

ln k,

(3.4.2.39)

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.38). Îáùèé âèä óíêöèè V2(x, t; b)
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.15)  (3.4.2.16).
Òåîðåìà 3 äîêàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ïðîâåðêîé è ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü øèðîêèé
êëàññ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.38). Â

u0 (x, t) â (3.4.2.39) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð,
u0 (t), ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå u0 (x) èëè
âîëíû u0 = u0 (αx + βt).

êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ

ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîå ðåøåíèå
ðåøåíèå òèïà áåãóùåé

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

195

Óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, çàâèñÿùèå îò ëèíåéíîé êîìáèíàöèè u è w.
Óðàâíåíèå 6.

àññìîòðèì òåïåðü áîëåå ñëîæíîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ

çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (u − w) + wg(u − w) + h(u − w),

w = u(x, t − τ ),

(3.4.2.40)

f (z), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè (â äàííîì ñëó÷àå îäíó èç äâóõ
óíêöèé f èëè g ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ).
1◦ . Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.40)

ãäå

èìååò âèä (3.4.2.26). Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.26) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè, êàê è ðàíåå, âçÿòü ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.4.2.27).  ðåçóëüòàòå ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèé

ϕ(x)

è

ψ(x)

(îíè íå âûïèñûâàþòñÿ ïîñêîëüêó íèæå èçëàãàåòñÿ ñóùåñòâåííî

áîëåå îáùèé ðåçóëüòàò).

2◦ .

Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.26) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü,

åñëè ïîëîæèòü

u=

N
X

[ϕn (x) cos(βn t) + ψn (x) sin(βn t)] + tθ(x) + ξ(x),

βn =

n=1

2πn
, (3.4.2.41)
τ

N  ëþáîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.4.2.26)
p(x) = τ ϕ(x).

ãäå

â ýòîì ñëó÷àå èìååì

Ïîäñòàâèâ (3.4.2.41) â óðàâíåíèå (3.4.2.40), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

N
X

[An cos(βn t) + Bn sin(βn t)] + Ct + D = 0,

(3.4.2.42)

n=1
â êîòîðîì óíêöèîíàëüíûå êîýèöèåíòû

ψn (x), θ(x), ξ(x)

An , Bn , C , D

ϕn (x),
t. Ïðèðàâíèâàÿ â
An = Bn = C = D = 0,
çàâèñÿò îò

è èõ ïðîèçâîäíûõ è íå çàâèñÿò îò âðåìåíè

(3.4.2.42) ê íóëþ âñå óíêöèîíàëüíûå êîýèöèåíòû

ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ÎÄÓ äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ óíêöèé:

aϕ′′n + ϕn [f (τ θ) + g(τ θ)] − βn ψn = 0,
aψn′′ + ψn [f (τ θ) + g(τ θ)] + βn ϕn = 0,
aθ ′′ + θ[f (τ θ) + g(τ θ)] = 0,
aξ ′′ + ξf (τ θ) + (ξ − τ θ)g(τ θ) + h(τ θ) − θ = 0.
Îòìåòèì, ÷òî òðåòüå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå äîïóñêàåò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

θ = 0;

â ýòîì ñëó÷àå îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ

ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.
Óðàâíåíèå 7.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (u − kw) + wg(u − kw) + h(u − kw),

k > 0,

(3.4.2.43)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

196

ãäå

f (z), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå

óíêöèè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì

óðàâíåíèÿ (3.4.2.31).

1◦ .

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.43)

èìååò âèä (3.4.2.32). Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.32) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè, êàê è ðàíåå, âçÿòü ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.4.2.33).  ðåçóëüòàòå ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèé

ϕ(x)

è

ψ(x)

(îíè íå âûïèñûâàþòñÿ ïîñêîëüêó íèæå èçëàãàåòñÿ ñóùåñòâåííî

áîëåå îáùèé ðåçóëüòàò).

2◦ .

Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.32) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü,

åñëè ïîëîæèòü



N
X
u = e θ(x) +
[ϕn (x) cos(βn t) + ψn (x) sin(βn t)] + ξ(x),
ct

(3.4.2.44)

n=1

c=

ãäå

1
τ

ln k,

βn =

2πn
,
τ

N  ëþáîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.4.2.32)
p(x) = (1 − k)ξ(x).

â ýòîì ñëó÷àå èìååì

Ïîäñòàâèì (3.4.2.44) â óðàâíåíèå (3.4.2.43). àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó êàê
ýòî äåëàëîñü äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.40), ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ÎÄÓ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

θ(x), ϕn (x), ψn (x), ξ(x):
h
i
1
aθ ′′ + θ f (η) + g(η) − c = 0, η = (1 − k)ξ,
k
i
h
1
′′
aϕn + ϕn f (η) + g(η) − c − βn ψn = 0,
k
h
i
1
′′
aψn + ψn f (η) + g(η) − c + βn ϕn = 0,
k

aξ ′′ + ξ[f (η) + g(η)] + h(η) = 0.
Óðàâíåíèå 8.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (u + kw) + wg(u + kw) + h(u + kw),
ãäå

f (z), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå

k > 0,

(3.4.2.45)

óíêöèè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì

óðàâíåíèÿ (3.4.2.38).
Äèåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.45)
èìååò âèä

u + kw = p(x),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.46)

Ëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.46) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè
ïîëîæèòü

ct

u=e

N
X

[ϕn (x) cos(βn t) + ψn (x) sin(βn t)] + ξ(x),

n=1

c=

1
τ

ln k,

βn =

π(2n − 1)
,
τ

(3.4.2.47)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

197

N  ëþáîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.  ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.4.2.46)
p(x) = (1 + k)ξ(x).

ãäå

â ýòîì ñëó÷àå èìååì

Ïîäñòàâèì (3.4.2.47) â óðàâíåíèå (3.4.2.45). àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó êàê
ýòî äåëàëîñü äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.40), ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ÎÄÓ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

ϕn (x), ψn (x), ξ(x):
h
i
1
aϕ′′n + ϕn f (η) − g(η) − c − βn ψn = 0,
k
h
i
1
′′
aψn + ψn f (η) − g(η) − c + βn ϕn = 0,
k

aξ ′′ + ξ[f (η) + g(η)] + h(η) = 0,

η = (1 + k)ξ.

Îòìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì (ò. å. íå çàâèñèò
îò äðóãèõ óðàâíåíèé).

Óðàâíåíèå ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, çàâèñÿùèå îò ñóììû
êâàäðàòîâ u è w.
Óðàâíåíèå 9.

àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (u2 + w2 ) + wg(u2 + w2 ),
f (z)

g(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè,
2
2
òè÷íîãî) àðãóìåíòà z = u + w .
ãäå

è

w = u(x, t − τ ),

(3.4.2.48)

çàâèñÿùèå îò íåëèíåéíîãî (êâàäðà-

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.48) èìååò
âèä

u2 + w2 = p(x),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.2.49)

u = ϕn (x) cos(λn t) + ψn (x) sin(λn t),

(3.4.2.50)

Íåëèíåéíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.2.49) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü

λn =

π(2n + 1)
,
2τ

n = 0, ±1, ±2, . . .

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

w = (−1)n ϕn (x) sin(λn t) + (−1)n+1 ψn (x) cos(λn t),
à òàêæå

u2 + w2 = ϕ2n (x) + ψn2 (x) = p(x).
Ïîäñòàâèì (3.4.2.50) â óðàâíåíèå (3.4.2.48). àñùåïëÿÿ äàëåå ïîëó÷åííîå
âûðàæåíèå ïî

cos(λn t)

è

sin(λn t),

ïîëó÷èì íåëèíåéíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåí-

íûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé
è

ϕn = ϕn (x)

ψn = ψn (x):
aϕ′′n + ϕn f (ϕ2n + ψn2 ) + (−1)n+1 ψn g(ϕ2n + ψn2 ) − λn ψn = 0,
aψn′′ + ψn f (ϕ2n + ψn2 ) + (−1)n ϕn g(ϕ2n + ψn2 ) + λn ϕn = 0.

Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçîâàëàñü äèåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) ïðè

6=

q(t) 6=

onst, ïîëó÷åííûå âûøå ðåçóëüòàòû äîïóñêàþò ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ. Ïðî-

èëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ.

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

198

◮

Ïðèìåð 3.14. Áîëåå îáùåå, ÷åì (3.4.2.1), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (t, w/u),

w = u(x, t − τ ),

(3.4.2.51)

t,

â êîòîðîì êèíåòè÷åñêàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò äîïîëíèòåëüíîãî àðãóìåíòà

òàêæå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
âèäà (3.4.2.3).
Óðàâíåíèå (3.4.2.51) â ñâîþ î÷åðåäü äîïóñêàåò äàëüíåéøåå îáîáùåíèå. À
èìåííî, âìåñòî ïîñòîÿííîãî çàïàçäûâàíèÿ
ìåííîå çàïàçäûâàíèå

τ = τ (t).

τ

ìîæíî âçÿòü ïðîèçâîëüíîå ïåðå-

Ñîîòâåòñòâóþùåå áîëåå ñëîæíîå óðàâíåíèå

(3.4.2.51) ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì òàêæå áóäåò èìåòü òî÷íîå ðåøåíèå ñ

◭

ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.4.2.3).

◮

Ïðèìåð 3.15. Áîëåå îáùåå, ÷åì (3.4.2.19), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïîñòîÿí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu + f (t, u − w),

w = u(x, t − τ ),

(3.4.2.52)

t,

â êîòîðîì êèíåòè÷åñêàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò äîïîëíèòåëüíîãî àðãóìåíòà

òàêæå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà
(3.4.2.21).
Óðàâíåíèå (3.4.2.52) äîïóñêàåò äàëüíåéøåå îáîáùåíèå. À èìåííî, óðàâíåíèå (3.4.2.52) ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

τ = τ (t)

òàêæå èìååò òî÷íîå

◭

ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.4.2.21).

3.4.3. Òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì
àññìîòðèì òåïåðü áîëåå ñëîæíûå, ÷åì (3.4.1.1), íåëèíåéíûå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì âèäà [456℄:

ut = [g0 (u)ux ]x + g1 (u)f1 (z) + g2 (u)f2 (z) + g3 (u),
w = u(x, t − τ ), z = z(u, w),
ãäå

gi (u) (i = 0, 1, 2, 3)

è

z = z(u, w)  çàäàííûå

óíêöèè,

(3.4.3.1)

f1 (z)

è

f2 (z) 

ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà. Áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òàêæå ðîäñòâåííûå óðàâíåíèÿ, â êîòîðûõ óíêöèÿ

g3 (u)

çàìåíåíà íà

g3 (w).

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì
âèäà (3.4.3.1) áóäåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé, îïèñàííûé â
ðàçä. 3.4.1. Ïðèâåäåííûå äàëåå òî÷íûå ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé áûëè ïîëó÷åíû â [456℄.
Çàìå÷àíèå 3.29. Ïîìèìî òî÷íûõ ðåøåíèé îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-

äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì áóäóò îïèñàíû òàêæå íåêîòîðûå ðåøåíèÿ áîëåå
ñëîæíûõ ðîäñòâåííûõ óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè.

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

199

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.
Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíå-

íèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óí-

w/u,

êöèþ, çàâèñÿùóþ îò îòíîøåíèÿ

âèäà

ut = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.3.1) ïðè

(3.4.3.2)

g0 (u) = auk ,

g1 (u) = u, g2 = g3 = 0, z = w/u f1 (u) = f (u). Ïðè k = 0 ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.1),
êîòîðîå äîïóñêàåò áîëüøå òî÷íûõ ðåøåíèé, ÷åì óðàâíåíèå (3.4.3.2) ïðè k 6= 0.
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò

ñ (3.4.2.2) è äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (3.4.2.3). Ïîýòîìó òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîãî ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì èùåì â âèäå

u = ϕ(x)ψ(t).

(3.4.3.3)

Ïîäñòàâèâ (3.4.3.3) â (3.4.3.2), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ óíê-

ϕ = ϕ(x)

öèé

è

ψ = ψ(t)

ïîëó÷èì ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

a(ϕk ϕ′x )′x = bϕ,
′

ψ (t) = bψ
ãäå

b  ïðîèçâîëüíàÿ

k+1



(t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) ,

(3.4.3.4)
(3.4.3.5)

ïîñòîÿííàÿ.

Îáùåå ðåøåíèå àâòîíîìíîãî ÎÄÓ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå.
Ïðè

k 6= 0 è k 6= −2 ÷àñòíîå

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.3.4) èìååò âèä

ϕ = Ax2/k ,

A=

h

i1/k
bk2
.
2a(k + 2)

Çàìå÷àíèå 3.30. Óðàâíåíèå (3.4.3.2) äîïóñêàåò òàêæå òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u = (x + C)2/k θ(ζ),
ãäå

C

è

λ  ïðîèçâîëüíûå

ζ = t + λ ln(x + C),

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ = θ(ζ)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì

θ′ (ζ) = a

n

2(k + 2) k+1
(3k + 4)λ k
θ
(ζ) +
θ (ζ)θ′ (ζ) +
k2
k
o



+ kλ2 θk−1 (ζ)[θ′ (ζ)]2 + λ2 θk (ζ)θ′′ (ζ) + θ(ζ)f θ(ζ − τ )/θ(ζ) .

Óðàâíåíèå 2.

àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäû-

âàíèåì

ut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u),

(3.4.3.6)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.3.2).  ýòîì ñëó÷àå óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) òàêæå ñîâïàäàåò ñ (3.4.2.2), à èñõîäíîå óðàâíåíèå (3.4.3.6) äîïóñêàåò ðåøåíèÿ ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (3.4.3.3),
ïðèâåäåííûå íèæå.

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

200

1◦ .

Óðàâíåíèå (3.4.3.6) ïðè

b(k + 1) > 0

èìååò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâ-

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]1/(k+1) ψ(t),
ãäå

C1

è

β=

p

b(k + 1)/a,

(3.4.3.7)

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

(3.4.3.8)

Óðàâíåíèå (3.4.3.8) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ(t) = Aeλt ,

(3.4.3.9)

A  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à λ  ðåøåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåí−λτ ) = 0.
äåíòíîãî) óðàâíåíèÿ λ − f (e
◦
2 . Óðàâíåíèå (3.4.3.6) ïðè b(k + 1) < 0 èìååò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâ-

ãäå

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]1/(k+1) ψ(t),
ãäå

C1

è

β=

p

−b(k + 1)/a,

(3.4.3.10)

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8).

3◦ .

Óðàâíåíèå (3.4.3.6) ïðè

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

k = −1

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâ-



b
u = C1 exp − x2 + C2 x ψ(t),
2a

ãäå

C1

è

(3.4.3.11)

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8).
Óðàâíåíèå 3.

àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäû-

âàíèåì

ut = a(uk ux )x + b + u−k f (uk+1 − wk+1 ),
êîòîðîå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

f (z),

ãäå

k 6= −1,

(3.4.3.12)

z = uk+1 − wk+1 .

 äàííîì ñëó÷àå óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) çàïèñûâàåòñÿ
òàê:

uk+1 − wk+1 = q(t),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.3.13)

Ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (3.4.3.13) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, âçÿâ ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = [ϕ(x) + ψ(t)]1/(k+1) ,
êîòîðîå äàåò

(3.4.3.14)

q(t) = ψ(t)−ψ(t−τ ). Ïîäñòàâèì (3.4.3.14) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ

çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.12). Ïîñëåäóþùèé àíàëèç ïîçâîëèë ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå
ðåçóëüòàòû:

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
1◦ .

201

Óðàâíåíèå (3.4.3.12) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíè-

åì ïåðåìåííûõ

i1/(k+1)
h
b(k + 1) 2
u = At −
x + C1 x + C2
,
2a

ãäå

(3.4.3.15)

C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à A  ðåøåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñA = (k + 1)f (Aτ ).
◦
2 . Óðàâíåíèå (3.4.3.12) äîïóñêàåò áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëü-

öåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

h
i1/(k+1)
b(k + 1) 2
u = ψ(t) −
x + C1 x + C2
,

(3.4.3.16)

2a

ãäå

C1

C2  ïðîèçâîëüíûå

è

çàïàçäûâàíèåì

Óðàâíåíèå 4.

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ



ψ ′ (t) = (k + 1)f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(u−1/2 ux )x + bu1/2 + f (u1/2 − w1/2 ),
ãäå

(3.4.3.17)

f (z)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ,

(3.4.3.18)

z = u1/2 − w1/2 .

 ýòîì ñëó÷àå óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü ïåðâîãî ðîäà (3.4.1.3) èìååò âèä

u1/2 − w1/2 = p(x),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.3.19)

àçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (3.4.3.19) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü

u = [ϕ(x)t + ψ(x)]2 ,
÷òî äàåò

(3.4.3.20)

p(x) = τ ϕ(x).

Ïîäñòàâèâ (3.4.3.20) â óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.18), äëÿ óíêöèé

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

ïîëó÷èì îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

2aϕ′′xx + bϕ − 2ϕ2 = 0,
′′
2aψxx
+ bψ − 2ϕψ + f (τ ϕ) = 0.
Ýòè óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò ïðîñòîå ÷àñòíîå ðåøåíèå

ϕ=
ãäå

1
b,
2

A è B  ïðîèçâîëüíûå
Óðàâíåíèå 5.

ψ=−

1
f
4a

ïîñòîÿííûå.



bτ
2


x2 + Ax + B,

àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäû-

âàíèåì

ut = a(eλu ux )x + f (u − w),
êîòîðîå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

f (z),

ãäå

(3.4.3.21)

z = u − w.

Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ
(3.4.2.20)

è

äîïóñêàåò

ðåøåíèå

ñ

àääèòèâíûì

ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

202

(3.4.2.21). Ïîýòîìó ðåøåíèå èñõîäíîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.21) èùåì
â âèäå

u = ϕ(x) + ψ(t).

(3.4.3.22)

Ïîäñòàâèâ (3.4.3.22) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.21), ïîëó÷èì òî÷íîå ðåøåíèå

u=
ãäå

1
λ

A, B , C  ïðîèçâîëüíûå

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),

(3.4.3.23)

ψ = ψ(t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = 2a(A/λ)eλψ(t) + f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

(3.4.3.24)

Çàìå÷àíèå 3.31. Óðàâíåíèå (3.4.3.21) äîïóñêàåò òàêæå áîëåå ñëîæíîå òî÷íîå ðå-

øåíèå âèäà

u=
ãäå

C

è

β

2
ln(x + C) + θ(ζ),
λ

ζ = t + β ln(x + C),

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ = θ(ζ)

(3.4.3.25)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì

θ′ (ζ) = aeλθ(ζ)
Óðàâíåíèå 6.

n

o

2
+ 3βθ′ (ζ) + β 2 λ[θ′ (ζ)]2 + β 2 θ′′ (ζ)
λ

àññìîòðèì óðàâíåíèå



+ f θ(ζ) − θ(ζ − τ ) .

ut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w),

(3.4.3.26)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.3.21).

1◦ .

Ïðè

bλ > 0

óðàâíåíèå (3.4.3.26) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå

C1

è

1
λ

ln[C1 cos(βx) + C2 sin(βx)] + ψ(t),

C2  ïðîèçâîëüíûå

çàïàçäûâàíèåì

β=

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

p

ψ(t)



ψ ′ (t) = f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

óðàâíåíèÿ

2◦ .

k  ðåøåíèå

k − f (kτ ) = 0.
bλ < 0 óðàâíåíèå

Ïðè

(3.4.3.27)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ
(3.4.3.28)

Óðàâíåíèå (3.4.3.28) èìååò ïðîñòîå ÷àñòíîå ðåøåíèå
ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à

bλ/a,

ψ = A + kt,

ãäå

A

àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

(3.4.3.26) äîïóñêàåò äðóãîå ðåøåíèå ñ àääèòèâ-

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

ãäå

u=

1
λ

C1

C2  ïðîèçâîëüíûå

è

ln[C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)] + ψ(t),

β=

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

p

ψ(t)

−bλ/a,

(3.4.3.29)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.28).
Óðàâíåíèå 7.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + b + e−λu f (eλu − eλw ).

(3.4.3.30)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

203

 äàííîì ñëó÷àå óíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü âòîðîãî ðîäà (3.4.1.4) çàïèñûâàåòñÿ
òàê:

eλu − eλw = q(t),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.3.31)

Ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (3.4.3.31) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, âçÿâ ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u=
êîòîðîå äàåò

1
λ

ln[ϕ(x) + ψ(t)],

(3.4.3.32)

q(t) = ψ(t)−ψ(t−τ ). Ïîäñòàâèì (3.4.3.32) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ñ

çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.30). Ïîñëåäóþùèé àíàëèç ïîçâîëèë ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå
ðåçóëüòàòû:

1◦ .

Óðàâíåíèå (3.4.3.30) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíè-

åì ïåðåìåííûõ

u=

i
h
bλ
ln At − x2 + C1 x + C2 ,

1
λ

(3.4.3.33)

2a

C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à A  ðåøåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ A − λf (Aτ ) = 0.
2◦ . Óðàâíåíèå (3.4.3.30) äîïóñêàåò áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëü-

ãäå

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå

C1

è

1
λ

i
h
bλ 2
ln ψ(t) −
x + C1 x + C2 ,

C2  ïðîèçâîëüíûå

çàïàçäûâàíèåì

Óðàâíåíèå 8.

(3.4.3.34)

2a

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ



ψ ′ (t) = λf ψ(t) − ψ(t − τ ) .

(3.4.3.35)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u)

(3.4.3.36)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = exp(±λx)ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ(t)

λ=

p

c/a,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = λ2 (a + b)ψ(t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

Óðàâíåíèå 9.

(3.4.3.38)

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [uf ′ (u)ux ]x +
f (u)  ïðîèçâîëüíàÿ
ïî u.
ãäå

(3.4.3.37)

1
[af (u) + bf (w) + c],
f ′ (u)

(3.4.3.39)

óíêöèÿ, à øòðèõ îáîçíà÷àåò äèåðåíöèðîâàíèå

Óðàâíåíèå (3.4.3.39) äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû
(ýòî ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñïåöèàëüíîãî âèäà),
êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå

f (u) = ϕ(t)x + ψ(t),

(3.4.3.40)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

204

ãäå óíêöèè

ϕ(t)

è

ψ(t)

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ϕ′ (t) = aϕ(t) + bϕ(t − τ ),

(3.4.3.41)

2

′

ψ (t) = aψ(t) + bψ(t − τ ) + c + ϕ (t).
Óðàâíåíèå 10.

(3.4.3.42)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [uf ′ (u)ux ]x + (a + b)u +

2
[af (u) + bf (w) + c]
f ′ (u)

(3.4.3.43)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå

f (u) = − 12 (a + b)x2 + ϕ(t)x + ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ(t)

è

ψ(t)

(3.4.3.44)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ϕ′ (t) = −2bϕ(t) + 2bϕ(t − τ ),

(3.4.3.45)

ψ ′ (t) = 2aψ(t) + 2bψ(t − τ ) + 2c + ϕ2 (t).

(3.4.3.46)

Óðàâíåíèå (3.4.3.45) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ϕ(t) = C1 eλt + C2 ,
C2  ïðîèçâîëüíûå
−λτ ) = 0.
íåíèÿ λ + 2b(1 − e

ãäå

C1

è

Óðàâíåíèå 11.

ïîñòîÿííûå, à

(3.4.3.47)

λ  êîðåíü

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâ-

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [f ′ (u)ux ]x + a1 f (u) + a2 f (w) + a3 +


b 
f (u) − f (w)
f ′ (u)

(3.4.3.48)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå

f (u) = eλt ϕ(x) −
ãäå

λ  êîðåíü

a3
a1 + a2

,

(3.4.3.49)

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ = b(1 − e−λτ ),
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

(3.4.3.50)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-

ÿííûìè êîýèöèåíòàìè

ϕ′′xx + (a1 + a2 e−λτ )ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 12.

(3.4.3.51)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [f ′ (u)ux ]x + a[f (u) − f (w)] +

1
f ′ (u)



b1 f (u) + b2 f (w) + b3



(3.4.3.52)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé
îðìå

f (u) = eλt ϕ(x) −

b3
b1 + b2

,

(3.4.3.53)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
ãäå

λ  êîðåíü

205

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ − b1 − b2 e−λτ = 0,
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

(3.4.3.54)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-

ÿííûìè êîýèöèåíòàìè

ϕ′′xx + a(1 − e−λτ )ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 13.

(3.4.3.55)

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [f ′ (u)ux ]x +a1 f (u)+a2 f (w)+a3 +

1
f ′ (u)



êîòîðîå îáîáùàåò äâà ïðåäûäóùèõ óðàâíåíèÿ.


b1 f (u)+b2 f (w)+b3 ,

(3.4.3.56)

Ïóñòü êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (3.4.3.56) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ

(a1 + a2 )b3 = a3 (b1 + b2 ).

(3.4.3.57)

Òîãäà óðàâíåíèå (3.4.3.56) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå

f (u) = eλt ϕ(x) + c.

(3.4.3.58)

Çäåñü

c=−

a3
a1 + a2

λ  êîðåíü

ïðè

a1 6= −a2

è

c=−

b3
b1 + b2

ïðè

b1 6= −b2 ,

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ − b1 − b2 e−λτ = 0,
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

(3.4.3.59)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòî-

ÿííûìè êîýèöèåíòàìè

ϕ′′xx + (a1 + a2 e−λτ )ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 14.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [g(u)ux ]x +

1
[c f (u) + c2 f (w) + c3 ],
f ′ (u) 1

g(u) = f ′ (u)
ãäå
ïî

(3.4.3.60)

f (u)  ïðîèçâîëüíàÿ
u.

Z

(3.4.3.61)

[af (u) + b] du,

óíêöèÿ, à øòðèõ îáîçíà÷àåò äèåðåíöèðîâàíèå

Óðàâíåíèå (3.4.3.61) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) = ϕ(t)x + ψ(t),

(3.4.3.62)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

206

ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(t)

è

ψ = ψ(t)

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ϕ′ (t) = aϕ3 (t) + c1 ϕ(t) + c2 ϕ(t − τ ),

ψ ′ (t) = ϕ2 (t)[aψ(t) + b] + c1 ψ(t) + c2 ψ(t − τ ) + c3 .

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèþ. Íèæå êðàòêî îïèñàíû íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå îáùèõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì, ñîäåðæàùèõ äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
Óðàâíåíèå 15.

àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + uf (w/u) + uk+1 g(w/u),
ãäå

f (z) è g(z)  ïðîèçâîëüíûå

(3.4.3.63)

óíêöèè.

Óðàâíåíèå (3.4.3.63) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ðåøåíèå

(3.4.3.64)

àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

λ = f (e−λτ ),
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

a(ϕk ϕ′x )′x + g(e−λτ )ϕk+1 = 0.
Ïðè

k 6= −1

ïîäñòàíîâêà

θ = ϕk+1

ïðèâîäèò ýòî óðàâíåíèå ê ëèíåéíîìó

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. Ïðè
èñïîëüçîâàòü ïîäñòàíîâêó
Óðàâíåíèå 16.

θ = ln ϕ.

k = −1

íàäî

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(u−1/2 ux )x + f (u1/2 − w1/2 ) + u1/2 g(u1/2 − w1/2 )

(3.4.3.65)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [ϕ(x)t + ψ(x)]2 ,
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

(3.4.3.66)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ:

2aϕ′′xx + ϕg(τ ϕ) − 2ϕ2 = 0,
′′
2aψxx
+ ψg(τ ϕ) − 2ϕψ + f (τ ϕ) = 0.
×àñòíîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä

ϕ = k,
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

ψ=−

1
f (kτ )x2
4a

+ Ax + B,

k îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèÿ g(kτ ) − 2k = 0.

ïîñòîÿííûå, à ïîñòîÿííàÿ

ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

èç àëãåá-

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
Óðàâíåíèå 17.

207

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + f (uk+1 − wk+1 ) + u−k g(uk+1 − wk+1 ),

k 6= −1,

(3.4.3.67)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = (At + Bx2 + C1 x + C2 )1/(k+1) ,
C1

ãäå

C2

è

B=−

(k + 1)
f (Aτ ),
2a

A îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèÿ A − (k + 1)g(Aτ ) = 0.

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à ïîñòîÿííàÿ

àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)
Óðàâíåíèå 18.

(3.4.3.68)
èç

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + f (u − w) + eλu g(u − w)

(3.4.3.69)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = βt + ϕ(x),
ãäå ïîñòîÿííàÿ

β

(3.4.3.70)

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

íèÿ

β = f (βτ ).
Ôóíêöèÿ

ϕ = ϕ(x),

âõîäÿùàÿ â ðåøåíèå (3.4.3.70), îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

a(eλϕ ϕ′x )x + g(βτ )eλϕ = 0,
θ = eλϕ ïðèâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî
′′
ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè aθxx + λg(βτ )θ = 0.

êîòîðîå ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè
ïîðÿäêà ñ

Óðàâíåíèå 19.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + f (eλu − eλw ) + e−λu g(eλu − eλw )

(3.4.3.71)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå

C1

è

1
λ

ln(At + Bx2 + C1 x + C2 ),

B=−

λ
f (Aτ ),
2a

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à êîíñòàíòà A îïðåäåëÿåòñÿ
A − λg(Aτ ) = 0.

(3.4.3.72)
èç àëãåá-

ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ
Óðàâíåíèå 20.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a[g′ (u)ux ]x + b +
g(u)
ïî u.
ãäå

è

f (z)  ïðîèçâîëüíûå

1
f
g ′ (u)



g(u) − g(w) ,

(3.4.3.73)

óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ

Óðàâíåíèå (3.4.3.73) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

g(u) = ψ(t) −

b 2
x
2a

+ C1 x + C2 ,

(3.4.3.74)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

208

C1

ãäå

è

C2

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ôóíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.28), êîòîðîå èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå

A îïðåäåëÿåòñÿ
A − f (Aτ ) = 0.

ãäå êîíñòàíòà
íèÿ

Óðàâíåíèå 21.

èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a[g′ (u)ux ]x + bg(u) +
ãäå
ïî

ψ(t) = At,

g(u)
f
g ′ (u)



g(w)/g(u) ,

(3.4.3.75)

g(u) è f (z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ
u.
1◦ . Ïðè ab > 0 óðàâíåíèå (3.4.3.75) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

ãäå

C1

è



g(u) = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) ψ(t),

C2  ïðîèçâîëüíûå

λ=

ïîñòîÿííûå. Ôóíêöèÿ

p
b/a,

(3.4.3.76)

ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8), êîòîðîå èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî

ψ(t) = eλt , ãäå λ  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå−λτ ) = 0.
íèÿ λ − f (e
2◦ . Ïðè ab < 0 óðàâíåíèå (3.4.3.75) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì

âèäà

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

ãäå

C1



g(u) = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) ψ(t),
è

λ=

p

−b/a,

(3.4.3.77)

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8).

3◦ .

Ïðè

b=0

óðàâíåíèå (3.4.3.75) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

g(u) = (C1 x + C2 )ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

Óðàâíåíèå 22.

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8).

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [h(u)ux ]x −

1
1
[c g(u) + c2 g(w)] + ′ f
g ′ (u) 1
g (u)

h(u) = g ′ (u)
ãäå
ïî

g(u)
u.

è

Z

f (z)  ïðîèçâîëüíûå

[ag(u) + b] du,



g(u) − g(w) ,

(3.4.3.78)

óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ

Óðàâíåíèå (3.4.3.78) äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå

g(u) = ±kx + ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

k=

p
(c1 + c2 )/a,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = c2 ψ(t) + bk 2 − c2 ψ(t − τ ) + f ψ(t) − ψ(t − τ ) .

(3.4.3.79)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

209

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
Óðàâíåíèå 23.

ãäå
ïî

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì



ut = a[f ′ (u)ux ]x + g f (u) − f (w) +

1
f ′ (u)



h f (u) − f (w) ,

(3.4.3.80)

f (u), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ
u.
Óðàâíåíèå (3.4.3.80) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

f (u) = At −
ãäå

C1

è

g(Aτ ) 2
x
2a

+ C1 x + C2 ,

(3.4.3.81)

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à êîíñòàíòà A ÿâëÿåòñÿ êîðíåì àëãåáA − h(Aτ ) = 0.

ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ
Óðàâíåíèå 24.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì





f (u)
ut = a[f ′ (u)ux ]x + f (u)g f (w)/f (u) + ′ h f (w)/f (u) ,
f (u)

ãäå

f (u), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

Ïóñòü

(3.4.3.82)

óðàâíåíèÿ

β − h(e−βτ ) = 0.
1◦ .

Ïðè

ag(e−βτ ) > 0

óðàâíåíèå (3.4.3.82) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèî-

íàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

ãäå



f (u) = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) eβt ,

C1
2◦ .

p

λ=

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
−βτ ) < 0 óðàâíåíèå (3.4.3.82)
Ïðè ag(e

è

g(e−βτ )/a,

(3.4.3.83)

äîïóñêàåò äðóãîå ðåøåíèå ñ

óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

ãäå



f (u) = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) eβt ,

C1
3◦ .

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
g(e−βτ ) = 0 óðàâíåíèå (3.4.3.82)

Ïðè

λ=

p

−g(e−βτ )/a,

(3.4.3.84)

äîïóñêàåò âûðîæäåííîå ðåøåíèå

ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå

f (u) = (C1 x + C2 )eβt .
Óðàâíåíèå 25.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [g(u)ux ]x −

a2 d
f ′ (u) du

h

g(u)
f ′ (u)

i

+

1
h
f ′ (u)



f (u) − f (w)

(3.4.3.85)

äîïóñêàåò äâà ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì
âèäå

f (u) = ±ax + ψ(t),

210

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = h ψ(t) − ψ(t − τ ) .

Ìíîãîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.
Íèæå îïèñûâàþòñÿ ìíîãîìåðíûå îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ îäíîìåðíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûõ ðåøåíèé, ðàññìîòðåííûõ ðàíåå. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

w = u(x, t − τ ),

x

= (x1 , . . . , xn ). Äâóìåðíûì
n = 2 è n = 3.

u = u(x, t),

è òðåõìåðíûì óðàâíåíèÿì

ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ

Çàìå÷àíèå 3.32. Òî÷íûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå ìíîãîìåðíûõ íåëèíåé-

íûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì ÷àñòî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðåøåíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ
áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé Ëàïëàñà, Ïóàññîíà è

åëüìãîëüöà. Ìíîãî ðåøåíèé ýòèõ

ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ïðèâåäåíî â [90, 436℄.
Óðàâíåíèå 26.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(uk ∇u) +buk+1 + uf (w/u).
1◦ .

Ïðè

k 6= −1 óðàâíåíèå (3.4.3.86)

(3.4.3.86)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâ-

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = ψ(t)ϕ1/(k+1) (x).
Çäåñü óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8), à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

∆ϕ +
ãäå

(3.4.3.87)

åëüìãîëüöà

b(k + 1)
ϕ
a

∆  îïåðàòîð Ëàïëàñà.
2◦ . Ïðè k = −1 óðàâíåíèå (3.4.3.86)

= 0,

(3.4.3.88)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâ-

íûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u = ψ(t) ln ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t)

(3.4.3.89)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8), à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ + (b/a) = 0.
Óðàâíåíèå 27.

(3.4.3.90)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(uk ∇u) + b + u−k f (uk+1 − wk+1 ),

k 6= −1,

(3.4.3.91)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)


1/(k+1)
,
u = ϕ(x) + ψ(t)

ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.17),

(3.4.3.92)
à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ +

b(k + 1)
a

= 0.

(3.4.3.93)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
Óðàâíåíèå 28.

211

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(u−1/2 ∇u) + bu1/2 + f (u1/2 − w1/2 )

(3.4.3.94)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [ϕ(x)t + ψ(x)]2 ,
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

(3.4.3.95)

îïèñûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè óðàâíåíèÿìè

âòîðîãî ïîðÿäêà

2a∆ϕ + bϕ − 2ϕ2 = 0,
2a∆ψ + bψ − 2ϕψ + f (τ ϕ) = 0.
Óðàâíåíèå (3.4.3.96) èìååò ïðîñòîå ÷àñòíîå ðåøåíèå

ϕ=

(3.4.3.96)
(3.4.3.97)

1
2b

=

onst. Â ýòîì

ñëó÷àå óðàâíåíèå (3.4.3.97) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà

a∆ψ +
Óðàâíåíèå 29.

1
2f

1
2 bτ




= 0.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(eλu ∇u) + beλu + f (u − w),

(3.4.3.98)

êîòîðîå îáîáùàåò óðàâíåíèå (3.4.3.26).
Óðàâíåíèå (3.4.3.98) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ψ(t) +
â êîòîðîì óíêöèÿ
óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t)

1
λ

ln ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.28), à

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

åëüìãîëüöà

∆ϕ + λ(b/a)ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 30.

(3.4.3.99)

(3.4.3.100)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(eλu ∇u) + b + e−λu f (eλu − eλw )

(3.4.3.101)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå óíêöèÿ
öèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t)

1
λ



ln ϕ(x) + ψ(t) ,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.35), à óíê-

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ + λ(b/a) = 0.
Óðàâíåíèå 31.

(3.4.3.103)

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = div[uf ′ (u)∇u] +
ãäå

(3.4.3.102)

f (u)  ïðîèçâîëüíàÿ

1
[af (u) + bf (w) + c],
f ′ (u)

(3.4.3.104)

óíêöèÿ, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî

u.

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

212

Óðàâíåíèå (3.4.3.104) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) =

n
X

ϕk (t)xk + ψ(t),

(3.4.3.105)

k=1

ãäå óíêöèè

ϕk = ϕk (t)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ϕ′k (t) = aϕk (t) + bϕk (t − τ ),

k = 1, . . . , n,
n
X
ϕ2k (t).
ψ ′ (t) = aψ(t) + bψ(t − τ ) + c +

(3.4.3.106)
(3.4.3.107)

k=1

Óðàâíåíèå 32.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì


b 
f (u) − f (w) (3.4.3.108)
f ′ (u)

ut = div[f ′ (u)∇u] + a1 f (u) + a2 f (w) + a3 +

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé
îðìå

ãäå

f (u) = eλt ϕ(x) −

λ  êîðåíü

à óíêöèÿ

a3
a1 + a2

,

(3.4.3.109)

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

ϕ = ϕ(x)

λ = b(1 − e−λτ ),
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

(3.4.3.110)

åëüìãîëüöà

∆ϕ + (a1 + a2 e−λτ )ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 33.

(3.4.3.111)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = div[f ′ (u)∇u] + a[f (u) − f (w)] +

1
f ′ (u)



b1 f (u) + b2 f (w) + b3



(3.4.3.112)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé
îðìå

ãäå

f (u) = eλt ϕ(x) −

λ  êîðåíü

à óíêöèÿ

b3
b1 + b2

,

(3.4.3.113)

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

ϕ = ϕ(x)

λ − b1 − b2 e−λτ = 0,
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

(3.4.3.114)

åëüìãîëüöà

∆ϕ + a(1 − e−λτ )ϕ = 0.

(3.4.3.115)

Ìíîãîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
Óðàâíåíèå 34.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(u−1/2 ∇u) + f (u1/2 − w1/2 ) + u1/2 g(u1/2 − w1/2 )

(3.4.3.116)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

213

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [ϕ(x)t + ψ(x)]2 ,
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(x)

(3.4.3.117)

îïèñûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè óðàâíåíèÿìè

2a∆ϕ + ϕg(τ ϕ) − 2ϕ2 = 0,
2a∆ψ + ψg(τ ϕ) − 2ϕψ + f (τ ϕ) = 0.
Óðàâíåíèå (3.4.3.118) èìååò ïðîñòîå ÷àñòíîå ðåøåíèå

(3.4.3.118)
(3.4.3.119)

ϕ = ϕ0 = onst, ãäå ϕ0 
g(τ ϕ0 ) − 2ϕ0 = 0. Â

êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (3.4.3.119) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà

Óðàâíåíèå 35.



a∆ψ + 21 f τ ϕ0 = 0.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(uk ∇u)+f (uk+1 −wk+1 )+u−k g(uk+1 −wk+1 ),

k 6= −1,

(3.4.3.120)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [At + ϕ(x)]1/(k+1) ,

(3.4.3.121)

A îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåA−(k+1)g(Aτ ) = 0, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà

ãäå êîíñòàíòà
íèÿ

a ∆ϕ + (k + 1)f (Aτ ) = 0.
Óðàâíåíèå 36.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(eλu ∇u) + f (u − w) + eλu g(u − w),
ãäå

(3.4.3.122)

f (z) è g(z)  ïðîèçâîëüíûå

(3.4.3.123)

óíêöèè.

Óðàâíåíèå (3.4.3.123) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = βt +
ãäå

1
λ

ln ϕ(x),

(3.4.3.124)

β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ β − f (βτ ) = 0,
ϕ = ϕ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ åëüìãîëüöà

à óíêöèÿ

a ∆ϕ + λg(βτ )ϕ = 0.
Óðàâíåíèå 37.

(3.4.3.125)

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div(eλu ∇u) + f (eλu − eλw ) + e−λu g(eλu − eλw )

(3.4.3.126)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=

1
λ

ln[At + ϕ(x)],

(3.4.3.127)

214

ãäå

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I
A  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ A − λg(Aτ ) = 0,
ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà

à óíêöèÿ

a∆ϕ + λf (Aτ ) = 0.
Óðàâíåíèå 38.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div[g′ (u)∇u] + b +
ãäå
ïî

g(u)
u.

è

(3.4.3.128)

f (z)  ïðîèçâîëüíûå

1
f
g ′ (u)



g(u) − g(w) ,

(3.4.3.129)

óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ

Óðàâíåíèå (3.4.3.129) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

g(u) = ϕ(x) + ψ(t).
Ôóíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.28), à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ïóàññîíà (3.4.3.90).

Óðàâíåíèå 39.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a div[g′ (u)∇u] + bg(u) +
ãäå
ïî

g(u)
u.

(3.4.3.130)

è

f (z)  ïðîèçâîëüíûå



g(w)/g(u) ,

g(u)
f
g ′ (u)

(3.4.3.131)

óíêöèè, à øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ

Óðàâíåíèå (3.4.3.131) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

g(u) = ϕ(x)ψ(t).
Ôóíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ψ = ψ(t)

(3.4.3.132)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.8), à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

åëüìãîëüöà

a∆ϕ + bϕ = 0.

(3.4.3.133)

Ìíîãîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.
Óðàâíåíèå 40.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì



ut = a div[f ′ (u)∇u] + g f (u) − f (w) +

ãäå

f (u), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå

1
f ′ (u)

óíêöèè.



h f (u) − f (w) ,

(3.4.3.134)

Óðàâíåíèå (3.4.3.134) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) = At + ϕ(x),

(3.4.3.135)

A  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ A − h(Aτ ) = 0,
óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà

ãäå
à

a∆ϕ + g(Aτ ) = 0.

(3.4.3.136)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
Óðàâíåíèå 41.

215

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì





f (u)
ut = a div[f ′ (u)∇u] + f (u)g f (w)/f (u) + ′ h f (w)/f (u) ,
f (u)

ãäå

f (u), g(z), h(z)  ïðîèçâîëüíûå

(3.4.3.137)

óíêöèè.

Óðàâíåíèå (3.4.3.137) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) = ϕ(x)eβt ,

(3.4.3.138)

β  êîðåíü àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ β − h(e−βτ ) = 0,
óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì åëüìãîëüöà

ãäå
à

a∆ϕ + g(e−βτ )ϕ = 0.

(3.4.3.139)

Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ
âûøå, óäàåòñÿ îáîáùèòü íà áîëåå ñëîæíûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííîäèóçèîííîãî òèïà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

τ = τ (t),

ãäå

τ (t)  ïðîèç-

âîëüíàÿ óíêöèÿ.  òàáë. 3.9 îïèñàíû íåêîòîðûå èç òàêèõ óðàâíåíèé, çàâèñÿùèå îò îäíîé èëè äâóõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé, à òàêæå èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ.
Âî âñåõ îïðåäåëÿþùèõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, ññûëêè íà êîòîðûå äàíû â
ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáë. 3.9, ñëåäóåò ïîëîæèòü

◮

τ = τ (t).

Ïðèìåð 3.16. àññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå â òàáë. 3.9. Â îïðåäåëÿþ-

ùåì óðàâíåíèè (3.4.3.5) äëÿ óíêöèè

ψ(t),

ïîëîæèâ

τ = τ (t),

ïîëó÷èì ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì



ψ ′ (t) = bψ k+1 (t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) ,

τ = τ (t).

◭

Íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ìíîãîìåðíûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà

τ = τ (t)

îïèñàíû â òàáë. 3.10.

3.4.4. Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà
îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì
Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé ñ óñïåõîì ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ òàêæå äëÿ
ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé âîëíîâîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ìîæíî îðìàëüíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèé ðåàêöèîííîäèóçèîííîãî òèïà (3.4.1.1) è (3.4.3.1), åñëè â ëåâîé ÷àñòè çàìåíèòü ïåðâóþ

ut âòîðîé
autt + but .

ïðîèçâîäíóþ
èçâîäíûõ

ïðîèçâîäíîé

utt

èëè ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýòèõ ïðî-

Äëÿ èëëþñòðàöèè ñêàçàííîãî äàëåå êðàòêî îïèñàíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå
óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ,

ïîëó÷åííûå ìåòîäîì óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé (â [64, 71, 84, 452℄ ìîæíî íàéòè

216

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà 3.9.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûì

çàïàçäûâàíèåì îáùåãî âèäà

ut = [G(u)ux ]x + F (u, w),

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ

ãäå

w = u(x, t − τ ), τ = τ (t).

Âèä òî÷íûõ ðåøåíèé Îïðåäåëÿþùèå ÎÄÓ

ut = a(uk ux )x +uf (w/u)

u = ϕ(x)ψ(t)
u = ϕ(x)ψ(t),

k

k+1

ut = a(u ux )x +bu

ñì. (3.4.3.7),
(3.4.3.10), (3.4.3.11)

+uf (w/u)


1/(k+1)
u = ϕ(x)+ψ(t)
,

ut = a(uk ux )x +b+u−k f (uk+1 −wk+1 )

ñì. (3.4.3.16)

u = ϕ(x)+ψ(t),

ut = a(eλu ux )x +f (u−w)

ñì. (3.4.3.23)

u = ϕ(x)+ψ(t),
ñì. (3.4.3.27), (3.4.3.29)
u = λ1 ln[ϕ(x)+ψ(t)],
ñì. (3.4.3.34)

ut = a(eλu ux )x +beλu +f (u−w)
ut = a(eλu ux )x +b+e−λu f (eλu −eλw )
ut = [(a ln u+b)ux ]x −cu ln u+uf (w/u)

u = exp(±

ut = [uf ′ (u)ux ]x + f ′1(u) [af (u)+bf (w)+c]
1
ut = a[g ′ (u)ux ]x +b+ g′ (u)
f g(u)−g(w)

p
c/a x)ψ(t)

f (u) = ϕ(t)x+ψ(t)
g(u) = ϕ(x)+ψ(t),




ñì. (3.4.3.74)

ut = a[g ′ (u)ux ]x +bg(u)+ gg(u)
′ (u) f g(w)/g(w)




g(u) = ϕ(x)ψ(t),

ñì. (3.4.3.76), (3.4.3.77)

(3.4.3.4), (3.4.3.5)
(3.4.3.8)
(3.4.3.17)
(3.4.3.24)
(3.4.3.28)
(3.4.3.35)
(3.4.3.38)
(3.4.3.41), (3.4.3.42)
(3.4.3.28)
(3.4.3.8)

äðóãèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ
òî÷íûå ðåøåíèÿ).
Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ,
çàâèñÿùóþ îò îòíîøåíèÿ

w/u,

âèäà

utt = auxx + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.4.1)

Ýòî óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ îò ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ (3.4.2.1)
ëåâîé ÷àñòüþ, â êîòîðîé âìåñòî

1◦ .

ut

òåïåðü ñòîèò

utt .

Óðàâíåíèå (3.4.4.1), êàê è óðàâíåíèå (3.4.2.1), äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøå-

íèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t),

(3.4.4.2)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
Òàáëèöà 3.10.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ

ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = div[G(u)∇u] + F (u, w), ãäå w = u(x, t − τ ), τ = τ (t).

åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ
ut = a div(uk ∇u)+uf (w/u)+buk+1
ut = a div(uk ∇u)+b+u−k f (uk+1 −wk+1 )
ut = a div(eλu ∇u)+f (u−w)+beλu
ut = a div(eλu ∇u)+b+e−λu f (eλu −eλw )



ut = a div[g ′ (u)∇u]+bg(u)+ gg(u)
′ (u) f g(w)/g(u)

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

Âèä òî÷íûõ ðåøåíèé

Îïðåäåëÿþùèå
óðàâíåíèÿ

u = ψ(t)ϕ1/(k+1) (x)

(3.4.3.8), (3.4.3.88)


1/(k+1)
u = ϕ(x)+ψ(t)

(3.4.3.17), (3.4.3.93)

u = ψ(t)+ λ1 ln ϕ(x)

(3.4.3.28), (3.4.3.100)

u=

ut = a div[g ′ (u)∇u]+b+ g′ 1(u) f g(u)−g(w)

ãäå óíêöèè

217




1
λ



ln ϕ(x)+ψ(t)

(3.4.3.35), (3.4.3.103)

g(u) = ϕ(x)+ψ(t)

(3.4.3.28), (3.4.3.90)

g(u) = ϕ(x)ϕ(t)

(3.4.3.8), (3.4.3.133)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

ϕ′′ = kϕ,
ψ ′′ (t) = akψ(t) + ψ(t)f (ψ(t − τ )/ψ(t)),
ãäå

k  ïðîèçâîëüíàÿ

(3.4.4.3)
(3.4.4.4)

ïîñòîÿííàÿ.

Îáùåå ðåøåíèå ÎÄÓ (3.4.4.3) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.6), à ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì (3.4.4.4) äîïóñêàåò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ(t) = C3 eλt ,
ãäå

C3  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à

λ  êîðåíü

òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ

λ2 = ak + f (e−λτ ).
2◦ .

Óðàâíåíèå (3.4.4.1) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà

u = ect v(x, t),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

v(x, t) = v(x, t − τ ),

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

v = v(x, t)

ÿâëÿåòñÿ

(3.4.4.5)

τ -ïåðèîäè÷å-

ñêîé óíêöèåé. Ïîäñòàâëÿÿ (3.4.4.5) â óðàâíåíèå (3.4.4.1), ïîëó÷èì ëèíåéíóþ
çàäà÷ó äëÿ îïðåäåëåíèÿ

v:

vtt + svt = avxx + bv,
ãäå

s = 2c

è

b = f (e−cτ ) − c2 .

v(x, t) = v(x, t − τ ),

(3.4.4.6)

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

218

Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (3.4.4.6), êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü

v = U1 (x, t; b, s),

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà [452℄:

∞
X

U1 (x, t; b, s) =
+

n=0
∞
X



exp(−λn x) An cos(βn t − γn x) + Bn sin(βn t − γn x) +

n=1

βn =
ãäå

2πn
,
τ

γn =

An , Bn , Cn , Dn



exp(λn x) Cn cos(βn t + γn x) + Dn sin(βn t + γn x) ,
p


2 1/2

(b + βn2 )2 + s2 βn2 + b + βn
2a

(3.4.4.7)

,

λn =

sβn
2aγn

,

(3.4.4.8)

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òàêèå ÷òî ðÿä (3.4.4.7) 

(3.4.4.8) è åãî ïðîèçâîäíûå

(U1 )t , (U1 )tt , (U1 )xx ñõîäÿòñÿ; â ÷àñòíîñòè, ñõîäèAn = Bn = Cn = Dn = 0 ïðè n > N , ãäå

ìîñòü èìååò ìåñòî, åñëè ïîëîæèòü

N  ëþáîå

ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî.

Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå, â èòîãå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.4.1):

u = ect U1 (x, t; b, s),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

b = f (e−cτ ) − c2 ,

ïîñòîÿííàÿ, à

s = 2c,

(3.4.4.9)

U1 (x, t; b, s)  τ -ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ,
c = 0 ðåøåíèå

êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.4.7) è (3.4.4.8). Ïðè
(3.4.4.9) ÿâëÿåòñÿ

3◦ .

τ -ïåðèîäè÷åñêîé
u = ect v(x, t),

ãäå

óíêöèåé.

Óðàâíåíèå (3.4.4.1) äîïóñêàåò òàêæå òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà

c  ïðîèçâîëüíàÿ

v(x, t) = −v(x, t − τ ),

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

v = v(x, t)

(3.4.4.10)

ÿâëÿåòñÿ

τ -àíòèïåðè-

îäè÷åñêîé óíêöèåé. Ïîäñòàâèâ (3.4.4.10) â (3.4.4.1), ïîëó÷èì ëèíåéíóþ çàäà÷ó äëÿ îïðåäåëåíèÿ

v:

vtt + svt = avxx + bv,
ãäå

s = 2c

è

v(x, t) = −v(x, t − τ ),

b = f (−e−cτ ) − c2 .

Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (3.4.4.11), êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü

(3.4.4.11)

v = U2 (x, t; b, s),

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà [452℄:

U2 (x, t; b, s) =
+

∞
X

n=1
∞
X

n=1

βn =

π(2n − 1)
,
τ



exp(−λn x) An cos(βn t − γn x) + Bn sin(βn t − γn x) +


exp(λn x) Cn cos(βn t + γn x) + Dn sin(βn t + γn x) ,

γn =

p

1/2
(b + βn2 )2 + s2 βn2 + b + βn2
sβn
, λn =
,
2a

2aγn

(3.4.4.12)
(3.4.4.13)

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé
ãäå

219

An , Bn , Cn , Dn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òàêèå,
(U1 )t , (U1 )tt ñõîäÿòñÿ.

÷òî ðÿä (3.4.4.12) 

(3.4.4.13) è åãî ïðîèçâîäíûå

 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê òî÷íîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (3.4.4.1):

u = ect U2 (x, t; b, s),
ãäå

c  ïðîèçâîëüíàÿ

b = f (−e−cτ ) − c2 ,

ïîñòîÿííàÿ, à

s = 2c,

(3.4.4.14)

U2 (x, t; b, s)  τ -àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ

óíê-

öèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.4.12) è (3.4.4.13).
Óðàâíåíèå 2.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ñîäåðæèò îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ,
çàâèñÿùóþ îò ðàçíîñòè

u − w,

âèäà

utt = auxx + bu + f (u − w),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.4.15)

Ýòî óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ îò ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ (3.4.2.19)
ëåâîé ÷àñòüþ, â êîòîðîé âìåñòî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ñòîèò âòîðàÿ
ïðîèçâîäíàÿ.
Óðàâíåíèå (3.4.4.15), êàê è óðàâíåíèå (3.4.2.19), äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå
ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x) + ψ(t).
Çäåñü óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

(3.4.4.16)

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâà-

íèåì:

aϕ′′xx + bϕ = k,
′
ψtt
(t) = bψ(t) + k + f (ψ(t) − ψ(t − τ )),

ãäå

k  ïðîèçâîëüíàÿ

(3.4.4.17)
(3.4.4.18)

ïîñòîÿííàÿ.

Îòìåòèì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4.4.17) îïèñûâàåòñÿ îðìóëàìè
(3.4.2.24) (ïðè

b 6= 0

Óðàâíåíèå 3.

è

k = 0)

è (3.4.2.25) (ïðè

b = 0 è k 6= 0).

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

çàïàçäûâàíèåì

1◦ .

utt = auxx + bu + f (u − kw),

k > 0.

(3.4.4.19)

Ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ (3.4.4.19) ïðèâåäåíû â òàáë. 3.11.

2◦ .

Áîëåå ñëîæíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.4.19) ìîæíî ïîëó÷àòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ
òåîðåìó.

[452℄. Ïóñòü u0 (x, t) 
ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.4.19) è v = U1(x, t; b, s)  ëþáîå τ -ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî òåëåãðàíîãî óðàâíåíèÿ (3.4.4.6), ãäå b è s 
ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû. Òîãäà óíêöèÿ
Òåîðåìà î íåëèíåéíîé

ñóïåðïîçèöèè

ðåøåíèé

u = u0 (x, t) + ect U1 (x, t; b − c2 , 2c),

c=

1
τ

ln a,

(3.4.4.20)

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.4.4.19). Ïðè ýòîì îáùèé âèä óíêöèè
U1 (x, t; b, s) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.4.7) è (3.4.4.8).

220

3. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ I

Òàáëèöà 3.11.

åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ íåëèíåéíîãî óðàâíå-

íèÿ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà (3.4.4.19). Îáîçíà÷åíèÿ:

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿí-

íûå.


1
2
3
4

Âèä òî÷íîãî ðåøåíèÿ

Óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëÿþùèõ óíêöèé

u = ect [A cos(λx) + B sin(λx)] + ψ(t),
c=

1
τ

ln k, λ = [(b − c )/a]

, b>c

ln k, λ = [(c − b)/a]

,c

ln k, λ = [(b − c )/a]

, b>c

ln k, λ = [(c − b)/a]

,c

2

1/2

2

u = e [A exp(−λx) + B exp(λx)] + ψ(t),
ct

c=

1
τ

2

1/2

2

>b

′′
ψtt
= bψ + f (ψ − kψ̄), ψ̄ = ψ(t − τ )

′′
ψtt
= bψ + f (ψ − kψ̄), ψ̄ = ψ(t − τ )

u = e [A cos(λx) + B sin(λx)] + ϕ(x),
ct

c=

1
τ

2

1/2



aϕ′′xx + bϕ + f (1 − k)ϕ = 0

2

u = e [A exp(−λx) + B exp(λx)] + ϕ(x),
ct

c=

1
τ

2

1/2

2



aϕ′′xx + bϕ + f (1 − k)ϕ = 0

>b

Ôîðìóëà (3.4.4.20) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü øèðîêèé êëàññ òî÷íûõ ðåøåíèé
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ

áîëåå ïðîñòûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé.
Ïðîñòåéøèìè ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (3.4.4.19) ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòû

u0 =

onst, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

óðàâíåíèÿ

 ñïåöèàëüíîì ñëó÷àå



bu0 + f (1 − k)u0 = 0.

k=1

èìååòñÿ åäèíñòâåííîå ïîñòîÿííîå ðåøåíèå

u0 =

= −f (0)/b.

u0 (x, t) â (3.4.4.20) ìîæíî âçÿòü òàêæå ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîå ðåøåíèå u0 = u0 (t), ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå u0 = u0 (x), à òàêæå
áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû u0 = θ(αx + βt), ãäå α è β 
 êà÷åñòâå óíêöèè

ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ðåøåíèÿ, ïðèâåäåííûå
â òàáë. 3.11.
Óðàâíåíèå 4.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

çàïàçäûâàíèåì

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

(3.4.4.21)

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t).
Çäåñü îïðåäåëÿþùèå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) óäîâëåòâîðÿþò íåëèíåéíûì

3.4. Ìåòîä óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé

221

ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

a(ϕk ϕ′x )′x = bϕ,

ãäå



ψ ′′ (t) = bψ k+1 (t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) ,

b  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

Óðàâíåíèå 5.

îðäîíà ñ çàïàçäûâà-

íèåì

utt = a(eλu ux )x + f (u − w),

w = u(x, t − τ ),

(3.4.4.22)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u=
ãäå

1
λ

A, B , C  ïðîèçâîëüíûå

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),
ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

Óðàâíåíèå 6.



ψ ′′ (t) = 2a(A/λ)eλψ(t) + f ψ(t) − ψ(t − τ ) .
Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u)

(3.4.4.23)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = exp(±λx)ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

ψ(t)

λ=

p

c/a,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ ′′ (t) = λ2 (a + b)ψ(t) + ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

Çàìå÷àíèå 3.33. Ìíîãî äðóãèõ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà

Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì, à òàêæå áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

òåëåãðàíîãî òèïà (ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ
çàïàçäûâàíèåì), ìîæíî íàéòè â [64, 71, 82, 84, 363, 452℄.

4. Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû è òî÷íûå
ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï
ñ çàïàçäûâàíèåì. ×àñòü II

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé
áîëåå ïðîñòûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ
 äàííîì ðàçäåëå îïèñàíû ðàçðàáîòàííûå â [442, 443℄ ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ
òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå îñíîâàíû íà
èñïîëüçîâàíèè ðåøåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà âñïîìîãàòåëüíûõ áîëåå ïðîñòûõ
Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ýòèõ ìåòîäîâ äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ è âîëíîâûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå çàâèñÿò îò ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé.
Çàìå÷àíèå 4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ Óð×Ï áåç

çàïàçäûâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûõ Óð×Ï è ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ
ìîæíî íàéòè â [58, 105℄.

4.1.1. Ïåðâûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ
çàïàçäûâàíèåì. Îáùåå îïèñàíèå è ïðîñòûå ïðèìåðû

Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåëèíåéíûå Óð×Ï áåç çàïàç-

äûâàíèÿ ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè âèäà

Φ(x, u, ux , ut , uxx , uxt , utt , . . . ; β1 , . . . , βm ) = 0,
u = u(x, t)  èñêîìàÿ

ãäå

óíêöèÿ,

β1 , . . . , βm  ñâîáîäíûå

(4.1.1.1)

ïàðàìåòðû.

Ïîêàæåì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1.1.1)
ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü óðàâíåíèå (4.1.1.1) äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîì âèäå

F (u) = kt + θ(x),
ãäå êîíñòàíòà

k

(4.1.1.2)

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

íèÿ

P (k, β1 , . . . , βm ) = 0,

222

(4.1.1.3)

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
à óíêöèÿ

θ = θ(x)

223

óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâ-

íåíèþ

′′
Q(x, θ, θx′ , θxx
, . . . ; β1 , . . . , βm ) = 0.

(4.1.1.4)

Òîãäà áîëåå ñëîæíîå íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ
èç (4.1.1.1) îðìàëüíîé çàìåíîé ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ

β1 , . . . , βm

íà óíêöèè

ïî ïðàâèëó

ãäå



βi =⇒ ϕi F (u) − F (w) ,

w = u(x, t − τ ),

w = u(x, t − τ ),

ϕi (z)  çàäàííûå

à

i = 1, . . . , m,

(4.1.1.5)

(äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíî) óíêöèè,

òàêæå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.1.2).  ýòîì ñëó÷àå êîíñòàíòà
óíêöèÿ

θ = θ(x)

k

è

îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (4.1.1.3) è (4.1.1.4), â êîòîðûõ

ñëåäóåò ïîëîæèòü

βi = ϕi (kτ ),

i = 1, . . . , m.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðåøåíèÿõ âèäà (4.1.1.2) èìååì

(4.1.1.6)

F (w) = k(t−τ )+θ(x) =

= F (u) − kτ , ò. å.
F (u) − F (w) = kτ =

onst .

(4.1.1.7)

Ïîýòîìó ëþáîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, ïîëó÷åííîå èç (4.1.1.1) çàìåíîé ïàðàìåòðîâ

β1 , . . . , βm

íà óíêöèè ïî ïðàâèëó (4.1.1.5), íà ðåøåíèÿõ âèäà (4.1.1.2)

â ñèëó (4.1.1.7) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (4.1.1.1) ïðè óñëîâèè (4.1.1.6).
Óòâåðæäåíèå 1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé â
ÿâíîì è íåÿâíîì âèäå íåêîòîðûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.
Çàìå÷àíèå 4.2.  âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿõ óðàâíåíèå (4.1.1.4) ìîæåò áûòü àëãåá-

ðàè÷åñêèì èëè òðàíñöåíäåíòíûì (ò. å. íå ñîäåðæàòü ïðîèçâîäíûõ óíêöèè
äàæå çàäàâàòü óíêöèþ

θ

θ)

èëè

â ÿâíîé îðìå.  ÷àñòíîñòè, ëþáîå ðåøåíèå òèïà áåãóùåé

âîëíû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (4.1.1.2) ïðè

θ(x) = αx,

ãäå

α

 ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ. Áîëåå òîãî, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óðàâíåíèå (4.1.1.3) ìîæåò îòñóòñòâîâàòü,
òîãäà êîíñòàíòà

k

áóäåò èãðàòü ðîëü ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà.

Ïðîñòûå ìåòîäè÷åñêèå ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà.
◮

Ïðèìåð 4.1. Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ óòâåðæäå-

íèÿ 1 âîçüìåì ëèíåéíîå óðàâíåíèå äèóçèîííîãî òèïà áåç çàïàçäûâàíèÿ

ut = uxx + a,
ãäå

β = a  ñâîáîäíûé

(4.1.1.8)

ïàðàìåòð.

Óðàâíåíèå (4.1.1.8) äîïóñêàåò ïðîñòîå òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðîå çàïèñûâàåòñÿ â ÿâíîì âèäå

u = kt + λx2 + C1 x + C2 ,
ãäå

C1 , C2 , λ  ïðîèçâîëüíûå
a è λ:

ïîñòîÿííûå, à ïàðàìåòð

(4.1.1.9)

k

ñëåäóþùèì îáðàçîì

âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

k = 2λ + a.

(4.1.1.10)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

224

åøåíèå (4.1.1.9) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåøåíèÿ (4.1.1.2) ïðè F (u) = u
θ(x) = λx2 + C1 x + C2 . Ïîäñòàâëÿÿ óíêöèþ F (u) = u â (4.1.1.7), èìååì
F (u) − F (w) = u − w = kτ . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1, çàìåíèì â óðàâíåíèè
(4.1.1.8) ïàðàìåòð a íà ϕ(u−w), ãäå ϕ(z)  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ. Â ðåçóëüòàòå
è

ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = uxx + ϕ(u − w),
êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå (4.1.1.9), ãäå êîíñòàíòà

k

îïðåäåëÿåòñÿ èç

àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

k = 2λ + ϕ(kτ )
(ïîëó÷åíî èç (4.1.1.10) ïðè

◮

a = ϕ(kτ )).

◭

Ïðèìåð 4.2. àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâ-

íåíèå áåç çàïàçäûâàíèÿ

ut = (un ux )x + au1−n ,
ãäå

β = a  ñâîáîäíûé

(4.1.1.11)

ïàðàìåòð.

Óðàâíåíèå (4.1.1.11) äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû â ÿâíîì âèäå

u = (kt + λx + C1 )1/n ,
ãäå

C1 , λ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à ïàðàìåòð k

(4.1.1.12)
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

a, λ è n

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

k = an +

λ2
n

.

(4.1.1.13)

åøåíèå (4.1.1.12) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåøåíèÿ (4.1.1.2) ïðè F (u) =
= un . Ïîäñòàâëÿÿ ýòó óíêöèþ â (4.1.1.7), èìååì F (u) − F (w) = un − wn =
= kτ . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1, çàìåíèì â óðàâíåíèè (4.1.1.11) ïàðàìåòð a íà
ϕ(un − wn ), ãäå ϕ(z)  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = (un ux )x + u1−n ϕ(un − wn ),
êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.1.12), ãäå êîíñòàíòà

k

îïðåäåëÿåò-

ñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

k = nϕ(kτ ) +
(ïîëó÷åíî èç (4.1.1.13) ïðè

λ2
n

a = ϕ(kτ )).

◭

4.1.2. Èñïîëüçîâàíèå ïåðâîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèå òî÷íûõ
ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
Óðàâíåíèå 1.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà áåç çà-

ïàçäûâàíèÿ

ut = [a(x)f (u)ux ]x + σ +

β
,
f (u)

(4.1.2.1)

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

225

a(x) è f (u) è äâà ñâîáîäíûõ ïàσ è β , äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû â íåÿâíîì

êîòîðîå ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
ðàìåòðà

âèäå [428℄:

Z
C1

ãäå

β

è

f (u) du = kt − σ

C2  ïðîèçâîëüíûå

Z

x dx
a(x)

+ C1

Z

dx
a(x)

ïîñòîÿííûå, à êîíñòàíòà

k

+ C2 ,

(4.1.2.2)

ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì

ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì

k = β.

(4.1.2.3)

R

F (u) = f (u) du.
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1, çàìåíèì â óðàâíåíèè (4.1.2.1) ïàðàìåòðû σ è β
ñîîòâåòñòâåííî íà ϕ(F (u) − F (w)) è ψ(F (u) − F (w)), ãäå ϕ(z) è ψ(z)  ïðîåøåíèå (4.1.2.2) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âèäà (4.1.1.2) ïðè

èçâîëüíûå óíêöèè. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íîâîìó íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ
ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì

1

ut = [a(x)f (u)ux ]x + ϕ(F (u) − F (w)) +
ψ(F (u) − F (w)),
f (u)
Z
F (u) = f (u) du,

(4.1.2.4)

êîòîðîå çàâèñèò îò ÷åòûðåõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé è èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

Z

f (u) du = kt − ϕ(kτ )

ãäå ïîñòîÿííàÿ

k

Z

x dx
a(x)

+ C1

Z

dx
a(x)

+ C2 ,

(4.1.2.5)

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

íèÿ

k = ψ(kτ )
(ïîëó÷åíî èç (4.1.2.3) ïðè

◮

(4.1.2.6)

β = ψ(kτ )).

Ïðèìåð 4.3. Ïîëàãàÿ

F (u) = un+1 ,

f (u) = (n+1)un ,

a(x) = a0 /(n+1) =

onst ,

ψ(z) = (n+1)ψ̄(z)

â (4.1.2.4)  (4.1.2.6), ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a0 (un ux )x + ϕ(un+1 − wn+1 ) + u−n ψ̄(un+1 − wn+1 ),
çàâèñÿùåìó îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé

ϕ(z)

è

ψ̄(z),

òî÷íîå ðåøåíèå êî-

òîðîãî äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â ÿâíîì âèäå

h
i 1
n+1
n+1
u = kt −
,
ϕ(kτ )x2 + C1 x + C2
2a0

k îïðåäåëÿåòñÿ
k = (n + 1)ψ̄(kτ ).

ãäå êîíñòàíòà
íèÿ

(4.1.2.7)

èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

◭

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

226

◮ Ïðèìåð 4.4. Ïîëàãàÿ F (u) = eλu , f (u) = λeλu , a(x) = a0 /λ = onst,
ψ(z) = λψ̄(z) â (4.1.2.4)  (4.1.2.6), ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a0 (eλu ux )x + ϕ(eλu − eλw ) + e−λu ψ̄(eλu − eλw ),
êîòîðîå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

u=

1
λ

i
h
λ
ϕ(kτ )x2 + C1 x + C2 ,
ln kt −

(4.1.2.8)

2a0

k
k = λψ̄(kτ ).

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

Óðàâíåíèå 2.

Áîëåå îáùåå, ÷åì (4.1.2.4), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ãäå ïîñòîÿííàÿ
íèÿ

◭



ut = [a(x)f (u)ux ]x + b(x)ϕ F (u) − F (w) +

çàâèñÿùåå îò ïÿòè ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé

1
ψ
f (u)



F (u) − F (w) ,

a(x), b(x), f (u), ϕ(z), ψ(z),

èìååò

òî÷íîå ðåøåíèå

Z

f (u) du = kt − ϕ(kτ )

ãäå êîíñòàíòà

k

Z

1
a(x)



Z

b(x) dx dx + C1

Z

dx
a(x)

+ C2 ,

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

íèÿ (4.1.2.6).
Äàëåå, îïóñêàÿ ïîäðîáíîñòè, ïðèâåäåì åùå íåñêîëüêî íåëèíåéíûõ Óð×Ï
áåç çàïàçäûâàíèÿ, äîïóñêàþùèõ òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (4.1.1.2), è ïîðîæäàåìûå èìè áîëåå ñëîæíûå íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå
ðåøåíèÿ.
Óðàâíåíèå 3.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ

ut = [a(x)f (u)ux ]x − µa(x)f (u)ux + σ +

β
,
f (u)

êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå [432℄:

Z

f (u) du = kt +

ãäå êîíñòàíòà

k

σ
µ

Z

dx
a(x)

ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì

+ C1
β

Z

eµx
a(x)

dx + C2 ,

(4.1.2.9)

ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì (4.1.2.3).

àññóæäàÿ òàê æå, êàê è â ïðèìåðå 4.1, ïîëó÷èì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì



ut = [a(x)f (u)ux ]x − µa(x)f (u)ux + ϕ F (u) − F (w) +

1
ψ
f (u)



F (u) − F (w) ,

òî÷íîå ðåøåíèå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (4.1.2.9) ïðè
ïîñòîÿííàÿ
(4.1.2.6).

k

σ = ϕ(kτ ),

à

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
Óðàâíåíèå 4.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

çàïàçäûâàíèÿ

utt = [a(x)f (u)ux ]x + σ − β

227

îðäîíà áåç

fu′ (u)
,
f 3 (u)

a(x) è f (u) è äâà ñâîáîäíûõ
β è σ , äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [431℄:
Z
Z
Z
dx
x dx
(4.1.2.10)
+ C1
+ C2 ,
f (u) du = kt − σ

êîòîðîå ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
ïàðàìåòðà

a(x)

ãäå

β

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

a(x)

ïîñòîÿííûå, à êîíñòàíòà

k

ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì

ñîîòíîøåíèåì

k2 = β.
Ïðè

β > 0 èìååì äâà

äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèÿ

√
k = ± β.

åøåíèå (4.1.2.10) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âèäà (4.1.1.2) ïðè

R
F (u) = f (u) du.

àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü ðàíåå â ïðèìåðå 4.1, ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì


f ′ (u)


utt = [a(x)f (u)ux ]x + ϕ F (u) − F (w) − u3 ψ F (u) − F (w) ,
f (u)

(4.1.2.11)

òî÷íîå ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå (4.1.2.10) ïðè

σ = ϕ(kτ ), ãäå êîíñòàíòà k
2
ãî) óðàâíåíèÿ k = ψ(kτ ).

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíî-

F (u) = un+1 , f (u) = (n + 1)un , a(x) = a0 /(n + 1) =
= onst, ψ(z) = n−1 (n + 1)2 ψ̄(z) â (4.1.2.11), ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ
◮

Ïðèìåð 4.5. Ïîëàãàÿ

çàïàçäûâàíèåì

utt = a0 (un ux )x + ϕ(un+1 − wn+1 ) − u−2n−1 ψ̄(un+1 − wn+1 ),

k îïðåäåëÿåòñÿ
= (n + 1)2 ψ̄(kτ ).

êîòîðîå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå (4.1.2.7), ãäå êîíñòàíòà

2
ãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ nk

◮ Ïðèìåð 4.6. Ïîëàãàÿ F (u) = eλu , f (u) = λeλu , a(x) = a0 /λ =
ψ(z) = λψ̄(z) â (4.1.2.11), ïîëó÷èì íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

èç àë-

◭
onst,

utt = a0 (eλu ux )x + ϕ(eλu − eλw ) − e−2λu ψ̄(eλu − eλw ),
k
k2 = λψ̄(kτ ).

êîòîðîå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå (4.1.2.8), ãäå ïîñòîÿííàÿ
àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ
Óðàâíåíèå 5.

îïðåäåëÿåòñÿ èç

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

◭
îðäîíà áåç

çàïàçäûâàíèÿ

a′ (x)
f (u),
a(x)

utt = [a(x)ux ]x + β px

ñîäåðæàùåå äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè
ðåøåíèÿ [431℄:

Z

du
f (u)

a(x)

= ±2kt − 2k

Z

è

f (u),

dx
p
a(x)

(4.1.2.12)
äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ

+ C,

(4.1.2.13)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

228

ãäå êîíñòàíòà

k

ñâÿçàíà ñ ïàðàìåòðîì

β

ëèíåéíûì ñîîòíîøåíèåì (4.1.2.3).

åøåíèå (4.1.2.13) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âèäà (4.1.1.2) ïðè

R
F (u) = [du/f (u)].

Óðàâíåíèå (4.1.2.12) ïîðîæäàåò áîëåå ñëîæíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = [a(x)ux ]x +

a′ (x)
px
f (u)ψ
a(x)



F (u) − F (w) ,

F (u) =

Z

du
,
f (u)

òî÷íûå ðåøåíèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëîé (4.1.2.13), ãäå êîíñòàíòà
íàõîäèòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

k

k = ψ(kτ ).

4.1.3. Âòîðîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ
çàïàçäûâàíèåì. Îáùåå îïèñàíèå è ïðîñòûå ïðèìåðû

Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà. Âòîðîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü óðàâíåíèå (4.1.1.1) èìååò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñïåöèàëüíîãî âèäà

F (u) = ekt θ(x),
ãäå êîíñòàíòà

k

(4.1.3.1)

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíå-

íèÿ (4.1.1.3), à óíêöèÿ

θ = θ(x)

óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèåðåíöè-

àëüíîìó óðàâíåíèþ (4.1.1.4). Òîãäà áîëåå ñëîæíîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.1.1.1) îðìàëüíîé çàìåíîé ñâîáîäíûõ
ïàðàìåòðîâ

ãäå

β1 , . . . , βm

íà óíêöèè ïî ïðàâèëó



βi =⇒ ϕi F (w)/F (u) ,

w = u(x, t − τ ),

i = 1, . . . , m,

(4.1.3.2)

ϕi (z)  çàäàííûå (äîñòàòî÷íî ïðîèçâîëüíî) óíêöèè, òàêæå äîïóñêàåò òî÷k è óíêöèÿ θ = θ(x) îïðåäåëÿ-

íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.3.1), ïðè÷åì êîíñòàíòà

þòñÿ èç óðàâíåíèé (4.1.1.3) è (4.1.1.4), â êîòîðûõ ñëåäóåò ïîëîæèòü

βi = ϕi (e−kτ ),

i = 1, . . . , m.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðåøåíèÿõ âèäà (4.1.3.1) èìååì

= e−kτ F (u),

(4.1.3.3)

F (w) = ek(t−τ ) θ(x) =

ò. å.

F (w)/F (u) = e−kτ =

onst .

(4.1.3.4)

Ïîýòîìó ëþáîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, ïîëó÷åííîå èç (4.1.1.1) çàìåíîé
ïàðàìåòðîâ

β1 , . . . , βm

íà óíêöèè ïî ïðàâèëó (4.1.3.2), íà ðåøåíèÿõ âèäà

(4.1.3.1) â ñèëó (4.1.3.4) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (4.1.1.1) ïðè óñëîâèè (4.1.3.3).
Óòâåðæäåíèå 2 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé â
ÿâíîì è íåÿâíîì âèäå íåêîòîðûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.
Çàìå÷àíèå 4.3. Óòâåðæäåíèå 2 ìîæíî ñâåñòè ê óòâåðæäåíèþ 1. Äëÿ ýòîãî íàäî,

F (u) > 0, ïðîëîãàðèìèðîâàòü ðåøåíèå (4.1.3.1), à çàòåì ñäåëàòü ïåðåîáîln F (u) =⇒ F (u) è ln θ =⇒ θ (àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñëó÷àé F (u) < 0). Îäíàêî íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ

ñ÷èòàÿ

çíà÷åíèÿ
è

íåïîñðåäñòâåííî â âèäå (4.1.3.1), ïîýòîìó ïðîùå è óäîáíåå åãî è èñïîëüçîâàòü.

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

229

Ïðîñòûå ìåòîäè÷åñêèå ïðèìåðû ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà.
◮

Ïðèìåð 4.7. àññìîòðèì ëèíåéíîå óðàâíåíèå äèóçèîííîãî òèïà

ut = uxx + au,
ãäå

β = a  ñâîáîäíûé

(4.1.3.5)

ïàðàìåòð.

Óðàâíåíèå (4.1.3.5) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè

u = ekt θ(x),
ãäå

(4.1.3.6)

k  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ θ = θ(x) óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè

′′
θxx
+ (a − k)θ = 0.

(4.1.3.7)

F (u) = u.
F (w)/F (u) = w/u = e−kτ . Èñïîëü(4.1.3.5) ïàðàìåòð a íà ϕ(w/u), ãäå

åøåíèå (4.1.3.6) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåøåíèÿ (4.1.3.1) ïðè
Ïîäñòàâëÿÿ ýòó óíêöèþ â (4.1.3.4), èìååì
çóÿ óòâåðæäåíèå 2, çàìåíèì â óðàâíåíèè

ϕ(z)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì

ut = uxx + uϕ(w/u),
êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå (4.1.3.6), ãäå
à óíêöèÿ

θ = θ(x)

k  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ,

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ

′′
θxx
+ [ϕ(e−kτ ) − k]θ = 0.
Ýòî óðàâíåíèå ïîëó÷åíî ïîäñòàíîâêîé êîíñòàíòû

a = ϕ(e−kτ )

â (4.1.3.7) è

◭

ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ.

◮

Ïðèìåð 4.8. àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ êâàä-

ðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = (uux )x + au + bu2 ,
ãäå

(4.1.3.8)

a, b  ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû.
Ïðè b > 0 óðàâíåíèå (4.1.3.8) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ

ïåðåìåííûìè â ÿâíîì âèäå

u = ekt

p

|C1 cos(βx) + C2 sin(βx)|,

β=

√
2b,

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðåøåíèÿ (4.1.3.6), ãäå ïàðàìåòð

(4.1.3.9)

k

óäîâëå-

òâîðÿåò ëèíåéíîìó ñîîòíîøåíèþ

k = a.

(4.1.3.10)

Êàê è â ïðèìåðå 4.7, èìååì F (u) = u è, ñëåäîâàòåëüíî, F (w)/F (u) = w/u =
= e−kτ . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 2, çàìåíèì â óðàâíåíèè (4.1.3.8) ïàðàìåòðû
a è b ñîîòâåòñòâåííî íà ϕ(w/u) è ψ(w/u), ãäå ϕ(z) è ψ(z)  ïðîèçâîëüíûå
óíêöèè.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = (uux )x + uϕ(w/u) + u2 ψ(w/u),

230

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.3.9), ãäå

k

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåá-

ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

k = ϕ(e−kτ )
(ïîëó÷åíî èç (4.1.3.10) ïðè

a = ϕ(e−kτ )).

◭

4.1.4. Èñïîëüçîâàíèå âòîðîãî ìåòîäà äëÿ ïîñòðîåíèå òî÷íûõ
ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
Óðàâíåíèå 1.

àññìîòðèì íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî

òèïà áåç çàïàçäûâàíèÿ

h

ut = [f (u)ux ]x + b +

c
f (u)

i

F (u),

çàâèñÿùåå îò ïðîèçâîëüíîé óíêöèè
è

c.

Z

F (u) =

f (u)

f (u) du,

(4.1.4.1)

è äâóõ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ

b

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â

íåÿâíîì âèäå [447℄:

Z

ãäå

f (u) du = ekt θ(x),

(4.1.4.2)

k = c,
à óíêöèÿ

θ = θ(x)

(4.1.4.3)

îïðåäåëÿåòñÿ èç ëèíåéíîãî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

′′
θxx
+ bθ = 0.

(4.1.4.4)

åøåíèå (4.1.4.2) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âèäà (4.1.3.1) ïðè

R

F (u) = f (u) du.
b è
ϕ(z) è ψ(z)  ïðî-

Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 2, çàìåíèì â óðàâíåíèè (4.1.4.1) ïàðàìåòðû

c

ñîîòâåòñòâåííî íà

ϕ(F (w)/F (u))

è

ψ(F (w)/F (u)),

ãäå

èçâîëüíûå óíêöèè. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê áîëåå ñëîæíîìó íåëèíåéíîìó
óðàâíåíèþ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì

h 

F (w)
ut = [f (u)ux ]x + F (u) ϕ
+
F (u)

1
ψ
f (u)



F (w)
F (u)

i

,

F (u) =

Z

f (u) du,
(4.1.4.5)

êîòîðîå çàâèñèò îò òðåõ ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé è èìååò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà
(4.1.4.2), ãäå êîíñòàíòà

k

ÿâëÿåòñÿ êîðíåì àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

óðàâíåíèÿ

k = ψ(e−kτ )
(ïîëó÷åíî èç (4.1.4.3) ïðè

c = ψ(e−kτ )),

θ = θ(x)
b = ϕ(e−kτ ).

à óíêöèÿ

ëèíåéíîãî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà (4.1.4.4) ïðè
Óðàâíåíèå 2.

(4.1.4.6)
îïðåäåëÿåòñÿ èç

Áîëåå îáùåå, ÷åì (4.1.4.5), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì





F (w)
F (w)
F (u)
ut = [a(x)f (u)ux ]x + b(x)F (u)ϕ
ψ
+
,
F (u)

f (u)

F (u)

4.1. Ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

231

a(x), b(x), f (u), ϕ(z), ψ(z), äîk ÿâëÿåòñÿ êîðíåì àëóðàâíåíèÿ (4.1.4.6), à óíêöèÿ θ = θ(x)

çàâèñÿùåå îò ïÿòè ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé

ïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.4.2), ãäå êîíñòàíòà
ãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

[a(x)θx′ ]′x + ϕ(e−kτ )b(x)θ = 0.
Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ

ut = [f (u)ux ]x + µf (u)ux +

λ
F (u),
f (u)

çàâèñÿùåå îò ïðîèçâîëüíîé óíêöèè

F (u) =

Z

f (u) du,

(4.1.4.7)

f (u) è äâóõ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ µ è λ,

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå [432℄:

Z
ãäå

f (u) du = ekt (C1 + C2 e−µx ),

(4.1.4.8)

k = λ.
Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 2 ìîæíî, íàïðèìåð, ïîêàçàòü, ÷òî íåëèíåéíîå Óð×Ï

ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [f (u)ux ]x + µf (u)ux +



F (u)
F (w)
ϕ
f (u)
F (u)



,

F (u) =

Z

k
k = ϕ(e−kτ ).

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.4.8), ãäå êîíñòàíòà
àëãåáðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

◮

Ïðèìåð 4.9. Ïîëàãàÿ

ϕ(z) = λz

f (u) du,

(4.1.4.9)

îïðåäåëÿåòñÿ èç

â (4.1.4.9), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

ut = [f (u)ux ]x + µf (u)ux +

λ
F (w),
f (u)

êîòîðîå îðìàëüíî ìîæíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèÿ (4.1.4.7) ïóòåì ïåðåîáîçíà÷åíèÿ

F (u) =⇒ F (w).

Óðàâíåíèå 4.

◭

Íåëèíåéíîå Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ

h
i
β
ut = [f (u)ux ]x − 2αf (u)ux + α2 +
F (u),

F (u) =

f (u)

çàâèñÿùåå îò ïðîèçâîëüíîé óíêöèè

Z

f (u) du,
(4.1.4.10)

f (u) è äâóõ ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ α è β ,

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå â íåÿâíîì âèäå [432℄:

Z
ãäå

C1

è

f (u) du = ekt+αx (C1 x + C2 ),

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå è

(4.1.4.11)

k = β.

Áîëåå ñëîæíîå, ÷åì (4.1.4.10), íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = [f (u)ux ]x − 2αf (u)ux + α2 F (u) +



F (u)
F (w)
ϕ
f (u)
F (u)



4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

232

k îïðåäåëÿåòñÿ
k = ϕ(e−kτ ).

òàêæå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå (4.1.4.11), ãäå êîíñòàíòà
ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ
Óðàâíåíèå 5.

èç àëãåá-

àññìîòðèì íåëèíåéíîå Óð×Ï âîëíîâîãî òèïà áåç çàïàçäûâà-

íèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè

utt = [f (x)un ux ]x + g(x, a)un+1 + bu,
ãäå

f (x) è g(x, a)  ïðîèçâîëüíûå

óíêöèè,

a

è

(4.1.4.12)

b  ñâîáîäíûå

ïàðàìåòðû.

Óðàâíåíèå (4.1.4.12) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè âèäà (4.1.3.6), ãäå ïàðàìåòð

k

óäîâëåòâîðÿåò êâàäðàòè÷íîìó ñîîòíî-

øåíèþ

k2 = b,
à óíêöèÿ

θ = θ(x)

(4.1.4.13)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

[f (x)θ n θx′ ]′x + g(x, a)θ n+1 = 0.

(4.1.4.14)

F (w)/F (u) = w/u = e−kτ . Èñïîëüçóÿ
óòâåðæäåíèå 2, çàìåíèì â óðàâíåíèè (4.1.4.12) ïàðàìåòðû a è b ñîîòâåòñòâåííî
íà ϕ(w/u) è ψ(w/u), ãäå ϕ(z) è ψ(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè. Â ðåçóëüòàòå
 äàííîì ñëó÷àå èìååì

F (u) = u

è

ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = [f (x)un ux ]x + un+1 g(x, ϕ(w/u)) + uψ(w/u),
êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.1.3.6), ãäå

k

îïðåäåëÿåòñÿ èç àëãåá-

ðàè÷åñêîãî (òðàíñöåíäåíòíîãî) óðàâíåíèÿ

k2 = ψ(e−kτ )
(ïîëó÷åíî èç (4.1.4.13) ïðè

b = ψ(e−kτ )),

à óíêöèÿ

θ = θ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

íåëèíåéíîìó ÎÄÓ:

[f (x)θ n θx′ ]′x + g(x, a)θ n+1 = 0,
Ýòî óðàâíåíèå ñ ïîìîùüþ çàìåíû

a = ϕ(e−kτ ).

ξ(x) = θ n+1 (x) ñâîäèòñÿ

ê ëèíåéíîìó ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà.
Çàìå÷àíèå 4.4.  [443℄ ïðèâåäåíû íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ

íåëèíåéíûõ Óð×Ï è ñèñòåì Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.
Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

4.2.1. Îáùåå îïèñàíèå ìåòîäà è ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

àçðàáîòàííûé â [457℄ ìåòîä ïîðîæäàþùèõ

óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ áîëåå ïðîñòûõ òî÷íûõ ðåøåíèé îòäåëüíûõ (èçîëèðîâàííûõ)

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

233

Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà óíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé (ñì. ðàçä. 3.4).

Îïèñàíèå ìåòîäà. àññìîòðèì äâà ðàçëè÷íûõ íåçàâèñèìûõ (èçîëèðîâàí-

íûõ) íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì



ut = F u, ū, ux , uxx , f (z1 ) ,


vt = G v, v̄, vx , vxx , g(z2 ) ,

ū = u(x, t − τ ),
v̄ = v(x, t − τ ),

z1 = z1 (u, ū);
z2 = z2 (v, v̄),

êîòîðûå çàâèñÿò îò ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé îäíîãî àðãóìåíòà

f(z1 )

(4.2.1.1)
(4.2.1.2)
è

g(z2 ),

τ > 0.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (4.2.1.1) è (4.2.1.2) èìåþò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ
îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u=

N1
X

ϕ1n (x)ψ1n (t),

v=

N2
X

ϕ2n (x)ψ2n (t)

(4.2.1.3)

n=1

n=1

è ÷òî îáà ýòèõ ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ëþáûì óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì îäèíàêîâîãî òèïà (ñì. ðàçä. 3.4), ò. å. äîïóñòèì ëþáîé èç ñëåäóþùèõ äâóõ âîçìîæíûõ
âàðèàíòîâ:

z1 (u, ū) = p1 (x), z2 (v, v̄) = p2 (x) (óíêöèîíàëüíûå
z1 (u, ū) = q1 (t), z2 (v, v̄) = q2 (t) (óíêöèîíàëüíûå

ñâÿçè ïåðâîãî ðîäà );
ñâÿçè âòîðîãî ðîäà ).
(4.2.1.4)

Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñëåäóþùåãî ïðèíöèïà.
Ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûõ ðåøåíèé. Ïóñòü
èçîëèðîâàííûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.1.1) è (4.2.1.2)
äîïóñêàþò ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (4.2.1.3), êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò äâóì óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì îäèíàêîâîãî âèäà
(4.2.1.4). Òîãäà áîëåå ñëîæíàÿ íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì



ut = F u, ū, ux , uxx , f (z1 , z2 ) ,


vt = G v, v̄, vx , vxx , g(z1 , z2 ) ,

ãäå

f (z1 , z2 )

è

ū = u(x, t − τ ),
v̄ = v(x, t − τ ),

g(z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå

z1 = z1 (u, ū);
z2 = z2 (v, v̄),

(4.2.1.5)
(4.2.1.6)

óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ, äîïóñêàåò

òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.2.1.3).
Äàëåå èñõîäíûå íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ (4.2.1.1) è (4.2.1.2) áóäåì íàçûâàòü
ïîðîæäàþùèìè (èëè ãåíåðèðóþùèìè) óðàâíåíèÿìè.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ïîðîæäàþùèå óðàâíåíèÿ (4.2.1.1) è
(4.2.1.2) ìîãóò áûòü îäèíàêîâûìè ñ òî÷íîñòüþ äî ýëåìåíòàðíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ è ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé.
Çàìå÷àíèå 4.5.  êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé âìåñòî íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèõ òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà (4.2.1.3), ìîæíî áðàòü òàêæå íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, èìåþùèå
áîëåå ñëîæíûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [457℄.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

234

Èëëþñòðàòèâíûå ïðèìåðû.

Îïèøåì ïîäðîáíåå ïðîöåäóðó ïðèìåíåíèÿ

ìåòîäà ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé íà äâóõ êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ.

◮

Ïðèìåð 4.10. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îáîèõ ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçó-

åì îäíî óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.1),
êîòîðîå ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé çàïèøåì â âèäå äâóõ îäíîòèïíûõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:

ut = a1 uxx + uf (ū/u), ū = u(x, t − τ );
vt = a2 vxx + vg(v̄/v), v̄ = v(x, t − τ ),
êîòîðûå ñîäåðæàò ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

z1 = ū/u è z2 = v̄/v .
1◦ . Óðàâíåíèÿ (4.2.1.7)

(4.2.1.7)

f (z1 )

è

g(z2 ),

ãäå

ñîâïàäàþò (ñ òî÷íîñòüþ äî î÷åâèäíûõ ïåðåîáî-

çíà÷åíèé) ñ óðàâíåíèåì (3.4.2.1) è ïîýòîìó äîïóñêàþò, íàïðèìåð, ðåøåíèÿ ñ

∗

ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà :

u = cos(βx)ψ1 (t),
ãäå

β  ïðîèçâîëüíàÿ

v = cos(βx)ψ2 (t),

(4.2.1.8)

ïîñòîÿííàÿ. Ôóíêöèè (4.2.1.8) óäîâëåòâîðÿþò óíêöèî-

íàëüíûì ñâÿçÿì âòîðîãî ðîäà (4.2.1.4) ïðè

= v̄/v = ψ2 (t − τ )/ψ2 (t).

z1 = ū/u = ψ1 (t − τ )/ψ1 (t)

è

z2 =

 äàííîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà ðåàêöèîííî-äèó-

çèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.1.5)  (4.2.1.6) çàïèñûâàåòñÿ òàê:

ut = a1 uxx + uf (ū/u, v̄/v),
vt = a2 vxx + vg(ū/u, v̄/v),
ãäå

f (z1 , z2 )

è

g(z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.1.9)

óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

Ñëåäóÿ ìåòîäó ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé, èùåì òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû
Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.1.9) â âèäå (4.2.1.8). Ïîäñòàâèâ (4.2.1.8) â (4.2.1.9),
äëÿ óíêöèé

ψ1 (t)

è

ψ2 (t)

ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíè-

åì:



ψ1′ (t) = −a1 β 2 ψ1 (t) + ψ1 (t)f ψ1 (t − τ )/ψ1 (t), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) ,


ψ2′ (t) = −a2 β 2 ψ2 (t) + ψ2 (t)g ψ1 (t − τ )/ψ1 (t), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) .
2◦ .

(4.2.1.10)

åíåðèðóþùèå óðàâíåíèÿ (4.2.1.7) äîïóñêàþò òàêæå äðóãèå òî÷íûå ðå-

øåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ñì. ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(3.4.2.1)):

u = sh(γx)ψ1 (t),
ãäå

γ  ïðîèçâîëüíàÿ

v = sh(γx)ψ2 (t),

(4.2.1.11)

ïîñòîÿííàÿ. åøåíèÿ (4.2.1.11) óäîâëåòâîðÿþò òàêèì æå

óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì âòîðîãî ðîäà, ÷òî è ðåøåíèÿ (4.2.1.8). Ïîýòîìó íåëèíåéíàÿ

ñèñòåìà

ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ

óðàâíåíèé

ñ

çàïàçäûâàíèåì

(4.2.1.9) äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (4.2.1.11).  ýòîì ñëó÷àå óíêöèè

Íàïîìíèì, ÷òî ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì è ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
îòíîñÿòñÿ ê ïðîñòåéøèì ðåøåíèÿì ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.
∗

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

235

ψ1 (t) è ψ2 (t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ
β 2 íà −γ 2 .
3◦ . åíåðèðóþùèå óðàâíåíèÿ (4.2.1.7) äîïóñêàþò äâà êëàññà ðàçëè÷íûõ

èç (4.2.1.10) îðìàëüíîé çàìåíîé

òî÷íûõ ðåøåíèé (4.2.1.8) è (4.2.1.11) è îáà êëàññà ýòèõ ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿìè âòîðîãî ðîäà. Ïîýòîìó íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.1.9) äîïóñêàåò òàêæå òî÷íîå ðåøåíèå ñìåøàííîãî òèïà:

u = cos(βx)ψ1 (t),
ãäå óíêöèè

ψ1 (t)

è

ψ2 (t)

v = sh(γx)ψ2 (t),

(4.2.1.12)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, êî-

òîðàÿ ñîñòîèò èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.2.1.10) è ìîäèèöèðîâàííîãî
âòîðîãî óðàâíåíèÿ ýòîé æå ñèñòåìû, ïîëó÷åííîãî ïóòåì îðìàëüíîé çàìåíû

β2

íà

−γ 2 .

4◦ . Ñèñòåìà

ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ

óðàâíåíèé

ñ

çàïàçäûâàíèåì

(4.2.1.9) äîïóñêàåò áîëåå îáùåå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x)ψ1 (t),

v = ϕ2 (x)ψ2 (t),

(4.2.1.13)

◭

êîòîðîå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ðåøåíèÿ (4.2.1.8), (4.2.1.11), (4.2.1.12).

Çàìå÷àíèå 4.6. Áîëåå îáùàÿ, ÷åì (4.2.1.9), íåëèíåéíàÿ ñèñòåìà ðåàêöèîííî-äè-

óçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + uf (u/v, ū/u, v̄/v),
vt = a2 vxx + vg(u/v, ū/u, v̄/v),
ãäå

f (z1 , z2 , z3 )

òî÷íûå

è

ðåøåíèÿ

g(z1 , z2 , z3 )  ïðîèçâîëüíûå
âèäà

(4.2.1.8)

è

óíêöèè òðåõ àðãóìåíòîâ, äîïóñêàåò

(4.2.1.11),

à

òàêæå

ðåøåíèå

(4.2.1.13)

ïðè

ϕ1 (x) = ϕ2 (x).

◮

Ïðèìåð 4.11.  êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé âîçüìåì îäíî óðàâ-

íåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.19), êîòîðîå
ïîñëå î÷åâèäíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé çàïèøåì â âèäå äâóõ îäíîòèïíûõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:

ut = a1 uxx + b1 u + f (u − ū), ū = u(x, t − τ );
vt = a2 vxx + b2 v + g(v − v̄), v̄ = v(x, t − τ ),
ñîäåðæàùèõ ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

= u − ū è z2 = v − v̄ .
1◦ . Óðàâíåíèÿ (4.2.1.14)

f (z1 )

(4.2.1.14)
è

g(z2 ),

ãäå

z1 =

ñîâïàäàþò (ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèé) ñ

óðàâíåíèåì (3.4.2.19) è ïîýòîìó èìåþò ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x) + ψ1 (t),
Ôóíêöèè

(4.2.1.15)

(4.2.1.4) ïðè

óäîâëåòâîðÿþò

v = ϕ2 (x) + ψ2 (t).

óíêöèîíàëüíûì

ñâÿçÿì

(4.2.1.15)
âòîðîãî

ðîäà

z1 = u − ū = ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ) è z2 = v − v̄ = ψ2 (t) − ψ2 (t − τ ).

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

236

Íåçàâèñèìûå óðàâíåíèÿ (4.2.1.14) ïîðîæäàþò íåëèíåéíóþ ñèñòåìó ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + b1 u + f (u − ū, v − v̄),
vt = a2 vxx + b2 v + g(u − ū, v − v̄),
f (z1 , z2 ) è g(z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

ãäå

(4.2.1.16)

Ñëåäóÿ ìåòîäó ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé, èùåì òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ

óðàâíåíèé

ñ

çàïàçäûâàíèåì

(4.2.1.16)

â

âèäå

(4.2.1.15). Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ äëÿ îïðåäåëÿþùèõ óíêöèé ïîëó÷èì
äâå íåçàâèñèìûå ñèñòåìû:
(i) ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ ëèíåéíûõ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýèöèåíòàìè äëÿ

ϕ1 (x)

è

ϕ2 (x):
a1 ϕ′′1 + b1 ϕ1 = 0,
a2 ϕ′′2 + b2 ϕ2 = 0,

(4.2.1.17)

(ii) ñèñòåìó ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

ψ1 (t) è ψ2 (t):


ψ1′ (t) = b1 ψ1 (t) + f ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t) − ψ2 (t − τ ) ,


ψ2′ (t) = b2 ψ2 (t) + g ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t) − ψ2 (t − τ ) .
Îòìåòèì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (4.2.1.17) ïðè b1 > 0

äëÿ

îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè

Cij

ãäå

ϕ1 = C11 cos(β1 x) + C12 sin(β1 x),

β1 =

ϕ2 = C21 exp(−β2 x) + C22 exp(β2 x),

β2 =

p

p

(4.2.1.18)
è

b2 < 0

b1 /a1 ,

−b2 /a2 ,

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü

b1 è b2 .
◦
2 . Ïîðîæäàþùèå óðàâíåíèÿ (4.2.1.14) äîïóñêàþò òàêæå ðåøåíèÿ ñ îáîá-

ðåøåíèå óðàâíåíèé (4.2.1.17) ïðè äðóãèõ çíàêàõ êîýèöèåíòîâ

ùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ (ñì. ðåøåíèå (3.4.2.27) óðàâíåíèÿ (3.4.2.19)):

u = ξ1 (x)t + η1 (x),

v = ξ2 (x)t + η2 (x),

(4.2.1.19)

ãäå óíêöèè (4.2.1.19) óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì ïåðâîãî ðîäà
(4.2.1.4) ïðè

z1 = u − ū = τ ξ1 (x)

è

z2 = v − v̄ = τ ξ2 (x).

Ïîäñòàâèâ (4.2.1.19) â ñèñòåìó ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.1.16), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ÎÄÓ äëÿ îïðåäåëÿþùèõ
óíêöèé:

a1 ξ1′′ + b1 ξ1 = 0,
a2 ξ2′′ + b2 ξ2 = 0,


a1 η1′′ + b1 η1 = ξ1 − f τ ξ1 , τ ξ2 ,


a2 η2′′ + b2 η2 = ξ2 − g τ ξ1 , τ ξ2 .

Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ äî î÷åâèäíûõ ïåðåîáîçíà÷åíèé ñîâïàäàþò
ñ óðàâíåíèÿìè (4.2.1.17) è ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ. Çàòåì ïîëó÷åííûå óíêöèè
è

ξ2

ξ1

ïîäñòàâëÿþòñÿ â ïðàâûå ÷àñòè äâóõ ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïîñëå

ýòîãî ñòàíîâÿòñÿ ëèíåéíûìè íåîäíîðîäíûìè ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ïîýòîìó òàêæå ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ.

◭

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

237

4.2.2. Êâàçèëèíåéíûå ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ
 äàííîì ðàçäåëå êðàòêî îïèñàíû íåêîòîðûå êâàçèëèíåéíûå ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî âñåõ ïðîèçâîäíûõ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòèõ ñèñòåì è èõ òî÷íûõ ðåøåíèé
èñïîëüçîâàí ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé.
Ñèñòåìà 1.

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî óðàâíå-

íèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.31),
êîòîðîå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè ïåðâîãî ðîäà. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + b1 u + f (u − k1 ū, v − k2 v̄), ū = u(x, t − τ );
vt = a2 vxx + b2 v + g(u − k1 ū, v − k2 v̄), v̄ = v(x, t − τ ),
ãäå

k1

è

k2  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.2.1)

ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.

Ñèñòåìà (4.2.2.1) äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ

u = ξ1 (x) exp(s1 t) + η1 (x),
v = ξ2 (x) exp(s2 t) + η2 (x),
Ñèñòåìà ÎÄÓ äëÿ óíêöèé

ξm (x)

è

ηm (x)

s1 = (ln k1 )/τ,
s2 = (ln k2 )/τ.

(4.2.2.2)

îïóñêàåòñÿ.

Çàìå÷àíèå 4.7. Áîëåå îáùàÿ, ÷åì (4.2.2.1), êâàçèëèíåéíàÿ ñèñòåìà ðåàêöèîííî-

äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + f1 (u − k1 ū, v − k2 v̄) +
+ uf2 (u − k1 ū, v − k2 v̄) + vf3 (u − k1 ū, v − k2 v̄),
vt = a2 vxx + g1 (u − k1 ū, v − k2 v̄) +
+ ug2 (u − k1 ū, v − k2 v̄) + vg3 (u − k1 ū, v − k2 v̄),
ñîäåðæàùàÿ øåñòü ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé äâóõ àðãóìåíòîâ
(m

= 1, 2, 3) òàêæå
Ñèñòåìà 2.

fm (z1 , z2 )

è

gm (z1 , z2 )

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà (4.2.2.2).

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé âîçüìåì ñëåäóþùèå äâà

ðàçíûõ óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:

ut = a1 uxx + bu + f (u − ū), ū = u(x, t − τ );
vt = a2 vxx + vg(v̄/v),
v̄ = v(x, t − τ ).

(4.2.2.3)

Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì óðàâíåíèåì (4.2.1.14) ïðè

b = b1

è äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, à âòîðîå
óðàâíåíèå (4.2.2.3) ñîâïàäàåò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì (4.2.1.7) è äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Îáà óêàçàííûõ
ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (4.2.2.3) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèì óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì âòîðîãî ðîäà.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

238

Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé ê óðàâíåíèÿì (4.2.2.3) ïðèõîäèì
ê ñèñòåìå ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + bu + f (u − ū, v̄/v),
vt = a2 vxx + vg(u − ū, v̄/v),
ãäå

f (z1 , z2 )

è

g(z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.2.4)

óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

Èñïîëüçóÿ êîìáèíàöèþ ðåøåíèé óðàâíåíèé (4.2.2.3), ïîëó÷èì òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû (4.2.2.4):

u = ϕ1 (x) + ψ1 (t),
 äàííîì ñëó÷àå êîìïîíåíòû ñèñòåìû

v = ϕ2 (x)ψ2 (t).

(4.2.2.5)

u è v èìåþò ðàçëè÷íóþ ñòðóêòóðó, òàêèå

ðåøåíèÿ ñèñòåì áóäåì íàçûâàòü ðåøåíèÿìè ñìåøàííîãî òèïà.
Ïîäñòàâèâ (4.2.2.5) â ñèñòåìó (4.2.2.4) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïðèõîäèì ê
ñëåäóþùèì ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

ãäå

a1 ϕ′′1 + bϕ1 = A1 ,
ϕ′′2 − A2 ϕ2 = 0,


ψ1′ (t) = bψ1 (t) + A1 + f ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) ,


ψ2′ (t) = A2 a2 ψ2 (t) + ψ2 (t)g ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) ,
A1

è

A2  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.2.6)

ïîñòîÿííûå. Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ (4.2.2.6) íåçà-

âèñèìû è ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ ïîñêîëüêó ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ÎÄÓ âòîðîãî
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ (4.2.2.6)
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
Ïðè

b=0

ýòà ñèñòåìà äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

ψ1 (t) = βt + C1 ,
ãäå

C1

è

ψ2 (t) = C2 eλt ,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à êîýèöèåíòû β

è

λ îïðåäåëÿþòñÿ

èç àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé) ñèñòåìû óðàâíåíèé

β = A1 + f (βτ, e−λτ ),
Ñèñòåìà 3.

λ = A2 a2 + g(βτ, e−λτ ).

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì äâà ÷àñò-

íûõ ñëó÷àÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì (3.4.2.48), êîòîðîå èìååò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ,
óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè ïåðâîãî ðîäà. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì
ê êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + uf (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ),

(4.2.2.7)

vt = a2 vxx + vg(u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ),
êîòîðàÿ äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x) cos(λt) + ψ1 (x) sin(λt),
v = ϕ2 (x) cos(λt) + ψ2 (x) sin(λt),

λ=

π
2τ

,

(4.2.2.8)

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé
ãäå óíêöèè

ϕn (x)

è

ψn (x)

239

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ

a1 ϕ′′1 + ϕ1 f (ϕ21 + ψ12 , ϕ22 + ψ22 ) − λψ1 = 0,

a1 ψ1′′ + ψ1 f (ϕ21 + ψ12 , ϕ22 + ψ22 ) + λϕ1 = 0,

(4.2.2.9)

a2 ϕ′′2 + ϕ2 g(ϕ21 + ψ12 , ϕ22 + ψ22 ) − λψ2 = 0,

a2 ψ2′′ + ψ2 g(ϕ21 + ψ12 , ϕ22 + ψ22 ) + λϕ2 = 0.

Çàìå÷àíèå 4.8. Òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà (4.2.2.8) äîïóñêàþò áîëåå îáùàÿ íåëèíåé-

íàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 uxx + uf1 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) + ūf2 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) +
+ vf3 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) + v̄f4 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ),
vt = a2 vxx + ug1 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) + ūg2 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) +
+ vg3 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ) + v̄g4 (u2 + ū2 , v 2 + v̄ 2 ),
êîòîðàÿ çàâèñèò îò âîñüìè ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé äâóõ àðãóìåíòîâ

fn (z1 , z2 )

è

gn (z1 , z2 ).
Çàìå÷àíèå 4.9. Êîíñòàíòó

λn =
Ñèñòåìà 4.

λ=

π
2τ â (4.2.2.8) è (4.2.2.9) ìîæíî çàìåíèòü íà

π(2n + 1)
,
2τ

n = 0, ±1, ±2, . . . .

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé âîçüìåì äâà ðàçíûõ óðàâ-

íåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì: ïåðâîå

b1 = b,

óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì óðàâíåíèåì (4.2.1.14) ïðè

à âòîðîå

óðàâíåíèå  ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.48) (ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé). Îáà ýòèõ óðàâíåíèÿ èìåþò ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì ïåðâîãî ðîäà.
Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé è ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê
ýòî äåëàëîñü ðàíüøå, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé ðåàêöèîííîäèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì:

ut = a1 uxx + bu + f (u − ū, v 2 + v̄ 2 ),

(4.2.2.10)

vt = a2 vxx + vg(u − ū, v 2 + v̄ 2 ),

êîòîðàÿ äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñìåøàííîãî òèïà

u = tξ(x) + η(x),
v = ϕ(x) cos(λt) + ψ(x) sin(λt),

λ=

π
2τ

.

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

ψ(x)

ξ(x), η(x), ϕ(x),

çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ.

4.2.3. Íåëèíåéíûå ñèñòåìû ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ
Ñèñòåìà 1.

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî óðàâíå-

íèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.2),

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

240

êîòîðîå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ,
óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè âòîðîãî ðîäà. Èñïîëüçóÿ ïðîöåäóðó, îïèñàííóþ â ðàçä. 4.2.1, ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííîäèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 (uk ux )x + uf (ū/u, v̄/v), ū = u(x, t − τ ),
vt = a2 (v m vx )x + vg(ū/u, v̄/v), v̄ = v(x, t − τ ).

(4.2.3.1)

Ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.1) íàñëåäóåò âèä ðåøåíèé ïîðîæäàþùèõ åå óðàâíåíèé, ò. å. äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x)ψ1 (t),

v = ϕ2 (x)ψ2 (t).

(4.2.3.2)

Ïîäñòàâèâ (4.2.3.2) â (4.2.3.1), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ óíêöèé

ϕ1 = ϕ1 (x), ϕ2 = ϕ2 (x), ψ1 = ψ1 (t), ψ2 = ψ2 (t)

ïîëó÷èì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ

èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ÎÄÓ è äâóõ ñâÿçàííûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

a1 (ϕk1 ϕ′1 )′ = C1 ϕ1 ,
′ ′
a2 (ϕm
2 ϕ2 ) = C2 ϕ2 ,

ãäå

C1



ψ1′ = C1 ψ1k+1 + ψ1 f ψ̄1 /ψ1 , ψ̄2 /ψ2 , ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),


ψ2′ = C2 ψ2m+1 + ψ2 g ψ̄1 /ψ1 , ψ̄2 /ψ2 , ψ̄2 = ψ2 (t − τ ),

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.3.3)

ïîñòîÿííûå.

Îáùèå ðåøåíèÿ ïåðâûõ äâóõ àâòîíîìíûõ ÎÄÓ â (4.2.3.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå. Ïðè
ðåøåíèÿ

ϕ1 =
Ñèñòåìà 2.

h

k, m 6= 0 è k, m 6= −2 ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò ÷àñòíûå

i1/k
C1 k 2 x 2
,
2a1 (k + 2)

ϕ2 =

h

i1/m
C2 m 2 x 2
.
2a2 (m + 2)

Åñëè â êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçîâàòü îäíî

Óð×Ï ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.6) (îíî èìååò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè
âòîðîãî ðîäà), òî ïðèõîäèì ê áîëåå îáùåé, ÷åì (4.2.3.1), íåëèíåéíîé ñèñòåìå
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì:

ut = a1 (uk ux )x + b1 uk+1 + uf (ū/u, v̄/v),
m

vt = a2 (v vx )x + b2 v

m+1

ū = u(x, t − τ ),

+ vg(ū/u, v̄/v), v̄ = v(x, t − τ ).

(4.2.3.4)

Ýòà ñèñòåìà Óð×Ï äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ âèäà (4.2.3.2), ãäå óíêöèè

ϕ1 = ϕ1 (x) è ϕ2 = ϕ2 (x) îïèñûâàþòñÿ

íåçàâèñèìûìè àâòîíîìíûìè ÎÄÓ:

a1 (ϕk1 ϕ′1 )′ + b1 ϕk+1
= C1 ϕ1 ,
1
m+1
′ ′
a2 (ϕm
= C2 ϕ2 ,
2 ϕ2 ) + b2 ϕ2
à óíêöèè

(4.2.3.5)

ψ1 = ψ1 (t) è ψ2 = ψ2 (t) óäîâëåòâîðÿþò ñâÿçàííûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâà-

íèåì, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ äâóìÿ ïîñëåäíèìè óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû (4.2.3.3).

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

241

àññìîòðèì ïîäðîáíåå íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àåâ, êîãäà ñèñòåìà ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.4) èìååò ïðîñòûå
òî÷íûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ (âñå ýòè ñëó-

C1 = C2 = 0 â (4.2.3.5)).
◦
1 . Ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.4) ïðè b1 (k + 1) > 0 è b2 (m + 1) > 0 èìååò ðåøåíèå

÷àè ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì

ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = [A1 cos(β1 x) + A2 sin(β1 x)]1/(k+1) ψ1 (t),
1/(m+1)

v = [B1 cos(β2 x) + B2 sin(β2 x)]

β1 =

ψ2 (t), β2 =

p

p

b1 (k + 1)/a1 ,
b2 (m + 1)/a2 ,

(4.2.3.6)

A1 , A2 , B1 , B2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèè ψ1 = ψ1 (t) è
ψ2 = ψ2 (t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïîñëåäíèõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.3) ïðè C1 = C2 = 0. Ýòà ñèñòåìà èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
ãäå

ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ1 (t) = D1 exp(λ1 t),
ãäå

D1

è

D2  ïðîèçâîëüíûå

ψ2 (t) = D2 exp(λ2 t),

ïîñòîÿííûå, à ïîêàçàòåëè

λ1

è

(4.2.3.7)

λ2

îïðåäåëÿþòñÿ

èç àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé) ñèñòåìû óðàâíåíèé

λ1 − f (e−λ1 τ , e−λ2 τ ) = 0,
2◦ .

Ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.4) ïðè

λ2 − g(e−λ1 τ , e−λ2 τ ) = 0.

(4.2.3.8)

b1 (k + 1) < 0 è b2 (m + 1) < 0 èìååò ðåøåíèå

ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

p
−b1 (k + 1)/a1 ,
p
1/(m+1)
v = [B1 exp(−β2 x) + B2 exp(β2 x)]
ψ2 (t), β2 = −b2 (m + 1)/a2 ,
u = [A1 exp(−β1 x) + A2 exp(β1 x)]1/(k+1) ψ1 (t),

β1 =

(4.2.3.9)

A1 , A2 , B1 , B2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèè ψ1 = ψ1 (t) è
ψ2 = ψ2 (t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïîñëåäíèõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.3) ïðè C1 = C2 = 0. Ýòà ñèñòåìà èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà (4.2.3.7), ãäå ïîêàçàòåëè λ1 è λ2 îïðåäåëÿþòñÿ èç
ãäå

àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé) ñèñòåìû óðàâíåíèé (4.2.3.8).

3◦ .

Ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.4) äîïóñêàåò òàêæå äâà ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêà-

òèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà. À èìåííî, ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ

b1 (k + 1) > 0

è

b2 (m + 1) < 0

ñèñòåìà (4.2.3.4) èìååò òî÷íîå

ðåøåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîé îðìóëîé (4.2.3.6) è âòîðîé îðìóëîé
(4.2.3.9). Âõîäÿùèå â ýòî ñîñòàâíîå ðåøåíèå óíêöèè

ψ1 = ψ1 (t) è ψ2 = ψ2 (t),

êàê è ðàíåå, îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïîñëåäíèõ ÎÄÓ ñ

C1 = C2 = 0. Ýòà ñèñòåìà èìååò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
(4.2.3.7), ãäå ïîêàçàòåëè λ1 è λ2 îïðåäåëÿþòñÿ èç

çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.3) ïðè
ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé) ñèñòåìû óðàâíåíèé (4.2.3.8).
Ïðè

b1 (k + 1) < 0 è b2 (m + 1) > 0 ñèñòåìà

(4.2.3.4) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå,

êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ âòîðîé îðìóëîé (4.2.3.6) è ïåðâîé îðìóëîé (4.2.3.9).

242

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

Ñèñòåìà 3.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî óðàâ-

íåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.12), êîòîðîå
äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè âòîðîãî ðîäà. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 (uk ux )x + b1 + u−k f (uk+1 − ūk+1 , v m+1 − v̄ m+1 ),

vt = a2 (v m vx )x + b2 + v −m g(uk+1 − ūk+1 , v m+1 − v̄ m+1 ).

(4.2.3.10)

Ñèñòåìà (4.2.3.10) íàñëåäóåò âèä ðåøåíèé ïîðîæäàþùèõ åå óðàâíåíèé è
ïðè

k, m 6= −1

èìååò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðå-

ìåííûõ âèäà

u = [ϕ1 (x) + ψ1 (t)]1/(k+1) ,

v = [ϕ2 (x) + ψ2 (t)]1/(m+1) .

Ïîäñòàâèâ (4.2.3.11) â Óð×Ï (4.2.3.10), äëÿ óíêöèé

ψ1 = ψ1 (t), ψ2 = ψ2 (t)

(4.2.3.11)

ϕ1 = ϕ1 (x), ϕ2 = ϕ2 (x),

ïîëó÷èì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ íåçàâèñèìûõ

ëèíåéíûõ ÎÄÓ è äâóõ ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

a1 ϕ′′1 + b1 (k + 1) = 0,
a2 ϕ′′2 + b2 (m + 1) = 0,


ψ1′ = (k + 1)f ψ1 − ψ̄1 , ψ2 − ψ̄2 ,


ψ2′ = (m + 1)g ψ1 − ψ̄1 , ψ2 − ψ̄2 ,

ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),
ψ̄2 = ψ2 (t − τ ).

(4.2.3.12)

Îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ ïåðâûõ ÎÄÓ (4.2.3.12) çàïèñûâàþòñÿ òàê:

ϕ1 = −
ãäå

b1 (k + 1) 2
x
2a1

+ C1 x + C2 ,

C1 , C2 , C3 , C4  ïðîèçâîëüíûå

ϕ2 = −

b2 (m + 1) 2
x
2a2

+ C3 x + C4 ,

ïîñòîÿííûå. Ñèñòåìà äâóõ ïîñëåäíèõ ñâÿ-

çàííûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.12) èìååò ïðîñòîå ÷àñòíîå ðåøåíèå

ψ1 = A1 t,
ãäå ïîñòîÿííûå

A1

è

A2

ψ2 = A2 t,

îïðåäåëÿþòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé)

ñèñòåìû óðàâíåíèé

A1 = (k + 1)f (A1 τ, A2 τ ),
Ñèñòåìà 4.

A2 = (m + 1)g(A1 τ, A2 τ ).

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî óðàâíå-

íèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.21),
êîòîðîå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè âòîðîãî ðîäà. Èñïîëüçóÿ ïðîöåäóðó, îïèñàííóþ â ðàçä. 4.2.1, ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ
óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 (eλu ux )x + f (u − ū, v − v̄), ū = u(x, t − τ ),

vt = a2 (eβv vx )x + g(u − ū, v − v̄),

v̄ = v(x, t − τ ).

(4.2.3.13)

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé

243

Ïîñêîëüêó ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.13) íàñëåäóåò âèä ðåøåíèé ïîðîæäàþùèõ
åå óðàâíåíèé, îíà äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x) + ψ1 (t),
ãäå óíêöèè

v = ϕ2 (x) + ψ2 (t),

(4.2.3.14)

ϕ1 = ϕ1 (x), ϕ2 = ϕ2 (x), ψ1 = ψ1 (t), ψ2 = ψ2 (t)

îïèñûâàþòñÿ

ñèñòåìîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ÎÄÓ è äâóõ ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

(eλϕ1 ϕ′1 )′ = C1 ,
(eβϕ2 ϕ′2 )′ = C2 ,

ãäå

C1



ψ1′ = a1 C1 eλψ1 + f ψ1 − ψ̄1 , ψ2 − ψ̄2 , ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),


ψ2′ = a2 C2 eβψ2 + g ψ1 − ψ̄1 , ψ2 − ψ̄2 , ψ̄2 = ψ2 (t − τ ),
è

C2  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.3.15)

ïîñòîÿííûå.

Îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ ïåðâûõ ÎÄÓ (4.2.3.15) îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè

ϕ1 =
ãäå

1
λ



1
ln C1 λx2 + A1 x + B1 ,
2

A1 , B1 , A2 , B2  ïðîèçâîëüíûå
Ñèñòåìà 5.

ϕ2 =

1
β

ïîñòîÿííûå.

ln



1
C βx2
2 2


+ A2 x + B2 ,

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé âîçüìåì äâà ðàçíûõ óðàâ-

íåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.2)
è (3.4.3.21). Ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì
ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, à âòîðîå  ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ; ïðè÷åì îáà ýòèõ ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì
âòîðîãî ðîäà. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé è ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü ðàíåå, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé
ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì:

ut = a1 (uk ux )x + uf (ū/u, v − v̄), ū = u(x, t − τ ),
vt = a2 (eλv vx )x + g(ū/u, v − v̄),

ãäå

f (z1 , z2 )

è

g(z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå

(4.2.3.16)

v̄ = v(x, t − τ ),

óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

Ïîñêîëüêó ñèñòåìà Óð×Ï (4.2.3.16) íàñëåäóåò âèä ðåøåíèé ïîðîæäàþùèõ
åå óðàâíåíèé, îíà äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ âèäà

u = ϕ1 (x)ψ1 (t),
Çäåñü óíêöèè

v = ϕ2 (x) + ψ2 (t).

ϕ1 = ϕ1 (x), ϕ2 = ϕ2 (x), ψ1 = ψ1 (t), ψ2 = ψ2 (t)

(4.2.3.17)
îïèñûâàþòñÿ

ñèñòåìîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ÎÄÓ è äâóõ ñâÿçàííûõ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì:

(ϕk1 ϕ′1 )′ = C1 ϕ1 ,
(eλϕ2 ϕ′2 )′ = C2 ,

ãäå

C1

è



ψ1′ = a1 C1 ψ1k+1 + ψ1 f ψ̄1 /ψ1 , ψ2 − ψ̄2 , ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),


ψ2′ = a2 C2 eλψ2 + g ψ̄1 /ψ1 , ψ2 − ψ̄2 , ψ̄2 = ψ2 (t − τ ),

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

244

Ñèñòåìà 6.

 êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî óðàâíå-

íèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.30),
êîòîðîå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé ñâÿçè âòîðîãî ðîäà. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê
íåëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = a1 (eλ1 u ux )x + b1 + e−λ1 u f (eλ1 u − eλ1 ū , eλ2 v − eλ2 v̄ ),

(4.2.3.18)

vt = a2 (eλ2 v vx )x + b2 + e−λ2 v g(eλ1 u − eλ1 ū , eλ2 v − eλ2 v̄ ).

Ñèñòåìà (4.2.3.18) íàñëåäóåò âèä ðåøåíèé ïîðîæäàþùèõ åå óðàâíåíèé.
Ïîýòîìó îíà äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u=
v=
ãäå

1
λ1
1
λ2



ln ϕ1 (x) + ψ1 (t) ,


ln ϕ2 (x) + ψ2 (t) ,

C1 , C2 , C3 , C4  ïðîèçâîëüíûå

b1 λ 1 2
x
2a1
b λ
− 2 2 x2
2a2

ϕ1 (x) = −

+ C1 x + C2 ,

ϕ2 (x) =

+ C3 x + C4 ,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

ψ1 (t)

è

ψ2 (t)

îïè-

ñûâàþòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



ψ1′ (t) = λ1 f ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t) − ψ2 (t − τ ) ,


ψ2′ (t) = λ2 g ψ1 (t) − ψ1 (t − τ ), ψ2 (t) − ψ2 (t − τ ) .

Ýòà ñèñòåìà èìååò ïðîñòûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäà
êîýèöèåíòû

A1

è

A2

ψ1 (t) = A1 t, ψ2 (t) = A2 t, ãäå

îïðåäåëÿþòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêîé (òðàíñöåíäåíòíîé)

ñèñòåìû óðàâíåíèé

A1 = λ1 f (A1 τ, A2 τ ),
A2 = λ2 g(A1 τ, A2 τ ).
Çàìå÷àíèå 4.10. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííûå â ðàçä. 3.4 óðàâíåíèÿ è èõ òî÷íûå ðåøå-

íèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñì. òàêæå [82, 457℄).

4.2.4. Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ
Îïèøåì âîçìîæíûå îáîáùåíèÿ, êîòîðûå äîïóñêàåò ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé.

Ñèñòåìû ñ äâóìÿ ïîñòîÿííûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ.

ñòîÿííîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ

τ

Îáùåå ïî-

â ñèñòåìå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, ïîëó÷åííîé

ìåòîäîì îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé, ìîæíî çàìåíèòü äâóìÿ ðàçíûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:

ū = u(x, t − τ )
v̄ = v(x, t − τ )

=⇒ ū = u(x, t − τ1 ),
=⇒ v̄ = v(x, t − τ2 ),

(4.2.4.1)

4.2. Ñèñòåìû íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ìåòîä ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé
ãäå

245

τ1 > 0 è τ2 > 0  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïðè ýòîì âèä òî÷íîãî ðåøåíèÿ

(4.2.1.3) íå ìåíÿåòñÿ, à â ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ îïðåäåëÿþùèõ óíêöèé

ψ1n (t) è ψ2n (t)

ìåíÿþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ çàïàçäûâàíèåì ïî ïðàâèëó:

ψ1n (t − τ )
ψ2n (t − τ )
◮
τ

=⇒
=⇒

ψ1n (t − τ1 ),
ψ2n (t − τ2 ).

(4.2.4.2)

Ïðèìåð 4.12.  ñèñòåìå Óð×Ï (4.2.3.1) ïîñòîÿííîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ

çàìåíÿåì äâóìÿ ðàçíûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ ïî ïðàâèëó (4.2.4.1). Â

ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì áîëåå ñëîæíóþ ñèñòåìó

ut = a1 (uk ux )x + uf (ū/u, v̄/v), ū = u(x, t − τ1 ),
vt = a2 (v m vx )x + vg(ū/u, v̄/v), v̄ = v(x, t − τ2 ).

(4.2.4.3)

Âèä òî÷íîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4.2.4.3), êàê è ñèñòåìû (4.2.3.1), äàåòñÿ îðìóëàìè (4.2.3.2).  èòîãå ïðèõîäèì ê îïðåäåëÿþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé, ñîñòî-

ϕ2 (x) è ñëåäóþùåé
ñèñòåìå äâóõ ÎÄÓ ñ ðàçíûìè çàïàçäûâàíèÿìè äëÿ óíêöèé ψ1 (t) è ψ2 (t):


ψ1′ = C1 ψ1k+1 + ψ1 f ψ̄1 /ψ1 , ψ̄2 /ψ2 , ψ̄1 = ψ1 (t − τ1 ),


(4.2.4.4)
ψ2′ = C2 ψ2m+1 + ψ2 g ψ̄1 /ψ1 , ψ̄2 /ψ2 , ψ̄2 = ψ2 (t − τ2 ).
ÿùåé èç äâóõ ïåðâûõ ÎÄÓ (4.2.3.3) äëÿ óíêöèé

ϕ1 (x)

è

Ñèñòåìà (4.2.4.4) ïîëó÷åíà èç äâóõ ïîñëåäíèõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.3.3)

◭

ïî ïðàâèëó (4.2.4.2).

Ñèñòåìû ñ ïåðåìåííûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ. Ïóñòü òî÷íûå ðåøåíèÿ îáîèõ îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì
âòîðîãî ðîäà (4.2.1.4), ãäå
âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ

τ

q1 (t) 6=

onst è

q2 (t) 6=

onst. Òîãäà îáùåå ïîñòîÿííîå

â ïîëó÷åííîé ñèñòåìå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ìîæ-

íî çàìåíèòü äâóìÿ ðàçíûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà ïî ñõåìå
(4.2.4.1), ãäå

τ1 = τ1 (t)

è

τ2 = τ2 (t)  ïðîèçâîëüíûå

ïîëîæèòåëüíûå óíêöèè.

Ïðè ýòîì âèä òî÷íîãî ðåøåíèÿ (4.2.1.3) ñîõðàíÿåòñÿ, à â ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
äëÿ îïðåäåëÿþùèõ óíêöèé

ψ1n (t) è ψ2n (t)
τ1 = τ1 (t)

äûâàíèåì ïî ïðàâèëó (4.2.4.2), ãäå

◮

ìåíÿþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ çàïàçè

τ2 = τ2 (t).

Ïðèìåð 4.13. Òî÷íûå ðåøåíèÿ îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé, èñïîëüçîâàí-

íûõ äëÿ âûâîäà ñèñòåìû (4.2.3.1), óäîâëåòâîðÿþò óíêöèîíàëüíûì ñâÿçÿì âòîðîãî ðîäà. Ïîýòîìó ïîñòîÿííîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ

τ

â (4.2.3.1) ìîæíî çàìå-

íèòü äâóìÿ ðàçíûìè âðåìåíàìè çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà ïî ñõåìå (4.2.4.1).
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñèñòåìå (4.2.4.3), â êîòîðîé íàäî ïîëîæèòü
è

τ2 = τ2 (t).

τ1 = τ1 (t)

 ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñîñòîèò èç

äâóõ ïåðâûõ ÎÄÓ (4.2.3.3) è ñèñòåìû äâóõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.2.4.4), ãäå

τ1 = τ1 (t) è τ2 = τ2 (t).

◭

Ñèñòåìû ñ ëþáûì ÷èñëîì ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ìåòîä îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé îáîáùàåòñÿ òàêæå íà ñëó÷àé ñèñòåì óðàâíåíèé ñ ëþáûì
÷èñëîì ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

246

◮

Ïðèìåð

4.14.  êà÷åñòâå ïîðîæäàþùèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóåì îäíî

ìíîãîìåðíîå óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì (3.4.3.86) ïðè

b = k = 0,

êîòîðîå äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëü-

òèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óíêöèîíàëüíîé
ñâÿçè âòîðîãî ðîäà. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîé ñèñòåìå ðåàêöèîííîäèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì [457℄:

ut = a1 ∆u + uf (ū/u, v̄/v),

(4.2.4.5)

vt = a2 ∆v + vg(ū/u, v̄/v),

êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì îáîáùåíèåì ñèñòåìû (4.2.1.9). Ïðè çàïèñè ñèñòåìû (4.2.4.5) èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ:

u = u(x, t),

ū = u(x, t − τ ),

x = (x1 , . . . , xn ),

∆≡

n
X

m=1

v = v(x, t),

v̄ = v(x, t − τ ),

∂2
.
∂x2m

Ñèñòåìà (4.2.4.5) äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ

u = ϕ1 (x)ψ1 (t),

v = ϕ2 (x)ψ2 (t),

(4.2.4.6)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ðåøåíèÿ (4.2.1.13) îäíîìåðíîé ñèñòåìû (4.2.1.9).
Ïîäñòàâèâ (4.2.4.6) â ñèñòåìó (4.2.4.5), ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì äâà íåçàâèñèìûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèÿ (óðàâíåíèÿ
óíêöèé

ϕ1 (x)

è

ϕ2 (x):

∆ϕ1 = λ1 ϕ1 ,
ãäå

λ1

è

λ2

åëüìãîëüöà) äëÿ

∆ϕ2 = λ2 ϕ2 ,

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, è ñèñòåìó ñâÿçàííûõ íåëèíåéíûõ

ÎÄÓ äëÿ óíêöèé

ψ1 (t)

è

ψ2 (t):



ψ1′ (t) = a1 λ1 ψ1 (t) + ψ1 (t)f ψ1 (t − τ )/ψ1 (t), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) ,


ψ2′ (t) = a2 λ2 ψ2 (t) + ψ2 (t)g ψ1 (t − τ )/ψ1 (t), ψ2 (t − τ )/ψ2 (t) .

Îòìåòèì, ÷òî ýòà ñèñòåìà äîïóñêàåò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ψ1 (t) = C1 exp(β1 t),

ψ2 (t) = C2 exp(β2 t).

◭

Ñèñòåìû ñ ëþáûì ÷èñëîì óðàâíåíèé è ñèñòåìû óðàâíåíèé ñòàðøèõ
ïîðÿäêîâ. Ìåòîä îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé ñèñòåì óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, ñèñòåì óðàâíåíèé ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ, à
òàêæå ñèñòåì óðàâíåíèé ñ ëþáûì ÷èñëîì óðàâíåíèé. Ñîîòâåòñòâóþùèå îáîáùåíèÿ ýëåìåíòàðíû è ïîýòîìó çäåñü îïóñêàþòñÿ. Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ ìîæíî íàéòè â [457℄.

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè

247

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà
ËîòêèÂîëüòåððû è áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì
Óð×Ï ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè
4.3.1. åàêöèîííî-äèóçèîííûå ñèñòåìû ñ íåñêîëüêèìè
çàïàçäûâàíèÿìè. Ñèñòåìà ËîòêèÂîëüòåððû

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.  ðàçä. 4.3.1  4.3.3 ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåé-

íàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà, êîòîðûå ñîäåðæàò òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè è íåñêîëüêî
çàïàçäûâàíèé. Ýòà ñèñòåìà âêëþ÷àåò â ñåáÿ, êàê âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêóþ äèóçèîííóþ ñèñòåìó Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè
çàïàçäûâàíèÿìè. Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ðåäóêöèè òàêèõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì ê
áîëåå ïðîñòûì ñèñòåìàì: (i) ê ñèñòåìå ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé, (ii) ê ñèñòåìå
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, (iii) ê ñèñòåìå ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé è ëèíåéíîìó
óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà, (iv) ê ñèñòåìå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì è ëèíåéíîìó
óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïîëó÷åíû òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè ïðîèçâîëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè. Âñå
ýòè ðåøåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê ðåøåíèÿì ñ îáîáùåííûì èëè íåïîëíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ è ñîäåðæàò íåñêîëüêî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Îïèñàíî òàêæå
òî÷íîå ðåøåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ.

àññìàòðèâàåìàÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ñèñòåìà Óð×Ï. Ñèñòåìà
Ëîòêè  Âîëüòåððû. Ñëåäóÿ [445℄, ðàññìîòðèì íåëèíåéíóþ ðåàêöèîííî-äèóçèîííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è íåñêîëüêèìè ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè

ut = a1 ∆u + b1 u + c1 uf (k1 ū1 − k2 v̄2 ) + g(k1 ū1 − k2 v̄2 ),
vt = a2 ∆v + b2 v + c2 vf (k1 ū3 − k2 v̄4 ) + h(k1 ū3 − k2 v̄4 ),

(4.3.1.1)

u = u(x, t) è v = v(x, t)  èñêîìûå óíêöèè; t  âðåìÿ, x = (x1 , . . . , xn );
ūi = u(x, t − τi ), v̄j = v(x, t − τj ) (i = 1, 3; j = 2, 4); τi > 0 è τj > 0  âðåìåíà
çàïàçäûâàíèÿ; f = f (z)  ïðîèçâîëüíàÿ ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ
óñëîâèþ f (0) = 0, g = g(z1 ) è h = h(z2 )  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè; a1 > 0,
a2 > 0, b1 , b2 , k1 6= 0, k2 6= 0  ñâîáîäíûå
c1 6= 0 è c2 6= 0  êîíñòàíòû,
Pïàðàìåòðû;
n
∂2
êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíû äàëåå; ∆ =

n
-ìåðíûé
îïåðàòîð Ëàïëàñà.
k=1 ∂x2
ãäå

k

◮ Ïðèìåð 4.15.  ñëó÷àå îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ïðè
f (z1,2 ) = z1,2 , g(z1 ) = h(z2 ) = 0 ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ñèñòåìà ñ çàïàçäû-

âàíèÿìè (4.3.1.1) ïðèíèìàåò âèä

ut = a1 uxx + u[b1 + c1 (k1 ū1 − k2 v̄2 )],
vt = a2 vxx + v[b2 + c2 (k1 ū3 − k2 v̄4 )]

(4.3.1.2)

è ÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíûì ñëó÷àåì äèóçèîííîé ñèñòåìû Óð×Ï Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè [291℄, êîòîðàÿ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå îñîáåé äâóõ

248

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

âèäîâ. Èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé áîëåå ïðîñòîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ
çàïàçäûâàíèÿìè (ïðè

τ1 = τ4 = 0)

Ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèé

ïîñâÿùåíû ðàáîòû [178, 226℄.

τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0

ñèììåòðèè è òî÷íûå

ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4.3.1.2) è ðîäñòâåííûõ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ðàñ-

◭

ñìàòðèâàëèñü â [180, 181, 183℄ (ñì. òàêæå [447℄).
Ïðè a1 = a2 , b1 = b2 = 0
= τ4 = 0 íåêîòîðûå ðåäóêöèè

è îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèé

τ1 = τ2 = τ3 =

è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (4.3.1.1) ñ îäíîé

ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé îïèñàíû â [447℄.
Îñíîâíàÿ èäåÿ, èñïîëüçóåìàÿ äàëåå äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñèñòå-

u è v âûáèðàåòñÿ òàêèì
f (. . . ), g(. . . ), h(. . . ) çàâèñåëè òîëüêî îò x

ìû (4.3.1.1) ñîñòîèò â òîì, ÷òî âèä èñêîìûõ âåëè÷èí
îáðàçîì, ÷òîáû àðãóìåíòû óíêöèé
èëè òîëüêî îò t.

Ïðîñòåéøèå ðåøåíèÿ (ñòàöèîíàðíûå òî÷êè). Ïðîñòåéøèìè ðåøåíèÿìè

ñèñòåìû (4.3.1.1) ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòû (ñòàöèîíàðíûå òî÷êè):

u = u◦ =

onst ,

v = v◦ =

onst ,

(4.3.1.3)

êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç íåëèíåéíîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû

u◦ [b1 + c1 f (k1 u◦ − k2 v ◦ )] + g(k1 u◦ − k2 v ◦ ) = 0,
v ◦ [b2 + c2 f (k1 u◦ − k2 v ◦ )] + h(k1 u◦ − k2 v ◦ ) = 0.

(4.3.1.4)

Ñèñòåìà (4.3.1.4) îáû÷íî èìååò íåñêîëüêî êîðíåé.  ÷àñòíîñòè, ïðè

g=h=0

îíà ðàñïàäàåòñÿ íà ÷åòûðå íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåìû, êîðíè êîòîðûõ èìåþò
ñâîéñòâà:

(a)
(d)

u◦ = v ◦ = 0; (b)
u◦ = (k2 /k1 )v ◦ +

u◦ =
6 0, v ◦ = 0;
◦
onst , v  ëþáîå,

u◦ = 0, v ◦ 6= 0;
åñëè
b1 /c1 = b2 /c2 .

(c)

(4.3.1.5)

◮ Ïðèìåð 4.16. Äëÿ ñèñòåìû òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû (4.3.1.1) ïðè f (z)=z ,
g(z) = h(z) = 0 ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû (4.3.1.4) èìåþò âèä
(a)

u◦ = v ◦ = 0;

(d)

u◦ =

k2 ◦
v
k1

−

(b)
b1
c1 k1

u◦ = −

b1
c1 k1

, v ◦  ëþáîå,

, v ◦ = 0;
åñëè

u◦ = 0, v ◦ =

(c)
b1
c1

=

b2
c2

b2
c2 k2

;

.
(4.3.1.6)

Äàëåå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè (4.3.1.3) áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ
áîëåå ñëîæíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîñòðàíñòâåííî íåîäíîðîäíûõ ðåøåíèé ñè-

◭

ñòåìû (4.3.1.1).

4.3.2. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì Óð×Ï ñ ðàçëè÷íûìè
êîýèöèåíòàìè äèóçèè (ñëó÷àé a 6= a )
1

2

åäóêöèÿ ñèñòåìû Óð×Ï ñ òðåìÿ ïðîèçâîëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè ê óðàâíåíèþ åëüìãîëüöà. Ïóñòü â ñèñòåìå (4.3.1.1) ÷åòûðå âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè

249

ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøåíèåì

τ2 − τ1 = τ4 − τ3 ,

(4.3.2.1)

ò. å. òðè ëþáûå èç íèõ ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî. Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (4.3.2.1) óäîâëåòâîðÿåòñÿ, íàïðèìåð, â ñëåäóþùèõ òðåõ ÷àñòíûõ
ñëó÷àÿõ:

τ2 = τ1 , τ4 = τ3 , τ1 , τ3  ïðîèçâîëüíû;
τ3 = τ1 , τ4 = τ2 , τ1 , τ2  ïðîèçâîëüíû;
τm = mτ, m = 1, 2, 3, 4, τ  ïðîèçâîëüíî.
Èùåì òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñèñòåìû
(4.3.1.1) â âèäå

u = k2 eλ(t+τ1 ) θ(x) + u◦ ,

v = k1 eλ(t+τ2 ) θ(x) + v ◦ ,

(4.3.2.2)

u◦ è v ◦  ñòàöèîíàðíûå òî÷êè (4.3.1.3) ñèñòåìû (4.3.1.1). Íà óíêöèþ θ =
= θ(x) íàëîæèì äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå (ëèíåéíóþ äèåðåíöèàëüíóþ ñâÿçü)

ãäå

â âèäå óðàâíåíèÿ

åëüìãîëüöà:

∆θ = µθ.
Êîíñòàíòû

λ

è

µ,

(4.3.2.3)

âõîäÿùèå â (4.3.2.2) è (4.3.2.3), íàõîäÿòñÿ äàëåå â õîäå

èññëåäîâàíèÿ, à óíêöèÿ

θ

îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (4.3.2.3). Î òî÷íûõ

ðåøåíèÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè
ñì., íàïðèìåð, [436℄.

◮

Ïðèìåð 4.17.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå èìååì

ëèíåéíîãî ÎÄÓ (4.3.2.3) ïðè

θ(x) =
ãäå

C1

è

(

µ 6= 0

è îáùåå ðåøåíèå

çàïèñûâàåòñÿ òàê:

p
p
C1 cos( |µ| x) + C2 sin( |µ| x)
√
√
C1 exp(− µ x) + C2 exp( µ x)

C2  ïðîèçâîëüíûå

′′
∆θ = θxx

ïðè
ïðè

µ < 0,
µ > 0,

(4.3.2.4)

◭

ïîñòîÿííûå.

Ôóíêöèè (4.3.2.2) âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñëîæíûå àðãóìåíòû óíêöèé

f , g, h, âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó (4.3.1.1), ñòàëè ïîñòîÿííû-

ìè âåëè÷èíàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî (4.3.2.1), èìååì

k1 ū1 − k2 v̄2 = k1 u◦ − k2 v ◦ =
k1 ū3 − k2 v̄4 = k1 u◦ − k2 v ◦ =

onst ,
onst .

(4.3.2.5)

Ïîäñòàâèì (4.3.2.2) â (4.3.1.1). Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.3.1.4) è (4.3.2.5),
à òàêæå óðàâíåíèå (4.3.2.3), ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ëèíåéíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó

λ = a1 µ + b1 + c1 f (k1 u◦ − k2 v ◦ ),
λ = a2 µ + b2 + c2 f (k1 u◦ − k2 v ◦ ),

(4.3.2.6)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

250

ïîçâîëÿþùóþ îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû

λ

è

µ.

Ïðè

(4.3.2.6) èìååò âèä

λ=
ãäå

a2 b1 − a1 b2 + (a2 c1 − a1 c2 )f ◦
a2 − a1

f ◦ = f (k1 u◦ − k2 v ◦ ),

à

u◦

è

,

µ=

a1 6= a2

ðåøåíèå ñèñòåìû

b1 − b2 + (c1 − c2 )f ◦
a2 − a1

v ◦  ñòàöèîíàðíûå

,

(4.3.2.7)

òî÷êè, óäîâëåòâîðÿþùèå

àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå (4.3.1.4).

◮

Ïðèìåð 4.18.  ñëó÷àå

g=h=0

äëÿ ïåðâûõ òðåõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê

(4.3.1.5) êîýèöèåíòû (4.3.2.7) íå çàâèñÿò îò âèäà êèíåòè÷åñêîé óíêöèè

f

è

îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè

(a)

λ=

(b)

λ=

(c)

λ=

a 2 b1 − a 1 b2
, µ
a2 − a1
a1 (b1 c2 − b2 c1 )
,
c1 (a2 − a1 )
a2 (b1 c2 − b2 c1 )
,
c2 (a2 − a1 )

b1 − b2
;
a2 − a1
λ
=
µ=
a1
λ
=
µ=
a2

=

b1 c2 − b2 c1
;
c1 (a2 − a1 )
b1 c2 − b2 c1
.
c2 (a2 − a1 )

 ïîñëåäíåì ñëó÷àå (d) ïðîèñõîäèò âûðîæäåíèå ïàðàìåòðîâ

(4.3.2.8)

λ = µ = 0,

è

ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ íåèíòåðåñíû.
Ôîðìóëû (4.3.2.2), (4.3.2.4), (4.3.2.8) è ïåðâûå òðè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè
(4.3.1.5) îïðåäåëÿþò øåñòü (òðè äëÿ

µ>0

µ < 0) íåâûðîæäåííûõ
g = h = 0, a1 6= a2 ñ ÷å-

è òðè äëÿ

òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíîé ñèñòåìû (4.3.1.1) ïðè

òûðüìÿ ïîñòîÿííûìè çàïàçäûâàíèÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (4.3.2.1).
Òî÷íûå ðåøåíèÿ îäíîìåðíîé ñèñòåìû (4.3.1.1), ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíîé òî÷êå (b) â (4.3.1.5), ïîëó÷åíû â [445℄ è ïðèâåäåíû íèæå.

1◦ .

ãäå

C1
2◦ .

c2 −b2 c1
µ = cb11(a
< 0:
2 −a1 )
p
p





u = k2 ea1 µ(t+τ1 ) C1 cos |µ| x + C2 sin |µ| x + u◦ ,
p
p





v = k1 ea1 µ(t+τ2 ) C1 cos |µ| x + C2 sin |µ| x ,
åøåíèå ïðè

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
b c −b c
åøåíèå ïðè µ = 1 2 2 1 > 0:
c1 (a2 −a1 )

√

√

u = k2 ea1 µ(t+τ1 ) C1 exp − µ x + C2 exp µ x + u◦ ,

√

√

v = k1 ea1 µ(t+τ2 ) C1 exp − µ x + C2 exp µ x .

(4.3.2.9)

è

(4.3.2.10)

Îòìåòèì, ÷òî äëÿ äèóçèîííîé ñèñòåìû òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû (4.3.1.2),

f (z) = z , g = h = 0, â îðìóëàõ
= −b1 /(c1 k1 ).

îïðåäåëÿåìîé óíêöèÿìè

◦
ñëåäóåò ïîëîæèòü u

(4.3.2.9) è (4.3.2.10)

◭

Çàìå÷àíèå 4.11. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå îáùóþ, ÷åì

(4.3.1.1), ðåàêöèîííî-äèóçèîííóþ ñèñòåìó Óð×Ï ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè

ut = a1 ∆u + b1 u + uf1 (k1 ū1 − k2 v̄2 ) + g(k1 ū1 − k2 v̄2 ),
vt = a2 ∆v + b2 v + vf2 (k1 ū3 − k2 v̄4 ) + h(k1 ū3 − k2 v̄4 ),
f1 = f1 (z1 ) è f2 = f2 (z2 )  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå
f1 (0) = f2 (0) = 0; à îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ ââåäåíû êàê â ñèñòåìå (4.3.1.1).

ãäå

(4.3.2.11)

óñëîâèþ

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè

251

Ïóñòü â ñèñòåìå (4.3.2.11) ÷åòûðå âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøåíèåì (4.3.2.1). Òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû Óð×Ï (4.3.2.11), êàê è ðàíåå, èùåì â
âèäå (4.3.2.2), ãäå óíêöèÿ

θ = θ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ åëüìãîëüöà (4.3.2.3).
λ è µ, âõîäÿùèå â ðåøåíèå (4.3.2.2) è ëèíåéíîå Óð×Ï

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàìåòðû
(4.3.2.3), ïðè

a1 6= a2

λ=
ãäå

èìåþò âèä

a2 b1 − a1 b2 + a2 f1◦ − a1 f2◦
,
a2 − a1

f1◦ = f1 (k1 u◦ − k2 v ◦ )

è

µ=

b1 − b2 + f1◦ − f2◦
,
a2 − a1

f2◦ = f2 (k1 u◦ − k2 v ◦ ),

à

u◦

è

(4.3.2.12)

v ◦  ñòàöèîíàðíûå

òî÷êè,

óäîâëåòâîðÿþùèå àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå

u◦ [b1 + f1 (k1 u◦ − k2 v ◦ )] + g(k1 u◦ − k2 v ◦ ) = 0,
v ◦ [b2 + f2 (k1 u◦ − k2 v ◦ )] + h(k1 u◦ − k2 v ◦ ) = 0.

Äâå ðåäóêöèè ñèñòåìû Óð×Ï ñ òðåìÿ ïðîèçâîëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè
ê ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ñèñòåìå (4.3.1.1) ÷åòûðå âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøåíèåì (4.3.2.1).

1◦ .
äà ïî

åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âè-

t.

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñèñòåìû

(4.3.1.1) èùåì â âèäå [445℄:

u = k2 eλ(t+τ1 ) θ(x) + ϕ(x),
ãäå óíêöèè

v = k1 eλ(t+τ2 ) θ(x) + ψ(x),

(4.3.2.13)

θ = θ(x), ϕ = ϕ(x), ψ = ψ(x) è ïàðàìåòð λ ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ

â õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà.
Ôóíêöèè (4.3.2.13) âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñëîæíûå àðãóìåíòû
óíêöèé

f , g, h ñèñòåìû (4.3.1.1) çàâèñåëè òîëüêî îò x. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòû-

âàÿ ñîîòíîøåíèå (4.3.2.1), èìååì

k1 ū1 − k2 v̄2 = k1 ϕ(x) − k2 ψ(x),
k1 ū3 − k2 v̄4 = k1 ϕ(x) − k2 ψ(x).

(4.3.2.14)

Ïîäñòàâèâ (4.3.2.13) â (4.3.1.1), ñ ó÷åòîì (4.3.2.14) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ


k2 eλ(t+τ1 ) a1 ∆θ + (b1 − λ + c1 fˆ)θ] + a1 ∆ϕ + (b1 + c1 fˆ)ϕ + ĝ = 0,

k1 eλ(t+τ2 ) a2 ∆θ + (b2 − λ + c2 fˆ)θ] + a2 ∆ψ + (b2 + c2 fˆ)ψ + ĥ = 0,

ãäå èñïîëüçîâàíû êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ

ĥ = h(k1 ϕ − k2 ψ).

(4.3.2.15)

fˆ = f (k1 ϕ − k2 ψ), ĝ = g(k1 ϕ − k2 ψ),

Ñîîòíîøåíèÿì (4.3.2.15) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü

a1 ∆ϕ + (b1 + c1 fˆ)ϕ + ĝ = 0,
a2 ∆ψ + (b2 + c2 fˆ)ψ + ĥ = 0,
a1 ∆θ + (b1 − λ + c1 fˆ)θ = 0,
a2 ∆θ + (b2 − λ + c2 fˆ)θ = 0.

(4.3.2.16)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

252

Äâà ïåðâûõ óðàâíåíèÿ (4.3.2.16) îáðàçóþò çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ

ϕ

îïðåäåëåíèÿ óíêöèé

è

ψ,

à ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ (4.3.2.16) ÿâëÿþòñÿ

ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñòåìîé äëÿ îäíîé óíêöèè

θ . Ïîòðåáîâàâ,

÷òîáû ïîñëåä-

íèå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.3.2.16) ñîâïàëè,íàõîäèì ïàðàìåòð

λ

è äðóãèå

êîíñòàíòû:

λ=

a 2 b1 − a 1 b2
a2 − a1

,

Çäåñü ïðè âûáîðå çíà÷åíèé

c1 = a1 ,
c1

è

c2

c2 = a2

(a1 6= a2 ).

ó÷òåíî, ÷òî óíêöèÿ

f

(4.3.2.17)

îïðåäåëåíà ñ òî÷íî-

ñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.
Ïîäñòàâèâ (4.3.2.17) â (4.3.2.16), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ñòàöèîíàðíûõ Óð×Ï

a1 ∆ϕ + (b1 + a1 fˆ)ϕ + ĝ = 0,
a2 ∆ψ + (b2 + a2 fˆ)ψ + ĥ = 0,


b −b
∆θ + 2 1 + fˆ θ = 0,

(4.3.2.18)

a2 − a1

fˆ = f (k1 ϕ − k2 ψ), ĝ = g(k1 ϕ − k2 ψ), ĥ = h(k1 ϕ − k2 ψ).
Ïðè ĝ = 0 (èëè ĥ = 0) ñèñòåìà (4.3.2.18) çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ, òàê êàê
óíêöèþ ϕ (èëè ψ ) ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ; â ýòèõ ñëó÷àÿõ îñòàþòñÿ
ãäå

òîëüêî äâà óðàâíåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 4.12. Îïðåäåëÿþùàÿ ñèñòåìà ñòàöèîíàðíûõ Óð×Ï (4.3.2.18) íå çàâè-

ñèò îò çàïàçäûâàíèé. Ïîýòîìó ðåøåíèÿ âèäà (4.3.2.13) íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì Óð×Ï
(4.3.1.1) è (4.3.1.2) ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèé (τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0) ïîðîæäàþò
òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì Óð×Ï (4.3.1.1) è (4.3.1.2) ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (4.3.2.1). Ó÷èòûâàÿ äàííîå îáñòîÿòåëüñòâî,
ìîæíî ïîñòðîèòü ðÿä òî÷íûõ ðåøåíèé îäíîìåðíîé ñèñòåìû Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ
çàïàçäûâàíèÿìè (4.3.1.2), èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå â [181, 183℄ òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòîé æå
ñèñòåìû áåç çàïàçäûâàíèé.

2◦ .

åøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ëèíåéíûå ïî

t. Ñèñòå-

ìà (4.3.1.1) ñ ÷åòûðüìÿ çàïàçäûâàíèÿìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè îäíîìó ñîîòíîøåíèþ (4.3.2.1), äîïóñêàþò òàêæå òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ âèäà

u = k2 (t + τ1 )θ(x) + ϕ(x),

v = k1 (t + τ2 )θ(x) + ψ(x).

(4.3.2.19)

Àíàëèç, êîòîðûé ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü ðàíåå, ïîçâîëÿåò íàéòè ïàðàìåòðû óðàâíåíèé (4.3.1.1):

b1 = σa1 ,

b2 = σa2 ,

c1 = a1 ,

c2 = a2 ,

(4.3.2.20)

σ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ýòîì ñëó÷àå óíêöèè θ = θ(x), ϕ = ϕ(x),
ψ = ψ(x) îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùåé ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:
a1 [∆ϕ + (σ + fˆ)ϕ] + ĝ − k2 θ = 0,

ãäå

a2 [∆ψ + (σ + fˆ)ψ] + ĥ − k1 θ = 0,
∆θ + (σ + fˆ)θ = 0.

ãäå

fˆ = f (k1 ϕ − k2 ψ), ĝ = g(k1 ϕ − k2 ψ), ĥ = h(k1 ϕ − k2 ψ).

(4.3.2.21)

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè

253

åäóêöèÿ ñèñòåìû Óð×Ï ñ îäíèì çàïàçäûâàíèåì ê íåñòàöèîíàðíîé
ñèñòåìå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ïóñòü â ñèñòåìå (4.3.1.1) âñå ÷åòûðå âðåìåíè
çàïàçäûâàíèÿ îäèíàêîâû

τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = τ.

(4.3.2.22)

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñèñòåìû (4.3.1.1)
ïðè óñëîâèè (4.3.2.22) â èùåì âèäå [445℄:

u = k2 ξ(t)θ(x) + ϕ(t),
ãäå óíêöèè

v = k1 ξ(t)θ(x) + ψ(t),

θ = θ(x), ξ = ξ(t), ϕ = ϕ(t), ψ = ψ(t)

(4.3.2.23)

ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â

õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà.
Ôóíêöèè (4.3.2.23) âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñëîæíûå àðãóìåíòû
óíêöèé

f , g, h, âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó (4.3.1.1), ñòàëè çàâèñåòü
θ = θ(x) íàëîæèì äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå (ëèíåéíóþ

òîëüêî îò t. Íà óíêöèþ

äèåðåíöèàëüíóþ ñâÿçü):

∆θ = µθ + ε,
ãäå êîíñòàíòû

µ è ε íàõîäÿòñÿ

(4.3.2.24)

äàëåå â õîäå èññëåäîâàíèÿ.

µ 6= 0
ñäâèã θ

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå ïðè
îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëîæèòü

ε = 0,

ò. ê.

â (4.3.2.24) áåç
íà êîíñòàíòó â

ñèëó ïðåäñòàâëåíèÿ (4.3.2.23) ïðèâîäèò ëèøü ê ïåðåîïðåäåëåíèþ óíêöèé
è

ψ(t).

 îäíîìåðíîì ñëó÷àå ïðè

ε=0

ϕ(t)

îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.3.2.24)

îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (4.3.2.4).
Ïîäñòàâèâ (4.3.2.23) â (4.3.1.1), ñ ó÷åòîì (4.3.2.24) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ

k2 [(a1 µ + b1 + c1 f¯)ξ − ξt′ ]θ + a1 k2 εξ + b1 ϕ + c1 ϕf¯ + ḡ − ϕ′t = 0,
k1 [(a2 µ + b2 + c2 f¯)ξ − ξt′ ]θ + a2 k1 εξ + b2 ψ + c2 ψ f¯ + h̄ − ψt′ = 0,

(4.3.2.25)

f¯ = f (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄), ḡ = g(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄),
h̄ = h(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄), ϕ̄ = ϕ(t − τ ), ψ̄ = ψ(t − τ ).

ãäå èñïîëüçîâàíû êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ

Ñîîòíîøåíèÿì (4.3.2.25) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè ïîëîæèòü

ϕ′t = a1 k2 εξ + b1 ϕ + c1 ϕf¯ + ḡ,
ψt′ = a2 k1 εξ + b2 ψ + c2 ψ f¯ + h̄,
ξt′ = (a1 µ + b1 + c1 f¯)ξ,
ξt′ = (a2 µ + b2 + c2 f¯)ξ.

(4.3.2.26)

Ñèñòåìà ÎÄÓ (4.3.2.26) ÿâëÿåòñÿ ïåðåîïðåäåëåííîé, ïîñêîëüêó ñîñòîèò èç
÷åòûðåõ óðàâíåíèé äëÿ òðåõ óíêöèé

ξ , ϕ, ψ .

Ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ïîñëåäíèå

äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.3.2.26) ñîâïàëè, íàõîäèì ïàðàìåòð
ñòàíòû:

µ=

b1 − b2
a2 − a1

,

c1 = c2 = 1 (a1 6= a2 ).

µ

è äðóãèå êîí-

(4.3.2.27)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

254

Çäåñü ïðè âûáîðå çíà÷åíèé

c1

è

c2

ó÷òåíî, ÷òî óíêöèÿ

f

îïðåäåëåíà ñ òî÷íî-

ñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.

µ 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â óðàâíåíèÿõ
ε = 0. Ïðè ε = 0 ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ
(4.3.2.26) íå çàâèñÿò îò óíêöèè ξ = ξ(t) è îáðàçóþò çàìêíóòóþ íåëèíåéíóþ
ñèñòåìó ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé ϕ = ϕ(t) è ψ =
= ψ(t):
ϕ′t = b1 ϕ + ϕf (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄) + g(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄),
(4.3.2.28)
ψt′ = b2 ψ + ψf (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄) + h(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄),
Ïðè

b1 6= b2

èç (4.3.2.27) ïîëó÷èì

(4.3.2.24) è (4.3.2.26) ìîæíî ïîëîæèòü

ãäå

ϕ̄ = ϕ(t − τ ), ψ̄ = ψ(t − τ ).

Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå (4.3.2.26),

ξ = ξ(t)
ϕ = ϕ(t) è ψ = ψ(t):


Z
a 2 b1 − a 1 b2
t + f (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄) dt ,
ξ = A exp

ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (4.3.2.27) íàõîäèì, ÷òî óíêöèÿ

ñëåäóþùèì

îáðàçîì âûðàæàåòñÿ ÷åðåç óíêöèè

a2 − a1

ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ

(4.3.2.29)

ïîñòîÿííàÿ.

Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àÿõ

g = 0

èëè

h = 0

ñèñòåìà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

(4.3.2.28) äîïóñêàåò ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîêîìïîíåíòíûå ðåøåíèÿ âèäà

ψ = ψ(t)

è

ϕ = ϕ(t), ψ = 0. Ïðè
f , h èëè f , g

ϕ = 0,

îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ ýòè ðåøåíèÿ äëÿ

ëþáûõ ïàð óíêöèé

ìîæíî ïðåäñòàâèòü â íåÿâíîé îðìå (ò. ê.

îíè îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè).
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè

g = h = 0 ñèñòåìà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
f (z) äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë

(4.3.2.28) äëÿ ïðîèçâîëüíîé óíêöèè

ψ = C3 e(b2 −b1 )t ϕ,
ãäå

(4.3.2.30)

C3  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (4.3.2.28)

ñâîäèòñÿ ê

îäíîìó óðàâíåíèþ

◮



ϕ′t = b1 ϕ + ϕf (k1 − k2 C3 e(b2 −b1 )(t−τ ) )ϕ̄ ,

ϕ̄ = ϕ(t − τ ).

(4.3.2.31)

Ïðèìåð 4.19. Äëÿ ñèñòåìû Óð×Ï òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû áåç çàïàçäû-

âàíèÿ (4.3.1.1) ïðè

τ = 0 è f (z) = z , g = h = 0 ñîîòâåòñòâóþùåå ÎÄÓ (4.3.2.31)

ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè, èíòåãðèðóÿ êîòîðîå ñ ó÷åòîì (4.3.2.30) ïîëó÷èì òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû ÎÄÓ (4.3.2.28):

ϕ=
ψ=



C3 k2 (b2 −b1 )t
e
b2

−b1 t

+ C4 e



C k
C3 e(b2 −b1 )t 3 2 e(b2 −b1 )t
b2

−

k1
b1

−1

,

+ C4 e−b1 t −

k1
b1

−1

(4.3.2.32)

,

C4  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ðåøåíèþ óíêöèÿ
ξ(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå (4.3.2.29) ïðè τ = 0 è f (z) = z . Ýòó óíêöèþ ìîæ-

ãäå

íî âûðàçèòü ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè, íàïðèìåð, â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:

b1 = 0;

b2 = 0;

b1 = b2 ;

C3 = 0;

C4 = 0.

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè
 ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ

ϕ=

b1 t

b1 e
,
b1 C4 − k1 eb1 t

τ =0

è

ψ = 0,

C3 = 0
ξ=

255

â (4.3.2.29) è (4.3.2.32), íàõîäèì

A
b1 C4 − k1 eb1 t

exp



a 2 b1 − a 1 b2
a2 − a1


t .

(4.3.2.33)

Ôîðìóëû (4.3.2.4), (4.3.2.23), (4.3.2.27), (4.3.2.33) îïèñûâàþò òî÷íîå ðåøåíèå
îäíîìåðíîé ñèñòåìû Óð×Ï òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû (4.3.1.1) áåç çàïàçäûâàíèÿ.
Àíàëîãè÷íî ïðè

ϕ=

b1 = b2 = b è τ = 0

bt

be
,
C4 b + (C3 k2 − k1 )ebt

èìååì

bC3 ebt
C4 b + (C3 k2 − k1 )ebt

ψ=

,

ξ=

A
ϕ.
b

 îáùåì ñëó÷àå â ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.3.2.31) óíêöèÿ
çàäàíà íà èíòåðâàëå

(4.3.2.34)

◭

ϕ äîëæíà áûòü

[−τ, 0]:
ϕ = ϕ0 (t)

ïðè

−τ 6 t 6 0.

(4.3.2.35)

åøåíèå çàäà÷è òèïà Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (4.3.2.31) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè
(4.3.2.35) ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäîì øàãîâ (ñì. ðàçä. 1.1.5 è [8, 94℄). Äëÿ ýòîãî
ðàçîáüåì âðåìÿ

t íà îòðåçêè

äëèíû

ϕ(t) = ϕm (t)

τ

è îáîçíà÷èì

ïðè

tm−1 6 t 6 tm ,

(4.3.2.36)

tm = mτ , m = 0, 1, 2, . . . Ïðîèíòåãðèðîâàâ äàëåå óðàâíåíèå (4.3.2.31) îò
tm−1 äî t íà îòðåçêå [tm−1 , tm ], ïîëó÷èì


Z t


◦
(b2 −b1 )(t−τ )
ϕm (t) = ϕm exp b1 (t − tm−1 ) +
f (k1 − k2 C3 e
)ϕm−1 (t) dt ,

ãäå

tm−1

ϕ◦m

= ϕm (tm−1 ) = ϕm−1 (tm ).

(4.3.2.37)

ϕm (t), êîòîðàÿ èùåòñÿ íà
îòðåçêå [tm−1 , tm ], à â ïðàâîé ÷àñòè  óíêöèÿ ϕm−1 (t), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà íà
ïðåäûäóùåì îòðåçêå [tm−2 , tm−1 ]. Âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî,
íà÷èíàÿ ñ m = 1, êîãäà â ïðàâóþ ÷àñòü ïîäñòàâëÿåòñÿ èçâåñòíàÿ óíêöèÿ,
çàäàííàÿ íà íà÷àëüíîì ó÷àñòêå (4.3.2.35). Òàêèì îáðàçîì íàõîäèòñÿ ϕ1 (t). Çàòåì ïîëàãàþò m = 2 è óíêöèÿ ϕ2 (t) âûðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ (4.3.2.37) ÷åðåç
óæå èçâåñòíóþ óíêöèþ ϕ1 (t). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèé
 ëåâîé ÷àñòè îðìóëû (4.3.2.37) ñòîèò óíêöèÿ

ïðîäîëæàåòñÿ äàëåå.

ε 6= 0 äëÿ îïðåäåëåíèÿ óíêöèé ξ = ξ(t), ϕ = ϕ(t), ψ = ψ(t) íàäî ðåøèòü
b1 = b2 = b,
c1 = c2 = 1, µ = 0 (â ýòîì ñëó÷àå ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò).
Ïðè

íåëèíåéíóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèé (4.3.2.26) ïðè

4.3.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì Óð×Ï ñ îäèíàêîâûìè
êîýèöèåíòàìè äèóçèè (ñëó÷àé a = a )
1

2

åäóêöèÿ ñèñòåìû Óð×Ï ñ òðåìÿ ïðîèçâîëüíûìè çàïàçäûâàíèåì ê ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìå Óð×Ï è ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Áóäåì

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

256

ñ÷èòàòü, ÷òî â ñèñòåìå (4.3.1.1) ÷åòûðå âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ ñâÿçàíû îäíèì
ñîîòíîøåíèåì (4.3.2.1).
Ïðè

a1 = a2 = a, b1 = b2 = b, c1 = c2 = 1

ðåøåíèå ñèñòåìû (4.3.1.1) èùåì

â âèäå

u = k2 eλ(t+τ1 ) θ(x, t) + ϕ(x),

ãäå

v = k1 eλ(t+τ2 ) θ(x, t) + ψ(x),

(4.3.3.1)

λ  ñâîáîäíûé ïàðàìåòð, à óíêöèè θ = θ(x, t), ϕ = ϕ(x), ψ = ψ(x) ïîäëåæàò

îïðåäåëåíèþ â õîäå äàëüíåéøåãî àíàëèçà.
åøåíèÿ âèäà (4.3.3.1), â êîòîðûõ óíêöèÿ
à ïàðàìåòð

θ

çàâèñèò îò âñåõ àðãóìåíòîâ,

λ ïðîèçâîëüíûé, ÿâëÿþòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì îáîáùåíèåì ðåøåíèé
θ íå çàâèñèò îò âðåìåíè t, à ïàðàìåòð λ âûðàæà-

âèäà (4.3.2.13), ãäå óíêöèÿ

åòñÿ ÷åðåç ïîñòîÿííûå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.
Íà óíêöèþ

θ = θ(x, t) íàêëàäûâàåì äîïîëíèòåëüíîå

óñëîâèå ïåðèîäè÷íî-

ñòè:

θ(x, t + τ2 − τ1 ) = θ(x, t).

(4.3.3.2)

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.3.2.1) è (4.3.3.2) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè ñîîòíîøåíèÿ (4.3.2.14). Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå è ïîäñòàâëÿÿ
(4.3.3.1) â (4.3.1.1), äëÿ óíêöèé

ϕ è ψ ïîëó÷èì çàìêíóòóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ

èç äâóõ ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé

a∆ϕ + [b + f (k1 ϕ − k2 ψ)]ϕ + g(k1 ϕ − k2 ψ) = 0,
a∆ψ + [b + f (k1 ϕ − k2 ψ)]ψ + h(k1 ϕ − k2 ψ) = 0,
à óíêöèÿ

θ = θ(x, t)

(4.3.3.3)

îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà

θt = a∆θ + (b − λ + fˆ)θ,

fˆ = f (k1 ϕ − k2 ψ),

(4.3.3.4)

ñ ïåðèîäè÷åñêèì óñëîâèåì (4.3.3.2). Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî óíêöèÿ

fˆ çàâèñèò

òîëüêî îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò.
Îòìåòèì äâà âàæíûõ ñëó÷àÿ, êîãäà óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè (4.3.3.2) óäîâëåòâîðÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.

1◦ .
øåíèå

2◦ .

Óñëîâèþ (4.3.3.2) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü, åñëè èñêàòü ñòàöèîíàðíîå ðå-

θ = θ(x) óðàâíåíèÿ

(4.3.3.4).

Óñëîâèå (4.3.3.2) óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè

τ2 = τ1

è

τ3 = τ4

(â ýòîì ñëó÷àå

ñîîòíîøåíèå (4.3.2.1) óäîâëåòâîðÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè).

◮

Ïðèìåð 4.20.  ñëó÷àå

2◦

â êà÷åñòâå

ϕ

è

ψ

ìîæíî âçÿòü ëþáîå ïðî-

ñòåéøåå ðåøåíèå âèäà (4.3.1.3), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå
(4.3.1.4) ïðè

b1 = b2 = b, c1 = c2 = 1.

 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (4.3.3.4)

ïîäñòàíîâêîé

θ = exp[(b − λ + f ◦ )t]ζ,

f ◦ = f (k1 ϕ◦ − k2 ψ ◦ ),

(4.3.3.5)

ñâîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè

ζt = a ∆ζ,
î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ êîòîðîãî ñì., íàïðèìåð, [436℄.

(4.3.3.6)

◭

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè
Ïðè

257

τ1 6= τ2 òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.3.3.4), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ

ïåðèîäè÷íîñòè (4.3.3.2), èùóòñÿ â âèäå

θm (x, t) = ξm (x) cos(βm t) + ηm (x) sin(βm t),
ãäå çíà÷åíèþ

m=0

βm =

2πm
τ2 − τ1

,

m = 0, 1, 2, . . . ,
(4.3.3.7)

ñîîòâåòñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå. Ïîäñòàâèâ (4.3.3.7)

â (4.3.3.4), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìå Óð×Ï äëÿ
óíêöèé

ξm = ξm (x), ηm = ηm (x):

a∆ξm + [b − λ + f (k1 ϕ − k2 ψ)]ξm − βm ηm = 0,
a∆ηm + [b − λ + f (k1 ϕ − k2 ψ)]ηm + βm ξm = 0.
Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (4.3.3.4) ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî

θ,

(4.3.3.8)

ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåé-

íàÿ êîìáèíàöèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé âèäà (4.3.3.7), à èìåííî

θ=

∞
X

αm θm (x, t) =

m=1
ãäå

∞
X

αm [ξm (x) cos(βm t) + ηm (x) sin(βm t)],

m=1

αm  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì ýòîãî

óðàâíåíèÿ.
Åñëè â êà÷åñòâå

ϕ

è

ψ

âçÿòü ëþáîå ïðîñòåéøåå ðåøåíèå (4.3.1.3), êîòîðîå

óäîâëåòâîðÿåò àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå (4.3.1.4) ïðè

1,

b1 = b2 = b

è

c1 = c2 =

òî ñèñòåìà (4.3.3.8) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè, åå

òî÷íûå ðåøåíèÿ èùóòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýêñïîíåíò.

◮

Ïðèìåð 4.21.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî ïðîñòåéøåãî ðåøåíèÿ

(4.3.1.3) îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.3.3.4), óäîâëåòâîðÿþùåå ïåðèîäè÷åñêîìó
óñëîâèþ (4.3.3.2), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

θ(x, t) =

∞
X

m=0
∞
X



exp(−µm x) Am cos(βm t − γm x) + Bm sin(βm t − γm x) +

+

m=1



exp(µm x) Cm cos(βm t + γm x) + Dm sin(βm t + γm x) ,

(4.3.3.9)

ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ

p

2 −d
d2 + βm
2a

1/2

p

2 +d
d2 + βm
µm =
, γm =
2a
2πm
,
d = b − λ + f (k1 ϕ◦ − k2 ψ ◦ ), βm =
τ2 − τ1

è

Am , Bm , Cm , Dm  ïðîèçâîëüíûå
θt

è ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå

,

ïîñòîÿííûå, äëÿ êîòîðûõ ðÿäû (4.3.3.9)
è

θxx

çàâåäîìî ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè ïîëîæèòü

m > M , ãäå M  ïðîèçâîëüíîå

1/2

ñõîäÿòñÿ (ñõîäèìîñòü, íàïðèìåð,

Am = Bm = Cm = Dm = 0

íàòóðàëüíîå ÷èñëî).

ïðè

258

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

Âûäåëèì ñëåäóþùèå äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:

x → ∞, äàþòñÿ
îðìóëàìè (4.3.3.9) ïðè A0 = B0 = 0, Cm = Dm = 0, m = 1, 2, . . . ;
(ii) ïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ, îãðàíè÷åííûå ïðè x → ∞, äàþòñÿ
◭
îðìóëàìè (4.3.3.9) ïðè Cm = Dm = 0, m = 1, 2, . . .
(i) ïåðèîäè÷åñêèå ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ, çàòóõàþùèå ïðè

åäóêöèÿ ñèñòåìû Óð×Ï ñ îäíèì çàïàçäûâàíèåì ê íåñòàöèîíàðíîé
ñèñòåìå ÎÄÓ è ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè. Òî÷íûå ðåøåíèÿ
ñ íåïîëíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñèñòåìû (4.3.1.1) ïðè a1 = a2 = a, b1 =
b2 = b, c1 = c2 = 1 ñ îäíèì îáùèì âðåìåíåì çàïàçäûâàíèÿ (4.3.2.22) èùåì â âèäå

u = k2 θ(x, t) + ϕ(t),
ãäå óíêöèè

v = k1 θ(x, t) + ψ(t),

(4.3.3.10)

θ = θ(x, t), ϕ = ϕ(t), ψ = ψ(t) ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ â õîäå äàëü-

íåéøåãî àíàëèçà. Ôóíêöèè (4.3.3.10) âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñëîæíûå
àðãóìåíòû óíêöèé

f , g, h

çàâèñåëè òîëüêî îò t.

Ïîäñòàâèâ (4.3.3.10) â ñèñòåìó Óð×Ï (4.3.1.1), ïðèõîäèì ê íåëèíåéíîé
ñèñòåìå ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ óíêöèé

ϕ′t = bϕ + ϕf (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄) + g(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄),
ψt′ = bψ + ψf (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄) + h(k1 ϕ̄ − k2 ψ̄),

ϕ

è

ψ:

ϕ̄ = ϕ(t − τ ),
ψ̄ = ψ(t − τ ),

(4.3.3.11)

è ê ëèíåéíîìó Óð×Ï ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè
äëÿ óíêöèè

θ:

θt = a ∆θ + b + f (k1 ϕ̄ − k2 ψ̄)]θ.

(4.3.3.12)

Ñèñòåìà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.3.3.11) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé (4.3.2.28)
ïðè

b1 = b2 = b, ïðîöåäóðà

åå èíòåãðèðîâàíèÿ è íåêîòîðûå åå òî÷íûå ðåøåíèÿ

îïèñàíû â ðàçä. 4.3.2. Óðàâíåíèå (4.3.3.12) ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè



θ = exp bt +

Z



f (k1 ϕ̄1 − k2 ψ̄1 ) dt ξ(x, t)

(4.3.3.13)

ñâîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè

ξt = a∆ξ,

(4.3.3.14)

òî÷íûå ðåøåíèÿ êîòîðîãî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [436℄.

4.3.4. Ñèñòåìû Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèÿìè, îäíîðîäíûå
îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ óíêöèé
 äàííîì ðàçäåëå îïèñàíû íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ äâóõ íåëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ ñèñòåì Óð×Ï ñ äâóìÿ çàïàçäûâàíèÿìè, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè
ïðåîáðàçîâàíèÿõ âèäà

C3  ïðîèçâîëüíûå

u = C1 U , v = C1 V , x = X + C2 , t = T + C3 , ãäå C1 , C2 ,

ïîñòîÿííûå.

4.3. åäóêöèè è òî÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåì òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè
Ñèñòåìà 1.

259

àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ

äâóìÿ çàïàçäûâàíèÿìè

ut = auxx + uf (u/v, ū1 /u, v̄2 /v),
vt = bvxx + vg(u/v, ū1 /u, v̄2 /v),
ãäå f (z, z1 , z2 )
= v(x, t − τ2 ).

è

g(z, z1 , z2 )  ïðîèçâîëüíûå

óíêöèè,

(4.3.4.1)

ū1 = u(x, t − τ1 )

è

v̄2 =

f (z, 1, 1) = k1 −k2 z −1 è g(z, 1, 1) = k2 −k1 z ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèé τ1 = τ2 = 0 ñèñòåìà (4.3.4.1) îïèñûâàåò äâóõêîìïîíåíòíóþ
 ñïåöèàëüíîì ñëó÷àå

äèóçèþ, îñëîæíåííóþ îáðàòèìîé õèìè÷åñêîé ðåàêöèåé ïåðâîãî ïîðÿäêà
[204℄. Ìîäåëü Ýéãåíà  Øóñòåðà, îïèñûâàþùàÿ êîíêóðåíòíóþ áîðüáó ïîïóëÿöèé çà ïèòàòåëüíûé ñóáñòðàò ïðè ïîñòîÿííûõ êîýèöèåíòàõ ðàçìíîæåíèÿ,
ïåðåìåííîé ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèé è îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ, ïðèâîäèò ê
äàííîé ñèñòåìå ïðè

f (z, 1, 1) =

kz
è
z+1

g(z, 1, 1) = −

k
, ãäå
z+1

k  ðàçíîñòü

êîýèöèåíòîâ ðàçìíîæåíèÿ [219℄ (ñì. òàêæå [73℄, ñ. 31, 32).
Íèæå îïèñàíû íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû Óð×Ï
(4.3.4.1).

1◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = [C1 sin(kx) + C2 cos(kx)]ϕ(t),
v = [C1 sin(kx) + C2 cos(kx)]ψ(t),
ãäå

C1 , C2 , k  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

ϕ = ϕ(t)

(4.3.4.2)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèÿìè

ϕ′t = −ak 2 ϕ + ϕf (ϕ/ψ, ϕ̄1 /ϕ, ψ̄2 /ψ),

(4.3.4.3)

ψt′ = −bk 2 ψ + ψg(ϕ/ψ, ϕ̄1 /ϕ, ψ̄2 /ψ).

ϕ̄1 = ϕ(t − τ1 ), ψ̄2 =
◦
2 . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

ψ(t − τ2 ).

u = [C1 exp(kx) + C2 exp(−kx)]ϕ(t),
v = [C1 exp(kx) + C2 exp(−kx)]ψ(t),
ãäå

C1 , C2 , k  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

ϕ = ϕ(t)

(4.3.4.4)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèÿìè

ϕ′t = ak 2 ϕ + ϕf (ϕ/ψ, ϕ̄1 /ϕ, ψ̄2 /ψ),
ψt′ = bk 2 ψ + ψg(ϕ/ψ, ϕ̄1 /ϕ, ψ̄2 /ψ).

(4.3.4.5)

Çàìå÷àíèå 4.13. Ñèñòåìû ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.3.4.3) è (4.3.4.5) äîïóñêàþò

òî÷íûå ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ϕ(t) = Ae−λt ,

ψ(t) = Be−λt ,

(4.3.4.6)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

260

ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ. Êîíñòàíòû

A

è

B

îïðåäåëÿþòñÿ èç àëãåáðàè÷åñêèõ

(òðàíñöåíäåíòíûõ) óðàâíåíèé



± ak 2 + λ + f A/B, eλτ1 , eλτ2 = 0,


± bk 2 + λ + g A/B, eλτ1 , eλτ2 = 0,

ãäå íèæíèé çíàê ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìå (4.3.4.3), à âåðõíèé çíàê  ñèñòåìå (4.3.4.5).

3◦ .

Èìååòñÿ òàêæå âûðîæäåííîå ðåøåíèå âèäà

u = (C1 x + C2 )ϕ(t),
4◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = e−λt y(x),
ãäå

v = (C1 x + C2 )ψ(t).

v = e−λt z(x),

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèè y = y(x) è z = z(x)

(4.3.4.7)
îïèñûâàþòñÿ

ñèñòåìîé ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

′′
ayxx
+ λy + yf (y/z, eλτ1 , eλτ2 ) = 0,
′′
bzxx
+ λz + zg(y/z, eλτ1 , eλτ2 ) = 0.

5◦ .

Èìååòñÿ òàêæå ðåøåíèå âèäà

u = e−λt y(ξ),
ãäå

k  ïðîèçâîëüíàÿ
Ñèñòåìà 2.

v = e−λt z(ξ),

ξ = x + kt,

ïîñòîÿííàÿ, êîòîðîå îáîáùàåò ðåøåíèå èç ï.

4◦ .

àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ

äâóìÿ çàïàçäûâàíèÿìè

ut = auxx + uf (u/v, ū1 /v̄1 , ū2 /v̄2 ),
vt = avxx + vg(u/v, ū1 /v̄1 , ū2 /v̄2 ),
ãäå

(4.3.4.8)

ū1 = u(x, t − τ1 ), ū2 = u(x, t − τ2 ), v̄1 = v(x, t − τ1 ), v̄2 = v(x, t − τ2 ).
1◦ . Ñèñòåìà Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèÿìè (4.3.4.8) äîïóñêàåò òðè ãðóïïû òî÷íûõ

ðåøåíèé ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðûå èìåþò âèä
(4.3.4.2), (4.3.4.4), (4.3.4.7) (ïîäðîáíîñòè îïóñêàþòñÿ).

2◦ .

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ íåïîëíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = ϕ(t)θ(x, t),
ãäå óíêöèè

v = ψ(t)θ(x, t),

ϕ = ϕ(t) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

ñ çàïàçäûâàíèÿìè

ϕ′t = ϕf (ϕ/ψ, ϕ̄1 /ψ̄1 , ϕ̄2 /ψ̄2 ), ψt′ = ψg(ϕ/ψ, ϕ̄1 /ψ̄1 , ϕ̄2 /ψ̄2 ),
ϕ̄j = ϕ(t − τj ), ψ̄j = ψ(t − τj ), j = 1, 2,
à óíêöèÿ

θ = θ(x, t)

(4.3.4.9)

óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè

θt = aθxx .

(4.3.4.10)

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

261

Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèÿìè (4.3.4.9) äîïóñêàåò òî÷íîå
ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà (4.3.4.6).
 îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìó (4.3.4.9) ïîäñòàíîâêîé
îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ óíêöèè

ϕ = ωψ

ωt′ = ω[f (ω, ω̄1 , ω̄2 ) − g(ω, ω̄1 , ω̄2 )],

ω̄1 = ω(t − τ1 ), ω̄2 = ω(t − τ2 ).

ãäå

C

ãäå

(4.3.4.11)

Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ

íàõîäÿòñÿ òàê:

ϕ = ωψ,

ìîæíî ñâåñòè ê

ω = ω(t):

ψ = C exp

Z

ω

óíêöèè

ϕ

è

ψ



g(ω, ω̄1 , ω̄2 ) dt ,

 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Óðàâíåíèå (4.3.4.11) èíòåãðèðóåòñÿ â ýëå-

ìåíòàðíûõ óíêöèÿõ, íàïðèìåð, â ñëó÷àå

f (ω, ω̄1 , ω̄2 ) = b1 ω k + c1 + h(ω̄1 , ω̄2 ),
ãäå

g(ω, ω̄1 , ω̄2 ) = b2 ω k + c2 + h(ω̄1 , ω̄2 ),

h(ω̄1 , ω̄2 )  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ, à b1 , b2 , c1 , c2 , k  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòî-

ÿííûå.

3◦ . Òî÷íîå ðåøåíèå ñ íåïîëíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè g(z, z1 , z2 ) =
= −z 2 f (z, z1 , z2 ):
u = θ(x, t) sin ϕ(t),

ãäå óíêöèÿ

ϕ′t

ϕ = ϕ(t)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèÿìè

= f (tg ϕ, tg ϕ̄1 , tg ϕ̄2 ) tg ϕ,

à óíêöèÿ

θ = θ(x, t)

v = θ(x, t) cos ϕ(t),

ϕ̄1 = ϕ(t − τ1 ),

ϕ̄2 = ϕ(t − τ2 ),

îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè

(4.3.4.10).

4◦ . Òî÷íîå ðåøåíèå ñ íåïîëíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè g(z, z1 , z2 ) =
= z 2 f (z, z1 , z2 ):
u = θ(x, t) sh ϕ(t),
ãäå óíêöèÿ

ϕ′t

ϕ = ϕ(t)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèÿìè

= f (th ϕ, th ϕ̄1 , th ϕ̄2 ) th ϕ,

à óíêöèÿ

θ = θ(x, t)

v = θ(x, t) ch ϕ(t),
ϕ̄1 = ϕ(t − τ1 ),

ϕ̄2 = ϕ(t − τ2 ),

îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè

(4.3.4.10).

5◦ .

Èìååòñÿ òàêæå ðåøåíèå âèäà

u = θ(x, t) ch ϕ(t),

v = θ(x, t) sh ϕ(t).

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè
àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè ðåøåíèé
 äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè, êîòîðûå ïîìèìî èñêîìîé óíêöèè

u = u(x, t) ñîäåðæàò

òàêæå óíêöèè ñ ðàñòÿæåíèåì îäíîé èëè íåñêîëüêèõ

u(px, t), u(x, qt) èëè u(px, qt),
(0 < p < 1, 0 < q < 1).

íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ âèäà
ïàðàìåòðû ìàñøòàáèðîâàíèÿ

ãäå

p

è

q



4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

262

4.4.1. Ïðèíöèï àíàëîãèè ðåøåíèé
Íèæå îïèñàí äîñòàòî÷íî îáùèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè, êîòîðûé îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñëåäóþùåãî ïðèíöèïà [105, 444℄.
Ïðèíöèï àíàëîãèè ðåøåíèé. Ñòðóêòóðà òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

F (x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utt , . . . , w, wx , wt , wxx , wxt , wtt , . . . ) = 0,
w = u(px, qt),

(4.4.1.1)

÷àñòî (íî íå âñåãäà) îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé ðåøåíèé áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ îáû÷íûìè àðãóìåíòàìè:

F (x, t, u, ux , ut , uxx , uxt , utt , . . . , u, ux , ut , uxx , uxt , utt , . . . ) = 0.

(4.4.1.2)

Óðàâíåíèå (4.4.1.2) íå ñîäåðæèò èñêîìîé óíêöèè ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè
àðãóìåíòàìè è ïîëó÷åíî èç (4.4.1.1) îðìàëüíîé çàìåíîé

w

íà

u.

Ñõåìà ïðèìåíåíèÿ ïðèíöèïà àíàëîãèè äëÿ Óð×Ï âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè, ðàçðåøåííîãî îòíîñèòåëüíî

ut , èçîáðàæåíà

íà

ðèñ. 4.1.

èñ. 4.1.

Ñõåìà èñïîëüçîâàíèÿ ïðèíöèïà àíàëîãèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé

íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè.

Ïðîèëëþñòðèðóåì èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà àíàëîãèè íà ïðèìåðàõ òðåõ
Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè, èìåþùèõ ðàçëè÷íûå òèïû ðåøåíèé.

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè
◮

263

Ïðèìåð 4.22. àññìîòðèì ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïðî-

ïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = auxx + bum wk ,

w = u(px, qt),

(4.4.1.3)

ñîäåðæàùåå íåëèíåéíîñòè ñòåïåííîãî âèäà.
Ñëåäóÿ ïðèíöèïó àíàëîãèè, ïîëîæèì

w = u â óðàâíåíèè (4.4.1.3). Â ðåçóëü-

òàòå, ïðèõîäèì ê áîëåå ïðîñòîìó íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè
(äèóçèè) áåç çàïàçäûâàíèÿ ñ èñòî÷íèêîì ñòåïåííîãî âèäà

ut = auxx + bum+k .

(4.4.1.4)

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå [22℄:

1

u(x, t) = t 1−m−k U (z),

z = xt−1/2 ,

k 6= 1 − m.

(4.4.1.5)

Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï àíàëîãèè, èùåì ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè (4.4.1.3) â òàêîì æå âèäå (4.4.1.4). Â ðåçóëüòàòå
äëÿ óíêöèè

U = U (z)

ïîëó÷èì íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì:

′′
aUzz
+

1
zUz′
2

W = U (sz),

−

1
U
1−m−k

k

+ bq 1−m−k U m W k = 0,

s = pq −1/2 .

(4.4.1.6)

◭

Çàìå÷àíèå 4.14. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåí-

òàìè (4.4.1.3)

ïðè

0 < p, q < 1

â ÷àñòíîì ñëó÷àå

p = q 1/2

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

(4.4.1.5), êîòîðîå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðåøåíèå ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ (4.4.1.6) ïðè s = 1,
1/2
ïðè p < q
óðàâíåíèå (4.4.1.3) ñâîäèòñÿ ê ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ïðè s < 1, à ïðè
1/2
p > q  ê ÎÄÓ ñ îïåðåæåíèåì ïðè s > 1. Áîëåå òîãî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.4.1.3) â
ñëó÷àå

p, q > 1

ïðè ïîäõîäÿùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ

pèq

òàêæå ìîæåò âûðàæàòüñÿ

÷åðåç ðåøåíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (s < 1), áåç çàïàçäûâàíèÿ (s = 1) è ñ îïåðåæåíèåì
(s

> 1).

◮

Ïðèìåð 4.23. àññìîòðèì òåïåðü ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è ýêñïîíåíöèàëüíûìè íåëèíåéíîñòÿìè

ut = auxx + beµu+λw , w = u(px, qt).
(4.4.1.7)
Ñëåäóÿ ïðèíöèïó àíàëîãèè, ïîëîæèì w = u â óðàâíåíèè (4.4.1.7). Â ðåçóëüòàòå, ïðèõîäèì ê áîëåå ïðîñòîìó íåëèíåéíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè
(äèóçèè) ñ îáû÷íûìè àðãóìåíòàìè è èñòî÷íèêîì ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà

ut = auxx + be(µ+λ)u .

(4.4.1.8)

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå âèäà [22℄:

u(x, t) = U (z) −

1
µ+λ

ln t,

z = xt−1/2 ,

µ 6= −λ.

(4.4.1.9)

Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï àíàëîãèè, èùåì ðåøåíèå íåëèíåéíîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè (4.4.1.7) â âèäå (4.4.1.9).  èòîãå äëÿ óíêöèè

U = U (z)

ïîëó÷èì íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

′′
aUzz
+

1
zUz′
2

W = U (sz),

+

1
µ+λ

+ bq

s = pq −1/2 .

λ
− µ+λ

eµU +λW = 0,
◭

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

264

◮

Ïðèìåð 4.24. àññìîòðèì Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è

ëîãàðèìè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d),
Ïîëîæèâ

w=u

w = u(px, qt).

(4.4.1.10)

â óðàâíåíèè (4.4.1.10), ïðèõîäèì ê áîëåå ïðîñòîìó íåëè-

íåéíîìó óðàâíåíèþ áåç çàïàçäûâàíèÿ ñ ëîãàðèìè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = auxx + u[(b + c) ln u + d],
êîòîðîå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [447℄:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t).

(4.4.1.11)

Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï àíàëîãèè, èùåì ðåøåíèå íåëèíåéíîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè (4.4.1.10) â âèäå (4.4.1.11). Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ
ïåðåìåííûõ äëÿ óíêöèé

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

ïîëó÷èì íåëèíåéíûå ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

aϕ′′xx + ϕ(b ln ϕ + c ln ϕ̄) = Kϕ, ϕ̄ = ϕ(px);
ψt′ = ψ(b ln ψ + c ln ψ̄) + (d + K)ψ, ψ̄ = ψ(qt),
ãäå

K  ïðîèçâîëüíàÿ

◭

ïîñòîÿííàÿ.

Äàëåå êðàòêî îïèñàíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî è âîëíîâîãî òèïîâ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ, ìíîãèå èç êîòîðûõ (íî íå âñå) áûëè ïîëó÷åíû â [70, 444℄. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ áîëüøèíñòâà èç ýòèõ ðåøåíèé áûë èñïîëüçîâàí ïðèíöèï àíàëîãèè.

4.4.2. Òî÷íûå ðåøåíèÿ êâàçèëèíåéíûõ óðàâíåíèé
äèóçèîííîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì
 äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàçèëèíåéíûå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå
óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ëèíåéíû îòíîñèòåëüíî îáåèõ ïðîèçâîäíûõ.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû.

Óðàâíåíèå 1.

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è ëîãàðèìè÷å-

ñêîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d),

w = u(x, qt),

(4.4.2.1)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ âèäà

u(x, t) = exp[ψ2 (t)x2 + ψ1 (t)x + ψ0 (t)],
ãäå óíêöèè

ψn = ψn (t) îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïðîïîðöè-

îíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψ2′ = 4aψ22 + bψ2 + cψ̄2 , ψ̄2 = ψ2 (qt),
ψ1′ = 4aψ1 ψ2 + bψ1 + cψ̄1 , ψ̄1 = ψ1 (qt),
ψ0′ = a[ψ12 + 2ψ2 ] + bψ0 + cψ̄0 + d,

ψ̄0 = ψ0 (qt).

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè
Óðàâíåíèå 2.

265

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è ëîãàðèìè÷å-

ñêîé íåëèíåéíîñòüþ

ut = auxx + u(b ln2 u + c ln u + d ln w + s),
â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïðîèçâåäåíèÿ

ab

w = u(x, qt),

(4.4.2.2)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ, ïðè-

âåäåííûõ íèæå.

1◦ . åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A cos(λx) + B sin(λx),
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

λ=

p

b/a,

ψn = ψn (t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

ab > 0:

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,

ψ̄1 = ψ1 (qt),

ψ2′ = b(A2 + B 2 )ψ12 + bψ22 + cψ2 + dψ̄2 + s,

2◦ . åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A ch(λx) + B sh(λx),
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

ψ̄2 = ψ2 (qt).

λ=

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

p

ab < 0:

−b/a,

ψn = ψn (t)

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,
ψ2′

Ïðè

2

= b(A − B

A = ±B

èìååì

2

)ψ12

+

bψ22

ϕ(x) = Ae±λx .

ψ̄1 = ψ1 (qt),

+ cψ2 + dψ̄2 + s,

ψ̄2 = ψ2 (qt).

 ýòîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû

ñòàíîâèòñÿ íåçàâèñèìûì, à ïåðâîå  ëèíåéíûì äëÿ

ψ1 .

Çàìå÷àíèå 4.15. Óðàâíåíèÿ (4.4.2.1) è (4.4.2.2) è èõ ðåøåíèÿ äîïóñêàþò îáîáùå-

íèÿ íà ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè âèäà f (u − w).
Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + f (u − w),

w = u(x, qt),

(4.4.2.3)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = C1 x2 + C2 x + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = 2aC1 + f (ψ − ψ̄),

ψ̄ = ψ(qt).

266

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

Óðàâíåíèå 4.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = auxx + f (u − w),

w = u(px, t),

(4.4.2.4)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = Ct + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx − C + f (ϕ − ϕ̄) = 0,
Óðàâíåíèå 5.

ϕ̄ = ϕ(px).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu + f (u − w),
â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïðîèçâåäåíèÿ

ab

w = u(x, qt),

(4.4.2.5)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ, ïðè-

âåäåííûõ íèæå.

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = A ch(λx) + B sh(λx) + ψ(t),
ãäå

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

p

ψ = ψ(t)

ab < 0:

−b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄),
2◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì

ψ̄ = ψ(qt).

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ab > 0:
p
λ = b/a,

ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = A cos(λx) + B sin(λx) + ψ(t),
ãäå

(4.4.2.6)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.2.6).
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4.4.2.5) è åãî ðåøåíèÿ äîïóñêàþò îáîáùåíèå íà
ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 6.

óíêöèÿ.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = auxx + bu + f (u − w),

w = u(px, t),

(4.4.2.7)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = Cebt + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + bϕ + f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè
Óðàâíåíèå 7.

267

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = auxx + eλu f (u − w),

w = u(px, qt),

(4.4.2.8)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

1
λ

ln t,

z = xt−1/2 ,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

′′
aUzz
+

1
zUz′
2

1
λ

+

W = U (sz),



1
+ eλU f U − W + ln q = 0,

s = pq

λ

−1/2

.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè âèäà f (w/u).
Óðàâíåíèå 8.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + uf (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.2.9)

äîïóñêàåò íåñêîëüêî òî÷íûõ ðåøåíèé ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ïðèâåäåííûõ íèæå.

1◦ . åøåíèå
u(x, t) = [A ch(λx) + B sh(λx)]ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),

ψ̄ = ψ(qt).

2◦ . åøåíèå
u(x, t) = [A cos(λx) + B sin(λx)]ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = −aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),
3◦ . Âûðîæäåííîå

ψ̄ = ψ(qt).

ðåøåíèå

u(x, t) = (Ax + B)ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψf (ψ̄/ψ),
Óðàâíåíèå 9.

ψ̄ = ψ(qt).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = auxx + uf (w/u),

w = u(px, t),

(4.4.2.10)

268

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + ϕ[f (ϕ̄/ϕ) − λ] = 0,
Óðàâíåíèå 10.

ϕ̄ = ϕ(px).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.2.11)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî

ïîðÿäêà è ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ = C1 ψ + ψf (ψ̄/ψ) + bψ ln ψ,
C1  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(qt),

(4.4.2.12)

ïîñòîÿííàÿ.

Ïåðâîå óðàâíåíèå (4.4.2.12) ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíûì, åãî îáùåå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â íåÿâíîé îðìå. ×àñòíîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå
ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

h
i
b
C
1
ϕ = exp − (x + C2 )2 + 1 +
,
4a

ãäå

C2  ïðîèçâîëüíàÿ

b

2

ïîñòîÿííàÿ.

Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4.4.2.11) è åãî ðåøåíèå äîïóñêàþò îáîáùåíèå íà
ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 11.

óíêöèÿ.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

w = u(px, t)

(4.4.2.13)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = exp(Cebt )ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + bϕ ln ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

269

4.4.3. Òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
äèóçèîííîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì
Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ñòåïåííîãî âèäà.
Óðàâíåíèå 1.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.3.1)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïðåäåëÿþòñÿ èç ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

a(ϕk ϕ′x )′x = bϕ,

b  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 2.



ψt′ = bψ k+1 + ψf ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(qt),

ïîñòîÿííàÿ.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(px, t),

(4.4.3.2)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = e2λt U (z),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

z = e−kλt x,

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

2λU − kλzUz′ = a(U k Uz′ )′z + U f (W/U ),
Óðàâíåíèå 3.

W = U (pz).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.3.3)

äîïóñêàåò òðè ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå.

1◦ .

åøåíèå ïðè

b(k + 1) > 0:

u(x, t) = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]1/(k+1) ψ(t),
ãäå

C1

è

β=

p

b(k + 1)/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

2◦ .

åøåíèå ïðè



ψt′ = ψf ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(qt).

(4.4.3.4)

b(k + 1) < 0:

u(x, t) = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]1/(k+1) ψ(t),

β=

p

−b(k + 1)/a,

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

270

ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.3.4).

3◦ .

åøåíèå ïðè

k = −1:



b
u(x, t) = C1 exp − x2 + C2 x ψ(t),
2a

ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.3.4).
Óðàâíåíèå 4.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.3.5)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

u(x, t) = t−1/k ϕ(z),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

z = x + λ ln t,

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

1
ϕ + ϕk+1 f (q −1/k ϕ̄/ϕ)
k

a(ϕk ϕ′z )′z − λϕ′z +
Óðàâíåíèå 5.

= 0,

ϕ̄ = ϕ(z + λ ln q).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = a(uk ux )x + un f (w/u),

w = u(px, qt),

(4.4.3.6)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ, êîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå.

1◦ .

Àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå:

1

u(x, t) = t 1−n U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

n−k−1

z = xt 2(1−n) ,

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëü-

íûì àðãóìåíòîì

n−k−1

n−k−1
1
U+
zUz′ = a(U k Uz′ )′z +U n f (W/U ),
1−n
2(1 − n)

2◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

k, λ  ïðîèçâîëüíûå

W = U (sz),

s = pq 2(1−n) .

q = p:
z = kx − λt,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

U = U (z)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ak 2 (U k Uz′ )′z + λUz′ + U n f (W/U ) = 0,
Óðàâíåíèå 6.

W = U (pz).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(uk ux )x + b + u−k f (uk+1 − wk+1 ),

w = u(x, qt),

(4.4.3.7)

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

271

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

h
i1/(k+1)
b(k + 1) 2
u(x, t) = ψ(t) −
x + C1 x + C2
,
2a

ãäå

C1

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

è

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

Óðàâíåíèå 7.



ψt′ = (k + 1)f (ψ − ψ̄ ,

ψ̄ = ψ(qt).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = a(uk ux )x + bu−k + f (uk+1 − wk+1 ),

w = u(px, t),

(4.4.3.8)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)


 1
u = b(k + 1)t + ϕ(x) k+1 ,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + (k + 1)f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

Óðàâíåíèÿ ñ êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà.
Óðàâíåíèå 8.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + f (u − w),

w = u(x, qt),

(4.4.3.9)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå

A, B

è

1
λ

C  ïðîèçâîëüíûå

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),
ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψ ′ = 2a(A/λ)eλψ + f (ψ − ψ̄),
Óðàâíåíèå 9.

ψ̄ = ψ(qt).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w),

w = u(x, qt),

(4.4.3.10)

äîïóñêàåò äâà ðåøåíèÿ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ.

1◦ .

åøåíèå ïðè

u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

bλ > 0:
ln[C1 cos(βx) + C2 sin(βx)] + ψ(t),

β=

p

bλ/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ = f ψ − ψ̄ ,

ψ̄ = ψ(qt).

(4.4.3.11)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

272

2◦ .

åøåíèå ïðè

u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

bλ < 0:

ln[C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)] + ψ(t),

β=

p
−bλ/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.3.11).
Óðàâíåíèå 10.

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ut = a(eλu ux )x + eλu f (u − w),

w = u(px, t),

(4.4.3.12)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = −
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ln t + ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

a(eλϕ ϕ′x )′x +
Óðàâíåíèå 11.

1
λ

1
λ

+ eλϕ f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = a(eλu ux )x + eµu f (u − w),

w = u(px, qt),

(4.4.3.13)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

1
µ

ln t,

z = xt

λ−µ
2µ

,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

λ−µ
zUz′
2µ

−

W = U (sz),
Óðàâíåíèå 12.

1
µ

λU

= a(e

s = pq

Uz′ )′z

λ−µ
2µ

µU

+e

.



1
f U − W + ln q ,
µ

Íåëèíåéíîå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ut = a(eλu ux )x + b + e−λu f (eλu − eλw ),

w = u(x, qt),

(4.4.3.14)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

i
h
bλ
ln ψ(t) − x2 + C1 x + C2 ,
2a

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ = λf ψ − ψ̄ ,

ψ̄ = ψ(qt).

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

273

Äðóãèå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà.
Óðàâíåíèå 13.

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è ïåðåìåííûì

êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ëîãàðèìè÷åñêîãî âèäà

ut = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u),
äîïóñêàåò ðåøåíèÿ

u(x, t) = exp(±
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

p

(4.4.3.15)

c/a x)ψ(t),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ = c(1 + b/a)ψ + ψf ψ̄/ψ ,

Óðàâíåíèå 14.

w = u(x, qt),

ψ̄ = ψ(qt).

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è êîýèöèåí-

òîì ïåðåíîñà îáùåãî âèäà

ut = [ufu′ (u)ux ]x +

1
[af (u) + bf (w) + c],
fu′ (u)

w = u(x, qt),

(4.4.3.16)

äîïóñêàåò ðåøåíèå â íåÿâíîé îðìå

f (u) = ϕ(t)x + ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(t)

è

ψ = ψ(t)

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

ϕ′t = aϕ + bϕ̄,
ψt′
Óðàâíåíèå 15.

ϕ̄ = ϕ(qt),

= aψ + bψ̄ + c + ϕ2 ,

ψ̄ = ψ(qt).

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è êîýèöèåí-

òîì ïåðåíîñà îáùåãî âèäà

ut = a[fu′ (u)ux ]x + b +

1
fu′ (u)



g f (u) − f (w) ,

w = u(x, qt),

(4.4.3.17)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) = ψ(t) −
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

Óðàâíåíèå 16.

b 2
x
2a

+ C1 x + C2 ,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ = g ψ − ψ̄ ,

ψ̄ = ψ(qt).

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è êîýèöèåí-

òîì ïåðåíîñà îáùåãî âèäà

ut = a[fu′ (u)ux ]x + bf (u) +

f (u)
g
fu′ (u)



f (w)/f (u) ,

w = u(x, qt),

(4.4.3.18)

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â
íåÿâíîé îðìå.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

274

1◦ .

ãäå

C1

ab > 0:


f (u) = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) ψ(t),

åøåíèå ïðè

è

λ=

p

b/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

2◦ .

ãäå

C1

åøåíèå ïðè

è



ψt′ = ψg ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(qt).

(4.4.3.19)

ab < 0:



f (u) = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) ψ(t),

λ=

p

−b/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.3.19).
Çàìå÷àíèå

4.16. Óðàâíåíèÿ

(4.4.3.1),

(4.4.3.3),

(4.4.3.7),

(4.4.3.9),

(4.4.3.10),

(4.4.3.14)  (4.4.3.18) è èõ ðåøåíèÿ äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ïåðåìåííîãî
çàïàçäûâàíèÿîáùåãî âèäà, êîãäà
Óðàâíåíèå 17.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ.

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì è êîýèöèåíòîì

ïåðåíîñà îáùåãî âèäà

ut = [fu′ (u)ux ]x +

a
fu′ (u)

+ g(f (u) − f (w)),

w = u(px, t),

(4.4.3.20)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå

f (u) = at + ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

ϕ′′xx + g(ϕ − ϕ̄) = 0,
Óðàâíåíèå 18.

ϕ̄ = ϕ(px).

Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è êîýèöèåíòîì

ïåðåíîñà îáùåãî âèäà

ut = [f (u, w)ux ]x ,

w = u(px, qt),

(4.4.3.21)

äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå

z = xt−1/2 ,

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

[f (U, W )Uz′ ]′z +
Ïðè

f (u, w) = aw

′
1
2 zUz

= 0,

W = U (sz),

s = pq −1/2 .

óðàâíåíèå (4.4.3.21) èìååò ïðîñòîå ðåøåíèå, êîòîðîå

âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ:

u(x, t) = −

qx2
.
6ap2 t

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

275

Ýâîëþöèîííîå Óð×Ï âòîðîãî ïîðÿäêà îáùåãî âèäà ñ ïðî-

Óðàâíåíèå 19.

ïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

ut = F (u, w, ux , uxx ),

w = u(px, pt),

äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = kx − λt,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

′′
F (U, W, kUz′ , k2 Uzz
) + λUz′ = 0,

W = U (pz).

Çàìå÷àíèå 4.17. Äðóãèå íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, äîïóñêàþùèå òî÷íûå ðåøåíèÿ, ìîæíî íàéòè â
[444℄.

4.4.4. Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé âîëíîâîãî òèïà ñ
ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

Êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå ïî ïðîèçâîäíûì.
Óðàâíåíèå 1.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ

utt = auxx + bwk ,
ïðè

k 6= 1 äîïóñêàåò

w = u(px, qt),

àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå

2

u(x, t) = t 1−k U (z),
ãäå óíêöèÿ

(4.4.4.1)

U = U (z)

z = x/t,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

2(1 + k)
U
(1 − k)2

−

W = U (sz),
Óðàâíåíèå 2.

2(1 + k)
zUz′
1−k

2k

′′
′′
+ z 2 Uzz
= aUzz
+ bq 1−k W k ,

s = p/q.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è ñòåïåííîé íåëèíåéíîñòüþ

utt = auxx + bum wk ,
ïðè

k + m 6= 1

w = u(px, qt),

äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå

2

u(x, t) = t 1−k−m U (z),
ãäå óíêöèÿ

(4.4.4.2)

U = U (z)

z = x/t,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

2(1 + k + m)
U
(1 − k−m)2

W = U (sz),

−

2(1 + k + m)
zUz′
1−k−m

s = p/q.

2k

′′
′′
+ z 2 Uzz
= aUzz
+ bq 1−k−m U m W k ,

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

276

Óðàâíåíèå 3.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è ýêñïîíåíöèàëüíîé íåëèíåéíîñòüþ

utt = auxx + beµu+λw ,
ïðè

µ + λ 6= 0

(4.4.4.3)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

w = u(px, qt),

U = U (z)

2
µ+λ

ln t,

z=

x
,
t

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

(z 2 Uz′ )′z +

2
µ+λ

W = U (sz),
Óðàâíåíèå 4.

′′
= aUzz
+ bq

2λ
− µ+λ

eµU +λW ,

s = p/q.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè è ëîãàðèìè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ

utt = auxx + u(b ln u + c ln w),

w = u(px, qt),

(4.4.4.4)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè ÎÄÓ âòîðîãî

ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

aϕ′′xx + ϕ(b ln ϕ + c ln ϕ̄) = 0, ϕ̄ = ϕ(px);
′′
ψtt
= ψ(b ln ψ + c ln ψ̄), ψ̄ = ψ(qt).
Óðàâíåíèå 5.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + f (u − w),
ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

f (z),

w = u(x, qt),

(4.4.4.5)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääè-

òèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = C1 x2 + C2 x + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= 2aC1 + f (ψ − ψ̄),
Óðàâíåíèå 6.

ψ̄ = ψ(qt).

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì

utt = auxx + f (u − w),

w = u(px, t),

(4.4.4.6)

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè
ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

f (z),

277

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääè-

òèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = C1 t2 + C2 t + ϕ(x),
C1 , C2

ãäå

 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx − 2C1 + f (ϕ − ϕ̄) = 0,
Óðàâíåíèå 7.

ϕ̄ = ϕ(px).

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàç-

äûâàíèåì

utt = auxx + bu + f (u − w),
ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

ab
1◦ .

íèÿ

f (z),

w = u(x, qt),

â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ïðîèçâåäå-

äîïóñêàåò äâà òî÷íûõ ðåøåíèÿ, ïðèâåäåííûõ íèæå.
åøåíèå ïðè

ab < 0:

u(x, t) = A ch(λx) + B sh(λx) + ψ(t),
ãäå

(4.4.4.7)

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

p

ψ = ψ(t)

−b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄),

2◦ .

åøåíèå ïðè

ψ̄ = ψ(qt).

ab > 0:

u(x, t) = A cos(λx) + B sin(λx) + ψ(t),
ãäå

(4.4.4.8)

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

ψ = ψ(t)

p

b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.4.8).
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4.4.4.7) è åãî ðåøåíèå äîïóñêàþò îáîáùåíèå íà
ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 8.

óíêöèÿ.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãó-

ìåíòàìè

utt = auxx + eλu f (u − w),
ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ

f (z), äîïóñêàåò

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

w = u(px, qt),

2
λ

ln t,

z=

(4.4.4.9)

òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

x
,
t

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

(z 2 Uz′ )′z +

2
λ

àðãóìåíòîì

W = U (sz),



2
′′
= aUzz
+ eλU f U − W + ln q = 0,
λ

s = p/q.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

278

Óðàâíåíèå 9.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì

utt = auxx + uf (w/u),

w = u(px, t),

(4.4.4.10)

äîïóñêàåò äâà íåâûðîæäåííûõ ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ, ïðèâåäåííûõ íèæå.

1◦ .

Òî÷íîå ðåøåíèå:

u(x, t) = (Ae−λt + Beλt )ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + ϕ[f (ϕ̄/ϕ) − λ2 ] = 0,
2◦ .

ϕ̄ = ϕ(px).

Òî÷íîå ðåøåíèå:

u(x, t) = [A cos(λt) + B sin(λt)]ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

aϕ′′xx + ϕ[f (ϕ̄/ϕ) + λ2 ] = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

Çàìå÷àíèå 4.18. Óðàâíåíèÿ (4.4.4.6) è (4.4.4.10) è èõ ðåøåíèÿ äîïóñêàþò îáîá-

ùåíèÿ íà ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (x)  ïðîèçâîëüíàÿ

óíêöèÿ.

w = u(x − τ (x), t), ãäå

Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ áîëåå ñëîæíîãî âèäà.
Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çà-

Óðàâíåíèå 10.

ïàçäûâàíèåì

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, qt),

(4.4.4.11)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ(x)

è

ψ(t)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

a(ϕk ϕ′x )′x = bϕ,

b  ïðîèçâîëüíàÿ



′′
ψtt
= bψ k+1 + ψf ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(qt),

ïîñòîÿííàÿ.

Óðàâíåíèå 11.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(px, t),

(4.4.4.12)

4.4. Íåëèíåéíûå Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè. Ïðèíöèï àíàëîãèè

279

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = e2λt U (z),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

z = e−kλt x,

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì

4λ2 U − 4kλ2 zUz′ + k2 λ2 z(zUz′ )′z = a(U k Uz′ )′z + U f (W/U ),
Óðàâíåíèå 12.

W = U (pz).

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çà-

ïàçäûâàíèåì

utt = a(uk ux )x + uf (w/u) + buk+1 ,
â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé êîýèöèåíòîâ

b

w = u(x, qt),
è

k

(4.4.4.13)

ìîæåò äîïóñêàòü òðè ðàçëè÷-

íûõ ðåøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå.

1◦ .

åøåíèå ïðè

b(k + 1) > 0:

u(x, t) = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]1/(k+1) ψ(t),
ãäå

C1

è

p

β=

b(k + 1)/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

2◦ .

åøåíèå ïðè



′′
ψtt
= ψf ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(qt).

b(k + 1) < 0:

u(x, t) = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]1/(k+1) ψ(t),
ãäå

C1

è

(4.4.4.14)

β=

p

−b(k + 1)/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.4.14).

3◦ .

åøåíèå ïðè

k = −1:



b
u(x, t) = C1 exp − x2 + C2 x ψ(t),
2a

ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (4.4.4.14).
Çàìå÷àíèå 4.19. Óðàâíåíèÿ (4.4.4.11) è (4.4.4.13) è èõ ðåøåíèÿ äîïóñêàþò îáîá-

ùåíèÿ íà ñëó÷àé ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà, êîãäà

τ (t)  ïðîèçâîëüíàÿ
Óðàâíåíèå 13.

óíêöèÿ.

w = u(x, t − τ (t)),

ãäå

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çà-

ïàçäûâàíèåì

utt = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

w = u(x, qt),

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = t−2/k ϕ(z),

z = x + λ ln t,

(4.4.4.15)

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

280

ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2(k + 2)
k+4 ′
ϕ−λ
ϕz
k2
k

+ λ2 ϕ′′zz = a(ϕk ϕ′z )′z + ϕk+1 f (q −2/k ϕ̄/ϕ),

ϕ̄ = ϕ(z + λ ln q).
Óðàâíåíèå 14.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àð-

ãóìåíòàìè

utt = a(uk ux )x + un f (w/u),

w = u(px, qt),

(4.4.4.16)

äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå:

2

u(x, t) = t 1−n U (z),
U = U (z)

ãäå óíêöèÿ

z = xt

n−k−1
1−n

,

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëü-

íûì àðãóìåíòîì

2(1 + n)
U
(1 − n)2

+

(n − k − 1)(2n − k + 2)
zUz′
(1 − n)2

+

2

(n − k − 1)2 2 ′′
z Uzz
(1 − n)2

= a(U k Uz′ )′z + U n f (q 1−n W/U ),
Óðàâíåíèå 15.

=

W = U (sz),

n−k−1
1−n

s = pq

.

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çà-

ïàçäûâàíèåì

utt = a(eλu ux )x + f (u − w),

w = u(x, qt),

(4.4.4.17)

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) =
ãäå

1
λ

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),

A, B , C  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì



′′
ψtt
= 2a(A/λ)eλψ + f ψ − ψ̄ ,

Óðàâíåíèå 16.

ψ̄ = ψ(qt).

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àð-

ãóìåíòàìè

utt = a(eλu ux )x + eµu f (u − w),

w = u(px, qt),

(4.4.4.18)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

2
µ

ln t,

z = xt

λ−µ
µ

,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

2
µ

+

µ−λ
zUz′
µ

W = U (sz),

+

(λ − µ)2
µ2

s = pq



2
z(zUz′ )′z = a(eλU Uz′ )′z + eµU f U − W + ln q ,

λ−µ
µ

µ

.

4.5. Íåóñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ è íåêîððåêòíîñòü íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì
Óðàâíåíèå 17.

281

Íåëèíåéíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àð-

ãóìåíòàìè

utt = [f (w)ux ]x ,

w = u(px, qt),

(4.4.4.19)

äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = x/t,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

(z 2 Uz′ )′z = [f (W )Uz′ ]′z ,

W = U (sz),

s = p/q.

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë

z 2 Uz′ = f (W )Uz′ + C,
ãäå

C

(4.4.4.20)

 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ñïåöèàëüíîì ñëó÷àå

C = 0

óðàâíåíèå

(4.4.4.20) âûðîæäàåòñÿ â òðàíñöåíäåíòíîå óðàâíåíèå è ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ

z 2 = f (W ), êîòîðîå ïîðîæäàåò òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (4.4.4.19),
çàäàííîå â íåÿâíîé îðìå

u(x, t) = U (z),

z 2 = f (U (sz)),

Ýòî ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
îáðàòíàÿ ê

u=

z = x/t,
f −1

f.

Óðàâíåíèå 18.

s = p/q.


f −1  óíêöèÿ,

x2/(st)2 , ãäå

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïðîïîðöè-

îíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñïåöèàëüíîãî âèäà

utt = F (u, w, ux , uxx ),

w = u(px, pt),

äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = kx − λt,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

àðãóìåíòîì

′′
′′
F (U, W, kUz′ , k2 Uzz
) − λ2 Uzz
= 0,

W = U (pz).

4.5. Íåóñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ è íåêîððåêòíîñòü ïî
Àäàìàðó íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì

4.5.1. Íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé îäíîãî êëàññà íåëèíåéíûõ Óð×Ï
ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ëîáàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé. àññìîòðèì êëàññ íåëèíåéíûõ ðåàê-

öèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx −
ãäå

bk(u − w)
1−k

+F



u − kw
1−k


,

w = u(x, t − τ ),

(4.5.1.1)

F (u)  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ (îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû), a > 0, k > 0 (k 6= 1).

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [455℄.

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

282

Ïóñòü u0 = u0 (x, t)  ðåøåíèå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (4.5.1.1).
Òîãäà ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ
Òåîðåìà.

u = u0 (x, t) + δect sin(γx + ν),
p
c = (ln k)/τ, γ = (b − c)/a, b − c > 0,

(4.5.1.2)

ãäå δ è ν  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.

Äàííàÿ òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 2 äëÿ óðàâíåíèÿ (3.4.2.31), â êîòîðîì ñëåäóåò ïîëîæèòü

z
1−k

f (z) ≡ −b
Ïóñòü

δ ≪ 1,

à òî÷êè

x

+F



z
1−k


,

z = u − kw.

óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó

èç îðìóëû (4.5.1.2) ñëåäóåò, ÷òî äâà ðåøåíèÿ

u0

è

u,

sin(γx + ν) 6= 0.

Òîãäà

ñêîëü óãîäíî áëèçêèå

íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ïðîöåññà, áóäóò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýêñïîíåíöèàëüíî
¾ðàçáåãàòüñÿ¿ äðóã îò äðóãà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé:

k > 1,

b > 0,

τ > (ln k)/b.

(4.5.1.3)

Óñëîâèÿ ðàçáåãàíèÿ ðåøåíèé (4.5.1.3) íîñÿò ÷èñòî ¾ãåîìåòðè÷åñêèé¿ õàðàêòåð è íå çàâèñÿò îò çíàêà è âèäà êèíåòè÷åñêîé óíêöèè

F (u)

(ò. å. â äàííîì

ñëó÷àå èìååò ìåñòî ãëîáàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé). Ýòè ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè (îíè ïîëó÷åíû áåç èñïîëüçîâàíèÿ êàêèõ áû òî íè áûëî ïðèáëèæåíèé è óïðîùåíèé) è ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáûõ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî
êëàññà óðàâíåíèé.

Íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ. Ïîëàãàÿ τ = 0 (èëè k = 0) â (4.5.1.1), ò. å. ïðè îòñóò-

ñòâèè çàïàçäûâàíèÿ, ïîëó÷èì ñòàíäàðòíîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå äèóçèè ñ
îáúåìíîé ðåàêöèåé

ut = auxx + F (u).

(4.5.1.4)

Îòìåòèì, ÷òî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (4.5.1.1) è Óð×Ï (4.5.1.4) èìåþò îäèíà-

u0 = u0 (x), â òîì ÷èñëå è ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåãî
u0  êîðåíü óíêöèè F (u0 ) = 0.
êèíåòè÷åñêóþ óíêöèþ F (z) òàê, ÷òîáû ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

êîâûå ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ
âèäà

u0 =

onst, ãäå

Âûáåðåì

u0 = u0 (x)

óðàâíåíèÿ äèóçèè áåç çàïàçäûâàíèÿ (4.5.1.4) áûëî óñòîé÷èâûì.

Ýòî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

u0 = u0 (x)

áóäåò òàêæå ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ

çàïàçäûâàíèåì (4.5.1.1).  èñõîäíîì Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (4.5.1.1) çàèêñè-

k > 1 è b > 0 è áóäåì ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàòü âðåìÿ çàïàçäûτ (íà÷èíàÿ ñ τ = 0). Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì τ , óäîâëåòâîðÿþùåì ïî-

ðóåì ïàðàìåòðû
âàíèÿ

ñëåäíåìó íåðàâåíñòâó (4.5.1.3), ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñòàíåò íåóñòîé÷èâûì.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè çàïàçäûâàíèÿ, ìîæåò
ñäåëàòü óñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ íåóñòîé÷èâûìè.

4.5. Íåóñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ è íåêîððåêòíîñòü íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì

283

4.5.2. Íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ
çàïàçäûâàíèåì

Íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè.
Ïóñòü

u0 = u0 (x, t)  ðåøåíèå çàäà÷è òèïà Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ
−∞ < x < ∞ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè îáùåãî âèäà

(4.5.1.1) â

îáëàñòè

u0 (x, t) = ϕ(x, t)
Ñ÷èòàåì, ÷òî óíêöèÿ

t > 0.

−τ 6 t 6 0.

ïðè

(4.5.2.1)

u0 îãðàíè÷åíà ïðè x → ±∞ äëÿ ëþáîãî èêñèðîâàííîãî

Óðàâíåíèå (4.5.1.1) èìååò òàêæå ðåøåíèå
ëàìè (4.5.1.2). Ñðàâíèâàÿ óíêöèè

u

è

u0

u,

êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ îðìó-

íà íà÷àëüíîì èíòåðâàëå âðåìåíè,

èìååì

|u − u0 | 6 δ

ïðè

−τ 6 t 6 0.

(4.5.2.2)

τ è k (ïðè k > 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò c > 0)
u è u0 ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëûìè çà ñ÷åò

Ïîýòîìó ïðè èêñèðîâàííûõ
ðàçíîñòè ìåæäó ðåøåíèÿìè

δ, ò. å. íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ ýòèõ ðåøåíèé áóäóò ñëàáî ðàçëè÷àòüñÿ
−τ 6 t 6 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.5.1.3), ïîëàãàÿ
ν = 0, â òî÷êå x = π/(2γ) ïîëó÷èì

âûáîðà
ïðè

|u − u0 | = δect → ∞

ïðè

t → ∞.

Òàêèì îáðàçîì ïðè âûïîëíåíèè ãëîáàëüíûõ óñëîâèé íåóñòîé÷èâîñòè (4.5.1.3)
ðåøåíèÿ äâóõ çàäà÷ Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (4.5.1.1), èìåþùèå áëèçêèå íà÷àëüíûå äàííûå, áóäóò íåîãðàíè÷åííî ðàñõîäèòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Óêàçàííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ äàííûõ äåëàåò çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (4.5.1.1) íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé ïî Àäàìàðó (â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (4.5.1.3)). Îòìåòèì, ÷òî
ýòà íåóñòîé÷èâîñòü íîñèò îáùèé õàðàêòåð (ãëîáàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü) è íå
çàâèñèò îò âèäà êèíåòè÷åñêîé óíêöèè

F (u).

Çàìå÷àíèå 4.20. Ïðè îðìóëèðîâêå çàäà÷è òèïà Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (4.5.1.1) â

îáëàñòè

−∞ < x < ∞

u0
äëÿ

ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè îáùåãî âèäà (4.5.2.1) íà óíêöèþ

íàêëàäûâàëîñü äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ ïðè
ëþáîãî èêñèðîâàííîãî

t > 0

x → ±∞

(òàêîå óñëîâèå îáû÷íî íàêëàäûâàåòñÿ äëÿ ëèíåéíîãî

óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè áåç çàïàçäûâàíèÿ). Èíòåðåñíî ïîñìîòðåòü, ÷òî áóäåò, åñëè óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ â ýòîé çàäà÷å çàìåíèòü íà áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå

u0 → 0 ïðè x → ±∞ (åñëè f (z) → 0 ïðè z → 0) è ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
(4.5.1.3).

Íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêîòîðûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷. Ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.5.1.3) ìîæåò èìåòü ìåñòî ãëîáàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü
ðåøåíèé íåëèíåéíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì
(4.5.1.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî, âòîðîãî èëè òðåòüåãî ðîäà â îáëàñòè

06x6h

(ïðè íåêîòîðûõ

h).

4. Ì ÅÒÎÄÛ È ÅØÅÍÈß ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ . × ÀÑÒÜ II

284

Ïóñòü

u0 = u0 (x, t)  ðåøåíèå

íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ñ

çàïàçäûâàíèåì (4.5.1.1) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (4.5.2.1) è îáùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà:

u0 = ψ1 (x, t)
ãäå

h = π/γ ,

ïðè

x = 0,

u0 = ψ2 (x, t)

ïðè

x=h

(t > 0),

(4.5.2.3)

γ îïðåäåëåí â (4.5.1.2).
u ïðè ν = 0 äàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.5.1.1), êîòîðîå

à êîýèöèåíò

Ôîðìóëà (4.5.1.2) äëÿ

òî÷íî óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (4.5.2.3). Ýòî ðåøåíèå çà ñ÷åò âûáîðà

δ

ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî áëèçêèì ê ðåøåíèþ

çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ

−τ 6 t 6 0

u0 = u0 (x, t)

â îáëàñòè

(ñì. íåðàâåíñòâî (4.5.2.2)). Îäíàêî

ïðè âûïîëíåíèè ãëîáàëüíûõ óñëîâèé íåóñòîé÷èâîñòè (4.5.1.3) ïåðâîíà÷àëüíî

u0 è u ðàññìàòðèâàåìûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ áóäóò ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñõîäèòüñÿ ïðè t → ∞ äëÿ x = h/2. Òàêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé
áëèçêèå ðåøåíèÿ

óðàâíåíèÿ (4.5.1.1) îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ äàííûõ äåëàåò ðàññìàòðèâàåìóþ

íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé ïî Àäàìàðó.
 ñëó÷àå äðóãèõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ðåøåíèå
ñ ðåøåíèåì

u,

u0

ñëåäóåò ñðàâíèâàòü

ïîëó÷åííûì ïî îðìóëå (4.5.1.2), ãäå êîíñòàíòà

ν

è äëèíà

h âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû u0 è u óäîâëåòâîðÿëè îäèíàêîâûì ãðàíè÷íûì
h=
π/γ , êîãäà íà ãðàíèöàõ îáëàñòè çàäàþòñÿ ïðîèçâîäíûå ux , â êà÷åñòâå u íàäî
âûáèðàòü ðåøåíèå (4.5.1.2) ïðè ν = π/2.
îòðåçêà

óñëîâèÿì.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âòîðîãî ðîäà íà îòðåçêå

Çàìå÷àíèå 4.21.

ëîáàëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü è íåêîððåêòíîñòü ïî Àäàìàðó íåêî-

òîðûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ èìåþò ìåñòî òàêæå äëÿ áîëåå ñëîæíîãî íåëèíåéíîãî
ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå ìîæíî
ïîëó÷èòü, îðìàëüíî çàìåíèâ â ëåâîé óðàâíåíèÿ (4.5.1.1) ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ ïî
âðåìåíè

ut

íà ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ïðîèçâîäíûõ

εutt + σut

[68℄.

5. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ çàïàçäûâàíèåì

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
5.1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ

àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′ (t) = f (t, u(t), u(t − τ )), t0 < t 6 T,
u(t) = ϕ(t), t0 − τ 6 t 6 t0 .

(5.1.1.1)
(5.1.1.2)

Çäåñü è äàëåå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äèàïàçîí èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåíîé
îãðàíè÷åí âåëè÷èíîé

T,

t

êîòîðàÿ çàäàåòñÿ èññëåäîâàòåëåì, èñõîäÿ èç åãî îñ-

íîâíûõ öåëåé è âîçìîæíîñòåé èñïîëüçóåìîãî êîìïüþòåðà è ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ.
×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.1.1.1)  (5.1.1.2) îñíîâàíû íà çàìåíå
óðàâíåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé óíêöèè

u(t)

íà ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå (èëè

ñèñòåìó óðàâíåíèé) äëÿ óíêöèé äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà, çàäàííûõ íà äèñêðåò-

[t0 , T ]. Ìíîæåñòâî òî÷åê G = {t0 , t1 , . . . , tK = T }
íàçûâàåòñÿ ñåòêîé, ñàìè òî÷êè tk  òî÷êàìè ñåòêè, à çàäàííàÿ íà ñåòêå äèñêðåòíàÿ óíêöèÿ äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà uh = {uk = uh (tk ), k = 0, 1, . . . , K} 

íîì íàáîðå òî÷åê èç èíòåðâàëà

ñåòî÷íîé óíêöèåé. Èíòåðâàë îò îäíîé òî÷êè ñåòêè äî ñëåäóþùåé íàçûâàåòñÿ
øàãîì ñåòêè è îáîçíà÷àåòñÿ

=

hk+1 = tk+1 − tk .

Åñëè äëÿ ëþáûõ

k

èìååì

hk =

onst, òî øàã ñåòêè ïîñòîÿííûé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå  ïåðåìåííûé. Íåïðå-

ðûâíóþ àïïðîêñèìàöèþ óíêöèè
öèè, áóäåì îáîçíà÷àòü

uh (t),

ïîñòðîåííóþ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿ-

ũh (t).

Ïðîáëåìà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ çàäà÷è (5.1.1.1)  (5.1.1.2) îðìó-

[−τ, t0 ] çàäàíà íà÷àëüíàÿ
u(t) = ϕ(t). Òðåáóåòñÿ, âûáèðàÿ ïîäõîäÿùèé øàã hk , íàéòè ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ uk íåèçâåñòíîé óíêöèè u(t) â òî÷êàõ tk , ãäå k = 1, . . . , K .
ëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü íà èíòåðâàëå

óíêöèÿ

 ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî çàïàçäûâàíèÿ ñëåäóåò ïîäîáðàòü òàêîé øàã èíòåãðè-

hk 6 τ , ò. e. tk − τ 6 tk−1 . Òîãäà
u(t − τ ) èçâåñòíî è ðàâíî â çàâèñèìîñòè îò
t − τ ëèáî çíà÷åíèþ íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ(t − τ ), ëèáî çíà÷åíèþ íåïðåðûâíîé
àïïðîêñèìàöèè ũh (t − τ ). Äðóãèìè ñëîâàìè, íà øàãå k + 1 òðåáóåòñÿ ðåøèòü
ðîâàíèÿ (ïîñòîÿííûé èëè ïåðåìåííûé), ÷òîáû

íà êàæäîì øàãå çíà÷åíèå óíêöèè

285

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

286

ïîäçàäà÷ó äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ:

u′ (t) = f (t, u(t), u(t − τ )),
u(tk ) = uk ,
ãäå

uk = uh (tk )

tk < t 6 tk+1 ,

(5.1.1.3)

è

(
ϕ(t − τ )
u(t − τ ) =
ũh (t − τ )

t 6 t0 + τ ,
t0 + τ < t 6 tk+1 .

ïðè
ïðè

 ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ çàäà÷è (5.1.1.3) ïîëó÷àåì çíà÷åíèå

uk+1

ñåòî÷íîé óíêöèè

íà îòðåçîê

[tk , tk+1 ],

uh

è ïðîäîëæåíèå íåïðåðûâíîé àïïðîêñèìàöèè

ïðè÷åì

ũh (t)

ũh (tk+1 ) = uk+1 .

τ = τ (t) âîçìîæíà ñèòóàöèÿ,
t ∈ [tk , tk+1 ], ò. å. çíà÷åíèå àðãóìåíòà óíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì

Çàìå÷àíèå 5.1.  ñëó÷àå ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ

êîãäà

t − τ (t) > tk

ïðè

ëåæèò âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà.  ýòîì ñëó÷àå íå óäàåòñÿ ñâåñòè çàäà÷ó ê
ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ è íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü èíòåðïîëÿöèþ (ñì. [130, ðàçä. 3.3℄).

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñâîéñòâ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [29, 30, 76℄), êîòîðûå ïðèâåäåíû íèæå.
Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå ñåòî÷íûõ óíêöèé ââîäèòñÿ àíàëîãè÷íî íîðìå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ óíêöèé:

kuh k = max |uk |,
06k6K

uk = uh (tk ).

(5.1.1.4)

Äëÿ ñåòî÷íûõ óíêöèé òðåõ àðãóìåíòîâ íîðìà èìååò âèä

kfh k = max |fk |,

fk = f (tk , uk , wk ).

06k6K

îâîðÿò, ÷òî ÷èñëåííûé ìåòîä ñõîäèòñÿ, åñëè

kuh − uk → 0
è ñõîäèòñÿ ñ ïîðÿäêîì

p > 0, åñëè

ïðè

h → 0,

ñïðàâåäëèâà îöåíêà

kuh − uk 6 Chp ,
ãäå

C > 0  íåêîòîðàÿ

ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò

h.

Çàìå÷àíèå 5.2. Çäåñü è äàëåå â ñëó÷àå ïåðåìåííîãî øàãà

ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå

khk → 0, ãäå khk = max hk
16k6K

íàçûâàåòñÿ

hk

âûðàæåíèå

h→ 0

âåëè÷èíîé øàãà.

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (5.1.1.1) óäîáíî çàïèñàòü â êðàòêîé îïåðàòîðíîé îðìå:

L [u] = f.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ çàäà÷ó ÷èñëåííîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ:

Lh [uh ] = fh ,

(5.1.1.5)

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ãäå

Lh [uh ]  îïåðàòîð

287

ðàçíîñòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ (äëÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïî-

Lh [uh ] = h−1
k+1 [uh (tk+1 ) − uh (tk )]), fh =

ðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì (5.1.1.1) èìååì

= f (tk , uh (tk ), ũh (tk − τ )).

Íàçîâåì ñåòî÷íóþ óíêöèþ

ψh = Lh [u] − fh

íåâÿçêîé èëè ïîãðåøíîñòüþ

àïïðîêñèìàöèè ÷èñëåííîãî ìåòîäà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èñêîìàÿ óíêöèÿ

u

óäîâëåòâîðÿåò ïðèáëèæåííîìó óðàâíåíèþ (5.1.1.5) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.

îâîðÿò, ÷òî ÷èñëåííûé ìåòîä àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíîå

óðàâíåíèå, åñëè

kψh k → 0
è àïïðîêñèìèðóåò ñ ïîðÿäêîì

h → 0,

ïðè

p > 0, åñëè

ñïðàâåäëèâà îöåíêà

kψh k 6 Chp ,
ãäå

C > 0  íåêîòîðàÿ

ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò

h.

Ñõåìà (5.1.1.5) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (5.1.1.2) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñ-

uh íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ
óíêöèÿìè f è ϕ, è ýòà çàâèñèìîñòü ðàâíîìåðíà îòíîñèòåëüíî øàãà ñåòêè.
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå δ(ε), íå çàâèñÿùåå îò øàãà
h (ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h), ÷òî åñëè
ëè ðåøåíèå

kf I − f II k 6 δ
òî

è

kϕI − ϕII k 6 δ,

kuIh − uIIh k 6 ε.

Íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò
÷àñòè, à íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò

f íàçûâàþò óñòîé÷èâîñòüþ ïî ïðàâîé
ϕ  óñòîé÷èâîñòüþ ïî íà÷àëüíûì äàí-

íûì.
×èñëåííûå ìåòîäû, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèÿìè, äîëæíû áûòü óñòîé÷èâû, õîðîøî àïïðîêñèìèðîâàòü ðàññìàòðèâàåìûå çàäà÷è è ñõîäèòüñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ.

5.1.2. Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
àáîòà ñ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì îñëîæíÿåòñÿ èç-çà íàëè÷èÿ â òàêèõ óðàâíåíèÿõ

t − τ , çíà÷åíèå êîòîðîãî ìîæåò îêàçàòüñÿ âíå
G (ýòî îñîáåííî õàðàêòåðíî äëÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì τ = τ (t)). Ïîýòîìó íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü íåïðåðûâíûå àïïðîêñèìàöèè
ũh (t) ñåòî÷íîé óíêöèè uh . Ôóíêöèþ ũh (t) ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ
àïîñòåðèîðíîé èíòåðïîëÿöèè çíà÷åíèé uh , ïîëó÷åííûõ äèñêðåòíûì ìåòîäîì,

èñêîìîé óíêöèè ñ àðãóìåíòîì
òî÷åê ñåòêè

ëèáî ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ íåïðåðûâíûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå âû÷èñëÿþò

ũh (t)

íà êàæäîì øàãå.

G òàêóþ,
tk − τ (tk ) < t0 , ëèáî

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ äàííîé çàäà÷è ìîæíî ïîñòðîèòü ñåòêó
÷òîáû áûëî âûïîëíåíî óñëîâèå: äëÿ ëþáûõ

tk ∈ G

ëèáî

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

288

tk −τ (tk ) ∈ G. Òîãäà ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîäû, èñïîëüçóþùèå äëÿ âû÷èñëåíèé
G. Òàêèì, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà

òîëüêî òî÷êè ñåòêè

uk+1 = uk + hk+1 f (tk , uk , uq ),
 ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî çàïàçäûâàíèÿ

τ=

q < k.

onst óñëîâèå tk

ïîëíåíî, åñëè âûáðàòü ïîñòîÿííûé øàã èíòåãðèðîâàíèÿ

τ = N h,

ãäå

N > 0  öåëîå

h,

− τ ∈ G áóäåò âû-

èñõîäÿ èç óñëîâèÿ

÷èñëî.

Äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì òàêîé ïîäõîä íå ïðèìåíèì.
×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñêàçàííîå, ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó

u′ (t) = u(t/2),
u(0) = 1.
Äëÿ ëþáîãî

tk ∈ G

çíà÷åíèå

tk /2

0 < t 6 1,

òàêæå äîëæíî ëåæàòü íà ñåòêå, à çíà÷èò,

íà÷àëüíîãî øàãà íå ñóùåñòâóåò. Áîëåå òîãî, òàê êàê òî÷êè ñåòêè óäîâëåòâîðÿþò

tk+1 = 2tk äëÿ k > 1, èìååì hk+1 = tk . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäíèé
âñåãäà ðàâåí 1/2, à çíà÷èò, óñëîâèå ñõîäèìîñòè ìåòîäà íå ìîæåò áûòü

óñëîâèþ
øàã

âûïîëíåíî.

τ (t) > 0) ñåòêó G
ìîæíî ïîñòðîèòü íà ëþáîì îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå [t0 , T ] ñ ïðîèçâîëüíî
ìàëûì øàãîì (ñì. [130, ñ. 37, 38℄). Äëÿ ýòîãî, íà÷èíàÿ ñ òî÷êè t0 , íåîáõîäèìî
îïðåäåëèòü âñå òî÷êè ðàçðûâà ïðîèçâîäíîé è âêëþ÷èòü èõ â G. Çàòåì, íà÷èíàÿ
ñ ïîñëåäíåé òî÷êè tK = T , ñòðîèòü ñåòêó â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè ñ æåëàåìûì
ìàêñèìàëüíûì øàãîì. Êàæäàÿ íîâàÿ òî÷êà tk ïîðîæäàåò ïðåäûäóùóþ òî÷êó
tk−1 = tk − τ (tk ), êîòîðàÿ äîëæíà áûòü âêëþ÷åíà â ñåòêó. Äëÿ íåêîòîðûõ çàïàç ñëó÷àå ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ îáùåãî âèäà (ïðè

äûâàíèé äàííûé ïîäõîä ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåðåãóëÿðíîìó èëè èçáûòî÷íîìó

ðàñïðåäåëåíèþ òî÷åê (íàïðèìåð, åñëè îãðàíè÷åííûé àðãóìåíò
èìååò ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó).

α(t) = t − τ (t)

Äðóãàÿ âàæíàÿ îñîáåííîñòü, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, ñâÿçàíà ñ
ðàñïðîñòðàíåíèåì ðàçðûâîâ ïðîèçâîäíûõ. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçä. 1.1.2,
ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ çàïàçäûâàíèåì ìîæåò èìåòü ðàçðûâ ïðîèçâîäíîé â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè

t0 .

Ýòîò ðàçðûâ äàëåå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðî-

èçâîäíûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. ×òîáû ÷èñëåííûé ìåòîä èìåë òðåáóåìûé
ïîðÿäîê òî÷íîñòè, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî ãëàäêèì
íà êàæäîì èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ
òî÷íîñòè

p,

[tk , tk+1 ]:

ìåòîä ìîæåò èìåòü ïîðÿäîê

åñëè ðåøåíèå èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà

p+1

âêëþ÷èòåëüíî. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû âñå òî÷êè, â
êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðàçðûâ èñêîìîé óíêöèè èëè åå ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà

p+1

âêëþ÷èòåëüíî, áûëè âêëþ÷åíû â òî÷êè ñåòêè.

 ñëó÷àå ïîñòîÿííîãî çàïàçäûâàíèÿ òî÷êà ðàçðûâà ïîðÿäêà
èç ïðîñòîãî ñîîòíîøåíèÿ

t∗m = t0 + mτ .

m îïðåäåëÿåòñÿ

 ñëó÷àå ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ

îïðåäåëåíèå òî÷åê ðàçðûâà â îñíîâíîì ïðîèñõîäèò äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ïåðâûé

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

289

íàçûâàåòñÿ îòñëåæèâàíèåì ðàçðûâîâ (ñì. [120, 229, 419, 420, 551℄, à òàêæå
ññûëêè â [130, ñ. 49℄) è îñíîâàí íà ïîèñêå òî÷åê ðàçðûâà

t∗m,j > t0 , óäîâëåòâî-

ðÿþùèõ ñèñòåìå óðàâíåíèé

t∗m,j − τ (t∗m,j ) = t∗m−1,i

äëÿ íåêîòîðûõ

i,

(5.1.2.1)

j  íîìåð òî÷êè ðàçðûâà ïîðÿäêà m, èíäóöèðîâàííîé i-é òî÷êîé ðàçðûâà
m − 1 (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òî÷êè ðàçðûâà óïîðÿäî÷åíû ïî âîçðàñòàíèþ è j > i).
ãäå

ïîðÿäêà

◮

Ïðèìåð 5.1. àññìîòðèì çàäà÷ó äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ðàçðûâîì â

òî÷êå t0

= 0:

u′ (t) = u(t − 2t1/2 ), t > 0;
u(t) = 1, −1 6 t 6 0.

àçðûâ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà

∗
óðàâíåíèÿ tm

−

2(t∗m )1/2

çíà÷åíèÿ òî÷åê ðàçðûâà:

m

t∗m , êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ èç
∗
∗
t > tm−1 è t∗0 = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì

2
√ ∗m
tm−1 + 1 äëÿ ëþáûõ öåëûõ m > 0. ◭

âîçíèêàåò â òî÷êå

t∗m−1 , ãäå

=
t∗m = 1 +

Äðóãîé ïîäõîä îñíîâàí íà êîíòðîëå øàãà â îáëàñòè ðàçðûâà ñ ïîìîùüþ

îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè. Òàêèå àëãîðèòìû ïðîùå ïðîãðàììèðîâàòü, íî
îíè ñâÿçàíû ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ¾îòêëîíåííûõ¿ çíà÷åíèé øàãà è ìîãóò
ïðèâîäèòü ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷ðåçìåðíî ìàëåíüêèõ øàãîâ â îêðåñòíîñòè
ðàçðûâîâ íèçêîãî ïîðÿäêà (ñì. [120, ðàçä. 3.4℄, [419℄ è ññûëêè â íèõ).
Çàìå÷àíèå 5.3. Íåêîòîðûå äðóãèå ñïîñîáû èíòåãðèðîâàíèÿ çàäà÷ ñ ðàçðûâàìè

ïðîèçâîäíûõ êðàòêî (íî ñî ññûëêàìè íà ëèòåðàòóðó) îïèñàíû â [130, ñ. 39℄.

Ïðîáëåìû âîçíèêàþò òàêæå â çàäà÷àõ äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′ (t) = f (t, u(t), u(pt)),
u(0) = u0 ,

t > 0;

(5.1.2.2)

0 < p < 1. Íà ïåðâîì îòðåçêå èíòåãðèðîâàíèÿ 0 < t 6 h1 ïðè ëþáîì çíàh1 âîçíèêàåò ¾íàëîæåíèå¿: àðãóìåíò pt óíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì
u(pt) íàõîäèòñÿ âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûì
ïðèìåíåíèå ìåòîäà øàãîâ. Òåì íå ìåíåå, óæå ñî âòîðîãî øàãà ïðè t > h1
ìåòîä øàãîâ ìîæíî ïðèìåíÿòü, åñëè áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå hk+1 < hk /p,
êîòîðîå ãàðàíòèðóåò, ÷òî àðãóìåíò pt áóäåò ëåæàòü íà ïðåäûäóùåì îòðåçêå
ãäå

÷åíèè øàãà

èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì. [130, ðàçä. 6.4.1℄).
Çàìå÷àíèå 5.4. Íà ïåðâîì øàãå 0 < t 6 h1 ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííîå
àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå â âèäå óñå÷åííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà ïî íåçàâèñè-

ìîé ïåðåìåííîé (ñì. ðàçä. 1.4.2 è [485, 487, 488℄).
Çàìå÷àíèå 5.5. Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷àõ Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì, â êîòîðûõ íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàåòñÿ â òî÷êå

t = 0,

íå ïðîèñõîäèò

ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàçðûâîâ ïðîèçâîäíîé, à çíà÷èò, íå òðåáóåòñÿ ñâÿçàííûõ ñ ýòèì
äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà âûáîð òî÷åê ñåòêè.

290

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ìîæíî
êëàññèèöèðîâàòü êàê óðàâíåíèÿ ñ áåñêîíå÷íûì çàïàçäûâàíèåì (ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîìåæóòîê

t − pt

ìåæäó òåêóùèì è

ïðîøëûì ìîìåíòîì). Êàê ïîêàçàíî â [356℄, äàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò
ê ñóùåñòâåííîé íåõâàòêå îïåðàòèâíîé ïàìÿòè ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå íà ðàâíîìåðíûõ ñåòêàõ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (5.1.2.2) èñïîëüçóþò ïðåîáðàçîâàíèå

v = u, ïðèõîäÿ

ê çàäà÷å äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

v ′ (x) = ex f (ex , v(x), v(x − τ )),
v(−∞) = u0 ,
ãäå

x = ln t,

x > −∞,

τ = − ln p > 0. Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à îñëîæíåíà òåì, ÷òî â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé

òî÷êè âûñòóïàåò îòðèöàòåëüíàÿ áåñêîíå÷íîñòü. Ïîýòîìó ÷èñëåííîå ðåøåíèå
çàäà÷è (5.1.2.2) èìååò ñìûñë âåñòè â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå íà íåêîòîðîì
îòðåçêå
îòðåçêå

0 < t 6 t0 ðåøàåòñÿ èñõîäíàÿ çàäà÷à (5.1.2.2),
x > x0 = ln t0 ðåøàåòñÿ ïðåîáðàçîâàííàÿ çàäà÷à
v ′ (x) = ex f (ex , v(x), v(x − τ )),
v(x) = u(ex ), x 6 x0 .

à íà âòîðîì ýòàïå íà

x > x0 ,

Èñõîäÿ èç âñåãî îïèñàííîãî âûøå, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íàëè÷èå çàïàçäûâàíèÿ âëèÿåò íà òî÷íîñòü è óñòîé÷èâûå ñâîéñòâà ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ
(ñì. ïðèìåðû â [130, ñ. 919℄). Ïîýòîìó îðìàëüíîå ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì íå ÿâëÿåòñÿ
îïòèìàëüíûì  ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ñëåäóåò ðàçðàáàòûâàòü ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé è ïîâåäåíèÿ
èõ ðåøåíèé.

5.1.3. Ìîäèèöèðîâàííûé ìåòîä øàãîâ
 ðàçä. 1.1.5 áûë îïèñàí ïðîñòîé åñòåñòâåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì  ìåòîä øàãîâ. Ïîëó÷àåìûå òàêèì îáðàçîì ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ
ìîæíî ðåøàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Ìîäèèöèðîâàííûé
âàðèàíò ìåòîäà øàãîâ, áîëåå óäîáíûé äëÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, ïðåäëîæåí â [131℄ äëÿ ïîñòîÿííîãî çàïàçäûâàíèÿ è ðàñøèðåí â [132℄ íà ñëó÷àé ìîíîòîííî óáûâàþùåãî è íå îáðàùàþùåãîñÿ â íóëü ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ.
Êðàòêî îïèøåì åãî ñóòü (ñì. [130, ðàçä. 3.4℄, à òàêæå [120, 131, 132℄).
àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

u′ (t) = f (t, u(t), u(t − τ )), t0 < t 6 T ;
u(t) = ϕ(t), −τ 6 t 6 t0 .

(5.1.3.1)

Òî÷êè ðàçðûâà ïðîèçâîäíîé äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì îïðåäåëÿþòñÿ òàê:

t∗m = t0 + mτ , m = 1, 2, . . .

Áóäåì èíòåãðèðîâàòü çàäà÷ó (5.1.3.1) íà

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

291

îòðåçêàõ îò îäíîé òî÷êè ðàçðûâà äî ñëåäóþùåé äî òåõ ïîð, ïîêà íà íåêîòîðîì
øàãå

m∗ íå áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå t0 +m∗ τ > T . Íà ïåðâîì îòðåçêå [t0 , t0 +τ ]

èìååì

u′ (t) = f (t, u(t), ϕ(t − τ )),
u(t0 ) = ϕ(t0 ).

t0 < t 6 t0 + τ,

(5.1.3.2)

Èíòåãðèðóÿ çàäà÷ó (5.1.3.2) íåêîòîðûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì, íàõîäèì ïðèáëè-

u(t) íà îòðåçêå [t0 , t0 + τ ].
Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîé îòðåçîê [t0 + τ, t0 + 2τ ]. Îïðåäåëèì íà íåì
óíêöèè u1 (t) = u(t − τ ) è u2 (t) = u(t) è çàïèøåì çàäà÷ó (5.1.3.1) â âèäå

æåííûå çíà÷åíèÿ

uh (t)

èñêîìîé óíêöèè

ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé:

u′1 (t) = f (t − τ, u1 (t), ϕ(t − 2τ )), t0 + τ < t 6 t0 + 2τ,
u′2 (t) = f (t, u2 (t), u1 (t)), t0 + τ < t 6 t0 + 2τ,
u1 (t0 + τ ) = ϕ(t0 ),
u2 (t0 + τ ) = uh (t0 + τ ).

(5.1.3.3)

Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (5.1.3.3) ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìûì. Èíòåãðèðóÿ ñèñòåìó (5.1.3.3) íåêîòîðûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì, íàõîäèì ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ

uh (t)

èñêîìîé óíêöèè

u2 (t) = u(t)

íà îòðåçêå

[t0 + τ, t0 + 2τ ].

àññóæäàÿ òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê îáùåé îðìóëå ïðåäñòàâëåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è (5.1.3.1) íà îòðåçêå
ñèñòåìû

m

óðàâíåíèé:

[t0 + (m − 1)τ, t0 + mτ ], m = 1, 2, . . .

u′i (t) = f (t − (m − i)τ, ui (t), ui−1 (t)), i = 1, . . . , m,
ui (t0 + (m − 1)τ ) = uh (t0 + (i − 1)τ ), i = 1, . . . , m,
ãäå

â âèäå

(5.1.3.4)

u0 (t) = ϕ(t − mτ ) è ui (t) = u(t − (m − i)τ ).

Ôîðìóëû (5.1.3.4) ïîçâîëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî (ïîøàãîâî) èíòåãðèðîâàòü
èñõîäíóþ çàäà÷ó (5.1.3.1) íåêîòîðûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì. Ñîâîêóïíîñòü âû÷èñëåííûõ íà êàæäîì øàãå

k

çíà÷åíèé

uk

ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ èñêîìîé óíêöèè

óíêöèè

uh (t)

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

u(t). Îòìåòèì, ÷òî íà êàæäîì øàãå
m.

ðåøàåòñÿ ñèñòåìà (5.1.3.4) âñå áîëåå è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà

ëàâíîå äîñòîèíñòâî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñèñòåìà (5.1.3.4) íå
ñîäåðæèò çàïàçäûâàíèÿ è ìîæåò èíòåãðèðîâàòüñÿ ¾îáû÷íûìè¿ ÷èñëåííûìè
ìåòîäàìè. Íåäîñòàòîê ìåòîäà  íåîáõîäèìîñòü íà êàæäîì øàãå ïåðåñ÷èòûâàòü
óæå ïîñ÷èòàííûå ðàíåå çíà÷åíèÿ  êîìïåíñèðóåòñÿ îòñóòñòâèåì èíòåðïîëÿöèè
è ïðîáëåì, ñâÿçàííûõ ñ íåõâàòêîé îïåðàòèâíîé ïàìÿòè. àññìîòðåííûé ìåòîä ïðèìåíèì è äëÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

τ = τ (t)

(ñì. [130,

ðàçä. 3.4℄).

5.1.4. ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûë ðàññìîòðåí ìî-

äèèöèðîâàííûé ìåòîä øàãîâ, êîòîðûé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ÷èñëåííîãî

292

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. Äàëåå èçëàãàþòñÿ áîëåå ýåêòèâíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Äëÿ ïðîñòîòû
ýòè ìåòîäû áóäåì îïèñûâàòü íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ
ïåðâîãî ïîðÿäêà

u′ (t) = f (t, u(t), u(t − τ )), t0 < t 6 T,
u(t) = ϕ(t), −τ 6 t 6 t0 .

(5.1.4.1)

Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå íèæå ìåòîäû äîïóñêàþò åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ ïîñòîÿííûõ çàïàçäûâàíèé, ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ, à òàêæå ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.

Ìåòîäû Ýéëåðà ïåðâîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.

çàïàçäûâàíèåì (5.1.4.1) íà èíòåðâàëå ñåòêè

u(tk+1 ) = u(tk ) +

Z

Èíòåãðèðóÿ ÎÄÓ ñ

[tk , tk+1 ], çàïèøåì

tk+1
tk

f (t, u(t), u(t − τ )) dt.

(5.1.4.2)

Àïïðîêñèìèðóÿ èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïî ìåòîäó ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ïîëó÷àåì îðìóëû [94, 197℄:

uk+1 = uk + hf (tk , uk , uk−N ), k = 0, 1, . . . , K − 1,
uk = ϕ(tk ), k = −N, −N + 1, . . . , 0,
îïðåäåëÿþùèå ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà. Ïîñòîÿííûé øàã ñåòêè
ðàòü èñõîäÿ èç óñëîâèÿ

h = τ /N ,

ãäå

N > 0  öåëîå

(5.1.4.3)

h

ñëåäóåò âûáè-

÷èñëî, ÷òîáû òî÷êà

tk−N

âñåãäà îêàçûâàëàñü òî÷êîé ñåòêè. Òîãäà, åñëè ñîõðàíÿòü â îïåðàòèâíîé ïàìÿòè
ïîñëåäíèå

uk−N .

N

çíà÷åíèé ñåòî÷íîé óíêöèè

uh ,

áóäåò èçâåñòíûì è çíà÷åíèå

Ìåòîä Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ÿâíûì ìåòîäîì ïåðâîãî ïîðÿäêà

àïïðîêñèìàöèè.
àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ïåðåìåííîãî øàãà

tk − τ 6= tk−N ,

ò. å. òî÷êà

tk − τ

hk .

Âîîáùå ãîâîðÿ, òåïåðü

íå ïîïàäàåò íà ñåòêó, è ìîäèèöèðîâàííûå

âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ìåòîä Ýéëåðà, áóäóò èìåòü âèä



uk+1 = uk + hk+1 f tk , uk , ũh (tk − τ ) ,
ũh (t) = ϕ(t), −τ 6 t 6 t0 .

k = 0, 1, . . . , K − 1,

(5.1.4.4)

ũh (t)  íåïðåðûâíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ñåòî÷íîé óíêöèè uh . Çíà÷åíèå
ũh (tk −τ ) âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè íà îòðåçêå [tq , tq+1 ], ãäå òî÷êà
ñåòêè tq òàêàÿ, ÷òî tq 6 tk − τ 6 tq+1 . Ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, íàèáîëåå
Çäåñü

ïðîñòóþ êóñî÷íî-ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ:

ũh (t) =

tq+1 − t
uq
hq+1

+

t − tq
hq+1

uq+1 ,

tq 6 t 6 tq+1 .

(5.1.4.5)

Ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå íåïðåðûâíûå ìåòîäû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ óíêöèè
óíêöèÿ

ũh (t)

ũh (t)

ïî ñïåöèàëüíûì àëãîðèòìàì.  ýòîì ñëó÷àå

íàçûâàåòñÿ èíòåðïîëÿíòîì ÷èñëåííîãî ìåòîäà. Íåïðåðûâíûå

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

293

ìåòîäû îñîáåííî ýåêòèâíû â ñëó÷àå ïåðåìåííîãî çàïàçäûâàíèÿ

τ = τ (t).

Ïðèâåäåííûå äàëåå ñâåäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ íåïðåðûâíûõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, èçëîæåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì [130℄.
Íåïðåðûâíûé ìåòîä Ýéëåðà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè [128, 130, 198℄:

uk+1 = ũh (tk + hk+1 ), k = 0, 1, . . . , K − 1,


ũh (tk + θhk+1 ) = uk + θhk+1 f tk , uk , ũh (tk − τ ) ,
ũh (t) = ϕ(t), −τ 6 t 6 t0 .

0 6 θ 6 1,

Íàêîíåö, íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ñ ïîñòîÿííûì øàãîì çàäàåòñÿ îðìóëàìè:

uk+1 = uk + hf (tk+1 , uk+1 , uk+1−N ), k = 0, 1, . . . , K − 1,
uk = ϕ(tk ), k = −N, −N + 1, . . . , 0.

(5.1.4.6)

Íåÿâíûå ìåòîäû õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàñøèðåííîé îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè, íî íà
êàæäîì øàãå òðåáóþò ðåøåíèÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ

uk+1 . Íåïðåðûâíûé

àíàëîã ñ ïåðåìåííûì øàãîì

hk

èìååò èíòåðïîëÿíò



ũh (tk + θhk+1 ) = uk + θhk+1 f tk+1 , uk+1 , ũh (tk+1 − τ ) ,

0 6 θ 6 1.

Ìåòîäû âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè. Ñóùåñòâóþò áîëåå òî÷íûå ìîäèèêàöèè ìåòîäà Ýéëåðà âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè. Òàê, â ìåòîäå
ñðåäíåé òî÷êè ñíà÷àëà ïîëó÷àþò ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ

tk+ 1 = tk +
2

à çàòåì îïðåäåëÿþò

uk+1

1
2 h,

uk+ 1 = uk +
2

ïî îðìóëå:



uk+1 = uk + hf tk+ 1 , uk+ 1 , uk−N + 1 ≡
2

2

2

≡ uk + hf tk + 12 h, uk +

ãäå

1
2 hf (tk , uk , uk−N ),

1
2 hfk ,

uk−N +

1
2 hfk−N ),

(5.1.4.7)

fk = f (tk , uk , uk−N ), k = 0, 1, . . . , K − 1; N > 0 òàêîå öåëîå, ÷òî h = τ /N .
Äëÿ íåïðåðûâíîãî ìåòîäà ñðåäíåé òî÷êè ñ ïåðåìåííûì øàãîì hk èíòåðïî-

ëÿíò ìîæíî âû÷èñëÿòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ũh (tk + θhk+1 ) = uk + θhk+1 f tk +
ãäå

1
2 hk+1 ,

0 6 θ 6 1, f˜k = f (tk , uk , ũh (tk − τ )).



uk + 21 hk+1 f˜k , ũh (tk − τ ) ,

Äðóãîé ìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè îñíîâàí íà îðìóëå

uk+1 = uk +



1
2h



f (tk , uk , uk−N ) + f (tk+1 , uk + hfk , uk−N + hfk−N )

(5.1.4.8)

è íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Õüþíà. Åãî íåïðåðûâíûé àíàëîã ðàññìàòðèâàåòñÿ â
[128, 198℄ è èìååò èíòåðïîëÿíò âèäà

ũh (tk + θhk+1 ) = uk + (θ −
+

1 2
˜
2 θ )hk+1 fk

1 2
2 θ hk+1 f

+



tk+1 , uk + hk+1 f˜k , ũh (tk+1 − τ ) ,

0 6 θ 6 1.

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

294

Ïîìèìî (5.1.4.7) è (5.1.4.8), ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íåÿâíûé ìåòîä âòîðîãî
ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé ìåòîäîì òðàïåöèé, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì



uk+1 = uk + 12 h f (tk , uk , uk−N ) + f (tk+1 , uk+1 , uk+1−N ) .

Ôîðìóëà äëÿ èíòåðïîëÿíòà íåïðåðûâíîãî ìåòîäà òðàïåöèé

(5.1.4.9)

ïåðåìåííûì øà-

ãîì:



tk , uk , ũh (tk − τ ) +


+ 12 θ 2 hk+1 f (tk+1 , uk+1 , ũh (tk+1 − τ )

ũh (tk + θhk+1 ) = uk + (θ −

1 2
2 θ )hk+1 f

Çàìå÷àíèå 5.6. àññìîòðåííûå âûøå ìåòîäû ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîê-

ñèìàöèè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû. Àíàëîãè÷íûå äèñêðåòíûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ îïèñûâàþòñÿ, íàïðèìåð, â [29, ñ. 243247℄,
[76, ñ. 214220℄ è [448, ñ. 64, 65℄. Íåïðåðûâíûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ áåç çàïàçäûâàíèÿ
ñì., íàïðèìåð, â [130, ðàçä. 5℄.

Ìåòîäû óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.
uk

ñåòî÷íîé óíêöèè

uh

uk+1 = uk +

Çíà÷åíèÿ

âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìóëàì

(1)
1
6 h(rk+1

(3)

(2)

(4)

+ 2rk+1 + 2rk+1 + rk+1 ),

(1)

ãäå

rk+1 = f (tk , uk , uk−N ),


1
1
1
(1)
(1)
(2)
rk+1 = f tk + h, uk + hrk+1 , uk−N + hrk+1−N ,
2
2
2


(3)
1
1
(2)
1
(2)
rk+1 = f tk + h, uk + hrk+1 , uk−N + hrk+1−N ,
2
2
2


(3)
(3)
(4)
rk+1 = f tk+1 , uk + hrk+1 , uk−N + hrk+1−N ,

h  ïîñòîÿííûé

øàã,

N > 0  òàêîå

èíòåðïîëÿíòà íåïðåðûâíîãî ìåòîäà ñ

h = τ /N .
ïåðåìåííûì øàãîì hk
öåëîå, ÷òî

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ìîæíî èñïîëüçî-

âàòü ïðèáëèæåííîå ñîîòíîøåíèå


(4) 
(3)
(2)
(1)
ũh (tk +θhk+1 ) = uk + 16 hk+1 (4θ −3θ 2 )rk+1 +2θrk+1 +2θrk+1 +(3θ 2 −2θ)rk+1 ,
0 6 θ 6 1, èëè àëüòåðíàòèâíîåñîîòíîøåíèå

(1)
ũh (tk + θhk+1 ) = uk + 16 hk+1 (4θ 3 − 9θ 2 + 6θ)rk+1 +

ãäå

(2)
(3)
(4) 
+ (6θ 2 − 4θ 3 )rk+1 + (6θ 2 − 4θ 3 )rk+1 + (4θ 3 − 3θ 2 )rk+1 .

Ìåòîäû óíãå  Êóòòû. Îáùàÿ ñõåìà.

Îïèøåì êðàòêî îáùèé ïðèíöèï

ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (5.1.4.1) íà îòðåçêå

[tk , tk+1 ], ïîëó÷èì óðàâíåíèå
(m)

(5.1.4.2). Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå óçëû

tk+1 = tk + αm hk+1 ,

m = 1, 2, . . . , M,
(1)

0 = α1 6 α2 6 · · · 6 αM 6 1. Îòìåòèì, ÷òî tk+1 = tk

(M )

è tk+1 6 tk+1 . Çàìåíÿÿ
âõîäÿùèé â ïðàâóþ ÷àñòü (5.1.4.2) èíòåãðàë êâàäðàòóðíîé îðìóëîé ñ óçëàìè
ãäå

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

295

(m)

tk+1 , ïîëó÷àåì
u(tk+1 ) ≈ u(tk ) + hk+1
ãäå

cm  âåñà

M
X

m=1



(m)
(m)
(m)
cm f tk+1 , u(tk+1 ), u(tk+1 − τ ) ,

(5.1.4.10)

(0 6 cm 6 1). ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ
(m)
çíàòü çíà÷åíèÿ u(t
k+1 ), m = 2, 3, . . . , M . Èõ

êâàäðàòóðíîé îðìóëû

îðìóëîé (5.1.4.10) íåîáõîäèìî

ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (5.1.4.1):

(m)
u(tk+1 )

= u(tk ) +

Z

(m)

tk+1
tk

f (t, u(t), u(t − τ ))dt,

m = 2, 3, . . . , M.

(5.1.4.11)

Çàìåíÿÿ èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (5.1.4.11) êâàäðàòóðíîé îðìóëîé ñ óçëàìè

(m−1)

(2)

(1)

tk+1 , tk+1 , . . . , tk+1

, ïðèõîäèì ê ïðèáëèæåííûì ðàâåíñòâàì



(1)
(1)
(1)
(2)
u(tk+1 ) ≈ u(tk ) + hk+1 β21 f tk+1 , u(tk+1 ), u(tk+1 − τ ) ,


(1)
(1)
(1)
(3)
u(tk+1 ) ≈ u(tk ) + hk+1 β31 f tk+1 , u(tk+1 ), u(tk+1 − τ ) +


(2)
(2)
(2)
+ hk+1 β32 f tk+1 , u(tk+1 ), u(tk+1 − τ ) ,

(5.1.4.12)

...

(m)

u(tk+1 ) ≈ u(tk ) + hk+1
ãäå

βmj  âåñà

m−1
X
j=1



(j)
(j)
(j)
βmj f tk+1 , u(tk+1 ), u(tk+1 − τ ) ,

êâàäðàòóðíûõ îðìóë.

Òàêèì îáðàçîì, ñ ó÷åòîì (5.1.4.11) è (5.1.4.12), îïèðàÿñü íà îðìóëó
(5.1.4.10), çàïèøåì ñòàíäàðòíóþ ñõåìó

M -ñòàäèéíîãî

ÿâíîãî ìåòîäà óíãå 

Êóòòû:

uk+1 = uk + hk+1

M
X

(m)

cm rk+1 ,

m=1

(m)

rk+1



m−1
X
(j)
βmj rk+1 , u(tk + αm hk+1 − τ ) ,
= f tk + αm hk+1 , uk + hk+1
j=1

(5.1.4.13)

êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ
óíêöèè
è

u(t)

â òî÷êàõ ñåòêè

βmj , çíà÷åíèÿ êîòîðûõ

G

uk = uh (tk )

è îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ïàðàìåòðîâ

èñêîìîé

cm , αm

âûáèðàþòñÿ èñõîäÿ èç òðåáóåìîãî ïîðÿäêà àïïðîêñè-

ìàöèè. Ïðèìåðû êîíêðåòíûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ ïðèâåäåíû,
íàïðèìåð, â [76, 93℄ (ñì. òàêæå ìåòîäû óíãå  Êóòòû âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî
ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè, îïèñàííûå âûøå).

M = 2, c1 = c2 = 21 , α1 = 0, α2 = 1, β21 = 1 è
ïîñòîÿííîì øàãå hk+1 = h â (5.1.4.13) â ñëó÷àå, êîãäà τ = N h, N  öåëîå
÷èñëî, è u(tk − τ ) = uk−N , èìååì ñõåìó Õüþíà (5.1.4.8).
◭
◮

Ïðèìåð 5.2. Ïðè

296

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Çàìå÷àíèå 5.7. Ñõåìû íåÿâíûõ ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè

m − 1 çàìåíèòü íà M∗ , ãäå
Íåÿâíûå ìåòîäû îáëàäàþò ëó÷øå óñòîé÷èâîñòüþ è ïîäõîäÿò äëÿ

âî âòîðîé îðìóëå (5.1.4.13) âåðõíèé ïðåäåë ñóììû

m 6 M∗ 6 M .

ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷. Ïîäðîáíîñòè ñì. â ðàçä. 5.1.7.

Çíà÷åíèÿ óíêöèè ñ çàïàçäûâàíèåì

u(tk + αm hk+1 − τ ),

âîîáùå ãîâî-

ðÿ, íåèçâåñòíû è îáû÷íî âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè íà îòðåçêå

[tq , tq+1 ],

ãäå

q > 0  òàêîå

tq 6 tk + αm hk+1 − τ 6 tq+1 .

öåëîå ÷èñëî, ÷òî

Íåïðåðûâíûå ìåòîäû óíãå  Êóòòû (ñì. [590, 591℄ è [130, ðàçä. 5, 6℄) äàþò
âîçìîæíîñòü íà êàæäîì øàãå âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåííîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå
(èíòåðïîëÿíò)

ũh (t)

ïî ñïåöèàëüíîé îðìóëå:

ũh (tk + θhk+1 ) = uk + hk+1

M
X

(m)

cm (θ)rk+1 ,

0 6 θ 6 1,

(5.1.4.14)

m=1
ãäå

cm (θ)  íåêîòîðûå

ìíîãî÷ëåíû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì

cm (0) = 0,

cm (1) = cm ,

m = 1, . . . , M,

è íåêîòîðûì äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì, ñâÿçàííûì ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè ìåòîäà (ñì. [130, ñ. 118, 119℄).
Âàðèàíòû íåïðåðûâíûõ ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ñ ïðèìåíåíèåì èíòåðïîëÿöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â [93, 130, 281, 297,
407, 412, 490℄ (ñì. òàêæå ññûëêè â [120, 419℄).

5.1.5. ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì
çàïàçäûâàíèåì. Çàäà÷à Êîøè

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. àññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ. ×èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì è ðîäñòâåííûõ óðàâíåíèé, à òàêæå ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ, ðàññìàòðèâàþòñÿ âî ìíîãèõ ðàáîòàõ (ñì., íàïðèìåð, [160, 212, 224, 265, 341, 359,
485, 584, 586℄). Íåêîòîðûå êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì îáñóæäàëèñü ðàíåå â ðàçä. 5.1.2.
Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì îïèøåì íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà

u′ (t) = f (t, u(t), u(pt)),
u(0) = u0 ,
ãäå

0 < t 6 T;

(5.1.5.1)

0 < p < 1.
Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå äàëåå ìåòîäû äîïóñêàþò åñòåñòâåííîå

îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ÎÄÓ áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ñ
íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè, à òàêæå ñèñòåì òàêèõ ÎÄÓ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

Êâàçèãåîìåòðè÷åñêàÿ ñåòêà.

297

Ïðè ðàáîòå ñ ÎÄÓ, ñîäåðæàùèìè ïðîïîð-

öèîíàëüíîå çàïàçäûâàíèå, ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü êâàçèãåîìåòðè÷åñêóþ ñåòêó,
ïðåäëîæåííóþ â [127℄. Ïóñòü ðåøåíèå èçâåñòíî äî íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ

= t0 > 0. Ñòðîèì ïåðâè÷íóþ

T0 =

ñåòêó ïî îðìóëå

Tn−1
p

Tn =

,

n = 1, 2, . . .

Ââåäåì ïåðâè÷íûå èíòåðâàëû:

Hn = Tn − Tn−1 = T0
Îòìåòèì, ÷òî èíòåðâàëû

Hn

1−p
,
pn

n = 1, 2, . . .

óâåëè÷èâàþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî. Òåïåðü ââåäåì

ãëîáàëüíóþ ñåòêó, ðàçäåëèâ êàæäûé ïåðâè÷íûé èíòåðâàë íà

m

ðàâíûõ ïîäûí-

òåðâàëîâ:

hk+1 =
ãäå ñèìâîë

[A]

H[k/m]+1
m

=

T0 1 − p
,
m p[k/m]+1

îáîçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà

A.

k = 0, 1, . . . ,
Òîãäà òî÷êè ñåòêè îïðåäåëÿ-

þòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

tk = T[k/m] + rk/m hk ,
ãäå

rk/m = k −m[k/m] ≡ k
Ïðè k > m èç (5.1.5.2)

mod

k = 0, 1, . . . ,

(5.1.5.2)

m  öåëî÷èñëåííûé îñòàòîê îò äåëåíèÿ k íà m.

ñëåäóåò ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå:

tk = p−1 tk−m .
t0 , m è p. Åå ïðåèìóùåpt îêàçûâàþòñÿ èçâåñò¾íàëîæåíèå¿, ò. å. äëÿ ëþáîãî t ∈ [tk , tk+1 ]

Ïîñòðîåííàÿ ãëîáàëüíàÿ ñåòêà (5.1.5.2) çàâèñèò îò

ñòâî â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòîâ ñ çàïàçäûâàíèåì
íûìè íà êàæäîì øàãå (îòñóòñòâóåò
èìååì

pt < tk ).

Ñåòêè òàêîãî ðîäà ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû [341, 359, 574℄
è ìåòîäîâ ñ âåñàìè [127, 265, 356, 357℄, îïèñàííûõ äàëåå.
Çàìå÷àíèå 5.8. Ìîæíî ïîñòðîèòü àíàëîãè÷íóþ ñåòêó áîëåå îáùåãî âèäà, åñëè

ðàçäåëèòü

ïåðâè÷íûå èíòåðâàëû íà m ïîäûíòåðâàëîâ ïðîèçâîëüíîé

Ìåòîä ñ âåñàìè.

äëèíû (ñì. [127℄).

Ïðîñòåéøèé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñîîòíîøåíèÿ

uk+1 = uk +hk+1[(1−σ)f (tk , uk , ũh(ptk ))+σf (tk+1, uk+1, ũh(ptk+1))], 0 6 σ 6 1.
Ïðè

σ = 0

σ = 1  íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà
σ = 12 ñîîòâåòñòâóåò ìåòîäó òðàïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ũh (t) ñòðîèòñÿ

èìååì îðìóëû ÿâíîãî, à ïðè

ïåðâîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè; çíà÷åíèå
ïåöèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Íåïðåðûâíîå

ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè. Íàïðèìåð, â [356℄ èñïîëüçóåòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ
èíòåðïîëÿöèÿ (5.1.4.5). Ñóùåñòâóþò òàêæå íåïðåðûâíûå ìåòîäû, àíàëîãè÷íûå
îïèñàííûì âûøå íåïðåðûâíûì ìåòîäàì äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

298

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Áîëåå ïîäðîáíîå îïèñàíèå è èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ ñ âåñàìè äëÿ ëèíåéíûõ
ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ñì. â [127, 265, 356℄, äëÿ ðîäñòâåííûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ  â [357℄.

Ìåòîäû óíãå  Êóòòû.

Îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ìåòîäîâ óíãå 

Êóòòû äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (5.1.5.1) ñîâïàäàþò ñ îïèñàííûìè âûøå ïðèíöèïàìè äëÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. àçíèöà
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîïîðöèîíàëüíîå çàïàçäûâàíèå ðàâíî íóëþ â òî÷êå

t = 0, à çíà÷èò, èíòåãðèðîâàíèå äîëæíî ïðîõîäèòü â äâà ýòàïà [130, ðàçä. 6.4.1℄.
h1 , íà êîòîðîì âû÷èñëÿåòñÿ âåëè÷èíà

Ïåðâûé ýòàï ñîñòîèò èç îäíîãî øàãà

ũh (θh1 ) = u0 + h1

M
X

(m)

cm (θ)r1 ,

0 6 θ 6 1,

m=1

(m)

r1



m−1
m−1
X
X
(m)
(j)
(j)
= f t1 , u0 + h1
βmj r1 , u0 + h1
cj (pαm )r1 .
j=1

j=1

Äàëåå ðàñ÷åò âåäåòñÿ ïî îðìóëàì:

ũh (tk + θhk+1 ) = uk + hk+1

M
X

(m)

cm (θ)rk+1 ,

0 6 θ 6 1,

m=1

(m)

rk+1



m−1
X
(m)
(j)
(m)
βmj rk+1 , Ūk+1 ,
= f tk+1 , uk + hk+1
j=1

ãäå

(m)
Ūk+1

=



m−1  (m)

uk + hk+1 P cj ptk+1 −tk r (j)

ũ pt(m)

h
k

j=1

k+1

hk+1

(m)

ïðè

ptk+1 > tk ;

ïðè

ptk+1 6 tk .

(m)

Âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû äëÿ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ðàññìàòðèâàþòñÿ â [331, 341, 359, 574℄.

Ìåòîäû ñïåêòðàëüíîé êîëëîêàöèè.

Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà êîëëîêàöèé

áûëà îïèñàíà â ðàçä. 1.4.6. Ìåòîä êîëëîêàöèé â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîãî
âûáîðà áàçèñíûõ óíêöèé ïîðîæäàåò ðÿä ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ, íàçûâàåìûõ
ìåòîäàìè ñïåêòðàëüíîé êîëëîêàöèè. Ïðèìåðû áàçèñíûõ óíêöèé, èñïîëüçóåìûõ â ìåòîäàõ ñïåêòðàëüíîé êîëëîêàöèè äëÿ ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, ïðèâåäåíû â òàáë. 5.1.
Ìíîãî÷ëåíû ßêîáè, âõîäÿùèå â òàáë. 5.1 (ñì. ïðåäïîñëåäíþþ ñòðîêó),
îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì [434, 549℄:

Pn(α,β) (t) =

(−1)n
2n n!

= 2−n

(1 − t)−α (1 + t)−β

n
X

m=0

dn
dtn

[(1 − t)α+n (1 + t)β+n ] =

n−m
m
(t − 1)n−m (t + 1)m ,
Cn+α
Cn+β

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
Òàáëèöà

5.1.

299

Áàçèñíûå óíêöèè â ìåòîäàõ ñïåêòðàëüíîé êîëëîêàöèè äëÿ ÎÄÓ ñ

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì.

Íàçâàíèå

Áàçèñíûå óíêöèè ϕn (t)

Ëèòåðàòóðà

Ñòåïåííûå óíêöèè

tn

[269, 485, 488℄

e−nt

[586℄

Ýêñïîíåíòû
Ñäâèíóòûå
ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà
Ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà

Tn (t) = cos[n arccos(2tL−1 − 1)]
Hn (t) = (−1)n et

Ìíîãî÷ëåíû Áåññåëÿ
ïåðâîãî ðîäà

Jn (t) =

àöèîíàëüíûå
óíêöèè ßêîáè

P[ N −n
]
2

ãäå

(t) =

(α,β)
(t)
Pn

Ca0 = 1

è

Cak =

t−1
t+1

2

(e−t )

(α,β)

Pn

t
2


2k+n

(t),

 ìíîãî÷ëåíû ßêîáè

Ìíîãî÷ëåíû Áåðíóëëè
ãäå

dn
dtn

(−1)k
k!(k+n)!

k=0

(α,β)

Rn

2

[575℄
[585℄
[212℄
[518℄

Bn (t)

a(a−1)...(a−k+1)
ïðè
k!

[484, 578℄

k = 1, 2, . . .

Ìíîãî÷ëåíû Áåðíóëëè, âõîäÿùèå â òàáë. 5.1 (ñì. ïîñëåäíþþ ñòðîêó), îïðåäåëÿþòñÿ ïî îðìóëàì [409, 434, 549℄:

Bn (t) =

n
X

Bk Cnk xn−k

(n = 0, 1, 2, . . . ),

k=0

ãäå

Cnk =

n!
k!(n−k)!  áèíîìèàëüíûå êîýèöèåíòû,

Bk  ÷èñëà

Áåðíóëëè, êîòî-

ðûå ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ äâîéíîé ñóììû

Bn =

n
X
k=0

1
k+1

k
X

(−1)m Ckm mn

m=0

èëè èñïîëüçóÿ ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ

B0 = 1,

n−1
X

Cnk Bk = 0.

k=0

Îòìåòèì, ÷òî ÷èñëà Áåðíóëëè âîçíèêàþò ïðè ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëîðà ãåíåðèðóþùåé óíêöèè:

t
et − 1

=

∞
X

n=0

Bn

tn
,
n!

|t| < 2π.

Ýòî ðàçëîæåíèå èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ÷èñåë Áåðíóëëè.

300

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

×èñëà Áåðíóëëè ñ íå÷¼òíûìè íîìåðàìè, êðîìå

B1 ,

ðàâíû íóëþ, à çíàêè

÷èñåë Áåðíóëëè ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè ÷åðåäóþòñÿ. Íèæå ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå
çíà÷åíèÿ íåñêîëüêèõ ÷èñåë Áåðíóëëè

1
1
B0 = 1, B1 = − 12 , B2 = 16 , B4 = − 30
, B6 = 42
,
5
691
7
1
B8 = − 30 , B10 = − 66 , B12 = − 2730 , B14 = 6 .

5.1.6. Ìåòîä ñòðåëüáû (êðàåâûå çàäà÷è)

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà ñòðåëüáû (èçâåñòíîãî

òàêæå êàê ìåòîä ïðèñòðåëêè) ñîñòîèò â ñâåäåíèè ðåøåíèÿ èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ çàäàííîãî ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó ðåøåíèþ ðÿäà îäíîòèïíûõ áîëåå ïðîñòûõ çàäà÷ Êîøè äëÿ òîãî æå ñàìîãî
óðàâíåíèÿ (óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ñòðåëüáû äëÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì
çàïàçäûâàíèåì ñì. â [206℄). Äëÿ íàãëÿäíîñòè íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ áóäåì
îáîçíà÷àòü

x

(âìåñòî

t)

è îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿä-

êà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì, â êîòîðûå ïîìèìî èñêîìîé óíêöèè

u = u(x)

âõîäèò òàêæå óíêöèÿ

w = u(px), ãäå 0 < p 6 1.

Êðàåâûå çàäà÷è ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî
ðîäà, à òàêæå ñî ñìåøàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïóñòü ðàññìàòðèx1 6 x 6 x2 (âîçìîæåí ëþáîé èç äâóõ
x1 = L, x2 = L) äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ

âàåòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à â îáëàñòè
âàðèàíòîâ:

x1 = 0, x2 = L

èëè

ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′xx = f (x, u, u′x , w, wx′ ),

w = u(px),

(5.1.6.1)

ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà

u(x1 ) = a,
ãäå

a è b  çàäàííûå

u(x2 ) = b,

(5.1.6.2)

÷èñëà.

àññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (5.1.6.1) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u(x1 ) = a,
Äëÿ ëþáîãî

λ

u′x (x1 ) = λ.

(5.1.6.3)

ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó ãðàíè÷íîìó óñëî-

âèþ (5.1.6.2) â òî÷êå

x = x1

(ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäîì óíãå  Êóòòû

èëè ñ ïîìîùüþ ëþáîãî äðóãîãî ïîäõîäÿùåãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà). Èñõîäíàÿ

λ = λ∗ , ïðè êîòîðîì
u = u(x, λ∗ ) ñîâïàäåò â òî÷êå x = x2 ñî çíà÷åíèåì, çàäàâàåìûì âòîðûì

çàäà÷à áóäåò ðåøåíà, åñëè áóäåò íàéäåíî òàêîå çíà÷åíèå
ðåøåíèå

ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (5.1.6.2):

u(x2 , λ∗ ) = b.
Ñíà÷àëà çàäàåì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå

λ = λ1

(íàïðèìåð,

λ1 = 0)

è

÷èñëåííî ðåøàåì çàäà÷ó Êîøè (5.1.6.1), (5.1.6.3).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ÷èñëî

∆1 = u(x2 , λ1 ) − b.

(5.1.6.4)

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
Äàëåå âûáèðàåì äðóãîå çíà÷åíèå

λ = λ2 , ðåøàåì

çàäà÷ó è ïîëó÷àåì

∆2 = u(x2 , λ2 ) − b.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî

λ2

áûëî âûáðàíî òàê, ÷òî

çíàêè (âîçìîæíî, äëÿ âûáîðà ïîäõîäÿùåãî

λ2

301

(5.1.6.5)

∆1

è

∆2

èìåþò ðàçëè÷íûå

ïîòðåáóþòñÿ íåñêîëüêî ïîïû-

λ èñêîìîå çíà÷åíèå λ∗ áóäåò íàõîäèòüλ3 = 21 (λ1 + λ2 ) è, ñíîâà ðåøèâ
çàäà÷ó Êîøè, ïîëó÷èì ∆3 . Èç äâóõ ïðåäûäóùèõ çíà÷åíèé λj (j = 1, 2) îñòàâèì
òî, äëÿ êîòîðîãî ∆j è ∆3 áóäóò èìåòü ðàçëè÷íûå çíàêè. Èñêîìîå çíà÷åíèå λ∗
1
áóäåò ëåæàòü ìåæäó λj è λ3 . Ïîëàãàÿ äàëåå λ4 =
2 (λj + λ3 ), íàõîäèì ∆4 è òàê
äàëåå. Ïðîöåññ áóäåì ïîâòîðÿòü äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èì λ∗ ñ òðåáóåìîé

òîê). Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ðåøåíèÿ ïî
ñÿ ìåæäó

λ1

è

λ2 .

Òîãäà, íàïðèìåð, ïîëîæèì

òî÷íîñòüþ.

Çàìå÷àíèå 5.9. Óêàçàííûé àëãîðèòì ìîæíî óñîâåðøåíñòâîâàòü, åñëè âìåñòî äå-

ëåíèÿ ïîïîëàì âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëàìè

λ3 =

|∆2 |λ1 + |∆1 |λ2
,
|∆2 | + |∆1 |

|∆3 |λj + |∆j |λ3
,
|∆3 | + |∆j |

λ4 =

...

Ôîðìóëèðîâêè íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è Êîøè.  òàáë. 5.2 ïðèâåäåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, êîòîðûå ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü
âî âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷å Êîøè äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ
ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì (5.1.6.1) ñ ðàçëè÷íûìè ëèíåéíûìè è íåëèíåéíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ëåâîì êîíöå.
Ïàðàìåòð

λ

â çàäà÷å Êîøè âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íîìó

óñëîâèþ íà ïðàâîì êîíöå.
Òàáëèöà 5.2.

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âî âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷å Êîøè, èñïîëüçóåìîé äëÿ

ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ìåòîäîì ñòðåëüáû (x1

6 x 6 x2 ).



Êðàåâàÿ çàäà÷à

ðàíè÷íîå óñëîâèå
íà ëåâîì êîíöå

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
äëÿ çàäà÷è Êîøè

1

Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

u(x1 ) = a

u(x1 ) = a, u′x (x1 ) = λ

2

Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

u′x (x1 ) = a

u(x1 ) = λ, u′x (x1 ) = a

3

Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à

u(x1 ) = λ, u′x (x1 ) = a + kλ

4

Çàäà÷à ñ íåëèíåéíûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì

u′x (x1 ) − ku(x1 ) = a
u′x (x1 ) = ϕ(u(x1 )),
ϕ(z)  çàäàííàÿ óíêöèÿ

u(x1 ) = λ, u′x (x1 ) = ϕ(λ)

5

Çàäà÷à ñ íåëèíåéíûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì

u(x1 ) = ϕ(u′x (x1 )),
ϕ(z)  çàäàííàÿ óíêöèÿ

u(x1 ) = ϕ(λ), u′x (x1 ) = λ

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî íåëèíåéíûå êðàåâûå çàäà÷è ìîãóò èìåòü îäíî ðåøåíèå, íåñêîëüêî ðåøåíèé èëè íå èìåòü ðåøåíèé âîâñå (ñì. ïðèìåðû 3.14 è 3.17
â êíèãå [448, ñ. 142, 148℄, êîòîðûå èëëþñòðèðóþò ýòè òðè ñöåíàðèÿ ñ ïîìîùüþ

302

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ áåç çàïàçäûâàíèÿ èç
òåîðèè ãîðåíèÿ). Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè íåëèíåéíûõ çàäà÷ òðåáóåòñÿ îñîáàÿ
îñòîðîæíîñòü: ïîñëå íàõîæäåíèÿ ïîäõîäÿùåãî çíà÷åíèÿ

λ = λ1

íåîáõîäèìî

ïðîâåðèòü äðóãèå äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà

λ. Åñëè ïîäõîäÿùåãî

çíà÷åíèÿ

λ1

íå óäàåòñÿ íàéòè, ñëåäóåò ðàññìîòðåòü

âîçìîæíîñòü, ÷òî çàäà÷à ìîæåò ïðîñòî íå èìåòü ðåøåíèÿ. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ
çàïàçäûâàíèåì ðàññìàòðèâàþòñÿ â [31, 261, 482℄.

Ëèíåéíûå êðàåâûå çàäà÷è. Ìîäèèöèðîâàííûé ìåòîä ñòðåëüáû. àñ-

ñìîòðèì ëèíåéíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

u′′xx + f1 (x)u′x + f2 (x)wx′ + f3 (x)u + f4 (x)w = g(x),

w = u(px),

(5.1.6.6)

è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäà îáùåãî âèäà

a1 u′x + b1 u = 0
a2 u′x + b2 u = 0

ïðè
ïðè

x = 0,
x = l.

(5.1.6.7)
(5.1.6.8)

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (5.1.6.6)  (5.1.6.8) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
åøåíèå ëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è (5.1.6.6)  (5.1.6.8) ïðîùå âñåãî ïîëó÷èòü
ñ ïîìîùüþ ìîäèèöèðîâàííîãî ìåòîäà ñòðåëüáû, êîòîðûé èçëàãàåòñÿ íèæå.
Ñíà÷àëà íàéäåì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ

u1 = u1 (x),

êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ

ðåøåíèåì âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (5.1.6.6) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u = a1

ïðè

x = 0;

Èç (5.1.6.9) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ

u′x = −b1

ïðè

x = 0.

(5.1.6.9)

u1 = u1 (x) óäîâëåòâîðÿåò ëåâîìó ãðàíè÷íîìó
u0 = u0 (x), êîòîðàÿ

óñëîâèþ (5.1.6.7). Çàòåì íàéäåì âñïîìîãàòåëüíóþ óíêöèþ

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äðóãîé âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (5.1.6.6) ïðè

g(x) = 0

ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.1.6.9).

Ââèäó ëèíåéíîñòè ýòîé çàäà÷è è îäíîðîäíîñòè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé óíêöèÿ

Cu0 (x)

òàêæå áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (5.1.6.6), óäîâëåòâîðÿþùèì ëåâî-

ìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (5.1.6.7). Ïîýòîìó ðåøåíèå èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è
(5.1.6.6)  (5.1.6.8) èùåì â âèäå ñóììû

u(x) = u1 (x) + Cu0 (x).

(5.1.6.10)

Ïîñêîëüêó óíêöèÿ (5.1.6.10) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïðàâîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (5.1.6.8), ïîëó÷èì ëèíåéíîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèå
ïîñòîÿííîé

C:
a2 u′1 (l) + b2 u1 (l) + C[a2 u′0 (l) + b2 u0 (l)] = 0.

(5.1.6.11)

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

303

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (5.1.6.6)  (5.1.6.8) ñâåëîñü ê ðåøåíèþ äâóõ âñïîìîãàòåëüíûõ çàäà÷ Êîøè, êîòîðûå ìîæíî ÷èñëåííî
ïðîèíòåãðèðîâàòü ëþáûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì, îïèñàííûì â äàííîé ãëàâå. Â
ñëó÷àå êðàåâîé çàäà÷è ñ íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ïðåäâàðèòåëüíîì ýòàïå íàäî ñäåëàòü ïðåîáðàçîâàíèå, ñâîäÿùåå åå ê çàäà÷å ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ çàìåíû

u = v + A2 x2 + A1 x + A0 , âûáèðàÿ

ïîäõîäÿùèì îáðàçîì ïîñòîÿííûå

Am ).

5.1.7. Èñïîëüçîâàíèå ïàêåòà Mathemati a äëÿ ÷èñëåííîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

 ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ áûëè ðàññìîòðåíû

íåêîòîðûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì. Ýòè ìåòîäû ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé ñèñòåì ÎÄÓ. Îäíàêî íå âñå èç íèõ õîðîøî
ðàáîòàþò ñ æåñòêèìè ñèñòåìàìè, êîòîðûå, â ÷àñòíîñòè, âîçíèêàþò ïðè ïðîñòðàíñòâåííîé äèñêðåòèçàöèè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â ìåòîäå ïðÿìûõ (ñì.
äàëåå ðàçä. 5.2.2). Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè îíà îïèñûâàåò ïðîöåññû,
ïðîèñõîäÿùèå íà ñèëüíî îòëè÷àþùèõñÿ âðåìåííûõ ìàñøòàáàõ [76, 148℄. Ïðè
÷èñëåííîì ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ îãðàíè÷åíèÿ íà ðàçìåð øàãà íàêëàäûâàþòñÿ íå äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè, à äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè àëãîðèòìà
[148℄, ïðè÷åì îáû÷íî ïîäõîäÿò ëèøü ÷ðåçìåðíî ìàëåíüêèå øàãè. Äëÿ ðåøåíèÿ
æåñòêèõ ñèñòåì ïðèìåíÿþòñÿ íåÿâíûå ìåòîäû èç êëàññîâ óíãå  Êóòòû è
ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ

èðà.

Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûå ïðîãðàììíûå ïàêåòû Mathemati a è Maple, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïðîâîäèòü êîìïüþòåðíûå âû÷èñëåíèÿ è ïðîãðàììèðîâàòü â àíàëèòè÷åñêîé (ñèìâîëüíîé) îðìå. Äàëåå ìû
îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ïàêåòà Mathemati a äëÿ
ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé.
 ïàêåòå Mathemati a æåñòêèå ñèñòåìû ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
(â òîì ÷èñëå ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè) ÷èñëåííî ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ
êîìàíäû

NDSolve

[554556℄. Áåç äîïîëíèòåëüíûõ îïöèé êîìàíäà

NDSolve

èñïîëüçóåò êîìïëåêñíûé ìåòîä, ïðè êîòîðîì â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäèò àâòîìàòè÷åñêàÿ ñìåíà ìåòîäîâ è âûáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ìåòîäà. Ñ
ïîìîùüþ îïöèè

Method êîìàíäû NDSolve ìîæíî

âðó÷íóþ çàäàòü îäèí èç

âñòðîåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ: íåÿâíûé ìåòîä óíãå 
Êóòòû [557, 558℄ èëè íåÿâíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä

èðà, îñíîâàííûé íà îð-

ìóëå äèåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (BDF  Ba kward differentiation formula [559℄).
Ïðèâåäåì äàëåå êðàòêîå îïèñàíèå ìåòîäîâ íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè äëÿ
ñèñòåìû ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì, çàïèñàííîé â âåêòîðíîé îðìå:

u′t = f (t, u, u(t − τ )), 0 < t 6 T ;
u(t) = ϕ(t), −τ 6 t 6 0,

(5.1.7.1)

304

ãäå

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
u = (u1 , . . . , uN )T , ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕN )T , f = (f1 , . . . , fN )T  âåêòîð-ñòîëáöû.

Íåÿâíûé ìåòîä óíãåÊóòòû. Ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ñõåì óíãå  Êóòòû

äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñàíû â ðàçä. 5.1.4. Íåÿâíûå ñõåìû óíãå 
Êóòòû äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ (5.1.7.1) ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî è îïðåäåëÿþòñÿ
îðìóëàìè [130, 557, 558℄:

uk+1 = uk + hk+1

M
X

(m)

cm rk+1 ,

m=1

k = 0, . . . , K − 1,

(5.1.7.2)



M∗
X
(j)
(m)
βmj rk+1 , u(tk + αm hk+1 − τ ) ,
rk+1 = f tk + αm hk+1 , uk + hk+1
j=1

(5.1.7.3)

ãäå

(m)

rk

=

(m)

(m)

(m)
T

r1,k , r2,k , . . . , rN,k

 âåêòîð-ñòîëáåö âñïîìîãàòåëüíûõ óíê-

(m)
öèé rn,k , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò èñêîìîé óíêöèè un , âðåìåííîìó
ñëîþ tk è ñòàäèè m, n = 1, . . . , N , k = 1, . . . , K , m = 1, . . . , M ; hk+1 =

= tk+1 − tk  øàã ñåòêè, cm  âåñà êâàäðàòóðíîé îðìóëû (0 6 cm 6 1),
αm  êîýèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå óçëû êâàäðàòóðíîé îðìóëû, βmj  âåñà
ïðîìåæóòî÷íûõ êâàäðàòóðíûõ îðìóë. Çíà÷åíèÿ óíêöèé ñ çàïàçäûâàíèåì

u(tk +αm hk+1 −τ ) âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè íà îòðåçêå [tq , tq+1 ],
q > 0  òàêîå öåëîå ÷èñëî, ÷òî tq 6 tk + αm hk+1 − τ 6 tq+1 , åñëè çíà÷åíèå
tk +αm hk+1 −τ ëåæèò âíå òî÷åê ñåòêè, è ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè uq , êîòîðûå
áûëè âû÷èñëåíû ðàíåå íà ñëîå tq , åñëè tk +αm hk+1 −τ = tq . àçëè÷íûå ìåòîäû
ãäå

óíãå  Êóòòû ïîðîæäàþòñÿ ðàçëè÷íûìè êâàäðàòóðíûìè îðìóëàìè, êîòîðûå

îïðåäåëÿþòñÿ íàáîðàìè êîýèöèåíòîâ

βmj , cm

è

αm .

Ìåòîä, îñíîâàííûé íà îðìóëàõ (5.1.7.2)  (5.1.7.3), ÿâëÿåòñÿ íåÿâíûì

M-

ñòàäèéíûì ìåòîäîì. Åãî îòëè÷èå îò ÿâíîãî ìåòîäà (5.1.4.13) (ïîìèìî òîãî, ÷òî
îí çàïèñàí äëÿ ñèñòåì) â òîì, ÷òî ñóììà â (5.1.7.3) âû÷èñëÿåòñÿ äî

M∗ , à íå äî

m − 1. Ïðè M∗ = m − 1 èìååì ÿâíûé ìåòîä (5.1.4.13), çàïèñàííûé äëÿ ñèñòåì
(m)
M∗ = m çíà÷åíèÿ rk íàõîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èç îòäåëüíûõ
(m)
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.  ñëó÷àå M∗ = M çíà÷åíèÿ rk
íåîáõîäèìî èñêàòü
ñðàçó äëÿ âñåõ ñòàäèé èç ñèñòåìû N × M óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïî óìîë÷àíèþ
ÎÄÓ.  ñëó÷àå

â ïàêåòå Mathemati a ðåøàåòñÿ ìåòîäîì Íüþòîíà (îïèñàíèå ýòîãî ìåòîäà ñì.
â [30, 76℄).
Äëÿ óñïåøíîãî ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷ âàæíî ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùèå

êîýèöèåíòû êâàäðàòóðíûõ îðìóë.  ïàêåòå Mathemati a ïî óìîë÷àíèþ
çíà÷åíèÿ êîýèöèåíòîâ îïðåäåëÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Íî ìîæíî âûáðàòü âèä
ýòèõ êîýèöèåíòîâ âðó÷íóþ ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà

Method

êîìàíäû

NDSolve

Coeffi ients

îïöèè

[558℄. Íàïðèìåð, ýòî ìîãóò áûòü êîýèöèåíòû

Ëîáàòòî IIIC, êîòîðûå îñíîâàíû íà êâàäðàòóðíûõ îðìóëàõ Ëîáàòòî [92, 358℄.
Ïåðâûé è ïîñëåäíèé óçëû êâàäðàòóðíîé îðìóëû Ëîáàòòî ñîâïàäàþò ñ íà÷àëîì è êîíöîì îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîýòîìó

α1 = 0, αM = 1;

îñòàëüíûå

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
êîýèöèåíòû

αm

ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè ïðîèçâîäíûõ ìíîãî÷ëåíîâ Ëåæàíäðà:

dM −2
−2
dαM
m



−1
αM
(αm − 1)M −1 = 0.
m

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ êâàäðàòóðíûå îðìóëû ïîðÿäêà

c1 , . . . , cM

305

è êîýèöèåíòû

βmj

(5.1.7.4)

2M − 2.

Âåñà

êâàäðàòóðíûõ îðìóë Ëîáàòòî îïðåäåëÿþòñÿ

èç óñëîâèé

M
X

cm αγ−1
m =

1
,
γ

βmj αγ−1
=
j

αγm
γ

m=1
M
X
j=1

γ = 1, . . . , 2M − 2;
(5.1.7.5)

, m = 1, . . . , M, γ = 1, . . . , M − 1;

βm1 = c1 , m = 1, . . . , M.

àçìåð øàãà

hk

ìåòîäà (5.1.7.2)  (5.1.7.3) â ïàêåòå Mathemati a îïðåäåëÿåò-

ñÿ àâòîìàòè÷åñêè èñõîäÿ èç îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ [557℄. Äëÿ

pè
ïîðÿäêîì p̂
âåñàìè cm ñðàâíèâàþòñÿ ñ ðåøåíèÿìè âñïîìîãàòåëüíîãî ìåòîäà
è âåñàìè ĉm (ïî óìîë÷àíèþ p̂ = p − 1). Ïðè ýòîì êîýèöèåíòû αm è βmj
(m)
îáîèõ ìåòîäîâ ñîâïàäàþò, à çíà÷èò, ñîâïàäàþò è çíà÷åíèÿ sk , ÷òî îòìåíÿåò

ýòîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå îñíîâíûì ìåòîäîì ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè

íåîáõîäèìîñòü âòîðîé ðàç ðåøàòü íåëèíåéíóþ ñèñòåìó (5.1.7.3).
Çàìå÷àíèå 5.10.  çàäà÷àõ ñ ðåøåíèÿìè, äîñòèãàþùèìè àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé

âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (ñì., íàïðèìåð, òåñòîâóþ çàäà÷ó 2 ðàçä. 5.2) êîìàíäå

NDSolve

ñ âûáðàííûì ìåòîäîì óíãå  Êóòòû ìîãóò ïîòðåáîâàòüñÿ ìèíóòû è äåñÿòêè ìèíóò
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ. Ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü âðåìÿ ðàáîòû ìåòîäà äî íåñêîëüêèõ
ñåêóíä ìîæíî óâåëè÷åíèåì äîïóñòèìûõ àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé
ñ ïîìîùüþ îïöèé

q

è

p

A

ura yGoal → q

è

Pre isionGoal → p.

Ïðè çàäàííûõ

ïðîãðàììà ïîïûòàåòñÿ ñäåëàòü òàê, ÷òîáû ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî
−q
+ 10−p |x|.
ðåøåíèÿ íå ïðåâûñèëà çíà÷åíèÿ 10

çíà÷åíèÿõ

Ìåòîä èðà. Ìåòîä

èðà âñòðîåí â ïàêåò Mathemati a êàê ÷àñòü ïàêåòà IDA,

âõîäÿùåãî â áèáëèîòåêó ìåòîäîâ SUNDIALS, êîòîðàÿ ðàçðàáàòûâàåòñÿ Ëèâåðìîðñêîé íàöèîíàëüíîé ëàáîðàòîðèåé èì. Ý. Ëîóðåíñà, ÑØÀ (IDA  Impli it
Differential-Algebrai

solver  íåÿâíûé äèåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèé ðå-

øàòåëü, SUNDIALS  SUite of Nonlinear and DIfferential/ALgebrai

equation

Solvers  íàáîð íåëèíåéíûõ è äèåðåíöèàëüíûõ/àëãåáðàè÷åñêèõ ðåøàòåëåé)
[559℄. Ïðîãðàììíûé êîä ìåòîäîâ IDA (ñì. ðóêîâîäñòâî ïîëüçîâàòåëÿ [282℄)
îñíîâàí íà DASPK [158, 159℄  ïðîãðàììàõ íà ÿçûêå Ôîðòðàí, ïîçâîëÿþùèõ
ðåøàòü äèåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû áîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé.

M -øàãîâûé ìåòîä

èðà äëÿ ñèñòåìû (5.1.7.1) îñíîâàí íà îðìóëå [76, 148,

282℄:

α0 uk − hk f (tk , uk , u(tk − τ )) = −

M
X

m=1

αm uk−m .

(5.1.7.6)

306

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

u(tk −τ ) âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè íà îòðåçêå [tq , tq+1 ],
q > 0  òàêîå öåëîå ÷èñëî, ÷òî tq 6 tk − τ 6 tq+1 , åñëè çíà÷åíèå tk − τ ëåæèò
âíå òî÷åê ñåòêè, è ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè uq , êîòîðûå áûëè âû÷èñëåíû
ðàíåå íà ñëîå tq , åñëè tk − τ = tq Ñèñòåìó íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåÇíà÷åíèÿ

ãäå

íèé (5.1.7.6) ìîæíî ðåøàòü òåì èëè èíûì èòåðàöèîííûì ìåòîäîì, íàïðèìåð,
ìåòîäîì Íüþòîíà.
×òîáû ìåòîä

èðà èìåë

p-é ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè, ñëåäóåò ïîëîæèòü [76,

ñ. 255℄:

α0 = −

M
X

M
X

αm ,

m=1

m=1

mαm = −1,

M
X

mj αm = 0,

Íàèâûñøèé äîñòèæèìûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè
ðàâåí

j = 2, 3, . . . , p.

(5.1.7.7)

m=1

M -øàãîâîãî

ìåòîäà

èðà

M.
M = 1

Ïîëàãàÿ

â (5.1.7.6)  (5.1.7.7), ïîëó÷èì îðìóëó íåÿâíîãî ìåòîäà

Ýéëåðà (5.1.4.6). Ïðè

M = 2, M = 3

è

M = 4 èìååì ñîîòíîøåíèÿ [76, ñ. 256℄:

3uk − 4uk−1 + uk−2 = 2hk f (tk , uk , u(tk − τ )),
11uk − 18uk−1 + 9uk−2 − 2uk−3 = 6hk f (tk , uk , u(tk − τ )),
25uk − 48uk−1 + 36uk−2 − 16uk−3 + 3uk−4 = 12hk f (tk , uk , u(tk − τ )),
îïðåäåëÿþùèå ìåòîäû

èðà âòîðîãî, òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñè-

ìàöèè ñîîòâåòñòâåííî.
 Mathemati a ìåòîä

Ek
hk è ïîðÿäîê
kEk /ωk k < 1, ãäå n-ÿ

èðà íà êàæäîì âðåìåííîì ñëîå âû÷èñëÿåò îöåíêó

ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè è àâòîìàòè÷åñêè âûáèðàåò ðàçìåð øàãà

M

òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå

ωn,k

êîìïîíåíòà

âåêòîðà

ωk

îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå

ωn,k =

1
10−p |un,k | + 10−q

.

p è q íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ îïöèé Pre isionGoal → p
yGoal → q êîìàíäû NDSolve. Íîðìà k · k ïî óìîë÷àíèþ àâòîìà-

Çíà÷åíèÿ êîíñòàíò
è

A ura

òè÷åñêè âûáèðàåòñÿ êîìàíäîé

NDSolve â çàâèñèìîñòè îò ìåòîäà ðåøåíèÿ
pP (íî

ìîæåò áûòü çàäàíà âðó÷íóþ). Äëÿ ìåòîäà
[560℄.
Øàãè

hk

âûáèðàþòñÿ êîìàíäîé

èðà ýòî íîðìà âèäà

NDSolve

kxk2 =

|xi |2

àâòîìàòè÷åñêè. Ìàêñèìàëüíîå

êîëè÷åñòâî øàãîâ, çà êîòîðîå ïðîãðàììà îáÿçàíà ïîñòðîèòü ðåøåíèå, ïî óìîë÷àíèþ îöåíèâàåòñÿ ïî âåëè÷èíå íà÷àëüíîãî øàãà [561℄, ÷òî ìîæåò îêàçàòüñÿ
íåñîñòîÿòåëüíûì, åñëè, íàïðèìåð, ðåøåíèå íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó (ñì., íàïðèìåð, òåñòîâóþ çàäà÷ó 2 ðàçä. 5.2). Ñíÿòü
ýòî îãðàíè÷åíèå ìîæíî ñ ïîìîùüþ îïöèè

NDSolve.

MaxSteps → ∞

âíóòðè êîìàíäû

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

307

5.1.8. Òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.
Ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé
Íåêîòîðûå òî÷íûå ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ïðåäñòàâëåíû â [81, 213,
214, 440℄. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ýòèõ ðàáîò, ÷òîáû ïîñòðîèòü íåñêîëüêî
ìîäåëüíûõ çàäà÷ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ óíêöèè

NDSolve.

 ðàññìàòðèâàåìûõ äàëåå òåñòîâûõ çàäà÷àõ äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, êàê
ïðàâèëî, ðåøåíèå çàäà÷ âåëîñü íà âðåìåííîì èíòåðâàëå

τ = 0.05, τ = 0.1, τ = 0.5.

âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ:

T = 50 τ

äëÿ òðåõ

Èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå

÷èñëåííûå ìåòîäû, âñòðîåííûå â ïðîãðàììíûé ïàêåò Mathemati a 11.2.0:
1) ìåòîä óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè,
2) ìåòîä óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè,
3) ìåòîä

èðà,

4) êîìïëåêñíûé ìåòîä, îñíîâàííûé íà êîìáèíàöèè ðàçíûõ ìåòîäîâ.
Ïîä îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ

uk = uh (tk )

òåñòî-

âîé çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì áóäåì ïîíèìàòü âåëè÷èíó

σ = max |(ue − uk )/ue |,
16k6K

ãäå

ue = ue (tk )  çíà÷åíèå

òî÷íîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðè

êîëè÷åñòâî øàãîâ ïî âðåìåíè, âûáèðàåìîå êîìàíäîé
Òåñòîâàÿ

çàäà÷à

1.

t = tk , K



NDSolve àâòîìàòè÷åñêè.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì

çàïàçäûâàíèåì

u′t = a(1 − abτ 2 ) + b(u − w)2 ,
u(t) = at + c, −τ 6 t 6 0,

w = u(t − τ ),

t > 0;

(5.1.8.1)

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

u(t) = at + c,
Çäåñü

a, b, c  ñâîáîäíûå

t > 0.

(5.1.8.2)

ïàðàìåòðû.

Çàäà÷ó Êîøè (5.1.8.1) óäàëîñü ðåøèòü íà âñåì âðåìåííîì èíòåðâàëå äëÿ
âñåõ òðåõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ âñåìè èñïîëüçóåìûìè ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè
ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà

10−15 . Ìåòîäû óíãå  Êóòòû ñòàëêè-

âàþòñÿ ñ íåêîòîðûìè ïðîáëåìàìè â íà÷àëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè: ïðîãðàììà
âûáèðàåò øàã àâòîìàòè÷åñêè è äåëàåò åãî ÷ðåçâû÷àéíî ìàëûì, ÷òî ïðèâîäèò
ê ïîâûøåíèþ êîëè÷åñòâà èòåðàöèé è ïîòåíöèàëüíî ìîæåò çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü âðåìÿ ðàáîòû ìåòîäà. Íà ðèñ. 5.1 êðóæî÷êàìè èçîáðàæåíû ðåçóëüòàòû
÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è
ìåòîäîì

èðà äëÿ âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ

b = 1, c = 1;
Òåñòîâàÿ

τ = 0.5 è çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ a = 0.5,

ñïëîøíûå ëèíèè ñîîòâåòñòâóþò òî÷íûì ðåøåíèÿì âèäà (5.1.8.2).
çàäà÷à

çàïàçäûâàíèåì

2.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì

u′t = w2/u,
βt

u(t) = e ,

w = u(t − τ ),

−τ 6 t 6 0,

t > 0;

(5.1.8.3)

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

308

1



u
(а)

12




6

6

3

3
5

èñ. 5.1.

(б)

12

9

0

u

10

15

20

0

t

5

10

15

20

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè) òåñòî-

âîé çàäà÷è (5.1.8.1) ïðè

a = 0.5, b = 1, c = 1 è τ = 0.5, ïîëó÷åííûå ìåòîäàìè: à) óíãå 

Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è á)

èðà.

èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

u(t) = eβt ,
τ

Ïðè çàäàííîì

çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

β

t > 0.

(5.1.8.4)

îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëåííî èç òðàíñöåí-

äåíòíîãî óðàâíåíèÿ

β − e−2βτ = 0

ñ ïîìîùüþ êîìàíäû

FindRoot [562℄.

Çàäà÷ó Êîøè (5.1.8.3) óäàëîñü ðåøèòü íà âñåì âðåìåííîì èíòåðâàëå äëÿ
âñåõ òðåõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ âñåìè ìåòîäàìè ñ òàêèìè îòíîñèòåëüíûìè
ïîãðåøíîñòÿìè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé:

10−7  äëÿ êîìïëåêñíîãî ìåòîäà è ìåòîäà
10−13  äëÿ ìåòîäà

−8  äëÿ ìåòîäà óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà,
èðà, 10

óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Íà ðèñ. 5.2 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè òî÷íîãî
ðåøåíèÿ (5.1.8.4) è ïîëó÷åííîãî ìåòîäîì óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (5.1.8.3) äëÿ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.5.

τ = 0.05

è

Âèäíà êà÷åñòâåííàÿ ðàçíèöà ìåæäó ðåøåíèÿìè ïðè ìàëûõ è óìåðåí-

íûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ.

10

·105

u

6

·105

4

6·105

2

3·105

0

0.5

èñ. 5.2.

u

12·105

(а)

8

1

1.5

2

t

0

(б)

5

10

15

20

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ìåòîäîì óíãå  Êóòòû

÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè) çàäà÷è (5.1.8.3) äëÿ äâóõ âðåìåí
çàïàçäûâàíèÿ: à)

τ = 0.05 è

á)

τ = 0.5.

5.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
Òåñòîâàÿ

çàäà÷à

3.

309

Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîãî ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì

çàïàçäûâàíèåì

u′t = w exp(u2 + w2 ),
p
u(t) = ln β cos(βt),

w = u(t − τ ),
β=

3π
,
2τ

t > 0;
(5.1.8.5)

−τ 6 t 6 0,

èìååò ïåðèîäè÷åñêîå òî÷íîå ðåøåíèå

u(t) =

p

ln β cos(βt),

t > 0.

(5.1.8.6)

Ïðè èíòåãðèðîâàíèè çàäà÷è (5.1.8.5) êàæäûé èç èñïîëüçóåìûõ ÷èñëåííûõ
ìåòîäîâ õîðîøî îïèñûâàåò íåñêîëüêî ïåðèîäîâ, à çàòåì ïðåðûâàåòñÿ ñ îøèáêîé. Âðåìåííûå èíòåðâàëû àäåêâàòíûõ ðàñ÷åòîâ ïî ìåòîäàì óíãå  Êóòòû
øèðå, ÷åì ïî ìåòîäó
âàíèÿ

τ

èðà è êîìïëåêñíîìó ìåòîäó. Ñ óâåëè÷åíèåì çàïàçäû-

ýòè èíòåðâàëû ðàñøèðÿþòñÿ. Íà ðèñ. 5.3 êðóæî÷êàìè èçîáðàæåíû

ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (5.1.8.5), ïîëó÷åííûå ìåòîäîì óíãå 
Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äëÿ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.05 è τ = 0.5 (ãðàèêè

÷èñëåííûõ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è, ïîëó÷åííûõ äðóãèìè ìåòîäàìè,
êà÷åñòâåííî àíàëîãè÷íû ïðèâåäåííûì è çäåñü îïóñêàþòñÿ); ñïëîøíûå ëèíèè
ñîîòâåòñòâóþò òî÷íûì ðåøåíèÿì âèäà (5.1.8.6).
Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå (5.1.8.6) áûñòðî îñöèëëèðóåò ïðè ìàëûõ

τ

è ÿâëÿ-

åòñÿ ñèíãóëÿðíûì îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà çàïàçäûâàíèÿ (ïîñêîëüêó ýòî ðåøå-

τ → 0).

Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæ-

ðåøåíèÿ ïðè óìåðåííûõ çíà÷åíèÿõ

τ , ïî-âèäèìîìó, ñâÿçàí ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ

íèå íå èìååò ïðåäåëà ïðè

íîñòè èñïîëüçóåìûõ çäåñü ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ïðè ìàëûõ

τ . Ñðûâ ÷èñëåííîãî

ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Êîñâåííûì ïîäòâåðæäåíèåì âûñêàçàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ìîæåò ñëóæèòü íåóñòîé÷èâîñòü (â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè) åäèíñòâåííîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ

3

u

2

2
(а)

u=0

äàííîãî óðàâíåíèÿ.

(б)

u

1
1
0

0
0.1

0.2

1

t

-1

2

3

4

t

-1

-2
-3

-2

èñ. 5.3.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ìåòîäîì óíãå  Êóòòû

÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè) çàäà÷è (5.1.8.5) äëÿ äâóõ âðåìåí
çàïàçäûâàíèÿ: à)

τ = 0.05 è

á)

τ = 0.5.

Çàìå÷àíèå 5.11. Îïèñàííûå â ðàçä. 5.1.7 ÷èñëåííûå ìåòîäû, âñòðîåííûå â ïàêåò

Mathemati a, ïðèìåíÿëèñü òàêæå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè äëÿ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ

310

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì.  ðàçä. 6.1.1 ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàëàñü çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ Õàò÷èíñîíà; â ðàçä. 6.1.2 ìåòîäîì

èðà ïîëó÷åíî ðåøå-

íèå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Íèêîëñîíà; â ðàçä. 6.1.3 ìåòîäîì óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî
ïîðÿäêà ðåøåíà çàäà÷à äëÿ ñèñòåìû òèïà Ìýêêè  ëàññà.

5.2. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ
çàïàçäûâàíèåì

5.2.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Ìåòîä äåêîìïîçèöèè
îáëàñòè ïî âðåìåíè

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Çàäà÷à äëÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì. Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì âî ìíîãîì àíàëîãè÷íû îñîáåííîñòÿì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (ñì. ðàçä. 5.1.2). Ïîýòîìó ïðîöåäóðà ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿåòñÿ áîëåå
ñëîæíîé, ÷åì äëÿ àíàëîãè÷íûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî îðìóëèðîâêè íà÷àëüíûõ äàííûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ
íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (ïðèìåðû òàêèõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè
â ãë. 3) ñîâïàäàþò ñ îðìóëèðîâêàìè íà÷àëüíûõ äàííûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
äëÿ ëèíåéíûõ Óð×Ï, êîòîðûå ïðèâåäåíû â ðàçä. 2.2.
àññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + f (u, w),
ãäå

u = u(x, t), w = u(x, t − τ ), a > 0, ñ
u(x, t) = g(x, t),

0 < x < L,

t > 0,

(5.2.1.1)

íà÷àëüíûìè äàííûìè

0 < x < L,

−τ 6 t 6 0,

(5.2.1.2)

è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà

u(0, t) = u(L, t) = 0,

t > 0.

(5.2.1.3)

Çàìå÷àíèå 5.12. Çàäà÷à, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (5.2.1.1) ñ

íà÷àëüíûìè äàííûìè (5.2.1.2) è íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà

u(0, t) = h1 (t),

u(L, t) = h2 (t),

t > 0,

x
L [h2 (t) − h1 (t)]
ñâîäèòñÿ ê íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷å ñ çàïàçäûâàíèåì ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè
ãäå

h1 (t) è h2 (t)  çàäàííûå

óñëîâèÿìè äëÿ óíêöèè

óíêöèè, ïîäñòàíîâêîé

u = U + h1 (t) +

U = U (x, t).  ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàííîå óðàâíåíèå áóäåò
x è t, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ìàëîñóùåñòâåííûì îñëîæíåíèåì

ÿâíî çàâèñåòü îò ïåðåìåííûõ
çàäà÷è.

Ìåòîä äåêîìïîçèöèè îáëàñòè ïî âðåìåíè äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì.
Ïðè ïîñòîÿííîì çàïàçäûâàíèè ìîæíî ïðîèçâåñòè äåêîìïîçèöèþ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè

0 6 t 6 T,

ðàçäåëèâ

[0, T ]

íà íåñêîëüêî îòðåçêîâ

5.2. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
ðàâíîé äëèíû:

[0, τ ], [τ, 2τ ], . . . (ñì., íàïðèìåð, [279℄).
0 < t 6 τ ïðèíèìàåò âèä

311

 ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à

(5.2.1.1)  (5.2.1.3) íà îòðåçêå

ut = auxx + f (u, g), 0 < x < L,
u(x, 0) = g(x, 0), 0 < x < L,
u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 6 t 6 τ.

0 < t 6 τ,
(5.2.1.4)

w(x, t) ≡ g(x, t) ïðè 0 < t 6 τ . Ïóñòü ïîëó÷åíà óíêöèÿ
u1 (x, t)  ðåøåíèå çàäà÷è (5.2.1.4), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé áåç çàïàçäûâàíèÿ.
Òîãäà ìîæíî ïåðåéòè ê ðåøåíèþ ïîäçàäà÷è íà ñëåäóþùåì îòðåçêå τ < t 6 2τ ,
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî

êîòîðàÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:

ut = auxx + f (u, u1 ), 0 < x < L,
u(x, τ ) = u1 (x, τ ), 0 < x < L,
u(0, t) = u(L, t) = 0, τ < t 6 2τ.
Çäåñü óæå

w(x, t) ≡ u1 (x, t)

ïðè

τ < t 6 2τ,

τ < t 6 2τ .

(5.2.1.5)

àññóæäàÿ äàëåå àíàëîãè÷-

íûì îáðàçîì, ìîæíî â èòîãå ïîñòðîèòü ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è (5.2.1.1) 
(5.2.1.3). Êàæäàÿ ïîäçàäà÷à ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé áåç çàïàçäûâàíèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò
áûòü ðåøåíà ëþáûì èçâåñòíûì àíàëèòè÷åñêèì èëè ÷èñëåííûì ìåòîäîì äëÿ
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåç çàïàçäûâàíèÿ (íàïðèìåð, ðàçíîñòíûìè
ìåòîäàìè èëè ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ).
Çàìå÷àíèå 5.13. Ìåòîä äåêîìïîçèöèè îáëàñòè ïî âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì

îáîáùåíèåì ìåòîäà øàãîâ, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ Êîøè äëÿ ÎÄÓ ñ

f (u, w) = f1 (w)u + f0 (w) â óðàâíåíèè
[0, τ ], [τ, 2τ ], . . . áóäóò ëèíåéíûìè.

çàïàçäûâàíèåì (ñì. ðàçä. 1.1.5). Åñëè
òî ïîäçàäà÷è íà âñåõ îòðåçêàõ

(5.2.1.1),

5.2.2. Ìåòîä ïðÿìûõ (ñâåäåíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ê
ñèñòåìå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì)

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

Íà äàííûé ìîìåíò òåîðèÿ ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàííîé ïî ñðàâíåíèþ ñ
òåîðèåé ðåøåíèÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ýòî êàñàåòñÿ êàê àíàëèòè÷åñêèõ (ñì.,
íàïðèìåð, ãëàâó 1 è [8, 94, 216, 222, 272, 328, 329, 333, 495℄), òàê è ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì., íàïðèìåð, ðàçä. 5.1 è [130, 334, 493℄). Âäîáàâîê, øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûå ïðîãðàììíûå ïàêåòû, òàêèå êàê Maple, Mathemati a
è MATLAB, ïîçâîëÿþò ðåøàòü ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì [379,
381, 556℄. Ïîýòîìó ïîëåçíî ñíà÷àëà ñâåñòè óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ê ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ
çàïàçäûâàíèåì è çàòåì ðåøàòü èìåííî åå, à íå èñõîäíîå óðàâíåíèå. Òàêîé
ïîäõîä ÷àñòî ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïðÿìûõ [55, 284℄. Áîëüøîå ÷èñëî
ïðîãðàìì, àíàëèçèðóþùèõ ìîäåëè äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ
ìåòîäà ïðÿìûõ, ñîäåðæèòñÿ â êíèãå [483℄.

Óð×Ï ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì. Ââåäåì ïðî-

ñòðàíñòâåííóþ ñåòêó

xn = nh, n = 0, 1, . . . , N , h = L/N  øàã ñåòêè, N  ÷èñëî

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

312

ïðîñòðàíñòâåííûõ èíòåðâàëîâ. Ñâåäåì çàäà÷ó (5.2.1.1)  (5.2.1.3) ê ñèñòåìå
ÎÄÓ, àïïðîêñèìèðîâàâ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîèçâîäíóþ ðàçíîñòíûì àíàëîãîì
è çàïèñàâ óðàâíåíèå â òî÷êå

xn :

(un )′t = aδxx un + f (un , wn ), n = 1, . . . , N − 1,
u0 (t) = uN (t) = 0, 0 6 t 6 T ;
un (t) = gn (t), n = 1, . . . , N − 1, −τ 6 t 6 0,

0 < t 6 T;
(5.2.2.1)

δxx un = h−2 (un+1 −2un +un−1 ). Ñèñòåìà (5.2.2.1) ñîäåðæèò N −1 íåèçâåñòíûõ óíêöèé un (t) è ñòîëüêî æå óðàâíåíèé, à òàêæå äâå èçâåñòíûå óíêöèè
u0 (t) è uN (t).
ãäå

ëàâíàÿ ïðîáëåìà òàêîãî ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ æåñòêîé, êîãäà øàã ñåòêè ïðèõîäèòñÿ óìåíüøàòü èç ñîîáðàæåíèé óñòîé÷èâîñòè, à íå ñ öåëüþ óâåëè÷åíèÿ
òî÷íîñòè àëãîðèòìà. Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû òðåáóåòñÿ ðàçðàáîòêà è ïðèìåíåíèå ñïåöèàëüíûõ ìåòîäîâ, îáëàäàþùèõ ïîâûøåííîé óñòîé÷èâîñòüþ [120,
493℄. Îáû÷íî ýòî àëãîðèòìû èç êëàññà íåÿâíûõ ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû [130,
297, 407℄. Èõ èñïîëüçîâàíèå ïðåäïîëàãàåò âû÷èñëåíèÿ â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ

tm + αj sm , ãäå sm  øàã ïî âðåìåíè, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé
+ αj sm − τ , êîòîðûå ìîãóò íå ñîâïàäàòü

óíêöèé ñ çàïàçäûâàíèåì â òî÷êàõ tm

ñ òî÷êàìè ñåòêè.  ýòîì ñëó÷àå ïðèâëåêàþò àëãîðèòìû èíòåðïîëÿöèè. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ìåòîäîâ óíãå  Êóòòû ñì. â ðàçä. 5.1.4 è 5.1.7.

Áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòè ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè ïðîâåñòè äèñêðåòèçàöèþ ïî
ïðîñòðàíñòâó ñ ïîìîùüþ òî÷åê ×åáûøåâà 
421℄:

xn =

L
2

+

L
2

cos



πn
N


,

àóññà  Ëîáàòòî [143, 301, 385,

n = 0, 1, . . . , N.

Òîãäà ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïî îðìóëå

uxx (xn , t) ≈
ãäå

N
X

cni u(xi , t),

i=0

cni  êîýèöèåíòû äèåðåíöèàëüíîé ìàòðèöû (ïîäðîáíîñòè,

ñì. â [169,

238, 550℄).  ðåçóëüòàòå, ó÷èòûâàÿ îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì
íåëèíåéíóþ ñèñòåìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

(un )′t

=a

N
−1
X

cni ui + f (un , wn ),

i=1

un (t) = gn (t),
Ïðè

n = 0, 1, . . . , N,

n = 1, . . . , N − 1,

0 < t 6 T;

(5.2.2.2)

−τ 6 t 6 0.

f (u, w) = ur(w) ñèñòåìó (5.2.2.2) óäîáíî çàïèñàòü â îïåðàòîðíîé îðìå

[301℄:

u′t = aCu + Ru, 0 < t 6 T ;
u = g, −τ 6 t 6 0,

5.2. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

313

u, g  âåêòîð-ñòîëáöû,

N −1
C = [cni ]n,i=1
 äèåðåíöèàëüíàÿ ìàòðèöà, R =
= diag{r(w1 ), . . . , r(wN −1 )}  äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðèìåíèì ðàçëîæåíèå

ãäå

àóññà  ßêîáè:

C = A + B,

A = diag{C},

Àïïðîêñèìèðóÿ óíêöèþ ñ çàïàçäûâàíèåì
ðàöèè
ðàöèè

w
u

B = C − A.

w çíà÷åíèÿìè ñ ïðåäûäóùåé èòå-

(k) , ïîëó÷àåì ñèñòåìó ÎÄÓ äëÿ çíà÷åíèé óíêöèè íà ñëåäóþùåé èòå(k+1) :

(u(k+1) )′t = (aA + R(k) )u(k+1) + aBu(k) ,

u

(k+1)

ãäå

k = 0, 1, . . .

è

= g,

0 < t 6 T;

−τ 6 t 6 0,

u(0)  ïðîèçâîëüíîå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå. Îáû÷íî áåðåòñÿ
u

(0)

=

(

g(t),
g(0),

−τ 6 t 6 0,
t > 0.

Èòîãîâàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ÎÄÓ ïîäõîäèò äëÿ ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé [301℄
è ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè, îïèñàííûìè â ðàçä. 5.1.4 è 5.1.7.

Óð×Ï âîëíîâîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì.

àññìîòðèì òåïåðü íà÷àëüíî-

êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âîëíîâîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì
äîñòàòî÷íî îáùåãî âèäà:

εutt + σut = [p(x, u)ux ]x + q(x, u, w)ux + f (x, u, w), t > 0, 0 6 x 6 L;
u(x, t) = ϕ0 (x, t), ut (x, t) = ϕ1 (x, t), −τ 6 t 6 0;
(5.2.2.3)
u(0, t) = ψ0 (t), u(1, t) = ψ1 (t), t > 0,
ãäå

w = u(x, t − τ );

óíêöèè

p, q

è

f

äîïîëíèòåëüíî ìîãóò ÿâíî çàâèñåòü îò t.

Ýòî óðàâíåíèå âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (ε

= 0, σ = 1), óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà

çàïàçäûâàíèåì (ε

íåëèíåéíûå òåëåãðàíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäû-

âàíèåì (ε

= 1, σ = 0),
= 1, σ 6= 0).

îðäîíà ñ

Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðÿìûõ ê óðàâíåíèÿì ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà íåîáõîäèìî ââåñòè âòîðóþ èñêîìóþ óíêöèþ

v = ut .  èòîãå ïîëó÷èì:

ut = v, t > 0, 0 6 x 6 L;
εvt + σv = [p(x, u)ux ]x + q(x, u, w)ux + f (x, u, w), t > 0, 0 6 x 6 L;
u(x, t) = ϕ0 (x, t), v(x, t) = ϕ1 (x, t), −τ 6 t 6 0;
(5.2.2.4)
u(0, t) = ψ0 (t), u(L, t) = ψ1 (t), t > 0,
v(0, t) = (ψ0 )′t , v(L, t) = (ψ1 )′t , t > 0.
Ââåäåì ïðîñòðàíñòâåííóþ ñåòêó

xn = nh, ãäå n = 0, 1, . . . , N , h = L/N  øàã

N  ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ

èíòåðâàëîâ. Àïïðîêñèìèðóÿ ïðîèçâîäíûå

ñåòêè,

314

ïî

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

x ðàçíîñòíûìè àíàëîãàìè è çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå â òî÷êå xn , ñâîäèì çàäà÷ó

(5.2.2.4) ê ñèñòåìå ÎÄÓ:

(un )′t = vn , n = 1, . . . N − 1, 0 < t 6 T ;
ε(vn )′t + σvn = δx [pn δx un ] + qn δx un + fn , n = 1, . . . , N − 1, 0 < t 6 T ;
un (t) = ϕ0 (xn , t), vn (t) = ϕ1 (xn , t), n = 0, 1, . . . , N, −τ 6 t 6 0;
u0 (t) = ψ0 (t), uN (t) = ψ1 (t), 0 < t 6 T,
v0 (t) = (ψ0 )′t , vN (t) = (ψ1 )′t , 0 < t 6 T.
(5.2.2.5)

un = un (t) = u(xn , t), vn = vn (t) = v(xn , t), wn = u(xn , t−τ ), pn = p(xn , un ),
qn = q(xn , un , wn ), fn = f (xn , un , wn ), T  âðåìåííîé èíòåðâàë âû÷èñëåíèé,
δx  ðàçíîñòíûé îïåðàòîð, êîòîðûé èìååò âèä:

Çäåñü

δx un =
δx [pn δx un ] =

1
h2

1
(u
h n+1

− un ),

[pn (un+1 − un ) − pn−1 (un − un−1 )].

N − 1 íåèçâåñòíóþ óíêöèþ un (t), N − 1 íåèçâåñòvn (t) è 2N − 2 óðàâíåíèÿ, à òàêæå ÷åòûðå èçâåñòíûå óíêöèè
u0 (t), uN (t), v0 (t), vN (t).
Ñèñòåìà (5.2.2.5) ñîäåðæèò

íóþ óíêöèþ

Ñõåìà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì ìåòîäîì ïðÿìûõ
ñ ïîìîùüþ ïàêåòà Mathemati a. Ïðîöåäóðà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà-

÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (5.2.2.3) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà Mathemati a ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 5.4 è ìîæåò áûòü îïèñàíà â âèäå ñëåäóþùåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé:

1◦ .

Ôîðìóëèðóåì çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèÿ, íà÷àëüíûõ äàííûõ è

ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.

2◦ .
3◦ .

Âûáèðàåì

N  ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ

èíòåðâàëîâ.

Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, òî ââîäèì íî-

v = ut .
◦
4 . Ïðèìåíÿåì ìåòîä ïðÿìûõ è ïîëó÷àåì ñèñòåìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì,

âóþ ïåðåìåííóþ

ñîñòîÿùóþ, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, èç
íåíèÿ è

N −1

N −1

óðàâ-

íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (ïëþñ äâà àëãåáðàè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèÿ íà

ãðàíèöå îáëàñòè), èëè, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå, èç

2N − 2 óðàâíåíèé è 2N − 2

íà÷àëüíûõ óñëîâèé (ïëþñ ÷åòûðå àëãåáðàè÷åñêèõ

ñîîòíîøåíèÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè).

5◦ .
6◦ .

Âûáèðàåì âðåìåííîé èíòåðâàë

7◦ .

 ñëó÷àå âîçíèêíîâåíèÿ îøèáîê â ïðîöåññå ðàñ÷åòà, ïðîáóåì ñîêðàòèòü

00

x

ïî

è

è

s → 0,

(5.2.3.3)

q > 0 ïî t, åñëè

kψh k = O(hp + sq ).
Åñëè

kψh k → 0

ïðè ëþáûõ çàêîíàõ ñòðåìëåíèÿ

s

è

h

ê íóëþ, òî òà-

êóþ àïïðîêñèìàöèþ íàçûâàþò áåçóñëîâíîé. Èíîãäà âñòðå÷àþòñÿ ñõåìû, äëÿ
êîòîðûõ íîðìà íåâÿçêè åñòü

kψh k = O(hp + sq + sr/hm ).

 ýòîì ñëó÷àå äëÿ

kψh k → 0 íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ sr/hm → 0. Òàêóþ
àïïðîêñèìàöèþ íàçûâàþò óñëîâíîé.

Åñëè ïðè ñãóùåíèè ñåòîê ðàñ÷åò íå ñòðåìèòñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ, à íàîáîðîò, ïðîèñõîäèò íåîãðàíè÷åííîå íàðàñòàíèå ìàëûõ íà÷àëüíûõ îøèáîê, òî
ãîâîðÿò î íåóñòîé÷èâîé ñõåìå.
Ñõåìà (5.2.3.2) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (5.2.1.2) è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.2.1.3) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè ðåøåíèå

uh
f

âõîäíûõ äàííûõ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ óíêöèÿìè

íåïðåðûâíî çàâèñèò îò
è

ϕ,

è ýòà çàâèñèìîñòü

ðàâíîìåðíà îòíîñèòåëüíî øàãà ñåòêè [29℄. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî
íàéäåòñÿ òàêîå
ìàëûõ

h),

δ(ε),

íå çàâèñÿùåå îò øàãà

h (ïî êðàéíåé ìåðå, äëÿ äîñòàòî÷íî

÷òî åñëè

kf I − f II k 6 δ
òî

ε>0

è

kϕI − ϕII k 6 δ,

kuIh − uIIh k 6 ε.

Íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò
÷àñòè, à íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò

f íàçûâàþò óñòîé÷èâîñòüþ ïî ïðàâîé
ϕ  óñòîé÷èâîñòüþ ïî íà÷àëüíûì äàí-

íûì.
Äëÿ Óð×Ï ñóùåñòâóåò ïîíÿòèå óñëîâíîé è áåçóñëîâíîé óñòîé÷èâîñòè.
Óñòîé÷èâîñòü íàçûâàåòñÿ áåçóñëîâíîé, åñëè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì ñîîòíîøåíèè øàãîâ ïî ðàçëè÷íûì ïåðåìåííûì, ëèøü áû îíè áûëè

5.2. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

319

äîñòàòî÷íî ìàëû. Åñëè øàãè ïî ðàçíûì ïåðåìåííûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü
äîïîëíèòåëüíûì ñîîòíîøåíèÿì, òî óñòîé÷èâîñòü íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé.
Íà íà÷àëüíîì ñëîå â ñåòî÷íîå ðåøåíèå âíîñèòñÿ ïîãðåøíîñòü íà÷àëüíûõ
äàííûõ. Íà êàæäîì ïîñëåäóþùåì ñëîå äîïîëíèòåëüíî âíîñÿòñÿ ïîãðåøíîñòè
àïïðîêñèìàöèè äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è êðàåâûõ óñëîâèé. Âñå ýòè
ïîãðåøíîñòè ïåðåäàþòñÿ íà ïîñëåäóþùèå ñëîè è ìîãóò óñèëèâàòüñÿ â õîäå
ðàñ÷åòà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ õîðîøåé òî÷íîñòè íóæíî, ÷òîáû âñå ýòè ïîãðåøíîñòè
áûëè ìàëû è â õîäå ðàñ÷åòà íå ñèëüíî âîçðàñòàëè.
îâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíîå ðåøåíèå ñõîäèòñÿ ê òî÷íîìó, åñëè

kuh − uk → 0
Ìåòîä ñõîäèòñÿ ñ ïîðÿäêîì

ïðè

h→0

p > 0 ïî x è q > 0

kuh − uk = O(hp + sq )

è

ïî

s → 0.

t, åñëè

ïðè

h → 0.

àçíîñòíóþ ñõåìó (5.2.3.2) íàçûâàþò êîððåêòíîé, åñëè ñõåìà óñòîé÷èâà è
åå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ

f.

Äàëåå áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû (ñõåìû) äëÿ çàäà÷
òèïà (5.2.1.1)  (5.2.1.3) ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì.

ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà. Îïòèìèçàöèÿ õðàíåíèÿ äàííûõ â îïåðàòèâíîé ïàìÿòè. àññìîòðèì ðàâíîìåðíóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ ñåòêó xn = nh (n =
h = L/N  øàã ïî ïðîñòðàíñòâó. Ïóñòü s  øàã ïî
÷òî M s = τ , M  íàòóðàëüíîå. Àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíóþ

= 0, 1, 2, . . . , N ),
âðåìåíè òàêîé,

ãäå

ïî âðåìåíè ðàçíîñòíûì àíàëîãîì âèäà

ut ≈ s−1 (un,k+1 − un,k ),
à ïðîèçâîäíóþ ïî ïðîñòðàíñòâó  ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà

uxx ≈ δxx un,k = h−2 (un+1,k − 2un,k + un−1,k ).
Çàïèøåì çàäà÷ó (5.2.1.1)  (5.2.1.3) â âèäå ðàçíîñòíîé ñõåìû:

un,k+1 = un,k + asδxx un,k + sf (un,k , un,k−M ),
n = 1, 2, . . . , N − 1, k = 0, . . . , K − 1;
u0,k = uN,k = 0, k = 0, 1, . . . , K;
un,k = gn,k , n = 0, 1, . . . , N, k = −M, . . . , 0.
Èç (5.2.3.4) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé íà ñëîå
èíîðìàöèÿ íå òîëüêî ñ ïðåäûäóùåãî ñëîÿ

n,

íî è ñî ñëîÿ

(5.2.3.4)

k + 1 òðåáóåòñÿ
n − M . Ïîýòîìó

íåîáõîäèìî ñîõðàíÿòü â ïàìÿòè çíà÷åíèÿ ñî âñåõ âðåìåííûõ ñëîåâ â äèàïàçîíå

âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ, òàê êàê îíè èñïîëüçóþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèÿ.
Ñèòóàöèÿ îñëîæíÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòüþ êîíòðîëèðîâàòü âûïîëíåíèå êðèòåðèÿ
Êóðàíòà

s<

h2
2ku(x, t)k

äëÿ òîãî, ÷òîáû ÿâíàÿ ñõåìà (5.2.3.4) áûëà óñòîé÷èâîé.

320

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ çàïàçäûâàíèåì òðåáóåòñÿ õðàíèòü äîñòàòî÷íîå áîëüøîé îáúåì äàííûõ, ê êîòîðûì íåîáõîäèìî èìåòü ïîñòîÿííûé äîñòóï. ×àùå
âñåãî îáúåì äàííûõ ïðåâûøàåò îáúåì áûñòðîé êýø-ïàìÿòè ïðîöåññîðà, à çíà÷èò, íåîáõîäèìî âçàèìîäåéñòâîâàòü ñ îïåðàòèâíîé ïàìÿòüþ. Çíà÷èò, ñêîðîñòü
ðàñ÷åòîâ çàâèñèò îò ñêîðîñòè ðàáîòû ñ îïåðàòèâíîé ïàìÿòüþ âëèÿåò íà ñêîðîñòü ðàñ÷åòîâ. Îòìåòèì, ÷òî âàðèàíò õðàíåíèÿ íà âíåøíåì íîñèòåëå èñêëþ÷àåòñÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå çàòðàòû âðåìåíè íà ÷òåíèå è çàïèñü ñëèøêîì
âåëèêè.
 [11, 27, 155℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü çàòðàòû îïåðàòèâíîé ïàìÿòè. Ïðåäëàãàåòñÿ õðàíèòü äàííûå íå ñî âñåõ
âðåìåííûõ ñëîåâ, à òîëüêî ñ íåêîòîðûõ îïîðíûõ, è âîññòàíàâëèâàòü ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèè.  ïðîöåññå ðàñ÷åòà êîëè÷åñòâî
îïîðíûõ âðåìåííûõ ñëîåâ â ïðåäåëàõ äèàïàçîíà çàïàçäûâàíèÿ ìîæåò ìåíÿòüñÿ
äëÿ ñîõðàíåíèÿ áàëàíñà ìåæäó òî÷íîñòüþ àëãîðèòìà è õðàíèìûì îáúåìîì
äàííûõ è çàâèñèò îò ãëàäêîñòè óíêöèè. Âèä èíòåðïîëÿöèè âûáèðàåòñÿ èñõîäÿ
èç ïàðàìåòðîâ è ñâîéñòâ êîíêðåòíîé ìîäåëè.
ëàäêîñòü óíêöèè îïðåäåëÿåì ïî îðìóëå [27, 155℄:

Γ(t + s) = max

16n6N

Ââåäåì ïàðàìåòð

p

u(xn , t + s) − u(xn , t)
u(xn , t)

òàêîé, ÷òîáû êàæäûé

p-é

.

ñëîé âíóòðè äèàïàçîíà çàïàçäû-

âàíèÿ áûë îïîðíûì. Äëÿ ìèíèìèçàöèè îøèáîê èíòåðïîëÿöèè, íî ñîõðàíåíèÿ

p ðåêîìåíäóåòñÿ âûáèðàòü
u ìåíÿþòñÿ ñëèøêîì áûñòðî,

äîñòàòî÷íî âûñîêîé ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé, çíà÷åíèÿ
èç äèàïàçîíà îò 1 äî 20. Åñëè çíà÷åíèÿ óíêöèè

òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè àëãîðèòìà ñëåäóåò ñîõðàíÿòü âñå ñëîè,
ò. å. âçÿòü

p = 20.

p = 1.

Åñëè óíêöèÿ ìåíÿåòñÿ ìåäëåííî (Γ

< 0.01),

ñëåäóåò âçÿòü

 ýòîì ñëó÷àå ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì äåìîíñòðèðóåò íàèáîëüøóþ

ýåêòèâíîñòü.  [27, 155℄ ïðåäëîæåíî ýìïèðè÷åñêîå ïðàâèëî ðàñ÷åòà îïòèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà îïîðíûõ ñëîåâ äëÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ çàäà÷:

p = τ s−1 [1 + exp(2 − 50 Γ(t))]−1 .
q â äèàïàçîíå çàïàçäûâàíèÿ çàâèñèò îò ïàðàs.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà p è s èêñèðîâàíû,
−1 s−1 .
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé q = τ p
Ïóñòü t̂j  âðåìÿ j -ãî îïîðíîãî ñëîÿ (j = 1, 2, . . . , q ), ûn,j  çíà÷åíèå óíêöèè u íà îïîðíîì ñëîå j . Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ çíà÷åíèé ïðîìåæóòî÷íûõ ñëîåâ
ïî q îïîðíûì ñëîÿì, ò. å. íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé u(xn , t) ïðè tk−M 6 t 6 tk−1 ,
Îáùåå ÷èñëî õðàíèìûõ ñëîåâ

ìåòðà

p

è øàãà ïî âðåìåíè

ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Íüþòîíà [27, 155℄:

u(xn , t) = R(ûn,1 ) + (t − t̂1 )R(ûn,1 , ûn,2 ) + · · · +

+ (t − t̂1 )(t − t̂2 ) . . . (t − t̂q−1 )R(ûn,1 , . . . ûn,q ),

5.2. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
ãäå ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè

R(. . . ) îïðåäåëÿþòñÿ

321

ïî îðìóëàì:

R(ûn,1 ) = ûn,1 ,
ûn,2 − ûn,1
,
t̂2 − t̂1
R(ûn,2 , . . . ûn,q ) − R(ûn,1 , . . . ûn,q−1 )
.
R(ûn,1 , . . . ûn,q ) =
tq − t1

R(ûn,1 , ûn,2 ) =

Âàæíî, ÷òî èçëîæåííûé àëãîðèòì íå çàâèñèò îò ÷èñëåííîé ñõåìû, à ëèøü
óñòàíàâëèâàåò ïîðÿäîê õðàíåíèÿ äàííûõ çà âðåìÿ ýâîëþöèè (èëè âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ) ñèñòåìû. Ïîýòîìó îí ìîæåò áûòü ëåãêî îáîáùåí íà èñïîëüçîâàíèå ñ
äðóãèìè ðàçíîñòíûìè ñõåìàìè.

Íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà. Èñïîëüçóÿ äåêîìïîçèöèþ ïî âðåìåíè, áóäåì
[0, τ ], [τ, 2τ ], . . .
xn = nh (n = 0, 1, 2, . . . , N ), tk = ks
ïî ïðîñòðàíñòâó, s = τ /M  øàã ïî

ðåøàòü çàäà÷ó (5.2.1.1)  (5.2.1.3) ïîñëåäîâàòåëüíî íà îòðåçêàõ
Ïîñòðîèì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ïî ïðàâèëàì:
(k

= 0, 1, 2, . . . , K ), ãäå h = L/N
M  íàòóðàëüíîå ÷èñëî.

âðåìåíè,

 øàã

Àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè

ðàçíîñòíûì àíàëîãîì âèäà

ut ≈ s−1 (un,k+1 − un,k ),
à ïðîèçâîäíóþ ïî ïðîñòðàíñòâó  ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà

uxx ≈ δxx un,k+1 = h−2 (un+1,k+1 − 2un,k+1 + un−1,k+1 ).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

w(x, t) = g(x, t)

ïðè

0 < t 6 τ,

çàïèøåì íåÿâíóþ ðàçíîñòíóþ

ñõåìó çàäà÷è (5.2.1.1)  (5.2.1.3) íà ýòîì èíòåðâàëå:

(1 − asδxx )un,k+1 = un,k + sf (un,k+1 , gn,k+1−M ),
n = 1, 2, . . . , N − 1, k = 0, . . . , K − 1;
u0,k+1 = uN,k+1 = 0, k = 0, 1, . . . , K;
un,0 = gn,0 , n = 0, 1, . . . , N.

(5.2.3.5)

τ < t 6 2τ çíà÷åíèÿ w(x, t) òàêæå áóäóò èçâåñòíû è
çíà÷åíèÿì u(x, t), âû÷èñëåííûì íà ïðåäûäóùåì èí-

Íà ñëåäóþùåì èíòåðâàëå
ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì
òåðâàëå

0 < t 6 τ . Ïðîäîëæàÿ âû÷èñëåíèÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëàõ, ïî-

ëó÷èì ðåøåíèå íà âñåì òðåáóåìîì âðåìåííîì èíòåðâàëå.  [279℄ óñòàíîâëåíû
óñëîâèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñõåìû (5.2.3.5). Â [231℄ äîêàçàíà ñõîäèìîñòü
ýòîé ñõåìû ñ ïîðÿäêîì

h2 + s

è èññëåäîâàíà åå óñòîé÷èâîñòü.

Çàìå÷àíèå 5.16. Ñõåìà (5.2.3.5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåëèíåéíóþ ñèñòåìó ðàç-

íîñòíûõ óðàâíåíèé, è åå ðåøåíèå ìîæíî âåñòè èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè, íàïðèìåð,
ìåòîäîì Ïèêàðà  Øâàðöà [279℄ èëè ìåòîäîì âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé [368, 369,
417, 418℄.

àçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè. àññìîòðèì çàäà÷ó (5.2.1.1)  (5.2.1.3) â îáëàñòè

Q = {0 6 x 6 L, 0 6 t 6 T }.

Ïîñòðîèì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ïî ïðàâèëàì:

322

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

xn = nh (n = 0, 1, 2, . . . , N ), tk = ks (k = 0, 1, 2, . . . , K ), ãäå h = L/N  øàã ïî
ïðîñòðàíñòâó, à s = τ /M  øàã ïî âðåìåíè, M  íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Îáîçíà÷èì fn,k = f (un,k , wn,k (t)) è çàïèøåì ñõåìó ñ âåñàìè (ñì., íàïðèìåð,
[54, 56, 340℄):

(1 − σasδxx )un,k+1 = [1 + (1 − σ)asδxx ]un,k + sfn,k ,
n = 1, 2, . . . , N − 1, k = 0, 1, . . . , K − 1;
u0,k = uN,k = 0, k = 0, 1, . . . , K;
un,k = gn,k , n = 0, 1, . . . , N, k = −M, . . . , −1, 0,
ãäå

0 6 σ 6 1. Çíà÷åíèå

âåñà

σ=0

(5.2.3.6)

ñîîòâåòñòâóåò ÿâíîé ñõåìå. Ïðè

0 1/2 ñõåìà áåçóñëîâíî
σ < 1/2, ñì. [340℄).

óñòîé÷èâà (ïîäðîáíåå îá óñòîé÷èâîñòè, â òîì ÷èñëå ïðè

Çàìå÷àíèå 5.17. îäñòâåííàÿ ñõåìà ñ âåñàìè äëÿ óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî

òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì ðàññìàòðèâàåòñÿ, íàïðèìåð, â [56, 423℄, à äëÿ óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, ñîäåðæàùåãî çàïàçäûâàíèå â äèóçèîííîì ÷ëåíå,  â [569℄.

àçíîñòíûå ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.

Äëÿ äîñòà-

òî÷íî ãëàäêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (5.2.1.1) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ
óñòîé÷èâóþ ìíîãîøàãîâóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè

h4 + s2
(A −

[512℄:

1
1
2 asδxx )un,k+1 = (A + 2 asδxx )un,k +
+ sAf ( 32 un,k − 21 un,k−1 , 12 un,k+1−M

n = 1, 2, . . . , N − 1,
ãäå ðàçíîñòíûé îïåðàòîð

A

+ 21 un,k−M ),

k = 0, 1, . . . , N − 1,

îïðåäåëÿåòñÿ òàê:

Aun,k =

1
12 (un−1,k

+ 10un,k + un+1,k ).

Çàìå÷àíèå 5.18. Äëÿ ðîäñòâåííûõ áîëåå ñëîæíûõ óðàâíåíèé ðåàêöèîííî-äèó-

çèîííîãî òèïà àíàëîãè÷íûå ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ñõåìû ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà
àïïðîêñèìàöèè ïðèâåäåíû â [596, 598℄.

Äâå ñïåöèàëüíûå ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ëèíåéíîé çàäà÷è.

 ñòàòüå

[286℄ ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ñïåöèàëüíûå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ çàäà÷è
(5.2.1.1)  (5.2.1.3) ñ ëèíåéíîé êèíåòè÷åñêîé óíêöèåé

f (u, w) = bw.

Ïðåä-

ëîæåííûå ñõåìû îáëàäàþò òàêîé æå îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè, ÷òî è èñõîäíàÿ
çàäà÷à. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ âûáîðîì øàãîâ ïî ïðîñòðàíñòâó è ïî âðåìåíè, à
òàêæå îñîáûì ñïîñîáîì àïïðîêñèìàöèè.
Îáå ñõåìû èñïîëüçóþò îäíó è òó æå ñåòêó. Øàã ïî ïðîñòðàíñòâó âû÷èñëÿ-

h̃ = 2 sin( 12 h), ãäå h  êëàññè÷åñêèé øàã ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêè;
øàã ïî âðåìåíè  s = τ /(M − ε), ãäå M  íàòóðàëüíîå, 0 6 ε < 1. Îòìåòèì, ÷òî
îòðåçêè [0, τ ], [τ, 2τ ], . . . ñîäåðæàò, â îáùåì ñëó÷àå, íåöåëîå êîëè÷åñòâî øàãîâ
åòñÿ ïî îðìóëå

ïî âðåìåíè, â îòëè÷èå îò ñõåì, ðàññìîòðåííûõ âûøå.

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

323

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðâîé ñõåìû ïðèìåíÿåòñÿ ïðàâèëî òðàïåöèé, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ è ñëàãàåìîå ñ çàïàçäûâàíèåì âû÷èñëÿþòñÿ êàê
ñðåäíèå îò çíà÷åíèé ñ äâóõ ñîñåäíèõ âðåìåííûõ ñëîåâ:

uxx ≈

1
δ̃ (u
2 xx n,k+1

+ un,k ),

bw ≈

b
(wn,k+1
2

+ wn,k ),

δ̃xx un,k = h̃−2 (un+1,k − 2un,k + un−1,k ). Ñåòî÷íàÿ óíêöèÿ wn,k àïïðîêñèìèðóåò óíêöèþ w(x, t) â òî÷êå (xn , tk ) ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè:
ãäå

wn,k = εun,k−M +1 + (1 − ε)un,k−M .

(5.2.3.7)

Òîãäà óðàâíåíèå (5.2.1.1) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(2−asδ̃xx )un,k+1 = (2+asδ̃xx )un,k +bs[εun,k−M +2 +un,k−M +1 +(1−ε)un,k−M ].
Âòîðàÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿ ñõåìà îñíîâàíà íà ïðèìåíåíèè äèåðåíöèàëüíîé îðìóëû ¾íàçàä¿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè è ìîæåò áûòü çàïèñàíà òàê:

1
(3un,k+2
2s

− 4un,k+1 + un,k ) = aδ̃xx un,k+2 + bwn,k+2 .

Èñïîëüçóÿ ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ (5.2.3.7) äëÿ

wn,k+2

è ïåðåãðóïïèðîâûâàÿ

ñëàãàåìûå, èìååì



3 − 2asδ̃xx un,k+2 = 4un,k+1 − un,k + 2bs[εun,k−M +3 + (1 − ε)un,k−M +2 ].

Çäåñü íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ

un,1 (n = 1, . . . , N − 1),

êîòîðûå ìîæíî

ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ
çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

5.3.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ

Êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñóùåñòâåííûì îáðàçîì îñëîæíÿþò ïîëó÷åíèå àäåêâàòíûõ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé. Äåëî â òîì, ÷òî äàæå
ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ òåîðåòè÷åñêèå îöåíêè òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñîäåðæàò êîíñòàíòû, êîòîðûå çàâèñÿò îò ãëàäêîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî ðåøåíèÿ è îáû÷íî íå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû àïðèîðíî
(îñîáåííî ýòî êàñàåòñÿ íåãëàäêèõ ðåøåíèé, êîòîðûå òèïè÷íû äëÿ óðàâíåíèé ñ
çàïàçäûâàíèåì). Ïðàêòè÷åñêàÿ ñõîäèìîñòü ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, îñíîâàííàÿ íà
èçìåëü÷åíèè ðàñ÷åòíîé ñåòêè, òàêæå íå ìîæåò â ïîëíîé ìåðå ãàðàíòèðîâàòü íàäåæíîñòü èñïîëüçóåìûõ ñõåì è òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ (îñîáåííî âáëèçè çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ çàäà÷è, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåóñòîé÷èâûì ðåøåíèÿì, èëè âáëèçè òåõ
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ñèíãóëÿðíîñòÿì óðàâíåíèÿ èëè
áîëüøèì ãðàäèåíòàì ðåøåíèé).

324

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íàèáîëåå ýåêòèâíûì è ñàìûì íàãëÿäíûì ñïîñîáîì
îöåíêè îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè è òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîå ñðàâíåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé òåñòîâûõ çàäà÷.  ãëàâå 3 áûëî
ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî êëàññîâ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå äîïóñêàþò òî÷íûå ðåøåíèÿ â ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ. Ýòè
óðàâíåíèÿ è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ ñîäåðæàò ðÿä ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ (êîòîðûå
ìîæíî âàðüèðîâàòü) è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ
îöåíêè òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ñì. ðàçä. 5.3.4 è 5.3.5).

5.3.2. Îñíîâíûå ïðèíöèïû âûáîðà òåñòîâûõ çàäà÷
Äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì (èëè
áåç çàïàçäûâàíèÿ) ïðè âûáîðå òåñòîâûõ çàäà÷, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ïðîâåðêè
àäåêâàòíîñòè è îöåíêè òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ è ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, ïîëåçíî ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ïðèíöèïàìè.

1◦ .

Íàèáîëåå íàäåæíû òåñòîâûå çàäà÷è, ïîëó÷åííûå ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ

òî÷íûõ ðåøåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì.

2◦ .

Ïðåäïî÷òèòåëüíåå âûáèðàòü ïðîñòûå òåñòîâûå çàäà÷è, ðåøåíèÿ êîòî-

ðûõ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè.

3◦ .

Ïðåäïî÷òèòåëüíåå âûáèðàòü òåñòîâûå çàäà÷è, ñîäåðæàùèå ñâîáîäíûå

ïàðàìåòðû, êîòîðûå ìîæíî ñâîáîäíî âàðüèðîâàòü â øèðîêèõ ïðåäåëàõ, èëè
ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

4◦ .

Ìîæíî âûáèðàòü òåñòîâûå çàäà÷è èç áîëåå øèðîêîãî êëàññà óðàâíåíèé

àíàëîãè÷íîãî òèïà (íåò íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðûå íå âñåãäà óäàåòñÿ ïîëó÷èòü).

5◦ .

Äëÿ ïðîâåðêè àäåêâàòíîñòè è îöåíêè òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ëó÷-

øå èñïîëüçîâàòü íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ òåñòîâûõ çàäà÷.

6◦ .

Ïðîâåðêó ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñëåäóåò íà÷èíàòü ñ ïðîñòûõ òåñòîâûõ

çàäà÷, èìåþùèõ ìîíîòîííûå ðåøåíèÿ ñ íåáîëüøèìè ãðàäèåíòàìè èñêîìûõ
âåëè÷èí.

7◦ .

Ñëåäóåò ïðîâåðÿòü ÷èñëåííûå ìåòîäû íà òåñòîâûõ çàäà÷àõ ñ áîëüøèìè

ãðàäèåíòàìè èñêîìûõ âåëè÷èí â íà÷àëüíûõ äàííûõ èëè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
(íàïðèìåð, äëÿ áûñòðî îñöèëëèðóþùèõ íà÷àëüíûõ äàííûõ).

8◦ .

Ïîëåçíî òåñòèðîâàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû íà áûñòðî ðàñòóùèõ ðåøåíèÿõ

ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âðåìåíàõ.

9◦ .

Ïî âîçìîæíîñòè íàäî ïðîâåðÿòü òî÷íîñòü èñïîëüçóåìûõ ÷èñëåííûõ

ìåòîäîâ íà òåñòîâûõ çàäà÷àõ âáëèçè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ è íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñèíãóëÿðíûå òî÷êè óðàâíåíèÿ, íåóñòîé÷èâûå ðåøåíèÿ èëè ðåøåíèÿ ñ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè.
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî õîðîøî ïîäîáðàííûå òåñòîâûå çàäà÷è ïîçâîëÿþò
ñîïîñòàâëÿòü è ñîâåðøåíñòâîâàòü ¾ðàáîòîñïîñîáíûå¿ ÷èñëåííûå ìåòîäû è îòñåèâàòü ìàëîïðèãîäíûå.

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

325

Çàìå÷àíèå 5.19. Äëÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì íåëüçÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ

òåñòîâûìè çàäà÷àìè, ïîëó÷åííûìè íà îñíîâå òî÷íûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ áîëåå ïðîñòûõ íåëèíåéíûõ Óð×Ï áåç çàïàçäûâàíèÿ.

5.3.3. Ïîñòðîåíèå òåñòîâûõ çàäà÷
Ïðèìåðû òî÷íûõ ðåøåíèé Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îðìóëèðîâêè òåñòîâûõ çàäà÷. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåñòîâûõ
çàäà÷ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ
çàïàçäûâàíèåì. Îáøèðíûé ñïèñîê òàêèõ ðåøåíèé ìîæíî íàéòè â ãëàâàõ 3, 4,
7 ýòîé êíèãè.
àññìîòðèì íåëèíåéíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu[1 − s(u − kw)],

w = u(x, t − τ ),

(5.3.3.1)

a > 0, b, k, s, τ > 0 è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì
ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.43) ïðè g(z) = h(z) ≡ 0, f (z) = b(1 − sz). Âûáåðåì
åãî ïàðàìåòðû òàê, ÷òîáû îíî èìåëî ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ u0 = 0 è u0 = 1.
Òðèâèàëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå u0 = 0 óæå èìååòñÿ. ×òîáû ñîâïàëî âòîðîå
ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, ïîäñòàâèì u = 1 â (5.3.3.1), îòêóäà ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé èìååì s = 1/(1 − k). Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ


u − kw
ut = auxx + bu 1 −
(5.3.3.2)
, w = u(x, t − τ ),
êîòîðîå çàâèñèò îò ïÿòè ïàðàìåòðîâ

1−k

êîòîðîå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â àëüòåðíàòèâíîì âèäå

ut = auxx + bu[1 − (σ1 u + σ2 w)],

σ1 + σ2 = 1,

σ1 = 1/(1 − k).
Ïðè k → 0 óðàâíåíèå (5.3.3.2) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ôèøåðà, à ïðè
k → ±∞  â äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì. Íèæå
ãäå

ïðèâåäåíû äâå ãðóïïû íàèáîëåå ïðîñòûõ òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (5.3.3.2).
(i) åøåíèÿ ïðè

k > 0 (k 6= 1):

u = ect [A cos(γx) + B sin(γx)],
ct

γx

−γx

u = e (Ae
+ Be ),
ct
u = e (Ax + B),
u = 1 + ect [A cos(γx) + B sin(γx)],
ct

−γx

u = 1 + e (Ae
ãäå

γx

+ Be ),

c = (ln k)/τ ; A, B  ïðîèçâîëüíûå

p
(b − c)/a
p
γ = (c − b)/a

γ=

p
γ = −c/a
p
γ = c/a

ïîñòîÿííûå.

ïðè

b > c;

ïðè
ïðè

b < c;
b = c;

ïðè

c < 0;

ïðè

c > 0,

(5.3.3.3)

326

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

(ii) åøåíèÿ ïðè

k < 0:
π(2n − 1)

u = An ect∓λn x cos(βn t ∓ γn x + Cn ), βn =
τ
p
1/2
(b − c)2 + βn2 − b + c
β
;
γn = n , λn =
2aλn

2a

u = 1 + An ect∓λn x cos(βn t ∓ γn x + Cn ), βn =
p
1/2
c2 + βn2 + c
βn
,
, λn =
γn =
2aλn

ãäå

,

(5.3.3.4)

π(2n − 1)
,
τ

2a

c = (ln |k|)/τ ; An , Cn  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå;

n = 1, 2, . . .

Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ìîæíî âûáèðàòü óêàçàííûå âûøå òî÷íûå
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.3.3.2). Îòìåòèì êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè íåêîòîðûå
ðåøåíèé, êîòîðûå ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñîïîñòàâëåíèÿ ñ ðåçóëüòàòàìè
÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ.
Ïåðâîå è ÷åòâåðòîå ðåøåíèÿ èç ïåðâîé ãðóïïû (i) ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

x.

Èõ óäîáíî èñïîëüçîâàòü â

êà÷åñòâå òåñòîâûõ ðåøåíèé äëÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâè-

0 6 x 6 mπ/γ (m = 1, 2, . . . ). Ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ñâîáîäíûõ ïîñòîÿííûõ A è B ìîæíî ñäåëàòü èñêîìóþ óíêöèþ

ÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà íà îòðåçêå

íà ãðàíèöå ðàâíîé íóëþ èëè åäèíèöå (äëÿ êðàåâûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà) èëè
ïîëó÷èòü íà ãðàíèöå íóëåâóþ ïðîèçâîäíóþ ïî

x (äëÿ êðàåâûõ óñëîâèé âòîðîãî

ðîäà).  ñëó÷àå çàäà÷ ñî ñìåøàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè óäîáíî ðàññìàò-

0 6 x 6 12 mπ/γ (m = 1, 2, . . . ). Íà÷àëüíûå
äàííûå ïðè −τ 6 t 6 0 (èëè 0 6 t 6 τ ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèé, èñïîëüçóåìûõ
ðèâàòü ýòè ðåøåíèÿ íà îòðåçêàõ

â êà÷åñòâå òåñòîâûõ çàäà÷. Ïîëåçíî ñðàâíèòü ÷èñëåííûå è òî÷íûå ðåøåíèÿ
òåñòîâûõ çàäà÷ ïðè

k,

áëèçêèõ ê åäèíèöå (êîãäà ðåøåíèÿ ñëàáî ìåíÿþòñÿ ïî

âðåìåíè), è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

k

(êîãäà ðåøåíèÿ èçìåíÿþòñÿ áûñòðî).

åøåíèÿ èç âòîðîé ãðóïïû (ii) ïðè

k = −1

ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè

ïî âðåìåíè è áûñòðîîñöèëëèðóþùèìè ïî îáåèì ïåðåìåííûì ïðè

τ → 0.

Òàêèå ðåøåíèÿ ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
â çàäà÷àõ ñ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè.
Òåñòîâûå çàäà÷è îðìóëèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûáðàííîå óðàâíåíèå è åãî òî÷íîå ðåøåíèå äîïîëíÿþò íà÷àëüíûìè äàííûìè ïðè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðè

x=0

è

x = L,

−τ 6 t 6 0

è

êîòîðûå ïîëó÷àþò èç èñïîëüçóå-

ìîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Ñîðìóëèðîâàííûå òàêèì îáðàçîì íåêîòîðûå òåñòîâûå
çàäà÷è ïðèâåäåíû íèæå.

Òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ, ñîðìóëèðóåì íåñêîëüêî
ìîäåëüíûõ òåñòîâûõ çàäà÷ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì,
êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè è îöåíêè

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

327

òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Âñå òåñòîâûå çàäà÷è ñîäåðæàò ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 1.

A = 1,

B = 2,

Ïîëîæèì â ïåðâîé îðìóëå (5.3.3.3):

b = (ln k)/τ + aπ 2/4,

c = (ln k)/τ,

k > 0.

(5.3.3.5)

Ïîëó÷èì òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.3.3.2):

u = U1 (x, t) ≡ ect [cos(πx/2) + 2 sin(πx/2)],
Ïîäñòàâèâ â íåãî

c = (ln k)/τ.

(5.3.3.6)

−τ 6 t 6 0, à çàòåì x = 0 è x = 1, íàõîäèì íà÷àëüíûå äàííûå

u(x, t) = ect [cos(πx/2) + 2 sin(πx/2)],

−τ 6 t 6 0,

(5.3.3.7)

è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

u(0, t) = ect ,

t > 0;

u(1, t) = 2ect ,

t > 0.

(5.3.3.8)

 ðåçóëüòàòå èìååì òåñòîâóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.2)
ñ ïàðàìåòðîì

b èç (5.3.3.5), íà÷àëüíûìè äàííûìè (5.3.3.7) è ãðàíè÷íûìè óñëî-

âèÿìè (5.3.3.8). Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé òåñòîâîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
(5.3.3.6), ãäå

0 6 x 6 1, t > 0.

Çàìå÷àíèå 5.20. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü äðóãèå òåñòîâûå çàäà÷è

ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé (5.3.3.3) è (5.3.3.4) ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî
óðàâíåíèÿ (5.3.3.2).
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 2.

Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâ-

íåíèå (5.3.3.1) ïðè

b = −4a,

k = e5aτ ,

s=

3
2(1 − k)

(5.3.3.9)

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå

u = U2 (x, t) ≡ ch−2 (x) + ect ch3 (x),
Ïîëàãàÿ â (5.3.3.10) ñíà÷àëà
íà÷àëüíûå äàííûå

−τ 6 t 6 0,

u(x, t) = ch−2 (x) + ect ch3 (x),

c = (ln k)/τ.

à çàòåì

x = 0

è

(5.3.3.10)

x = 1,

−τ 6 t 6 0,

ïîëó÷èì

(5.3.3.11)

è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

u(0, t) = 1 + ect ,

t > 0;

u(1, t) = ch−2 (1) + ect ch3 (1),

t > 0.

(5.3.3.12)

Òàêèì îáðàçîì èìååì òåñòîâóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
(5.3.3.1) ñ ïàðàìåòðàìè (5.3.3.9), íà÷àëüíûìè äàííûìè (5.3.3.11) è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.3.3.12). Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
(5.3.3.10), ãäå

0 6 x 6 1, t > 0.

328

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå ïÿòèïàðàìåòðè÷åñêîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + bu − s(u − kw)2 ,

w = u(x, t − τ ),

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ (3.4.2.31) ïðè
âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿõ

(5.3.3.13)

f (z) = −sz 2

è â

k = 0 èëè τ = 0 ïåðåõîäèò â íåíîðìèðîâàííîå óðàâíåíèå

Ôèøåðà.
Äàëåå, îïóñêàÿ ïîäðîáíîñòè, ÷àñòî áóäåì ïðèâîäèòü òîëüêî îðìóëèðîâêè
òåñòîâûõ çàäà÷ è èõ òî÷íûå ðåøåíèÿ.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 3.

k > 0,

Ïîëîæèì

k 6= 1,

b = (ln k)/τ − a,

s = b/(1 − k)2 .

(5.3.3.14)

Òîãäà òåñòîâàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.13)  (5.3.3.14),
íà÷àëüíûìè äàííûìè

u(x, t) = U3 (x, t) ≡ 1 +
è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

u(0, t) = 1,

ect+1
(ex
e2 − 1

− e−x ),

c=

ln k
,
τ

u(1, t) = 1 + ect ,

t > 0;

−τ 6 t 6 0,

t > 0,

(5.3.3.15)

(5.3.3.16)

0 6 x 6 1, t > 0 òî÷íîå ðåøåíèå u = U3 (x, t).
u = U3 (x, t) áûëî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ îðìóëû

èìååò â îáëàñòè
åøåíèå

ψ ≡ 1, à ϕ  ñîîòâåòñòâóþùåå
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 4.

k > 0,

k 6= 1,

(3.4.2.33), ãäå

ðåøåíèå ëèíåéíîãî ÎÄÓ (3.4.2.34).

Ïóñòü

b = 4aπ 2 + (ln k)/τ − 1/(aτ 2 ),

s = b/(1 − k)2 .

(5.3.3.17)

Òîãäà òåñòîâàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.13), (5.3.3.17),
íà÷àëüíûìè äàííûìè

u(x, t) = U4 (x, t) ≡ 1 + ect−λx cos(βt − 2πx), −τ 6 t 6 0,
c = (ln k)/τ, λ = 1/(aτ ), β = 4π/τ,

(5.3.3.18)

è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

u(0, t) = 1+ect cos(βt),

t > 0;

u(1, t) = 1+ect−λ cos(βt),

t > 0,

(5.3.3.19)

0 6 x 6 1, t > 0 òî÷íîå ðåøåíèå u = U4 (x, t).
u = U4 (x, t) áûëî ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ îðìóëû (3.4.2.36), ãäå
u0 (x, t) ≡ 1, V1 (x, t; b − c) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëàìè (3.4.2.10)  (3.4.2.11), â
êîòîðûõ A2 = 1, à âñå äðóãèå êîíñòàíòû An , Bn , Cn , Dn ðàâíû íóëþ.

èìååò â îáëàñòè
åøåíèå

Òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ çàïàçäûâàíè-

åì. Âîñïîëüçóåìñÿ

òî÷íûìè ðåøåíèÿìè èç [452℄ è ñîðìóëèðóåì íåñêîëüêî

ìîäåëüíûõ òåñòîâûõ çàäà÷ òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå

òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Âñå òåñòîâûå çàäà÷è ñîäåðæàò ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû.

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 5.

Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + u(u − kw),
ïðè

329

k > 0 äîïóñêàåò

w = u(x, t − τ ),

(5.3.3.20)

ïðîñòîå òî÷íîå ðåøåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà [452℄:

√
u = U5 (x, t) ≡ exp(ct + cx/ a ),

c = (ln k)/τ.

(5.3.3.21)

Ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì äàííûì

√
u(x, t) = exp(ct + cx/ a ),

√
ut (x, t) = c exp(ct + cx/ a ),

−τ 6 t 6 0,

(5.3.3.22)

è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìè

√
u(1, t) = exp(ct + c/ a ),

u(0, t) = exp(ct),

t > 0.

(5.3.3.23)

Òàêèì îáðàçîì èìååì òåñòîâóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
(5.3.3.20) ïðè

0 6 x 6 1, t > 0,

íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (5.3.3.22) è ãðàíè÷íû-

ìè óñëîâèÿìè (5.3.3.23). Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
(5.3.3.21).
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 6.

Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

äûâàíèåì (5.3.3.20) ïðè

îðäîíà ñ çàïàç-

k = 1 äîïóñêàåò òàêæå òî÷íîå ïåðèîäè÷åñêîå

ðåøåíèå

òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âèäà

√
u(x, t) = U6 (x, t) ≡ sin(βx/ a ) cos(βt),

β = 2π/τ,

(5.3.3.24)

êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì äàííûì

√
u(x, t) = sin(βx/ a ) cos(βt),

√
ut(x, t) = −β sin(βx/ a ) sin(βt),

−τ 6 t 6 0,

(5.3.3.25)

è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

u(0, t) = 0,

√
u(1, t) = sin(β/ a ) cos(βt),

t > 0.

(5.3.3.26)

 äàííîì ñëó÷àå ïîëó÷èì òåñòîâóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.20) ïðè

k = 1 (0 6 x 6 1, t > 0),

íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (5.3.3.25)

è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.3.3.26). Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé (5.3.3.24).
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 7.

íà 

àññìîòðèì äðóãîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òèïà Êëåé-

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + bu − s(u − kw)2 ,
êîòîðîå çàâèñèò îò ïÿòè ïàðàìåòðîâ

w = u(x, t − τ ),

a > 0, b, k, s, τ > 0 è ÿâëÿåòñÿ
f (z) = −sz 2 .

(5.3.3.27)
÷àñòíûì

ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ  5 òàáë. 2 ñòàòüè [452℄ ïðè
Ïîëîæèì

k > 0,

k 6= 1,

b = (ln k)2/τ 2 − a,

s = b/(1 − k)2 .

(5.3.3.28)

330

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Òîãäà òåñòîâàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.27)  (5.3.3.28),
íà÷àëüíûìè äàííûìè

ect+1
(ex − e−x ),
e2 − 1
ln k
=
, −τ 6 t 6
τ

u(x, t) = U7 (x, t) ≡ 1 +
c

ut (x, t) =

∂
U (x, t),
∂t 7

(5.3.3.29)

0,

è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

u(0, t) = 1,

u(1, t) = 1 + ect ,

t > 0;

t > 0,

(5.3.3.30)

0 6 x 6 1, t > 0 òî÷íîå ðåøåíèå u = U7 (x, t).
u
=
U7 (x, t) áûëî ïîëó÷åíî èç ñîîòâåòñòâóþùåé îðìóëû, ïðèâååøåíèå

èìååò â îáëàñòè

äåííîé â ïðàâîì ñòîëáöå äëÿ óðàâíåíèÿ  5 òàáë. 2 ñòàòüè [452℄.
àññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíîå ïÿòèïàðàìåòðè÷åñêîå

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 8.

óðàâíåíèå òèïà Êëåéíà 

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì

utt = auxx + bu[1 − s(u − kw)],

w = u(x, t − τ ),

(5.3.3.31)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì óðàâíåíèÿ  2 òàáë. 3 ñòàòüè [452℄ ïðè

f (z) = b(1 − sz), g(z) = h(z) ≡ 0.
Ïîëîæèì

k > 0,

b = (ln k)2/τ 2 + aπ 2/4.

(5.3.3.32)

Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû [452℄, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåñòîâàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (5.3.3.31)  (5.3.3.32), íà÷àëüíûìè äàííûìè

u(x, t) = U8 (x, t) ≡ ect [cos(πx/2) + 2 sin(πx/2)],

ut (x, t) =

c = (ln k)/τ, −τ 6 t 6 0,

∂
U (x, t),
∂t 8
(5.3.3.33)

è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

u(0, t) = ect ,
èìååò â îáëàñòè

t > 0;

u(1, t) = 2ect ,

0 6 x 6 1, t > 0 òî÷íîå

ðåøåíèå

t > 0,

(5.3.3.34)

u = U8 (x, t).

Ïðÿìîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ ðîäñòâåííûõ
êëàññîâ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ çàäàííîãî êëàññà íåëèíåéíûõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (èëè áåç çàïàçäûâàíèÿ) ìîæíî
èñïîëüçîâàòü òî÷íûå ðåøåíèÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà ðîäñòâåííûõ óðàâíåíèé.

Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.
 êà÷åñòâå èñõîäíîãî êëàññà óðàâíåíèé âîçüìåì êëàññ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì

ut = auxx + F (u, w),

w = u(x, t − τ ).

(5.3.3.35)

Âìåñòî (5.3.3.35) ðàññìîòðèì áîëåå øèðîêèé êëàññ óðàâíåíèé

ut = auxx + F (u, w) + G(x, t),

w = u(x, t − τ ),

(5.3.3.36)

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
êîòîðûé â ÷àñòíîì ñëó÷àå

G≡0

331

ïåðåõîäèò â (5.3.3.35). Âûáèðàåì (äîñòàòî÷-

íî ïðîèçâîëüíî) íåêîòîðóþ óíêöèþ

η = η(x, t),

óäîâëåòâîðÿþùóþ çàäàí-

íûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ýòà óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(5.3.3.36) ïðè

G(x, t) = ηt − aηxx − F (η, η̄),

η̄ = η(x, t − τ ).

(5.3.3.37)

Óðàâíåíèå (5.3.3.36)  (5.3.3.37) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè è
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ÿâëÿåòñÿ òåñòîâîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ èìååò òî÷íîå ðåøåíèå

u = η(x, t).

Ýòî ðåøåíèå ñðàâíèâàþò ñ ÷èñëåííûì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è.

àçëè÷íûå óíêöèè

η = η(x, t)

ïîðîæäàþò ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ (5.3.3.36) è

ðàçëè÷íûå òåñòîâûå çàäà÷è.
Îïèñàííûé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ â ïðèâåäåííîé âûøå äîñòàòî÷íî îáùåé îðìóëèðîâêå, âîîáùå ãîâîðÿ, èìååò ñåðüåçíûé íåäîñòàòîê. Ïîñêîëüêó óíêöèÿ

η = η(x, t) çàäàåòñÿ àïðèîðíî è íå ñâÿçàíà ñ ðàññìàòðèâàåìûì

óðàâíåíèåì, òî îíà íå èìååò êà÷åñòâåííûõ îñîáåííîñòåé, ïðèñóùèõ òî÷íûì
ðåøåíèÿì Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì. Ïîäõîäÿùèé âûáîð ýòîé óíêöèè ïîëíîñòüþ çàâèñèò îò óäà÷è, èíòóèöèè è îïûòà èññëåäîâàòåëÿ.
Çàìå÷àíèå 5.21. Ïðè ïðèìåíåíèè ïðÿìîãî ìåòîäà â êà÷åñòâå óíêöèé

η

âïîëíå

äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü îïèñàííûå â ãëàâàõ 3 è 4 òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ è âîëíîâûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì.

5.3.4. Ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. ×èñëåííûå ðåøåíèÿ âñåõ òåñòîâûõ çàäà÷ áûëè
ïîëó÷åíû ìåòîäîì ïðÿìûõ â êîìáèíàöèè ñ ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî
ïîðÿäêà èëè ñ ìåòîäîì

èðà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà Mathemati a. àñ÷åòû

0 6 t 6 T = 50 τ äëÿ òðåõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ
τ = 0.05, τ = 0.1, τ = 0.5 (èíîãäà äîïîëíèòåëüíî áðàëèñü çíà÷åíèÿ τ = 1
è τ = 5). Íåêîòîðûå òåñòîâûå çàäà÷è íå óäàëîñü ðåøèòü íà ñòîëü áîëüøîì

ïðîâîäèëèñü íà èíòåðâàëå

èíòåðâàëå: ïðîöåäóðà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðåðûâàëàñü ñ îøèáêîé è óêàçàíèåì
âðåìåíè ïðåðûâàíèÿ ðàñ÷åòà. Òåì íå ìåíåå, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ àäåêâàòíîå
÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ïîäõîäÿùèì îáðàçîì ñîêðàòèòü ðàññìàòðèâàåìûé âðåìåííîé èíòåðâàë âû÷èñëåíèé.
Ïîä àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòÿìè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ

un,k = uh (xn , tk )

òåñòîâîé çàäà÷è äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì áóäåì ñîîòâåò-

ñòâåííî ïîíèìàòü âåëè÷èíû

σa = max |ue − un,k |,
n, k

ue = ue (xn , tk )  çíà÷åíèå
ñëîå tk â òî÷êå xn .

ãäå

σr = max |(ue − un,k )/ue |,
n, k

òî÷íîãî ðåøåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è íà âðåìåííîì

332

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Ñîïîñòàâëåíèå òî÷íûõ è ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâûõ çàäà÷.  ïðåäûäóùåì ðàçäåëå áûëè ñîðìóëèðîâàíû ÷åòûðå òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíûõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì (óðàâíåíèé òèïà
Ôèøåðà ñ çàïàçäûâàíèåì).  ýòîì ðàçäåëå îáñóæäàþòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷ è ïðîâîäèòñÿ ñîïîñòàâëåíèå ïîëó÷åííûõ
÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè ýòèõ çàäà÷. Íóìåðàöèÿ è îðìóëèðîâêè òåñòîâûõ çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå, ñîâïàäàþò ñ íóìåðàöèé è
îðìóëèðîâêàìè òåñòîâûõ çàäà÷, ïðèâåäåííûõ â ðàçä. 5.3.3.

u = U1 (x, t) òåñòîâîé çàäà÷è 1 èç
a = 1, k = 0.5, s = 0.2 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî çàòóõàþùèì

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 1.

ðàçä. 5.3.3 ïðè

Òî÷íîå ðåøåíèå

ïî âðåìåíè. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñòàíîâèòñÿ çàìåòíîé ëèøü ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ âðåìåíàõ, êîãäà ðåøåíèå ïðàêòè÷åñêè
ðàâíî íóëþ. Äëÿ èñïîëüçóåìûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè
çàïàçäûâàíèÿ

τ

(îò 0.05 äî 5) óâåëè÷èâàåòñÿ âðåìåííîé èíòåðâàë, íà êîòîðîì

ìåòîäû ðàáîòàþò ñ ìàëîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Ïðè

N = 100 ÷èñëåí-

íîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà, íà÷èíàåò íå
ñîâïàäàòü ñ òî÷íûì ïî äîñòèæåíèè àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ïîðÿäêà

τ = 0.05

−20 ïðè
è 10

τ = 5;

÷èñëåííîå ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå ìåòîäîì

íà÷èíàåò îòêëîíÿòüñÿ ïî äîñòèæåíèè çíà÷åíèé ïîðÿäêà

10−10

ïðè

10−5

10−6

ïðè

ïðè
èðà,

τ = 0.05

è

τ = 5.

Íà ðèñ. 5.5 ïîêàçàíû ãðàèêè (ñ èñïîëüçîâàíèåì ëîãàðèìè÷åñêîé øêàëû
ïî âåðòèêàëè) ïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ÎÄÓ ïðè

N = 100

òåñòîâîé çàäà÷è 1 âìåñòå ñ ñîîò-

âåòñòâóþùèìè ãðàèêàìè òî÷íûõ ðåøåíèé äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ

k = 0.5, s = 0.2 è âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ τ = 0.05 è τ = 0.5.

a = 1,

ðàèêè äëÿ ìåòîäà

èðà âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ.

10

10

(а)

u

u

t=2

10-2

t = 10

10-

t = 20

10-8
0

0.2

èñ. 5.5.

0.4

0.6

0.8

x

(б)

t=2

10-2

t = 10

10-

t = 20

10-8
0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìáèíàöèè

ìåòîäà ïðÿìûõ è óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè)
òåñòîâîé çàäà÷è 1 ïðè

t̄ = t/τ

a = 1, k = 0.5, s = 0.2 è N = 100 â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè
τ = 0.05 è á) τ = 0.5.

äëÿ äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ: à)

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

333

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è

èðà äëÿ ïÿòè ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ,

ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 5.3.
Òàáëèöà 5.3.

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé çàäà÷è 1 ïðè

a = 1, k = 0.5, s = 0.2
0 6 t 6 T = 50 τ .

Ìåòîä

äëÿ ïÿòè ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.05

N

óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
èðà

10
50
100
10
50
100

−4

2.8 · 10
1.3 · 10−5
4.5 · 10−6
2.8 · 10−4
1.3 · 10−5
2.8 · 10−6

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 2.

ðàçä. 5.3.3 ïðè

τ = 0.1

τ = 0.5

−4

4.6 · 10
2.0 · 10−5
6.1 · 10−6

4.6 · 10−4
1.9 · 10−5
4.7 · 10−6

Òî÷íîå ðåøåíèå

−4

9.9 · 10
4.1 · 10−5
1.2 · 10−5

9.9 · 10−4
4.0 · 10−5
9.9 · 10−6

u = U2 (x, t)

τ

íà èíòåðâàëå

τ =1

τ =5

−3

1.4 · 10−3
5.6 · 10−5
1.4 · 10−5

1.2 · 10
4.8 · 10−5
1.3 · 10−5

1.2 · 10−3
4.7 · 10−5
1.2 · 10−5

1.4 · 10−3
5.6 · 10−5
1.4 · 10−5

òåñòîâîé çàäà÷è 2 èç

a = 1 ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò ïî âðåìåíè. Âûïîëíåíèå ïðî-

ãðàììû ïðåðûâàåòñÿ ñ îøèáêîé ïî äîñòèæåíèè ðåøåíèåì çíà÷åíèé âûñîêèõ

108 .
Ïðè τ = 0.05 óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ðåøåíèå íà âñåì èíòåðâàëå âïëîòü äî T = 50 τ ,
ïðè τ = 0.1  äî T = 35 τ , ïðè τ = 0.5  äî T = 7.3 τ . Ìåòîä èðà ðàáîòàåò
13
ëó÷øå  äî äîñòèæåíèÿ ðåøåíèåì çíà÷åíèé ïîðÿäêà 10 . Ïðè τ = 0.05 è
τ = 0.1 óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ðåøåíèå íà âñåì èíòåðâàëå âïëîòü äî T = 50 τ , ïðè
τ = 0.5  äî T = 11.5 τ . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìåòîä èðà ñòðîèò ðåøåíèå âñåãî
ïîðÿäêîâ. Äëÿ ìåòîäà óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî çíà÷åíèÿ ïîðÿäêà

çà íåñêîëüêî ñåêóíä, â òî âðåìÿ êàê ìåòîäó óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà
òðåáóþòñÿ ìèíóòû è äåñÿòêè ìèíóò (î âîçìîæíîì ñîêðàùåíèè âðåìåíè ðàáîòû
ìåòîäà ñì. çàìå÷àíèå 5.10).
Íà ðèñ. 5.6 ïîêàçàíû ãðàèêè (ñ èñïîëüçîâàíèåì ëîãàðèìè÷åñêîé øêàëû
ïî âåðòèêàëè) ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì
äëÿ òåñòîâîé çàäà÷è 2 ïðè

a = 1

è

èðà ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ÎÄÓ

N = 100

âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè

ãðàèêàìè òî÷íîãî ðåøåíèÿ äëÿ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.05

è

τ = 0.5.

Êà÷åñòâåííûé âèä ãðàèêîâ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì óíãå 
Êóòòû, àíàëîãè÷åí è çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ.
Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè
óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è

.

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 3

èðà, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 5.4.

ðàèêè òî÷íûõ ðåøåíèé è ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì óí-

ãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñèñòåìû ÎÄÓ ïðè
äëÿ òåñòîâîé çàäà÷è 3 èç ðàçä. 5.3.3 ïðè
çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.5

ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì

a = 1, k = 0.5

ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 5.7.

N = 100

è óìåðåííîì âðåìåíè

ðàèêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé,

èðà, âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Îáà

ìåòîäà äåìîíñòðèðóþò õîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ òî÷íîãî ðåøåíèÿ íà âñåì
èíòåðâàëå

0 6 t 6 T = 50 τ .

 òàáë. 5.5 ïðåäñòàâëåíû îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé

334

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

106

10

(а)

u

t = 10

(б)

u

t = 40
10

104

t=5

t = 20
10
102

t=1

t=2
1
0

0.2

èñ. 5.6.

0.4

0.6

0.8

10
1
0

x

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìáèíàöèè

ìåòîäà ïðÿìûõ è

èðà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè) òåñòîâîé çàäà÷è 2 ïðè

N = 100 â ðàçëè÷íûå
à) τ = 0.05 è á) τ = 0.5.
è

Òàáëèöà 5.4.

ìîìåíòû âðåìåíè

t̄ = t/τ

Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è 2 ïðè

äëÿ òðåõ ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

Ìåòîä

N

óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
èðà

10
50
100
10
50
100

a=1

äëÿ äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ:

a = 1

τ.

τ = 0.05
T = 50 τ

τ = 0.1
T = 35 τ

τ = 0.5
T = 7.3 τ

1.8 · 10−3
7.5 · 10−5
2.0 · 10−5

1.9 · 10−3
7.8 · 10−5
2.0 · 10−5

2.5 · 10−3
1.0 · 10−4
2.6 · 10−5

1.8 · 10−3
7.3 · 10−5
1.8 · 10−5

1.9 · 10−3
7.6 · 10−5
1.9 · 10−5

2.5 · 10−3
1.0 · 10−4
2.5 · 10−5

çàäà÷è 3, ïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è

èðà ïðè

óìåðåííûõ è áîëüøèõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ íà èíòåðâàëå âðåìåíè

06t6

6 T = 50 τ .
Òàáëèöà 5.5.

k = 0.5 äëÿ

Ìåòîä
óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
èðà
Ïðè

a = 1,
0 6 t 6 T = 50 τ .

Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è 3 ïðè

òðåõ ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

a = 1, k = 0.5

N

10
50
100
10
50
100

τ

íà èíòåðâàëå

τ = 0.5

τ =1

τ =5

7.1 · 10−5
2.0 · 10−6
2.5 · 10−7

5.4 · 10−5
1.9 · 10−6
3.7 · 10−7

4.8 · 10−5
1.9 · 10−6
5.1 · 10−7

7.2 · 10−5
2.8 · 10−6
6.3 · 10−7

5.5 · 10−5
2.2 · 10−6
5.1 · 10−7

4.8 · 10−5
1.9 · 10−6
5.1 · 10−7

è äîñòàòî÷íî ìàëûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.05

è

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì



335

u
x = 0 
x=0


3

1.1
x = 0 
0
1

0
èñ. 5.7.

3

2

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìáèíàöèè

ìåòîäà ïðÿìûõ è óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè)
òåñòîâîé çàäà÷è 3 ïðè

a = 1, k = τ = 0.5

â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè

t̄ = t/τ

äëÿ

N = 100.

τ = 0.1

÷èñëåííîå ðåøåíèå òåñòîâîé çàäà÷è 3 íà÷èíàåò ñèëüíî îòêëîíÿòüñÿ îò

òî÷íîãî â îáëàñòè âûõîäà íà ñòàöèîíàðíûé ðåæèì. Ïîñëå ýòîãî âûïîëíåíèå
ïðîãðàììû ïðåðûâàåòñÿ ñ îøèáêîé. Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî ïàðàìåòð

b,

âõîäÿùèé â óðàâíåíèå òåñòîâîé çàäà÷è è îïðåäåëåííûé â

O(τ −1 )

ïðè τ → 0.  ðåçóëüòàòå ñòàöèîu = 1, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
ïðè t → ∞, ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì ïðè ìàëûõ τ (â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè
(5.3.3.14), íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò êàê
íàðíîå ðåøåíèå

äîêàçàòåëüñòâî äàííîãî àêòà ïðèâåäåíî äàëåå).

Äëÿ èëëþñòðàöèè îïèñàííîé ñèòóàöèè ðàññìîòðèì ãðàèêè çàâèñèìîñòåé

x = 0.5 (ðèñ. 5.8),
a = 1, k = 0.5 è ìàëûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ τ = 0.05 è τ = 0.1. Âûáîð
ñðåäíåé òî÷êè x = 0.5 â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñâÿ-

÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé îò âðåìåíè ïðè èêñèðîâàííîì
ïðè

çàí ñ òåì, ÷òî èìåííî â ýòîé òî÷êå íàáëþäàëîñü ìàêñèìàëüíîå îòêëîíåíèå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îò òî÷íîãî. Ïðè

τ = 0.05 îáà èñïîëüçóåìûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäà

àäåêâàòíî ðàáîòàþò òîëüêî íà î÷åíü êîðîòêîì íà÷àëüíîì ó÷àñòêå (íåìíîãî íå
óñïåâàÿ âûéòè íà àñèìïòîòó); çàòåì ìåòîä óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà äàåò
óõîäÿùóþ âíèç íåìîíîòîííóþ êîëåáëþùóþñÿ êðèâóþ, íå èìåþùóþ íè÷åãî
îáùåãî ñ òî÷íûì ðåøåíèåì, à ìåòîä

èðà ïðèâîäèò ê êðèâîé, êîòîðàÿ ñèëüíî

îòêëîíÿåòñÿ îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ, ðåçêî ïîäíèìàÿñü ââåðõ. Ïðè
óíãå  Êóòòû è ìåòîä

τ = 0.1

ìåòîä

èðà îáåñïå÷èâàþò äîñòàòî÷íî òî÷íóþ àïïðîêñèìàöèþ

èñêîìîãî ðåøåíèÿ íà äîâîëüíî çíà÷èòåëüíîì èíòåðâàëå âðåìåíè (óñïåâàÿ âûéòè íà àñèìïòîòó), ïðè÷åì ìåòîäà
ìåíèìîñòè ïî

t.

èðà èìååò íåìíîãî áîëüøèéäèàïàçîí ïðè-

Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ,

ïîëó÷åííîãî ìåòîäîì

èðà, ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé, â îòëè÷èå íåìîíîòîííîé

çàâèñèìîñòè äëÿ ìåòîäà óíãå  Êóòòû.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîãðåøíîñòè ðåçêî
âîçðàñòàþò ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà.

336

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèÿ

τ = 0.05 è τ = 0.1 ëåæàò âíóòðè îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè

ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì.

⨯
(а)
⨯
⨯⨯
⨯
 ⨯
⨯
⨯
⨯⨯
⨯
⨯
⨯⨯ ⨯
⨯ ⨯ ⨯⨯⨯⨯
1.0
1.6

1.6

u



0

0.2

èñ. 5.8.

0.4

0.6

0.8

1.0

t

u

(б)

1.4⨯⨯
⨯
1.2 ⨯⨯
⨯
⨯⨯
⨯
1.0

⨯ ⨯ ⨯ ⨯⨯⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯

0.8
0

0.5

1.0

1.5

2.0

⨯
⨯⨯
⨯⨯
⨯⨯⨯

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (ìåòîä óíãå 

Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà  êðóæî÷êè, ìåòîä

èðà  êðåñòèêè) òåñòîâîé çàäà÷è 3 ïðè

a = 1, k = 0.5 â
á) τ = 0.1.

äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ: à)

òî÷êå

x = 0.5 äëÿ N = 100 è

τ = 0.05 è

Óðàâíåíèå (5.3.3.13) òåñòîâîé çàäà÷è 3 èìååò âèä

ut = auxx + bu −

b
(1 − k)2

(u − kw)2 ,

è äîïóñêàåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

u0 = 1

b=

ln k
τ

− a,

(5.3.4.1)

(ê ýòîìó ðåøåíèþ àñèìïòîòè÷åñêè

t → ∞). Äëÿ àíàëèçà
u0 = 1 ðàññìîòðèì âîçìó-

ñòðåìèòñÿ ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé òåñòîâîé çàäà÷è ïðè
ëèíåéíîé óñòîé÷èâîñòè/íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ
ùåííûå ðåøåíèÿ âèäà [68, 505℄:

u = 1 + δe−λt sin(πnx),
ãäå

δ  ìàëûé

ïàðàìåòð,

λ  ñïåêòðàëüíûé

n = 1, 2, . . . ,

ïàðàìåòð, ïîäëåæàùèé îïðåäåëå-

íèþ. Íà ãðàíèöàõ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè
ðåøåíèå (5.3.4.2) ðàâíî 1 ïðè ëþáîì
(5.3.4.1). Îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû ïîðÿäêà

δ2

t.

x = 0

b(1 + k)
1−k

+

è

x = 1

âîçìóùåííîå

Ïîäñòàâëÿåì (5.3.4.2) â óðàâíåíèå

è âûøå, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà

ïîëó÷èì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå äëÿ ïàðàìåòðà

λ − a(πn)2 −

(5.3.4.2)

2bk λτ
e
1−k

= 0,

sin(πnx)

λ:

b=

ln k
τ

− a.

(5.3.4.3)

a = n = 1, k = 0.5, τ = 0.05 äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (5.3.4.3)
λ ≈ −27.0213. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé ÷ëåí
îðìóëå (5.3.4.2) ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò ïðè t → ∞ è ðàññìàòðèâàåìîå
Ïðè

èìååò îòðèöàòåëüíûé êîðåíü
â

ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (5.3.3.13) ïðè

τ = 0.05

ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.

Ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ äî çíà÷åíèÿ

τ∗ ≈ 0.09153

(âåëè÷èíû

îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ íå ìåíÿþòñÿ) òàêæå èìååòñÿ îäèí èëè äâà äåéñòâèòåëüíûõ îòðèöàòåëüíûõ êîðíÿ òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ (5.3.4.3), à ïðè
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ îòðèöàòåëüíûõ êîðíåé.

τ > τ∗

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
Ïðè

a = n = 1, k = 0.5, τ = 0.1

337

äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (5.3.4.3) èìååò

êîìïëåêñíûé êîðåíü ñ îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ

Re λ = −4.38498,

ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì (5.3.3.13) ïðè

τ = 0.1

òàêæå ÿâëÿåòñÿ

íåóñòîé÷èâûì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè.
Çàìå÷àíèå 5.22. Çíà÷åíèå

τ = 0.5

ëåæèò âíå îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè ñòàöèî-

íàðíîãî ðåøåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è 3.  ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (5.3.4.3)
èìååò êîðåíü ñ

Re λ = 0.0895394

è, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòå-

ãðèðîâàíèÿ õîðîøî ðàáîòàþò.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 4.

Íà ðèñ. 5.9 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè òî÷íîãî è ïîëó÷åí-

íîãî ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû
ÎÄÓ ïðè

N = 100

äëÿ òåñòîâîé çàäà÷è 4 ïðè

ðàèêè ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì

a = 1, k = 0.5

è

τ = 0.5.

èðà, âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå

ïðèâîäÿòñÿ.

2.0

u
t=0



t = 1.5

1.0

t=5



t = 
0
èñ. 5.9.



0.4

0.6

0.8

x

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìáèíàöèè

ìåòîäà ïðÿìûõ è óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè)
òåñòîâîé çàäà÷è 4 ïðè

a = 1, k = τ = 0.5

â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè

t̄ = t/τ

äëÿ

N = 100.
Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäàìè
óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà è

èðà ïðè óìåðåííûõ è áîëüøèõ âðåìåíàõ

çàïàçäûâàíèÿ íà èíòåðâàëå âðåìåíè

T = 50 τ ,

îäèíàêîâû ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ

çíà÷àùèõ öèð äëÿ îáîèõ ìåòîäîâ. Çíà÷åíèÿ ïîãðåøíîñòåé ïðåäñòàâëåíû â
òàáë. 5.6.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè çàïàçäûâàíèÿõ ïîðÿäêà åäèíèöû (íàïðèìåð,

τ = 0.5)

êîëåáàíèÿ ðåøåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ âûñîêî÷àñòîòíûìè è íå ïðèâîäÿò ê ïðîáëåìàì
ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ðàññìàòðèâàåìîé òåñòîâîé çàäà÷è â îòëè÷èå îò
ñëó÷àÿ ìàëûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ, êîòîðûé îáñóæäàåòñÿ äàëåå.
Ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ
ðàìåòðîâ

a = 1, k = 0.5

τ = 0.05

è

τ = 0.1

è çíà÷åíèÿõ ïà-

÷èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû ÎÄÓ ïðè

N = 100

338

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Òàáëèöà 5.6.

k = 0.5 äëÿ
N

10
50
100

a = 1,
0 6 t 6 T = 50 τ .

Îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è 4 ïðè

òðåõ ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.5

τ

íà èíòåðâàëå

τ =1

−3

τ =5

−2

7.3 · 10
2.9 · 10−4
7.3 · 10−5

7.4 · 10−2
2.9 · 10−3
7.3 · 10−4

1.2 · 10
5.1 · 10−4
1.3 · 10−4

äëÿ òåñòîâîé çàäà÷è 4 íå óäàëîñü ïîëó÷èòü íè ìåòîäîì óíãå  Êóòòû, íè
ìåòîäîì

èðà. Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî â ïåðâóþ î÷åðåäü ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî

b, âõîäÿùèé â óðàâíåíèå òåñòîâîé çàäà÷è è îïðåäåëåííûé â (5.3.3.17),
−2 ) ïðè τ → 0 (â äàííîì ñëó÷àå êîýèöèåíò b
íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò êàê O(τ
ïàðàìåòð

ðàñòåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì â òåñòîâîé çàäà÷å 3). Äîïîëíèòåëüíûì îñëîæ-

íÿþùèì àêòîðîì çäåñü ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ áûñòðûå
îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè ëåâîé ãðàíèöû
â îñòàëüíîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè

u ≈ 1.

x = 0,

ïðè÷åì

Ïîëó÷åíèå àäåêâàòíûõ

÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ â ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî ëèøü ïðè ìàëûõ øàãàõ
ïî ïðîñòðàíñòâó â îáëàñòè ïîãðàíñëîéíîãî òèïà, ãäå ðåøåíèå áûñòðî ìåíÿåòñÿ.
Èñïîëüçîâàíèå ïåðåìåííîãî øàãà ïî ïðîñòðàíñòâó, òî åñòü ðàçíîãî êîëè÷åñòâà
óðàâíåíèé äëÿ îáëàñòåé ñ áûñòðûìè îñöèëëÿöèÿìè è áåç íèõ, â ìåòîäå ïðÿìûõ
çàòðóäíèòåëüíî, òàê êàê ñëîæíî çàðàíåå îïðåäåëèòü, â êàêîé îáëàñòè âîçíèêàþò
âûñîêî÷àñòîòíûå îñöèëëÿöèè. Ïðèìåíåíèå æå ìàëîãî øàãà âî âñåé îáëàñòè
âû÷èñëåíèé ñîïðÿæåíî ñ ÷ðåçìåðíûì óâåëè÷åíèåì âðåìåíè ðàáîòû ìåòîäà.
Çàìå÷àíèå 5.23. Ìåòîä ïðÿìûõ â êîìáèíàöèè ñ ìåòîäîì

èðà, âñòðîåííûì â

ïàêåò Mathemati a, ïðèìåíÿåòñÿ â ðàçä. 6.2.4 äëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ äèóçèîííîé ñèñòåìû òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû.

5.3.5. Ñîïîñòàâëåíèå ÷èñëåííûõ è òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì
 ðàçä. 5.3.3 áûëè ñîðìóëèðîâàíû ÷åòûðå òåñòîâûå çàäà÷è äëÿ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà  îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì.  ýòîì ðàçäåëå îáñóæäàþòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ òåñòîâûõ çàäà÷ ñ ïîìîùüþ êîìáèíàöèè ìåòîäà ïðÿìûõ è òðåõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì,
âñòðîåííûõ â ïàêåò Mathemati a: ìåòîä óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà, ìåòîä
óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ìåòîä

èðà; ïðîâîäèòñÿ ñîïîñòàâëåíèå

ïîëó÷åííûõ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè òåñòîâûõ çàäà÷. Íóìåðàöèÿ è îðìóëèðîâêè òåñòîâûõ çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå, ñîâïàäàþò ñ
íóìåðàöèé è îðìóëèðîâêàìè òåñòîâûõ çàäà÷, ïðèâåäåííûõ â ðàçä. 5.3.3.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 5.

åøåíèå

u = U5

òåñòîâîé çàäà÷è 5 ïðè

a = 1, k = 0.5

ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùåé óíêöèåé.  òàáë. 5.7 óêàçàíû àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ êîìáèíàöèåé ìåòîäà
ïðÿìûõ

òðåìÿ ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ñèñòåìû ÎÄÓ íà îòðåçêå

0 6 t 6 50 τ

äëÿ

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
ðàçëè÷íûõ

N

è

τ.

339

Èç òàáë. 5.7 ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âñå ìåòîäû õîðîøî

ñïðàâèëèñü ñ ðåøåíèåì çàäà÷è, ïðè÷åì ìåòîä óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà äàë ÷óòü áîëåå ëó÷øóþ àïïðîêñèìàöèþ òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Ñ óâåëè÷åíèåì

N

àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè óìåíüøàþòñÿ; âñå ìåòîäû äàëè âòîðîé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïî ïðîñòðàíñòâó. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè
óìåíüøàþòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ.
Íà ðèñ. 5.10 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè òî÷íîãî ðåøåíèÿ (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ)
è ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà

a = 1, k = 0.5 è τ = 0.05, τ = 0.5 äëÿ N = 100 â ìîìåíòû
t̄ ≈ 0.1, t̄ ≈ 1, t̄ ≈ 3, ãäå t̄ = t/τ . ðàèêè, ïîëó÷åííûå äðóãèìè

(êðóæî÷êè) ïðè
âðåìåíè

ìåòîäàìè âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ.

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé çàäà÷è 5 ïðè

Òàáëèöà 5.7.

a = 1, k = 0.5 íà

èíòåðâàëå

Ìåòîä

N

10
50
100
200
10
50
100
200
10
50
100
200

óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
óíãå  Êóòòû
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
èðà

Òåñòîâàÿ

0 6 t 6 T = 50 τ .

çàäà÷à

6.

τ = 0.05

τ = 0.1

τ = 0.5

τ =1

4.0 · 10−2
2.0 · 10−3
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4

1.2 · 10−2
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4
3.0 · 10−5

2.5 · 10−4
1.0 · 10−5
2.6 · 10−6
7.2 · 10−7

2.7 · 10−5
1.9 · 10−6
9.5 · 10−7
6.0 · 10−7

4.0 · 10−2
2.0 · 10−3
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4

1.2 · 10−2
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4
3.1 · 10−5

2.5 · 10−4
9.8 · 10−6
2.5 · 10−6
6.5 · 10−7

2.7 · 10−5
1.3 · 10−6
3.0 · 10−7
1.3 · 10−7

4.0 · 10−2
2.0 · 10−3
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4

åøåíèå

1.2 · 10−2
5.0 · 10−4
1.2 · 10−4
3.0 · 10−5

u = U6

2.5 · 10−4
9.8 · 10−6
2.5 · 10−6
6.1 · 10−7

2.7 · 10−5
1.1 · 10−6
2.7 · 10−7
6.7 · 10−8

òåñòîâîé çàäà÷è 6 èç ðàçä. 5.3.3

a = k = 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåçàòóõàþùèé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ñ
τ ïî îáåèì ïåðåìåííûì. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòî ðåøåíèå áûñòðî
îñöèëëèðóåò ïðè ìàëûõ τ è ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíûì îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà
çàïàçäûâàíèÿ (ïîñêîëüêó ðåøåíèå u = U6 íå èìååò ïðåäåëà ïðè τ → 0). Óêàçàí-

ïðè

ïåðèîäîì

íîå îáñòîÿòåëüñòâî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè èñïîëüçóåìûõ çäåñü ÷èñëåííûõ
ìåòîäîâ ïðè ìàëûõ
ñåòêè ïî

x

τ,

ïîñêîëüêó òðåáóåò äëÿ òàêèõ

(íàïðèìåð, ïðè

τ = 0.05

τ

áîëüøîãî ÷èñëà òî÷åê

äëÿ äîñòèæåíèÿ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè

òðåáóåòñÿ áðàòü áîëåå 1000 òî÷åê, à ïðè

τ = 0.1

è

N = 1000

àáñîëþòíàÿ

ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé äëÿ ìåòîäà óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà äîâîëüíî
âåëèêà è ðàâíà

4.1 · 10−2 ).

 òàáë. 5.8 óêàçàíû àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé
çàäà÷è 6, ïîëó÷åííûõ êîìáèíàöèåé ìåòîäà ïðÿìûõ

ìåòîäîì

óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà íà èíòåðâàëå âðåìåíè
óìåðåííûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

èðà è ñ ìåòîäîì

0 6 t 6 50 τ

äëÿ òðåõ

τ = 0.5, τ = 1, τ = 2 ïðè ðàçëè÷íîì êîëè÷åñòâå

340

1.0

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
1.0

u

u

(а)

(б)

0.8

0.8
t ≈ 0.1

0.6

0.6

t ≈ 0.1

0.4

t≈1

t≈1
0.4
t≈3

0.2

0.2
t≈3

0

0.2

èñ.

5.10.

0.4

0.6

0.8

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè),

ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèåé ìåòîäà ïðÿìûõ è ìåòîäà óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà
òåñòîâîé çàäà÷è 5 ïðè

N = 100 è

a = 1, k = 0.5

äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ: à)

â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè

òî÷åê ñåòêè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé (N
Âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè

τ

t̄ = t/τ

äëÿ

τ = 0.05, á) τ = 0.5.

= 50, N = 100, N = 200).
N óìåíüøà-

è óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà óðàâíåíèé

åòñÿ ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Ïîãðåøíîñòü òàêæå óìåíüøàåòñÿ, åñëè
óìåíüøàåòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé èíòåðâàë âðåìåíè

T

(íàïðèìåð, ïðè

τ = 0.5

îáà ìåòîäà ïîêàçûâàþò ïðèåìëåìóþ àïïðîêñèìàöèþ òî÷íîãî ðåøåíèÿ äëÿ

N = 100 ñ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ 0.08 íà èíòåðâàëå 0 6 t 6 T = 20 τ ,
à ïðè N = 200 àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü íà ýòîì æå èíòåðâàëå âðåìåíè áóäåò
ìåíüøå â ÷åòûðå ðàçà). Ïîãðåøíîñòè ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì óíãå 
Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, ñîâïàäàþò ñ ïîãðåøíîñòÿìè ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ
ìåòîäîì
ïåðèîä

τ,

èðà, è îòäåëüíî â òàáë. 5.8 íå ïðèâîäÿòñÿ. Êîëåáàíèÿ ïî

x

èìåþò

òî åñòü ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé

óìåíüøàåòñÿ, è ïîýòîìó äëÿ äîñòèæåíèÿ ïðèåìëåìîé ïîãðåøíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåíüøåå êîëè÷åñòâî òî÷åê ñåòêè ïî ïðîñòðàíñòâó. Òåñòèðîâàíèå
ìåòîäîâ äëÿ óìåðåííûõ è áîëüøèõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ ïðè áîëüøèõ

N

íå

ïðîâîäèëîñü, òàê êàê òàêèå âû÷èñëåíèÿ òðåáóþò áîëüøèõ çàòðàò îïåðàòèâíîé
ïàìÿòè, íî, ââèäó ñêàçàííîãî âûøå, íå ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè. Îòìåòèì, ÷òî
ìåòîä óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà äàåò ÷óòü áîëåå õîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ
òî÷íîãî ðåøåíèÿ.
Íà ðèñ. 5.11 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè òî÷íîãî ðåøåíèÿ (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ)
è ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà
(êðóæî÷êè) ïðè

a = 1, τ = 0.5 äëÿ N = 100 è N = 200 â íåêîòîðûé
t = 15.91 (ìîìåíò âðåìåíè âûáðàí òàê, ÷òîáû

ïðîìåæóòî÷íûé ìîìåíò âðåìåíè

áûëà çàìåòíà ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ) è â ìîìåíò âðåìåíè ñ ìàêñèìàëüíîé àìïëèòóäîé
íåíèé

N

t = 16.00.

Âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì êîëè÷åñòâà óðàâ-

óìåíüøàåòñÿ ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.

ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì

ðàèêè ðåøåíèé,

èðà, âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ.

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
Òàáëèöà 5.8.

a=k=1

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé çàäà÷è 6 ïðè

è óìåðåííûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ

Ìåòîä
óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
èðà
1.0 u
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0.125
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
èñ.

5.11.

341

íà èíòåðâàëå

0 6 t 6 T = 50 τ .

N

τ = 0.5

τ =1

τ =2

50
100
200
50
100
200

0.79
0.2

0.2

4.6 · 10−2
7.7 · 10−3
1.9 · 10−3

0.8
0.2

0.2

1.0 u
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0.125
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0

x

−2

5.1 · 10
1.3 · 10−2

5.1 · 10−2

0.625

−2

4.4 · 10
5.7 · 10−3

4.3 · 10−2

t = 15.91
t = 16.00

(а)

0.375

τ

5.1 · 10−2
1.3 · 10−2
3.2 · 10−3
t = 15.91
t = 16.00

(б)

0.375

0.625

x

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè),

ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèåé ìåòîäà ïðÿìûõ è ìåòîäà óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà
òåñòîâîé çàäà÷è 6 ïðè

a = k = 1, τ = 0.5 è à) N = 100, á) N = 200 â ìîìåíòû âðåìåíè

t = 15.91 è t = 16.00.

Òåñòîâàÿ çàäà÷à 7.

ïðè

a = 1, k = 0.5

Òî÷íîå ðåøåíèå

u = U7

òåñòîâîé çàäà÷è 7 èç ðàçä. 5.3.3

ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî çàòóõàþùèì ïî îáåèì ïåðåìåííûì.

Âñå òðè ìåòîäà (ìåòîäû óíãå  Êóòòû âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ìåòîä
èðà) àäåêâàòíî ðàáîòàþò íà âñåì èíòåðâàëå âû÷èñëåíèé
âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ.
ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì

τ = 0.5

èðà, ïðè

ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.

N = 100
5.12.

0 6 t 6 T = 50 τ

ïðè

ðàèêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé,

äëÿ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ

τ = 0.05

è

ðàèêè ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ äðóãèìè

ìåòîäàìè, âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 5.9.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à 8.

ïðè

Òî÷íîå ðåøåíèå

a = 1, k = 0.5, s = 0.2

u = U8

òåñòîâîé çàäà÷è 8 èç ðàçä. 5.3.3

ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî çàòóõàþùèì âî âðåìåíè. Ïðè

óìåðåííûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ (τ

= 0.5

è

τ = 1)

óíãå  Êóòòû âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ìåòîä

âñå òðè ìåòîäà (ìåòîäû
èðà) àäåêâàòíî ðàáîòàþò

0 6 t 6 T = 50 τ .
= 0.05 è τ = 0.1) âñå ìåòîäû àäåêâàòíî
íà÷àëüíîì ó÷àñòêå 0 6 t 6 10 τ , à ïîñëå âûõîäà íà

íà âñåì èíòåðâàëå âû÷èñëåíèé

Ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ (τ
ðàáîòàþò òîëüêî íà
àñèìïòîòó

u = 0 íà÷èíàþò ñèëüíî îòêëîíÿòüñÿ îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Óêàçàííîå
τ ñòàöèîíàðíîãî ðåøå-

îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçàíî ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ ïðè ìàëûõ
íèÿ

u = 0.

342

2.0

5. × ÈÑËÅÍÍÛÅ ÅØÅÍÈß ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
2.0

u

x = 0.9
x = 0.5
x = 0.1

1.5

1.0
0

0.1

èñ.

u

(б)

(а)

5.12.

0.2

x = 0.9
x = 0.5
x = 0.1

1.5

0.3

0.4

t

1.0
0

1

2

3

4

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (êðóæî÷êè),

ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèåé ìåòîäà ïðÿìûõ è ìåòîäà

k = 0.5 â òî÷êàõ x = 0.1, x = 0.5, x = 0.9
à) τ = 0.05 è á) τ = 0.5.

äëÿ

èðà, òåñòîâîé çàäà÷è 7 ïðè

N = 100

a = 1,

è äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ:

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé çàäà÷è 7 ïðè

Òàáëèöà 5.9.

a = 1, k = 0.5 íà

èíòåðâàëå

Ìåòîä
óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
óíãå  Êóòòû
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
èðà

0 6 t 6 T = 50 τ .

N

τ = 0.05

τ = 0.1

τ = 0.5

τ =1

10
50
100
200
10
50
100
200
10
50
100
200

2.1 · 10−6
9.4 · 10−7
1.7 · 10−6
1.3 · 10−6

5.3 · 10−6
1.8 · 10−6
1.2 · 10−6
1.2 · 10−6

4.9 · 10−5
2.5 · 10−6
1.0 · 10−6
6.5 · 10−7

2.2 · 10−3
6.6 · 10−5
1.1 · 10−5
1.4 · 10−6

1.2 · 10−6
5.5 · 10−8
1.5 · 10−8
3.4 · 10−9

4.5 · 10−6
2.8 · 10−7
5.6 · 10−8
1.2 · 10−8

4.8 · 10−5
1.9 · 10−6
4.8 · 10−7
1.2 · 10−7

2.3 · 10−3
7.9 · 10−5
2.0 · 10−5
4.9 · 10−6

1.2 · 10−6
8.4 · 10−8
5.0 · 10−8
6.3 · 10−8

4.5 · 10−6
3.2 · 10−7
9.4 · 10−8
3.6 · 10−8

4.8 · 10−5
1.9 · 10−6
4.7 · 10−7
1.3 · 10−7

2.3 · 10−3
8.0 · 10−5
2.1 · 10−5
5.3 · 10−6

Ïîâåäåíèå ìåòîäîâ ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà ðèñ. 5.13 ïðè
äèíå îòðåçêà

x = 0.5.

N = 200

íà ñåðå-

ðàèêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì óí-

ãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, êà÷åñòâåííî àíàëîãè÷íû ãðàèêàì ÷èñëåííûõ
ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ ìåòîäîì
÷òî ìåòîä

èðà, è çäåñü îïóñêàþòñÿ. Èç ðèñ. 5.13 âèäíî,

èðà (è ìåòîä óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà) èìååò íåìíîãî

áîëüøèé


äèàïàçîí ïðèìåíèìîñòè ïî t. Â òàáë. 5.10 ïðåäñòàâëåíû àáñîëþòíûå
ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé íà èíòåðâàëå

0 6 t 6 10 τ ,

êîãäà ìåòîäû

ðàáîòàþò õîðîøî.
Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèå

τ.

u = U8

òåñòîâîé çàäà÷è 8 î÷åíü áûñòðî çàòóõàåò

τ = 0.05 è
τ = 0.1 ñâÿçàí ñ ëèíåéíîé íåóñòîé÷èâîñòüþ ïðåäåëüíîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ðåøåíèÿ (u → 0 ïðè t → ∞).
ïðè ìàëûõ

Ñðûâ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ

5.3. Ïîñòðîåíèå, âûáîð è èñïîëüçîâàíèå òåñòîâûõ çàäà÷ äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
2.5

u

2.0⨯

1.0 ⨯
0.5
0

0.2

èñ. 5.13.

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

⨯

(б)

⨯

1.5
1.0 ⨯

⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯⨯⨯
⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

u

2.0⨯

⨯

1.5 ⨯

⨯

2.5

⨯

(а)

343

0.5

t

0

⨯
⨯
⨯
⨯
⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
0.5

1.0

1.5

2.0

t

Òî÷íûå ðåøåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ (ìåòîä óíãå 

Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà  êðóæî÷êè, ìåòîä

a = 1, k = 0.5, s = 0.2
τ = 0.05 è á) τ = 0.1.

â òî÷êå

x = 0.5

äëÿ

èðà  êðåñòèêè) òåñòîâîé çàäà÷è 8 ïðè

N = 200

è äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ: à)

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ è íà ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëåíû
â òàáë. 5.10.
Òàáëèöà 5.10.

Àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé òåñòîâîé çàäà÷è 8 ïðè

a = 1, k = 0.5, s = 0.2.

Ìåòîä
óíãå  Êóòòû
âòîðîãî ïîðÿäêà
óíãå  Êóòòû
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà
èðà

N

10
50
100
200
10
50
100
200
10
50
100
200

τ = 0.05
T = 10 τ

τ = 0.1
T = 10 τ

τ = 0.5
T = 50 τ

τ =1
T = 50 τ

1.3 · 10−2
9.4 · 10−4
5.6 · 10−4
4.8 · 10−4

4.1 · 10−2
1.8 · 10−3
6.0 · 10−4
2.9 · 10−4

2.2 · 10−3
8.8 · 10−5
2.3 · 10−5
6.8 · 10−6

2.4 · 10−3
9.6 · 10−5
2.5 · 10−5
7.2 · 10−6

1.3 · 10−2
5.4 · 10−4
1.4 · 10−4
3.5 · 10−5

4.1 · 10−2
1.6 · 10−3
4.1 · 10−4
1.0 · 10−4

2.2 · 10−3
8.6 · 10−5
2.2 · 10−5
5.4 · 10−6

2.4 · 10−3
9.4 · 10−5
2.4 · 10−5
6.1 · 10−6

1.3 · 10−2
5.4 · 10−4
1.4 · 10−4
3.4 · 10−5

4.1 · 10−2
1.6 · 10−3
4.1 · 10−4
1.0 · 10−4

2.2 · 10−3
8.6 · 10−5
2.2 · 10−5
5.4 · 10−6

2.4 · 10−3
9.4 · 10−5
2.4 · 10−5
5.9 · 10−6

6. Ìîäåëè è äèåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå
èñïîëüçóþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèåì

6.1.1. Óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà (ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
ñ çàïàçäûâàíèåì)

Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.

 ëèòåðàòóðå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íåëèíåéíûå

ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (è ñèñòåìû òàêèõ óðàâíåíèé), îïèñûâàþùèå ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû. Ìîäåëè ñ çàïàçäûâàíèåì, êàê ïðàâèëî, âîçíèêàþò â
ðåçóëüòàòå ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåíèé áîëåå ïðîñòûõ ìîäåëåé áåç çàïàçäûâàíèÿ. Íèæå, äëÿ èëëþñòðàöèè òàêèõ îáîáùåíèé, ðàññìîòðåíà öåïî÷êà ïîñòåïåííî óñëîæíÿþùèõñÿ ìîäåëåé äèíàìèêè ïîïóëÿöèé, îïèñûâàåìûõ ÎÄÓ áåç
çàïàçäûâàíèÿ, êîòîðàÿ ïðèâåëà â êîíå÷íîì èòîãå ê áîëåå ñëîæíîé ìîäåëè ñ
çàïàçäûâàíèåì.

Óðàâíåíèå Ìàëüòóñà. Ïåðâóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ äè-

íàìèêè ðîñòà ÷èñëåííîñòè âèäà ïðåäëîæèë â 1798 ã. Ò. Ìàëüòóñ. Ñîãëàñíî
ýòîé ìîäåëè ïðè áëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ ëþáîé âèä óâåëè÷èâàåò ñâîþ ÷èñëåííîñòü ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó

u(t) = u0 ebt , è

ñëåäîâàòåëüíî, óäîâëå-

òâîðÿåò ëèíåéíîìó ÎÄÓ:

u′t = bu.

(6.1.1.1)

Ýòî óðàâíåíèå âïîñëåäñòâèè ïîëó÷èëî íàçâàíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ìàëüòóñà. Çäåñü ïàðàìåòð

b,

ðàâíûé ðàçíîñòè ìåæäó êîýèöèåíòàìè

ðîæäàåìîñòè è ñìåðòíîñòè, ïîëó÷èë íàçâàíèå ìàëüòóçèàíñêîãî êîýèöèåíòà ëèíåéíîãî ðîñòà (ïðè íåáëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ êîíñòàíòà

b

ìîæåò áûòü

îòðèöàòåëüíîé). Ìîäåëü Ìàëüòóñà õîðîøî ïîäòâåðæäàåòñÿ ìíîãî÷èñëåííûìè
ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, åñëè ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè íåâåëèêà, ò. å.
ïîêà åå ðàçìåð íå îãðàíè÷èâàåòñÿ äîñòóïíîé ïèùåé è òåððèòîðèåé.

Ëîãèñòè÷åñêîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. ×òîáû ó÷åñòü îãðàíè÷åí-

íîñòü ïèùåâûõ ðåñóðñîâ, â 1835 ã. Ë.À. Êåòëå è Ï.Ô. Ôåðõþëüñò ïðåäëîæèëè
áîëåå ñëîæíóþ, ÷åì (6.1.1.1), ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ
íåëèíåéíûì ëîãèñòè÷åñêèì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì

u′t = bu(1 − u/k),

344

(6.1.1.2)

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ãäå ïàðàìåòð

k

345

õàðàêòåðèçóåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿ-

öèè è íàçûâàåòñÿ åìêîñòüþ ñðåäû îáèòàíèÿ.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå
óðàâíåíèå (6.1.1.2) ïåðåõîäèò â ìîäåëü Ìàëüòóñà (6.1.1.1).
Òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.1.1.2) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
èìååò âèä

u(t) =

k
,
1 + [(k/u0 ) − 1] exp(−bt)

k → ∞

u(t = 0) = u0

t > 0.

(6.1.1.3)

Íèæå ïåðå÷èñëåíû îñíîâíûå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ (6.1.1.3).

1◦ .
2◦ .
3◦ .
4◦ .

t > 0.
limt→∞ = k .
Ïðè 0 < u0 < k óíêöèÿ u(t) âîçðàñòàåò, à ïðè u0 > k óáûâàåò.
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ u = k ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Ïðè

u0 > 0 èìååì u(t) > 0

ïðè âñåõ

Èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå:

Óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà è åãî ñâîéñòâà. Ëîãèñòè÷åñêèé çàêîí (6.1.1.3) õîðîøî îïèñûâàåò äèíàìèêó ðîñòà ïîïóëÿöèé ïðîñòåéøèõ ìèêðîîðãàíèçìîâ, îäíàêî îí íåïðèìåíèì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ÷èñëåííîñòè áîëüøèíñòâà
ìëåêîïèòàþùèõ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèé òàêèõ âèäîâ
ïîäâåðæåíû ðåçêèì öèêëè÷åñêèì êîëåáàíèÿì.  ñâÿçè ñ ýòèì

. Õàò÷èíñîí

[294℄ ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü áîëåå ñëîæíóþ ìîäåëü, îñíîâàííóþ íà íåëèíåéíîì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

u′t = bu(1 − w/k),

w = u(t − τ ),

(6.1.1.4)

êîòîðîå îïèñûâàåò äèíàìèêó íåêîòîðîé ïîïóëÿöèè ñ ó÷åòîì ïåðèîäà âçðîñëåíèÿ, êîãäà îñîáè íå ñïîñîáíû ê ðàçìíîæåíèþ.  óðàâíåíèå (6.1.1.4) âõîäèò

u = u(t) > 0,
îáèòàíèÿ k è âðåìÿ

îòíîñèòåëüíàÿ ÷èñëåííîñòü (ïëîòíîñòü) ïîïóëÿöèè

êîýèöè-

b > 0,

çàïàçäûâà-

åíò ðîñòà ïîïóëÿöèè
íèÿ

τ,

åìêîñòü ñðåäû

õàðàêòåðèçóþùåå ñðåäíèé ðåïðîäóêòèâíûé âîçðàñò ðàññìàòðèâàåìîãî

âèäà. Ñêîðîñòü ðîñòà ïîïóëÿöèè çäåñü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçìåðó ïî-

(k − w)/k è ÿâëÿåòñÿ
τ = 0 óðàâíåíèå (6.1.1.4) ïåðåõîäèò

ïóëÿöèè â òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè è ñîìíîæèòåëþ
ñàìîðåãóëèðóþùåéñÿ.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå

â ëîãèñòè÷åñêîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.1.1.3). Ââåäåíèå â óðàâíåíèå
çàïàçäûâàíèÿ

τ >0

ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà. Ýòî

ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðîñò ïîïóëÿöèè îñòàíîâèòñÿ íå ñðàçó ïî äîñòèæåíèè óðîâíÿ
íàñûùåíèÿ

k,

êàê áûëî áû ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ, à ñïóñòÿ âðåìÿ

τ.

Â

èòîãå ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ðàçìåð ïîïóëÿöèè ïðåâûñèò óðîâåíü íàñûùåíèÿ è íà÷íåò
ñíèæàòüñÿ, íî îïÿòü æå íå ñìîæåò îñòàíîâèòñÿ, äîñòèãíóâ íàñûùåíèÿ

k,

à

¾ïðîñêî÷èò¿ åãî, îñòàíîâèòñÿ ïîçæå è âåðíåòñÿ ê ðîñòó.
Çàìåíîé

u = kv

óðàâíåíèå (6.1.1.4) ñâîäèòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó

vt′ = bv[1 − v(t − τ )].

(6.1.1.5)

Íèæå îïèñàíû íåêîòîðûå êà÷åñòâåííûå è êîëè÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6.1.1.5) (ïîäðîáíîñòè ñì. â [40, 306, 333, 563℄).

1◦ .

Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ

v=0

íåóñòîé÷èâî.

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

346

2◦ .

v = 1 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïðè 0 < bτ 6 π/2
bτ > π/2.
3◦ . Ïðè 0 < bτ 6 37
24 (îöåíêó ñâåðõó ìîæíî óëó÷øèòü [37℄) âñå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (6.1.1.5), çà èñêëþ÷åíèåì íóëåâîãî, ïðè t → ∞ ñòðåìÿòñÿ ê 1.
4◦ . Ïðè bτ > π/2 èìååòñÿ íåòðèâèàëüíîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå [40, 307,
310℄. Îáîçíà÷èì ýòî ðåøåíèå v∗ (t, λ), ãäå λ = bτ , à åãî ïåðèîä  T∗ (λ). Ïðè
λ = bτ ≫ 1 èìåþò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêèå îðìóëû:
 −λ 
eλ + 1
e
T∗ (λ) =
+O
,
Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ

è íåóñòîé÷èâî ïðè

λ

λ−1

max v∗ (t, λ) = e

06t6T∗

λ

−1

+ (2e)

+ O(e−λ ),

 2 i
h
ln λ
1 + (1 + λ) ln λ
+O
.
min v∗ (t, λ) = exp −eλ + 2λ − 1 +
2
λ

06t6T∗

λ

Çàìå÷àíèå 6.1. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè îáîáùåííûõ óðàâíåíèé

Õàò÷èíñîíà îáñóæäàþòñÿ â ðàçä. 1.3.4 (ñì. ïðèìåðû 1.16 è 1.17).

àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (6.1.1.5) ïðè

b = 1

ñ íà÷àëüíûì

óñëîâèåì

v(t) = 0.5,

−τ 6 t 6 0.

(6.1.1.6)

Íà ðèñ. 6.1 ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ãðàèêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ýòîé
çàäà÷è ïðè äâóõ ðàçëè÷íûõ âðåìåíàõ çàïàçäûâàíèÿ: à)

τ = 0.5

è á)

τ = 2,

êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò óñòîé÷èâîìó è íåóñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ

v = 1. Øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíî ðåøåíèå çàäà÷è áåç çàïàçäûâàíèÿ ïðè
τ = 0. Âñå ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû íåÿâíûì ìåòîäîì óíãå  Êóòòû âòîðîãî ïîðÿäêà
ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà Mathemati a (ñì. ðàçä. 5.1.4 è

5.1.7). Âèäíî, ÷òî ðå-

øåíèå çàäà÷è áåç çàïàçäûâàíèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è áûñòðî ïðèáëèæàåòñÿ
ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ. åøåíèå ïðè

τ = 0.5

êîëåáëåòñÿ îêîëî ðåøåíèÿ

çàäà÷è áåç çàïàçäûâàíèÿ è áûñòðî ïðèáëèæàåòñÿ ê íåìó ïðè óâåëè÷åíèè
ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. åøåíèå ïðè

τ =2

t, ÷òî
òàêæå

êîëåáëåòñÿ îêîëî ðåøåíèÿ çàäà÷è áåç çàïàçäûâàíèÿ, ïðè ýòîì àìïëèòóäà êîëåáàíèé âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè t, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâîìó ðåæèìó.

Ëîãèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü â óñëîâèÿõ îãðàíè÷åííîñòè ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ. Èç óðàâíåíèÿ (6.1.1.2) ëåãêî óâèäåòü, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ðîñòà ïîïóëÿöèè ëèíåéíî çàâèñèò îò ïëîòíîñòè. Îäíàêî â ýêñïåðèìåíòàõ ñ êóëüòóðàìè áàêòåðèé áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ðîñòà

u′t /u

íå ÿâëÿåòñÿ

ëèíåéíîé óíêöèåé ïëîòíîñòè. Ýòîò àêò ïîñëóæèë îñíîâîé äëÿ óëó÷øåíèÿ
ëîãèñòè÷åñêîé ìîäåëè (6.1.1.2), â ðåçóëüòàòå ÷åãî áûëà ñîðìóëèðîâàíà áîëåå
ñëîæíàÿ ìîäåëü ¾ñ îãðàíè÷åííûì ïèòàíèåì¿, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ [494℄:

ut = bu
ãäå

u = u(t) > 0  ïëîòíîñòü

k−u
,
k + cu

b > 0  êîýèöèåíò ðîñòà ïîk > 0  óðîâåíü íàñûùåíèÿ ðàçìåðà

ïîïóëÿöèè,

ïóëÿöèè ïðè íåîãðàíè÷åííîì ïèòàíèè,

(6.1.1.7)

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

èñ. 6.1.

à)

åøåíèÿ çàäà÷è (6.1.1.5), (6.1.1.6) ïðè

τ = 0.5, á) τ = 2; øòðèõîâîé

ïîïóëÿöèè (ïðè

ut = 0), τ

b=1

347

äëÿ äâóõ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ:

ëèíèåé ïîêàçàíî ðåøåíèå ïðè

τ = 0.

 âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ, õàðàêòåðèçóþùåå ñðåäíèé

ðåïðîäóêòèâíûé âîçðàñò ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà. Õîòÿ äàííàÿ ìîäåëü è áûëà
ïîëó÷åíà áåç ó÷åòà ñâîéñòâ è âîçìîæíûõ áèîëîãè÷åñêèõ èíòåðïðåòàöèé íîâîé êîíñòàíòû

c,

àíàëèç ìîäåëè [494℄ ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòü îòíîøåíèå

b/c

êàê óäåëüíóþ ñêîðîñòü çàìåùåíèÿ ìàññû â ðàññìàòðèâàåìîé ïîïóëÿöèè ïðè
íàñûùåíèè. Ñþäà âõîäÿò êàê ìåòàáîëè÷åñêèå ïîòåðè, òàê è ïîòåðè âñëåäñòâèå
ñìåðòè îðãàíèçìîâ. Ìîäåëü (6.1.1.7) ó÷èòûâàåò, ÷òî ðàñòóùàÿ ïîïóëÿöèÿ áóäåò
ïîåäàòü ¾ïèùó¿ áûñòðåå, ÷åì ðàâíîâåñíàÿ ïîïóëÿöèè. Ýòî ïðîèñõîäèò èççà òîãî, ÷òî â àçå ðîñòà ïèùà ïîòðåáëÿåòñÿ êàê äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàçìåðà
ïîïóëÿöèè, òàê è äëÿ åå ðîñòà, à ïðè äîñòèæåíèè óðîâíÿ íàñûùåíèÿ ïèùà
ãëàâíûì îáðàçîì èäåò íà ïîääåðæàíèå ðàçìåðà ïîïóëÿöèè. Êàê è â óðàâíåíèè
(6.1.1.2), ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.1.1.7) ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê

k

ïðè

t → ∞.

Îäíàêî, êàê áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî (ñì., íàïðèìåð, [403℄), ïëîòíîñòü (îòíîñèòåëüíûé ðàçìåð) ïîïóëÿöèè îáû÷íî èìååò òåíäåíöèþ ê êîëåáàíèþ îêîëî ðàâíîâåñíîãî çíà÷åíèÿ, à ñòðåìëåíèå ê ïîëîæèòåëüíîìó ðàâíîâåñíîìó çíà÷åíèþ ðåäêî ïðîèñõîäèò ìîíîòîííûì îáðàçîì. ×òîáû âêëþ÷èòü òàêèå

îñöèëëÿöèè â ïîïóëÿöèîííóþ ìîäåëü ñ îãðàíè÷åííûì ïèòàíèåì (6.1.1.7), â
ðàáîòå [253℄ áûëà ïðåäëîæåíà ìîäåëü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ÎÄÓ
ñ çàïàçäûâàíèåì:

ut = bu

k−w
,
k + cw

w = u(t − τ ).

(6.1.1.8)

Ñâîéñòâà óðàâíåíèÿ (6.1.1.8) è åãî ðåøåíèé èçó÷àþòñÿ â ðàáîòàõ [136, 253,
254, 257, 498, 534℄.

6.1.2. Óðàâíåíèå Íèêîëñîíà
Åùå îäíîé ðàñïðîñòðàíåííîé íåëèíåéíîé ìîäåëüþ ñ çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèå Íèêîëñîíà [267℄:

u′t = pwe−κw − δu,

w = u(t − τ ),

(6.1.2.1)

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

348

êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ïîïóëÿöèè ìÿñíûõ ìóõ
è õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàìè, îïèñàííûìè â [403℄. Çäåñü

p > 0

ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ÿèö, îòêëàäûâàåìûõ îäíîé îñîáüþ â ñóòêè (ñ ïîïðàâêîé íà âûæèâàåìîñòü ïðè ðàçâèòèè îò ÿéöà äî âçðîñëîé îñîáè),

1/κ > 0 

÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè, ïðè êîòîðîé îíà âîñïðîèçâîäèòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé
ñêîðîñòüþ,

δ > 0  ñðåäíåñóòî÷íûé óäåëüíûé (â ïåðåñ÷åòå íà îäíó îñîáü) óðîτ > 0  âðåìÿ îò êëàäêè ÿéöà äî ìîìåíòà,

âåíü ñìåðòíîñòè âçðîñëûõ îñîáåé,

êîãäà îñîáü èç ýòîãî ÿéöà ñòàíîâèòñÿ ïîëîâîçðåëîé.
Óðàâíåíèå (6.1.2.1) èìååò äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ: òðèâèàëüíîå

u0 = 0

è ïîëîæèòåëüíîå

u∗ =

1
κ

ln

p
,
δ

(6.1.2.2)

p > δ.

êîòîðîå ñóùåñòâóåò ïðè óñëîâèè

Óðàâíåíèå (6.1.2.1) áóäåì ðàññìàòðèâàòü â îáëàñòè

t > 0

ñ íà÷àëüíûì

óñëîâèåì

u = ϕ(t)

ïðè

−τ 6 t 6 0.

(6.1.2.3)

Íèæå êðàòêî ïðèâåäåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Íèêîëñîíà (6.1.2.1).

1◦ .

Ïóñòü

ϕ(t) > 0 â (6.1.2.3). Òîãäà ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êîøè
u(t) > 0 ïðè t > 0.

äëÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) íåîòðèöàòåëüíî [497℄, ò. å.

2◦ .

Ïðè çàäàííûõ ïîëîæèòåëüíûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ âñå ðåøåíèÿ óðàâ-

íåíèÿ (6.1.2.1) îñòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïðè âñåõ
íåðàâåíñòâî [497℄:

lim sup u(t) 6

t→∞

3◦ .

t > 0,

è âûïîëíÿåòñÿ

p
.
eδκ

p 6 δ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) ñïðàâåäëèâî
ñîîòíîøåíèå u(t) → 0 ïðè t → ∞ [497℄. Äðóãèìè ñëîâàìè, òðèâèàëüíîå
ðåøåíèå u0 = 0 ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì (ò. å. ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî) íåçàâèñèìî îò τ ïðè p 6 δ .
4◦ . Ïóñòü p > δ. Òîãäà íå ñóùåñòâóåò òàêîãî íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ u(t)
Ïóñòü

óðàâíåíèÿ (6.1.2.1), ÷òî

lim u(t) = 0,

t→∞

è âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâû [497℄ (ò. å. íàéäåòñÿ

η > 0,

òàêîå ÷òî äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè ñ ïîëîæèòåëüíûìè íà÷àëüíûìè çíà÷å-

íèÿìè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

lim inf u(t) > η ).

t→∞

Çàìå÷àíèå 6.2. Êðèòåðèè ëîêàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íåòðèâèàëü-

u∗ , îïðåäåëÿåìîãî îðìóëîé (6.1.2.2), ìîæíî ïîëó÷èòü
ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
íîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

λ + δ + δ[ln(p/δ) − 1]e−τ λ = 0,
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1), ëèíåàðèçîâàííîìó îòíîñèòåëüíî
ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ.

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
5◦ .

349

Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ äâóñòîðîííåå íåðàâåíñòâî

1 < p/δ < e2 .
Òîãäà íåòðèâèàëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

u∗

ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî óñòîé÷è-

âûì. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ äâóñòîðîííåå íåðàâåíñòâî

1 < p/δ < e,
òî íåòðèâèàëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå
÷åñêè óñòîé÷èâûì [317℄.

6◦ .

Ïóñòü

p/δ > e2 . Òîãäà

u∗

ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè-

ïîëîæèòåëüíîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ

u∗

óðàâíå-

íèÿ (6.1.2.1) ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî [250℄:

τ<

1
δ

ln



c
c−1



,

p
δ

c = ln

− 1.

Ïðè ýòîì èìååòñÿ ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå (îòëè÷íîå îò êîíñòàíòû), åñëè

τ>

arccos(−1/c)
√
,
δ c2 − 1

c = ln

p
δ

− 1.

7◦ . Â [545℄ áûëî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïðè p/δ > e2 ðåøåíèå
u = u∗ ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî äëÿ τ ∈ (0, τ0 ) è íåóñòîé÷èâî äëÿ
τ > τ0 , ãäå
√
1
δ c2 − 1

τ0 = √

à êîíñòàíòà

c

îïðåäåëåíà â ï.

8◦ . Óñëîâèå

arcsin

c2 − 1
,
c

6◦ .

(eδτ − 1) ln(p/δ) < 1

ãàðàíòèðóåò ãëîáàëüíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ [497℄.

9◦ .

Ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå

u∗

óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) ãëîáàëüíî àñèìïòîòè-

÷åñêè óñòîé÷èâî [361℄, åñëè ëèáî

1 < p/δ 6 e,
ëèáî

10◦ .

p
δ

>e

è

e−δτ > c ln

c2 + c
,
c2 + 1

c = ln

p
δ

− 1.

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ [270, 335℄:

a) Ïóñòü

p/δ > e

è

δτ eδτ [ln(p/δ) − 1] > e−1 .

Òîãäà âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) îñöèëëèðóþò îòíîñèòåëüíî
b) Ïóñòü

p/δ > e2

è

δτ eδτ [ln(p/δ) − 1] 6 e−1 .

u∗ .

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

350

Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.1.2.1), íåîñöèëëèðóþùåå îòíîñèòåëüíî

u∗ .

u(t) íàçûâàþò íåîñöèëëèðóþùåé îòíîñèòåëüíî
u(t) − K ëèáî ïîëîæèòåëüíà, ëèáî îòðèöàòåëüíà
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå óíêöèÿ u(t) íàçûâàåòñÿ îñöèëëèðóþùåé îòíîñèòåëüíî K .
11◦ . Ïóñòü p > δ, à óíêöèÿ u(t)  ïîëîæèòåëüíàÿ íåîñöèëëèðóþùàÿ îòíîñèòåëüíî ðåøåíèÿ u∗ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1). Òîãäà limt→∞ u(t) = u∗ [497℄.
Îïðåäåëåíèå 2. Íåíóëåâîå ðåøåíèå u(t) óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) íàçûâàþò áûñòðî îñöèëëèðóþùèì îòíîñèòåëüíî u∗ , åñëè ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{tn } è {t′n }, òàêèå ÷òî tn , t′n → ∞ è
Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèþ

çíà÷åíèÿ

K,

åñëè ðàçíîñòü

tn 6= t′n ,

u(tn ) = u(t′n ) = u∗ ,

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðåøåíèå
íîñèòåëüíî

12◦ .
Åñëè

u(t)

|tn − t′n | 6 τ,

n > 1.

íàçûâàåòñÿ ìåäëåííî îñöèëëèðóþùèì îò-

u∗ .

 ðàáîòå [271℄ ïîëó÷åíû îáùèå ðåçóëüòàòû, ïåðå÷èñëåííûå íèæå.

1 < p/δ < e, òî

a) óðàâíåíèå (6.1.2.1) èìååò îòëè÷íûå îò

u∗

ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ, êî-

òîðûå íå ÿâëÿþòñÿ îñöèëëèðóþùèìè îòíîñèòåëüíî

u∗ ;

b) óðàâíåíèå (6.1.2.1) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé,
áûñòðî îñöèëëèðóþùèõ îòíîñèòåëüíî

u∗ ;

) óðàâíåíèå (6.1.2.1) íå èìååò ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé, ìåäëåííî îñöèëëèðóþùèõ îòíîñèòåëüíî
Ïðè

p/δ = e

u∗ .

âñå îòëè÷íûå îò

íåîñöèëëèðóþùèìè îòíîñèòåëüíî

u∗
u∗ .

ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) ÿâëÿþòñÿ

Äîïîëíèòåëüíóþ èíîðìàöèþ î ñâîéñòâàõ óðàâíåíèÿ Íèêîëñîíà è ðîäñòâåííûõ áîëåå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì ìîæíî íàéòè â
îáçîðå [138℄.
àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (6.1.2.1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u(t) = u0 = 50,
Âûáåðåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ

−τ 6 t 6 0.

(6.1.2.4)

p = 10, κ = 0.1, τ = 15, ðóêîâîäñòâóÿñü

çíà÷åíèÿìè, ïðåäëîæåííûìè â [267℄ ïîñëå àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ [403℄. åøèì ñîðìóëèðîâàííóþ çàäà÷ó ìåòîäîì

èðà, èñïîëüçóÿ ïàêåò

Mathemati a (ñì. ðàçä. 5.1.7).
Íà ðèñ. 6.2 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè ðåøåíèé çàäà÷è (6.1.2.1), (6.1.2.4) ïðè
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ñðåäíåñóòî÷íîé óäåëüíîé ñìåðòíîñòè

δ.

Âèäíû êà÷å-

ñòâåííûå ðàçëè÷èÿ ãðàèêîâ, êîòîðûå ñîãëàñóþòñÿ ñ îïèñàííûìè âûøå óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
÷èâîñòè

u∗

u∗ . Ñëó÷àé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé-

ïðîäåìîíñòðèðîâàí íà ðèñ. 6.2à. Âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè àñèìïòî-

òè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèå âûõîäèò íà ïðîñòîé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ
ñ îäíèì ëîêàëüíûì ìàêñèìóìîì è îäíèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì çà îäèí ïåðèîä êîëåáàíèé (ðèñ. 6.2á). Äâèãàÿñü âãëóáü îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè ñíà÷àëà

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

351

íàáëþäàåì óäâîåíèå ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ (ðèñ. 6.2â), à çàòåì õàîòè÷åñêèé
ðåæèì (ðèñ. 6.2ã). Àíàëîãè÷íûå ãðàèêè äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
çàäà÷è áûëè ïîëó÷åíû è ïðîàíàëèçèðîâàíû â [267℄. Õàðàêòåð çàâèñèìîñòåé íà
ãðàèêàõ ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàìè, êîòîðûå ïîêàçàëè, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðàçìíîæåíèå îñîáåé ïðîèñõîäèò íå ïîñòîÿííî, à ¾êâàçèäèñêðåòíûìè ïîêîëåíèÿìè¿, êàæäîå èç êîòîðûõ ãåíåðèðóåò äâà èëè áîëåå ïîêîëåíèé,
îòëè÷àþùèõñÿ ÷èñëåííîñòÿìè ïîïóëÿöèé.

90

u

140

(а)

u

(б)

100
70

60

20

50
0

100

160

200

80

()

u

0

t

120

60

80

40

40

20

0

100

200

t

100

u

200

t

200

t

( )

0

100

u(t) çàäà÷è (6.1.2.1), (6.1.2.4) ïðè κ = 0.1, p = 10, τ = 15 è ðàçëè÷íûõ
δ : à) δ = 0.018, á) δ = 0.05, â) δ = 0.2, ã) δ = 0.5; ïóíêòèðîì
p
1
îáîçíà÷åíî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ u∗ =
κ ln δ .
èñ. 6.2.

åøåíèÿ

çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà

6.1.3. Ìîäåëè êðîâåòâîðåíèÿ Ìýêêè  ëàññà
 ñòàòüå [375℄ äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ãîìîãåííîé ïîïóëÿöèè çðåëûõ öèðêóëèðóþùèõ êëåòîê êðîâè ïëîòíîñòè
âèäà:

ut = β0
ãäå

β0 , θ , n

è

γ  íåêîòîðûå

u = u(t)

θn w
θn + wn

− γu,

w = u(t − τ ),

(6.1.3.1)

ïàðàìåòðû.

Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.1.3.1) ïðè
óíêöèåé

èñïîëüçóåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

n > 1

è èêñèðîâàííîì

w, èìåþùåé îäèí ìàêñèìóì. Ñ ðîñòîì τ

u

ÿâëÿåòñÿ

ïåðâîíà÷àëüíî óñòîé÷èâîå

ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì, è ïîÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûå
ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå

τ

â äèíàìèêå ïîâåäåíèÿ ñè-

ñòåìû âîçíèêàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áèóðêàöèé. Òàêæå íàáëþäàåòñÿ õàîòè-

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

352

÷åñêèé ðåæèì. Ìîäåëü (6.1.3.1) è ðîäñòâåííûå åé ðàññìàòðèâàþòñÿ â [137, 352,
480, 483℄.
 ðàáîòå [374℄ áûëè ïðîàíàëèçèðîâàíû êëèíè÷åñêèå è ëàáîðàòîðíûå äàí-

1 è óñòàíîâëåíî, ÷òî äèíàìèêà ïåðèîäè÷å2

íûå ïî ïåðèîäè÷åñêîìó ãåìîïîýçó

ñêîãî ãåìîïîýçà âîçíèêàåò â ïîïóëÿöèè ãåìîïîýòè÷åñêèõ ïëþðèïîòåíòíûõ
ñòâîëîâûõ êëåòîê.

3 (ïëîòíîñòü ïîïóëÿ-

Êëåòêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà êëåòêè àçû ïðîëèåðàöèè
öèè

v(t),

êëåòîê/êã) è àçû ïîêîÿ

G0

(ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè

u(t),

êëåòîê/êã).

Îïèøåì ðàçëè÷èÿ ìåæäó êëåòêàìè ýòèõ àç.  ñòàäèè ïðîëèåðàöèè êëåòêè

4

ïîäâåðãàþòñÿ ìèòîçó

ñïóñòÿ èêñèðîâàííîå âðåìÿ

τ

(äíè) ñ ìîìåíòà íà÷àëà

ñòàäèè ïðîëèåðàöèè.  ñâîþ î÷åðåäü êëåòêè, âñòóïàþùèå â àçó

G0 ,

ñëó-

÷àéíûì îáðàçîì ìîãóò âûéòè èç íåå è ëèáî âåðíóòüñÿ ê ïðîëèåðàöèè ñî

−1 ), ëèáî áûòü áåçâîçâðàòíî èñêëþ÷åííûìè èç ïðîöåññà â
5
ñâÿçè ñ äèåðåíöèðîâêîé íà ðàçëè÷íûå ãåìîïîýòè÷åñêèå êëåòêè (ýðèòðîöè−1 ). Õîòÿ ïðîëèåòû, ëèìîöèòû, òðîìáîöèòû è äð.) ñî ñêîðîñòüþ δ (äíè

ñêîðîñòüþ

β

(äíè

ðèðóþùèå êëåòêè ìîãóò òàêæå áûòü áåçâîçâðàòíî èñêëþ÷åíû èç ëþáîé àçû
êëåòî÷íîãî öèêëà ñî ñêîðîñòüþ

γ

− 1), ¾íîðìàëüíàÿ¿ ïîïóëÿöèÿ ñòâîëîâûõ

(äíè

êëåòîê, ïî îïðåäåëåíèþ, õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì

γ = 0.

Ïàðàìåòðû

γ, δ, τ

ïîñòîÿííû âî âðåìåíè è íå çàâèñÿò îò ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè êëåòîê. Îïðåäåëåíèå ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ çàòðóäíåíî èç-çà èõ êîëè÷åñòâà
è íåäîñòàòî÷íîãî îáúåìà äàííûõ ïî èçèîëîãèè è ïàòîèçèîëîãèè ñòâîëîâûõ
êëåòîê (íåêîòîðûå ïîïûòêè ïðåäïðèíèìàëèñü â [374℄).
Çíà÷åíèå ñêîðîñòè ïåðåõîäà èç àçû ïîêîÿ ê àçå ïðîëèåðàöèè çàâèñèò
îò ÷èñëåííîñòè êëåòîê àçû ïîêîÿ, ò. å.
ìàêñèìóìà; êîãäà
êëåòîê èç àçû

G0

u

ðàñòåò,

β

β = β(u).

Êîãäà

ìàëî,

β

äîñòèãàåò

ê àçå ïðîëèåðàöèè èìååò âèä

β(u) =

β0 θn
+ un

θn

,

β0  ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ïåðåõîäà êëåòîê èç
−1 ), θ  ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè êëåòîê
åðàöèè (äíè

ãäå

u

óìåíüøàåòñÿ. Çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ïåðåõîäà

(6.1.3.2)
àçû ïîêîÿ
â àçå

G0 ,

G0

ê ïðîëè-

ïðè êîòîðîé

Êðîâåòâîðåíèå (èëè ãåìîïîýç)  ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ, ðàçâèòèÿ è ñîçðåâàíèÿ êëåòîê êðîâè.
Ïëþðèïîòåíòíûå ñòâîëîâûå êëåòêè  ýòî êëåòêè, êîòîðûå îáëàäàþò ñïîñîáíîñòüþ ê ñàìîîáíîâëåíèþ ïóòåì äåëåíèÿ è ðàçâèòèþ ñ îáðàçîâàíèåì òðåõ îñíîâíûõ ñëîåâ çàðîäûøåâûõ
êëåòîê ðàííåãî ýìáðèîíà, à ñëåäîâàòåëüíî, âñåõ êëåòîê âçðîñëîãî îðãàíèçìà, íî íå âíåýìáðèîíàëüíûõ òêàíåé, òàêèõ êàê ïëàöåíòà. Ýìáðèîíàëüíûå ñòâîëîâûå êëåòêè è èíäóöèðîâàííûå
ïëþðèïîòåíòíûå ñòâîëîâûå êëåòêè ÿâëÿþòñÿ ïëþðèïîòåíòíûìè ñòâîëîâûìè êëåòêàìè.
3
Ïðîëèåðàöèÿ  ýòî ïðîöåññ ðàçðàñòàíèÿ òêàíè îðãàíèçìà ïóòåì ðàçìíîæåíèÿ êëåòîê
äåëåíèåì.
4
Ìèòîçýòî íåïðÿìîå äåëåíèå êëåòêè, íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¼ííûé ñïîñîá ðåïðîäóêöèè ýóêàðèîòè÷åñêèõ êëåòîê, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ñòðîãî îäèíàêîâûì ðàñïðåäåëåíèåì õðîìîñîì
ìåæäó äî÷åðíèìè ÿäðàìè, ÷òî îáåñïå÷èâàåò îáðàçîâàíèå ãåíåòè÷åñêè èäåíòè÷íûõ äî÷åðíèõ
êëåòîê è ñîõðàíÿåò ïðååìñòâåííîñòü â ðÿäó êëåòî÷íûõ ïîêîëåíèé.
5
Äèåðåíöèðîâêàðåàëèçàöèè ãåíåòè÷åñêè îáóñëîâëåííîé ïðîãðàììû îðìèðîâàíèÿ ñïåöèàëèçèðîâàííîãî åíîòèïà êëåòîê, îòðàæàþùåãî èõ ñïîñîáíîñòü ê òåì èëè èíûì ïðîèëüíûì
óíêöèÿì.
1

2

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
ñêîðîñòü ïåðåõîäà èç àçû

G0

353

ê ïðîëèåðàöèè ìàêñèìàëüíà (êëåòîê/êã),

n

áåçðàçìåðíîå ÷èñëî, îòâå÷àþùåå çà ÷óâñòâèòåëüíîñòü ñêîðîñòè ïåðåõîäà íà
ñòàäèþ ïðîëèåðàöèè ê ðàçìåðó ïîïóëÿöèè
âûáîðà èìåííî òàêîé çàâèñèìîñòè

β(u)

u

â àçå ïîêîÿ

G0 .

Îáîñíîâàíèå

äàíî â [374℄.

Äèíàìèêà ïîïóëÿöèè êëåòîê àçû ïîêîÿ

G0

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâà-

íèåì âèäà

ut = −δu − β(u)u + 2β(w)we−γτ ,

w = u(t − τ ).

(6.1.3.3)

G0

ðàâíà ñóììå òðåõ

Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè â ñòàäèè ïîêîÿ

G0

ñëàãàåìûõ. Ïåðâîå îòâå÷àåò çà íåâîñïîëíèìóþ ïîòåðþ êëåòîê àçû ïîêîÿ

çà ñ÷åò äèåðåíöèðîâêè. Âòîðîå ñëàãàåìîå êîððåêòèðóåò ïîòåðþ çà ñ÷åò ïåðåõîäà êëåòîê â ñòàäèþ ïðîëèåðàöèè. Òðåòüå ñëàãàåìîå ó÷èòûâàåò êëåòî÷íûé ïðèðîñò çà ñ÷åò ïåðåìåùåíèÿ ïðîëèåðèðóþùèõ êëåòîê â ñòàäèþ

G0

èç

ïðåäûäóùåãî ïîêîëåíèÿ. Ìíîæèòåëü ¾2¿ îçíà÷àåò, ÷òî ïðîëèåðàöèÿ êëåòîê
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì ìèòîçà. Ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü êîððåêòèðóåò âåðîÿòíîñòü ïîòåðè êëåòîê ïðîëèåðèðóþùåé ïîïóëÿöèè.
Äèíàìèêà ïîïóëÿöèè êëåòîê â ñòàäèè ïðîëèåðàöèè îïèñûâàåòñÿ ïîõîæèì
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì:

vt = −γv + β(u)u − β(w)we−γτ ,

w = u(t − τ ).

(6.1.3.4)

Ïåðâîå ñëàãàåìîå îòâå÷àåò çà íåâîñïîëíèìóþ ïîòåðþ ñðåäè êëåòîê àçû ïðîëèåðàöèè. Âòîðîå ñëàãàåìîå ìîäåëèðóåò ïðèòîê êëåòîê èç àçû ïîêîÿ

G0 .

Òðåòüå ñëàãàåìîå îòâå÷àåò çà îòòîê êëåòîê èç àçû ïðîëèåðàöèè â àçó ïîêîÿ
îäíî ïîêîëåíèå íàçàä. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (6.1.3.4) çàâèñèò îò äâóõ èñêîìûõ óíêöèé  u è

v,

â òî âðåìÿ êàê óðàâíåíèå (6.1.3.3)  òîëüêîîò

u.

Ïîñòàâëÿÿ (6.1.3.2) â (6.1.3.3) è (6.1.3.4), ïîëó÷èì ñèñòåìó äâóõ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùóþ äèíàìèêó ïðîöåññà ïðîèçâîäñòâà ïëþðèïîòåíòíûõ ñòâîëîâûõ êëåòîê:

ut = −δu −
vt = −γv +
ãäå

β0 θn u
θn + un
β0 θn u
θn + un

+
−

2β0 θn w −γτ
e
,
θn + wn
n
β0 θ w −γτ
e
,
θn + wn

(6.1.3.5)

w = u(t − τ ).

àññìîòðèì ñèñòåìó (6.1.3.5) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u(t) = 6.25 · 108 ,

v(t) = 0.69 · 108 ,

−τ 6 t 6 0.

(6.1.3.6)

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñîîòâåòñòâóþò îöåíêàì, ïðåäñòàâëåííûì â [374℄ (â ÷àñòíîñòè, íà ðèñ. 3 ýòîé ñòàòüè). åøåíèÿ ïîëó÷åíû ìåòîäîì óíãå  Êóòòû ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà Mathemati a
(ñì. ðàçä. 5.1.4 è 5.1.7). Íà ðèñ. 6.3 ïîêàçàíû êà÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè êëåòîê àçû ïîêîÿ

u(t) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è àçû ïðîëèåðàöèè v(t)
γ , îòâå÷àþùåãî çà áåçâîçâðàò-

(øòðèõîâàÿ ëèíèÿ) ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà

íîå èñêëþ÷åíèå êëåòîê èç ïîïóëÿöèè (íàïðèìåð, ââèäó ãèáåëè). Íà ðèñ. 6.3à

354

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ïîêàçàíî ñíèæåíèå ÷èñëåííîñòè êëåòîê àçû ïîêîÿ è íåáîëüøîå ïîâûøåíèå
÷èñëåííîñòè êëåòîê àçû ïðîëèåðàöèè äî íåêîòîðûõ óñòîé÷èâûõ óðîâíåé.
èñ. 6.3ã ñîîòâåòñòâóåò áîëåå ñóùåñòâåííîìó ïîíèæåíèþ ÷èñëåííîñòè êëåòîê
àçû ïîêîÿ.  îáîèõ ñëó÷àÿ íàáëþäàåòñÿ ñíèæåíèå îáùåãî êîëè÷åñòâà ñòâîëîâûõ êëåòîê

u(t) + v(t).

èñ. 6.3á è 6.3â ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àþ ïåðèîäè÷åñêîãî

ãåìîïîýçà.
 [374℄ èçó÷àëàñü óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è ãðàèêè ðåøåíèé ñèñòåìû (6.1.3.5) ñ äðóãèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè è çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ. Îòìå÷àåòñÿ, ÷òî ïîâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû ñîãëàñóåòñÿ ñ êîëè÷åñòâåííûìè è êà÷åñòâåííûìè ñâîéñòâàìè àïëàñòè÷åñêîé àíåìèè è ïåðèîäè÷åñêîãî
ãåìîïîýçà ó ëþäåé. Ïîêàçàíî âëèÿíèå êîýèöèåíòà íåîáðàòèìîé ïîòåðè ñòâîëîâûõ êëåòîê íà õàðàêòåð äèíàìèêè èõ ÷èñëåííîñòè.

u(t) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è v(t) (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ) çàäà÷è (6.1.3.5),
δ = 0.04, β0 = 1.9, θ = 1.74 · 108 , n = 3, τ = 2.6 è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðà γ : à) γ = 0.18, á) γ = 0.20, â) γ = 0.23, ã) γ = 0.28.
èñ. 6.3.

åøåíèÿ

(6.1.3.6) ïðè

6.1.4. Äðóãèå íåëèíåéíûå ìîäåëè ñ çàïàçäûâàíèåì

Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü ýïèäåìèè. Â [193℄ áûëà ðàçðàáîòàíà ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ èíåêöèè îò ÷åëîâåêà ê ÷åëîâåêó ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñ÷èêà
(íàïðèìåð, ìàëÿðèéíîãî êîìàðà):

u′t = βw(1 − u) − λu,

w = u(t − τ ),

(6.1.4.1)

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

355

u = u(t)  îòíîñèòåëüíàÿ ÷èñëåííîñòü èíèöèðîâàííûõ èíäèâèäóóìîâ,
β > 0  êîýèöèåíò âçàèìîäåéñòâèÿ, λ > 0  êîýèöèåíò âûçäîðîâëåíèÿ,
τ > 0  âðåìÿ, êîòîðîå òðåáóåòñÿ ïàòîãåííîìó ìèêðîîðãàíèçìó, ÷òîáû ðàçâèòüãäå

ñÿ âíóòðè ïåðåíîñ÷èêà è ñäåëàòü ïåðåíîñ÷èêà çàðàçíûì äëÿ âîñïðèèì÷èâûõ
èíäèâèäóóìîâ. Ïðè âûâîäå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.4.1) áûëè ó÷òåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:

1◦ .

Áîëåçíü íå ÿâëÿåòñÿ ëåòàëüíîé è íå âûçûâàåò îðìèðîâàíèÿ èììóíèòå-

u(t) è âîñïðèèì÷èâûõ
v = v(t) èíäèâèäóóìîâ.
2◦ . ×èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè íåèçìåííà, ò. å. u + v ≡ 1.
3◦ . Ñêîðîñòü çàðàæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó êîíòàêòîâ ìåæäó âîñïðèèì÷èâûìè è ïåðåíîñ÷èêàìè, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ vz = (1−u)z , ãäå z = z(t) 
òà, ò. å. ïîïóëÿöèÿ ñîñòîèò òîëüêî èç èíèöèðîâàííûõ

÷èñëåííîñòü ïåðåíîñ÷èêîâ.

4◦ .

×èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè ïåðåíîñ÷èêîâ

z

ïðîïîðöèîíàëüíà

ò. å. ÷èñëåííîñòè èíèöèðîâàííûõ â ìîìåíò âðåìåíè

t − τ.

w = u(t − τ ),

Ìîäåëü ýïèäåìèè äëÿ òðåõ ãðóïï îñîáåé (ìîäåëü SIR). Äèíàìèêà ðàç-

âèòèÿ ýïèäåìèè â ïîïóëÿöèè ïåðåìåííîé ÷èñëåííîñòè îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé
óðàâíåíèé äëÿ òðåõ ãðóïï îñîáåé  âîñïðèèì÷èâûõ

u2 (t)

u1 (t) (S), èíèöèðîâàííûõ

(I) è íåâîñïðèèì÷èâûõ (âûçäîðîâåâøèõ ñ îáðàçîâàíèåì ïîëíîãî èììó-

íèòåòà, ëèáî ïîãèáøèõ)

u3 (t)

(R):

u′1 = b − µu1 − βu1 w2 + γu3 ,
u′2 = βu1 w2 − (µ + α + λ)u2 ,
u′3 = λu2 − (µ + γ)u3 ,
ãäå

ui = ui (t) (i = 1, 2, 3), w2 = u2 (t − τ ), b

 êîýèöèåíò âîñïðîèç-

âîäñòâà ïîïóëÿöèè (êîëè÷åñòâî ðîäèâøèõñÿ îñîáåé â äåíü),
åñòåñòâåííîé ñìåðòíîñòè,

β  êîýèöèåíò

(6.1.4.2)

âçàèìîäåéñòâèÿ,

µ  êîýèöèåíò
γ  êîýèöèåíò

ñíèæåíèÿ ñîðìèðîâàâøåãîñÿ ïîñëå áîëåçíè èììóíèòåòà (ïðè ïîñòîÿííîì

γ = 0), α  êîýèöèåíò ñìåðòíîñòè îò áîëåçíè, λ  êîýèöèåíò
âûçäîðîâëåíèÿ, τ > 0  âðåìÿ, êîòîðîå òðåáóåòñÿ ïàòîãåííîìó ìèêðîîðãàíèç-

èììóíèòåòå

ìó, ÷òîáû ðàçâèòüñÿ âíóòðè ïåðåíîñ÷èêà è ñäåëàòü ïåðåíîñ÷èêà çàðàçíûì äëÿ
âîñïðèèì÷èâûõ èíäèâèäóóìîâ.
Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëü (6.1.4.2) îñíîâàíà íà áîëåå ïðîñòîé ìîäåëè áåç çàïàçäûâàíèÿ, ïðåäëîæåííîé â [109℄. Ñèñòåìà (6.1.4.2) è ðîäñòâåííûå ñèñòåìû
èçó÷àëèñü, íàïðèìåð, â [134, 135, 373, 383, 513℄.
Çàìå÷àíèå 6.3. Ñèñòåìû âèäà (6.1.4.2) èñïîëüçóþòñÿ òàêæå äëÿ îïèñàíèÿ äèíà-

ìèêè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âèðóñîâ âíóòðè îðãàíèçìà, íàïðèìåð, âèðóñîâ ÂÈ× èëè ãåïà-

u1 (t), u2 (t) è u3 (t)  ýòî ñîîòâåòñòâåííî ïëîòíîñòè íåèíèöèðîâàííûõ êëåòîê, èíèöèðîâàííûõ êëåòîê, ïðîäóöèðóþùèõ âèðóñ, è àêòèâíûõ âèðó-

òèòà B.  ýòîì ñëó÷àå
ñîâ. Çàïàçäûâàíèå

τ

 ýòî âðåìÿ ìåæäó ìîìåíòîì èíèöèðîâàíèÿ êëåòêè è íà÷àëîì

âîñïðîèçâîäñòâà âèðóñîâ êëåòêîé. Ìîäåëè òàêîãî ðîäà ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â
[201, 260, 280, 390, 399, 400℄.

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

356

Ïðîñòàÿ êëèìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Àêòèâíîå âçàèìîäåéñòâèå îêåàíà è àòìîñåðû îáû÷íî ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ìåõàíèçìà: êðóïíîìàñøòàáíàÿ àíîìàëèÿ òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòè îêåàíà âûçûâàåò äèàáàòè÷åñêèé
íàãðåâ èëè îõëàæäåíèå àòìîñåðû, ÷òî èçìåíÿåò öèðêóëÿöèþ àòìîñåðû è,
ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæåíèå âåòðà è òåïëîâûå ïîòîêè íà ïîâåðõíîñòè îêåàíà.
 ñâîþ î÷åðåäü, èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ âåòðà èçìåíÿþò òåïëîâóþ ñòðóêòóðó
è öèðêóëÿöèþ îêåàíà, âûçûâàÿ ðÿä ïîëîæèòåëüíûõ îáðàòíûõ ñâÿçåé, êîòîðûå
óñèëèâàþò íà÷àëüíóþ àíîìàëèþ òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòè îêåàíà. Ïîýòîìó
âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ öèðêóëÿöèþ îêåàíà è àòìîñåðû íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü âìåñòå, ïðè÷åì âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ äâóõ ñðåä îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì
òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòè îêåàíà.
Þæíàÿ îñöèëëÿöèÿ Ýëü-Íèíüî (El NinoSouthern

Os illation, ENSO)  íåðåãóëÿðíîå ïåðèîäè÷åñêîå êîëåáàíèå ñèëû âåòðà è òåìïåðàòóðû ìîðñêîé ïîâåðõíîñòè â âîñòî÷íîé òðîïè÷åñêîé ÷àñòè Òèõîãî îêåàíà, âëèÿþùåå íà êëèìàò
áîëüøåé ÷àñòè òðîïèêîâ è ñóáòðîïèêîâ. Äëÿ îïèñàíèÿ Þæíîé îñöèëëÿöèè â
[509℄ áûëà ïðåäëîæåíà ïðîñòàÿ êà÷åñòâåííàÿ ìîäåëü, îñíîâàííàÿ íà ñóùåñòâîâàíèè ñèëüíîé ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâèÿ îêåàíà è àòìîñåðû è íà íåëèíåéíûõ ýåêòàõ, îãðàíè÷èâàþùèõ ðîñò íåóñòîé÷èâûõ âîçìóùåíèé. Êëþ÷åâîé ýëåìåíò ìîäåëè  èñïîëüçîâàíèå çàïàçäûâàíèÿ äëÿ
ó÷åòà ýåêòîâ îêåàíè÷åñêèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â çàìêíóòîì ïðèýêâàòîðèàëüíîì áàññåéíå.
Êëèìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ENSO [509℄ îñíîâàíà íà ÎÄÓ ñ êóáè÷åñêîé íåëèíåéíîñòüþ è ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì:

u′t = u − u3 − αw,
ãäå

w = u(t − τ ),

(6.1.4.3)

u = u(t)  àìïëèòóäà íàðàñòàþùåãî âîçìóùåíèÿ, α  êîýèöèåíò, õàðàêòå-

ðèçóþùèé âëèÿíèå âîçâðàùàåìîãî ñèãíàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèãíàëîì ìåñòíîé
îáðàòíîé ñâÿçè,

τ

 áåçðàçìåðíîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ (âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ

âîëíû).
Íåëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.4.3) èìååò íåñêîëüêî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæåò ñòàòü íåóñòîé÷èâûì è ïîâëå÷ü
âîçíèêíîâåíèå àâòîêîëåáàíèé ñ ïåðèîäîì, äâóêðàòíî ïðåâûøàþùèì âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ.  [509℄ èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ìîäåëè, ïðèâîäÿòñÿ ÷èñëåííûå
ðåøåíèÿ. Óñòàíîâëåíî, ÷òî îñöèëëèðóþùèå ðåøåíèÿ âîçíèêàþò ïðè ñóùåñòâåííûõ çàïàçäûâàþùèõ ýåêòàõ (α
íèè (ατ

> 1).

>

1
2 ) è äîñòàòî÷íî áîëüøîì çàïàçäûâà-

Ìîäåëü ðåãåíåðàòèâíîé âèáðàöèè ñòàíêà. Â [311℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ ìî-

äåëü ðåãåíåðàòèâíîé âèáðàöèè ðåçöà òîêàðíîãî ñòàíêà â ñëó÷àå òàê íàçûâàåìîé
îðòîãîíàëüíîé ðåçêè. Îäíèì èç íàèáîëåå âàæíûõ ýåêòîâ, ïðèâîäÿùèõ ê
ïëîõîìó êà÷åñòâó ïîâåðõíîñòè â ïðîöåññå ðåçêè, ÿâëÿåòñÿ âèáðàöèÿ, âîçíèêàþùàÿ â ðåçóëüòàòå çàïàçäûâàíèÿ. Èç-çà âíåøíèõ âîçìóùåíèé ó ðåçöà ïîÿâëÿþòñÿ çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî çàãîòîâêè, ÷òî äåëàåò åå ïîâåðõíîñòü íåðîâíîé. Ïîñëå îäíîãî îáîðîòà çàãîòîâêè òîëùèíà ñòðóæêè èçìåíÿåòñÿ.

6.1. Ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

357

 ðåçóëüòàòå ñèëà ðåçàíèÿ çàâèñèò íå òîëüêî îò òåêóùåãî ïîëîæåíèÿ ðåçöà
îòíîñèòåëüíî çàãîòîâêè, íî è îò îòëîæåííîãî çíà÷åíèÿ ñìåùåíèÿ. Âåëè÷èíà
ýòîé çàäåðæêè åñòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü âðåìåíè

τ , çà êîòîðóþ çàãîòîâêà ñîâåð-

øàåò îäèí îáîðîò. Äàííûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ðåãåíåðàòèâíûì ýåêòîì. Äëÿ
èçó÷åíèÿ ñâÿçàííûõ ñ çàïàçäûâàíèåì ñâîéñòâ ñèñòåìû èñïîëüçóåòñÿ ïðîñòàÿ
ìîäåëü ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû; ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ðåçåö äâèãàåòñÿ
â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè è îáëàäàåò óïðóãîñòüþ è âÿçêîñòüþ, à âñå ñèëû
íàïðàâëåíû ïî âåðòèêàëè.
Ïóñòü

u(t)  âåðòèêàëüíàÿ

êîîðäèíàòà êðîìêè ðåçöà,

m  ìàññà

ðåçöà,

s

êîýèöèåíò óïðóãîñòè ðåçöà (òî÷íåå æåñòêîñòü ïðóæèíû, ìîäåëèðóþùåé åãî

c  êîýèöèåíò äåìïèðîâàíèÿ ðåçöà, õàðàêòåðèçóþùèé âÿçêèå
h  òåêóùàÿ òîëùèíà ñòðóæêè, h0  òîëùèíà ñòðóæêè ïðè
ñòàöèîíàðíîé ðåçêå, F  âåðòèêàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñèëû ðåçàíèÿ. Òîãäà îäíîóïðóãîñòü),

ñâîéñòâà ðåçöà,

ìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðåçöà èìååò âèä [311℄:

p

1
∆F,
m

(6.1.4.4)

s/m  åñòåñòâåííàÿ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà íåçàòóõàþùèõ ñâîáîäíûõ
ζ = c/(2mωn )  òàê íàçûâàåìûé îòíîñèòåëüíûé êîýèöèåíò äåìïèðîâàíèÿ, ∆F = F (h) − F (h0 )  èçìåíåíèå ðåæóùåé ñèëû.
Âåëè÷èíà ∆F îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ ðåæóùåé ñèëû F îò òåõíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü îò òîëùèíû ñòðóæêè h, êîòîðàÿ çàâèñèò îò
ïîëîæåíèÿ êðîìêè ðåçöà u. Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî

ãäå

ωn =

u′′tt + 2ζωn u′t + ωn2 u = −

êîëåáàíèé ñèñòåìû,

F (h) = Kdh3/4 ,
d  øèðèíà ñòðóæêè, K  íåêîòîðûé êîýèöèåíò. àçëàãàÿ F â ñòåïåííîé
h0 è óäåðæèâàÿ ïåðâûå ÷åòûðå ÷ëåíà, èìååì
h
i
3/4
3
−1/4
3
−5/4
5
−9/4
F (h) ≈ Kd h0 + (h − h0 )h0
− (h − h0 )2 h0
+
(h − h0 )3 h0
.
ãäå

ðÿä â îêðåñòíîñòè

4

32

Ââîäÿ êîýèöèåíò ðåæóùåé ñèëû
âåëè÷èíû

∆F

îò

∆h = h − h0 :

∆F (∆h) ≈ k1 ∆h −

128

k1 =

1 k1
8 h0

−1/4
3
, çàïèøåì çàâèñèìîñòü
4 Kdh0

(∆h)2 +

5 k1
96 h20

(∆h)3 .

∆h ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü ìåæäó òåu(t) è åãî îòëîæåííîãî çíà÷åíèÿ w = u(t−τ ),
ãäå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ τ = 2π/Ω ðàâíî âðåìåíè îäíîãî îáîðîòà çàãîòîâêè, ãäå
Ω  ïîñòîÿííàÿ êðóãîâàÿ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ çàãîòîâêè. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåÈçìåíåíèå òîëùèíû ñòðóæêè

êóùèì ïîëîæåíèåì êðîìêè ðåçöà

íèå (6.1.4.4) ïðèíèìàåò âèä

u′′tt + 2ζωn u′t + ωn2 u = f (u − w),
Ââåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû

f (z) = −

k1
m

t̃ = ωn t, ũ =


1 2
z +
z−
8h0

5
12h0

5
z3
96h0



.

(6.1.4.5)

u, τ̃ = ωn τ , p = k1 /(mωn2 ).

Îïóñêàÿ òèëüäû, ïîëó÷èì

u′′tt + 2ζu′t + u = f (u − w),

f (z) = −pz +

3
p(z 2
10

− z 3 ).

(6.1.4.6)

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

358

 ðàáîòå [311℄ ïîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå áèóðêàöèé Õîïà

∗ ïðè èçìåíåíèè

ïàðàìåòðîâ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.4.6).

àñïðåäåëåíèå êëåòîê â òêàíè îðãàíèçìà (óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì). àññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå êëåòîê u(x) ïî
ðàçìåðàì

xâ

íåêîòîðîé òêàíè îðãàíèçìà, ñ÷èòàÿ, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå íîð-

ìèðîâêè

Z

∞

u(x)dx = 1.

0

Ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå êëåòîê ìîæåò âîçíèêíóòü â ðàñòóùåé ïîïóëÿöèè
â òîì ñëó÷àå, åñëè ñêîðîñòè ðîñòà è äåëåíèÿ êëåòîê ñîãëàñîâàíû, ÿâëÿþòñÿ

x

óíêöèÿìè òîëüêî ðàçìåðà êëåòîê

u(x)

è íå çàâèñÿò îò âðåìåíè

 ýòîì ñëó÷àå

îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì [273℄:

Z

d
[g(x)u(x)] = −b(x)u(x)−(α−1)u(x)
dx
0

g(x)  ñêîðîñòü

ãäå

t.

∞

b(x)u(x)dx+α2 b(αx)w, w = u(αx),
b(x)  ñêîðîñòü, ñ êîîáðàçóÿ α íîâûõ êëåòîê

ðîñòà ðàçìåðîâ êëåòîê (â ñåêóíäó),

x (êëåòîê â ñåêóíäó),
α = 2 (êîãäà â ðåçóëüòàòå äåëåíèÿ

òîðîé äåëÿòñÿ êëåòêè ðàçìåðà
ðàçìåðà

x/α.

×àùå âñåãî

èç îäíîé êëåòêè

ïîëó÷àåòñÿ äâå), íî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ áåç ñóùåñòâåííûõ óñëîæ-

α (α > 1 ñîîòâåòñòâóåò ïðîα < 1  ïðîöåññó ñëèÿíèÿ è ñîêðàùåíèþ

íåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå çíà÷åíèÿ
öåññó äåëåíèÿ è ðîñòó ïîïóëÿöèè, à
ïîïóëÿöèè).

 ðàáîòå [273℄ îïèñàíû ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ â ïðîñòåéøåì íåòðèâèàëüíîì ñëó÷àå

b(x) = b =

onst,

g(x) = c =

u′x = −au + aαw,

a = αb/c,

onst:

w = u(αx).

Òî÷íîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷åíî ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà; ïîêàçàíî, ÷òî
ïðè

u(x) ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó

ðàñïðåäåëåíèþ

α → 1 + 0.

6.2. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè
ïîïóëÿöèé

6.2.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë äèóçèè.

 ìîäåëÿõ äèíàìèêè ïîïóëÿöèé äèóçèÿ

âîçíèêàåò èç-çà òåíäåíöèè ëþáîãî áèîëîãè÷åñêîãî âèäà ìèãðèðîâàòü â ðåãèîíû ñ áîëåå íèçêîé ïëîòíîñòüþ ïîïóëÿöèè [191℄. Ïðè ýòîì äëÿ óïðîùåíèÿ
îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïèùà ïîñòàâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî è îäíîðîäíî âî
âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, â ðåãèîíàõ ñ âûñîêîé ïëîòíîñòüþ

Êà÷åñòâåííàÿ ïåðåñòðîéêà ñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïðè èçìåíåíèè îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ ïîòåðåé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé.
∗

6.2. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè ïîïóëÿöèé

359

ïðîäîâîëüñòâèå ñòàíåò äåèöèòíûì, è îñîáè áóäóò ñòðåìèòüñÿ ìèãðèðîâàòü
â ðåãèîíû ñ áîëåå íèçêîé ïëîòíîñòüþ, ÷òîáû èìåòü áîëåå âûñîêèå øàíñû
âûæèòü. Áîëüøàÿ ÷àñòü ñóùåñòâóþùåé ëèòåðàòóðû, êàê îòìå÷åíî â [259℄, ïîñâÿùåíà àíàëèçó ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè, êîãäà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå êàæäîãî
èíäèâèäóóìà îáóñëîâëåíî äèóçèåé Ôèêà, ò. å. ïîòîê ïîïóëÿöèè ïðîïîðöèîíàëåí ãðàäèåíòó êîíöåíòðàöèè, à êîíñòàíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ
îòðèöàòåëüíîé. Â ðàáîòàõ [157, 168, 395℄ ïðîöåññ äèóçèè îáñóæäàåòñÿ ñ
ýêîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 6.4. Ïðè ââåäåíèå äèóçèè â ìîäåëü ñ çàïàçäûâàíèåì ìíîãèå àâòîðû

ïðîñòî äîáàâëÿþò äèóçèîííûé ÷ëåí â ñîîòâåòñòâóþùóþ ìîäåëü ñ çàïàçäûâàíèåì
äëÿ ÎÄÓ. Âûÿñíèëîñü, ÷òî ïðè òàêîì ïîäõîäå ìîãóò âîçíèêíóòü íåêîòîðûå ñëîæíîñòè.
Äåëî â òîì, ÷òî õîòÿ äèóçèÿ è âðåìåííîå çàïàçäûâàíèå ñâÿçàíû ñîîòâåòñòâåííî ñ
ïðîñòðàíñòâîì è âðåìåíåì, îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà, ïîñêîëüêó
îñîáè íå íàõîäÿòñÿ â îäíèõ è òåõ æå òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà â ïðåäûäóùèå ìîìåíòû
âðåìåíè. Âîçìîæíûå ñïîñîáû óñòðàíåíèÿ óêàçàííîé ïðîáëåìû ïóòåì ââåäåíèÿ ðàñïðåäåëåííîãî (íåëîêàëüíîãî) çàïàçäûâàíèÿ îáñóæäàþòñÿ â [259℄.

Íà÷àëüíîå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñïðàx ∈ Ω ïðè t > 0. Íà÷àëüíîå óñëîâèå èìååò âèä

âåäëèâî â îáëàñòè

u(x, t) = ϕ(x, t)

ïðè

−τ 6 t 6 0.

(6.2.1.1)

Òàê êàê èñêîìàÿ óíêöèÿ èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè, îíà íåîòðèöàòåëüíà. ×òîáû îáåñïå÷èòü íåîòðèöàòåëüíîñòü èñêîìîé óíêöèè, íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ òàêæå äîëæíû áûòü íåîòðèöàòåëüíû, ò. å.

ϕ(x, t) > 0.

Åñëè âíåøíÿÿ

ñðåäà âðàæäåáíà ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîé ïîïóëÿöèè (âñå îñîáè,
äîñòèãøèå ãðàíèöû, íàâñåãäà ïîêèäàþò ïîïóëÿöèþ), òî íà ãðàíèöå îáëàñòè

∂Ω

ñòàâèòñÿ îäíîðîäíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà

u(x, t)|∂Ω = 0.
Åñëè ïîïóëÿöèÿ èçîëèðîâàíà â

(6.2.1.2)

Ω (îñîáè, äîñòèãøèå ãðàíèöû, ¾îòðàæàþòñÿ¿ îò

íåå è âîçâðàùàþòñÿ â ïîïóëÿöèþ), òî ñòàâèòñÿ îäíîðîäíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå
âòîðîãî ðîäà

∂u(x, t)
∂n
∂Ω
ãäå

n

 âíåøíÿÿ íîðìàëü ê

∂Ω.

= 0,

(6.2.1.3)

Åñëè æå îñîáè ìîãóò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó

îáëàñòè, òî èñïîëüçóþòñÿ îäíîðîäíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå òðåòüåãî ðîäà

ãäå êîýèöèåíò

σ

h

∂u(x, t)
∂n

i
+ σu(x, t)

∂Ω

= 0,

(6.2.1.4)

îòâå÷àåò çà ñêîðîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû. Åñëè

ïîòîê îñîáåé íàïðàâëåí çà ïðåäåëû îáëàñòè. Åñëè

σ < 0, òî âíóòðü

σ > 0,

òî

îáëàñòè.

Äàëåå ïðè îïèñàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ ïðîñòîòû ÷àñòî áóäåì
ïðèâîäèòü óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé

x.

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

360

6.2.2. Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì
Äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðîå îáîáùàåò
ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì Õàò÷èíñîíà (6.1.1.4), èìååò âèä

ut = auxx + bu(1 − w/k),

w = u(x, t − τ ),

(6.2.2.1)

u = u(x, t) > 0  ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè, b > 0  êîýèöèåíò ðîñòà
k  åìêîñòü ñðåäû îáèòàíèÿ. Âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ τ õàðàêòåðèçóåò
ñðåäíèé ðåïðîäóêòèâíûé âîçðàñò îñîáåé, à 0 < a ≪ 1  ïàðàìåòð, êîòîðûé ó÷è-

ãäå

ïîïóëÿöèè,

òûâàåò ýåêò äèóçèè, äåéñòâóþùèé îäèíàêîâî íà âñåõ îñîáåé. Ñêîðîñòü

ðîñòà ïîïóëÿöèè çäåñü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçìåðó ïîïóëÿöèè â òåêóùèé
ìîìåíò âðåìåíè, à ìíîæèòåëü

(1 − w/k) îïðåäåëÿåò

ìåõàíèçì ñàìîðåãóëÿöèè.

Çàìå÷àíèå 6.5.  ëèòåðàòóðå âñòðå÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå íàçâàíèÿ óðàâíåíèÿ (6.2.2.1):

äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, óðàâíåíèå Ôèøåðà ñ çàïàçäûâàíèåì, äèóçèîííîå óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà. Èíîãäà äèóçèîííîå óðàâíåíèå
(6.2.2.1) íàçûâàþò ïðîñòî óðàâíåíèåì Õàò÷èíñîíà (ñì., íàïðèìåð, [241, 370℄). Îäíàêî
èñòîðè÷åñêè òåðìèí ¾óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà¿ çàêðåïèëñÿ çà ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì
(6.1.1.4). Íà íàø âçãëÿä, òåðìèí ¾äèóçèîííîå ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì¿ íàèáîëåå ïîäõîäÿùèé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ (6.2.2.1). Óðàâíåíèå (6.2.2.1) èíîãäà íàçûâàþò òàêæå

óðàâíåíèåì Ôèøåðà  ÊÏÏ

(Êîëìîãîðîâà 

Ïåòðîâñêîãî  Ïèñêóíîâà) ñ çàïàçäûâàíèåì, ïîñêîëüêó ýòî óðàâíåíèå ïðè

τ = 0

ðàññìàòðèâàëîñü â ðàáîòàõ [41, 237℄.

u = kv

Çàìåíîé

óðàâíåíèå (6.2.2.1) ïðèâîäèòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó

vt = avxx + bv(1 − v̄),

v̄ = v(x, t − τ ).

(6.2.2.2)

 ðàáîòå [370℄ óñòàíîâëåíî, ÷òî íåîòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì (6.2.2.1) íà êîíå÷íîì îòðåçêå

0 6 x 6 L

îñòàþòñÿ îãðàíè÷åííûìè ïðè áåñêîíå÷íîì óâåëè÷åíèè âðåìåíè,

â òî âðåìÿ êàê â ðîäñòâåííûõ çàäà÷àõ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àÿõ, êîãäà âðåìÿ
çàïàçäûâàíèÿ íå î÷åíü áîëüøîå.  [241℄ ïîêàçàíî, ÷òî â ìíîãîìåðíûõ çàäà÷àõ
ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî èëè âòîðîãî ðîäà, çàäàííûõ íà ãðàíèöàõ êîíå÷íîé îáëàñòè, ïðè áîëüøîì âðåìåíè çàïàçäûâàíèÿ
äèóçèè

a

τ

è ìàëîì êîýèöèåíòå

ñóùåñòâóåò áîëüøîé íàáîð òðàåêòîðèé, òàêèõ ÷òî îáùàÿ ìàññà

ïîïóëÿöèè ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòåò ïðè

t → ∞.

àññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (6.2.2.2) íà îòðåçêå

06x6Lñ

íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

v = ϕ(x, t)

ïðè

−τ 6 t 6 0,

v(0, t) = v(L, t) = 0.

(6.2.2.3)

b∗ = aπ 2/L2 . Â [508℄ áûëè äîêàçàíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
b < b∗ , òî íóëåâîå ðåøåíèå çàäà÷è (6.2.2.2)  (6.2.2.3) ÿâëÿåòñÿ

Îáîçíà÷èì

1◦ . Åñëè

ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6.2.2.2)
äëÿ ëþáîãî

τ > 0.

6.2. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè ïîïóëÿöèé
2◦ .

Äëÿ ëþáûõ

b,

361

0 < b − b∗ ≪ 1, óðàâíåíèå
vb , è ñóùåñòâóåò êîíàñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïðè 0 6

óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

(6.2.2.2) èìååò ïîëîæèòåëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

ñòàíòà τ0 , òàêàÿ ÷òî ðåøåíèå vb ëîêàëüíî
6 τ 6 τ0 è íåóñòîé÷èâî ïðè τ > τ0 . Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
∞
çíà÷åíèé {τn }n=0 , òàêàÿ, ÷òî ïðè τ = τn âîçíèêàåò áèóðêàöèÿ Õîïà ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ.

Çàìå÷àíèå 6.6. Óðàâíåíèå (6.2.2.2) äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà ðîíòà áåãóùåé âîë-

íû (ïîäðîáíîñòè ñì. â ðàçä. 3.1.3).

6.2.3. Äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì,
ó÷èòûâàþùåå îãðàíè÷åííîñòü ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ
åàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åííîñòè ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâ, êîòîðîå îáîáùàåò äèóçèîííîå
ëîãèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (6.2.2.1), èìååò âèä

ut = auxx + bu

1 − w/k
,
1 + cw/k

w = u(x, t − τ ),

(6.2.3.1)

b > 0  êîýèöèåíò ðîñòà ïîïóëÿöèè ïðè íåîãðàíè÷åííîì ïèòàíèè, k > 0 
åìêîñòü ñðåäû îáèòàíèÿ, b/c > 0  óäåëüíàÿ ñêîðîñòü çàìåùåíèÿ ìàññû â
ðàññìàòðèâàåìîé ïîïóëÿöèè ïðè íàñûùåíèè.  ÷àñòíîì ñëó÷àå c = 0 óðàâíåíèå
ãäå

(6.2.3.1) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (6.2.2.1).
 óðàâíåíèè (6.2.3.1) ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî ðàñòóùàÿ ïîïóëÿöèÿ áóäåò ïîåäàòü
¾ïèùó¿ áûñòðåå, ÷åì ðàâíîâåñíàÿ ïîïóëÿöèè. Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà òîãî, ÷òî â
àçå ðîñòà ïèùà ïîòðåáëÿåòñÿ êàê äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàçìåðà ïîïóëÿöèè, òàê è
äëÿ åå ðîñòà, à ïðè äîñòèæåíèè óðîâíÿ íàñûùåíèÿ ïèùà ãëàâíûì îáðàçîì èäåò
íà ïîääåðæàíèå ðàçìåðà ïîïóëÿöèè. Çàïàçäûâàíèå

τ

õàðàêòåðèçóåò ñðåäíèé

ðåïðîäóêòèâíûé âîçðàñò ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà è ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåííûå ëóêòóàöèè çíà÷åíèé ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè
âáëèçè ðàâíîâåñíîãî çíà÷åíèÿ
Çàìåíîé

u = kv

u(x, t)

u = k.

óðàâíåíèå (6.2.3.1) ñâîäèòñÿ ê áîëåå ïðîñòîìó âèäó

vt = avxx + bv

1 − v̄
,
1 + cv̄

v̄ = v(x, t − τ ).

(6.2.3.2)

 ñòàòüå [205℄ èññëåäóþòñÿ ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü è àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèÿ (6.2.3.1)
ïðè íóëåâûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ Äèðèõëå.
 [508℄ èçó÷àëèñü ñóùåñòâîâàíèå è óñòîé÷èâîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé, à òàêæå ñóùåñòâîâàíèå áèóðêàöèé Õîïà îò ïîëîæèòåëüíîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.2.3.2) ñ íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè (6.2.2.3). Áûëè äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå îïèñàííûì âûøå óòâåðæäåíèÿì äëÿ äèóçèîííîãî ëîãèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

362

6.2.4. Äèóçèîííûå ëîãèñòè÷åñêèå ìîäåëè òèïà Ëîòêè
Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè
åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:

ut = a1 uxx + b1 u(1 − c1 ū1 + d1 v̄2 ),
vt = a2 vxx + b2 v(1 + d2 ū3 − c2 v̄4 ),

(6.2.4.1)

u = u(x, t) è v = v(x, t)  èñêîìûå óíêöèè; ūi = u(x, t−τi ), v̄j = v(x, t−τj )
= 1, 3; j = 2, 4); τi > 0 è τj > 0  âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ.

ãäå
(i

Ñèñòåìà (6.2.4.1) îáîáùàåò óðàâíåíèå Ôèøåðà áåç çàïàçäûâàíèÿ è óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà íà ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ îñîáåé äâóõ âèäîâ (â ñëó÷àå

d1 = d2 = 0

èìååì äâà íåçàâèñèìûõ äèóçèîííûõ ëîãèñòè÷åñêèõ óðàâíå-

íèÿ (6.2.2.1)). Èñêîìûå óíêöèè
(i

= 1, 2)

u(x, t)

è

v(x, t)

è êîýèöèåíòû

ai , bi , ci

íåîòðèöàòåëüíû è îáëàäàþò èçè÷åñêèì ñìûñëîì, àíàëîãè÷íûì

óíêöèÿì è êîýèöèåíòàì â óðàâíåíèè (6.2.2.1). Çàïàçäûâàíèÿ

τ1

è

τ4 ,

êàê

è â îäèíî÷íîì óðàâíåíèè, õàðàêòåðèçóþò ñðåäíèé ðåïðîäóêòèâíûé âîçðàñò
îñîáåé, à çàïàçäûâàíèÿ

τ2

è

τ3

îòâå÷àþò çà âðåìÿ, êîòîðîå íåîáõîäèìî, ÷òîáû

èçìåíåíèÿ ÷èñëåííîñòè îäíîé ïîïóëÿöèè ïðèâåëè ê èçìåíåíèÿì äðóãîé. Âñå
çàïàçäûâàíèÿ íåîòðèöàòåëüíû è ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ â òåõ èëè èíûõ ìîäåëÿõ. Ñëàãàåìûå ñ íåíóëåâûìè êîýèöèåíòàìè

d1

è

d2

îòëè÷àþò ðàññìàò-

ðèâàåìóþ ìîäåëü îò îäèíî÷íîãî óðàâíåíèÿ, à ñàìè êîýèöèåíòû îòâå÷àþò
çà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó îñîáÿìè äâóõ ïîïóëÿöèé.  ñëó÷àå êîîïåðàòèâíîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ, êîãäà îäèí âèä ñîõðàíÿåòñÿ â îòñóòñòâèå âòîðîãî è êîãäà
âèäû âçàèìíî óâåëè÷èâàþò ñêîðîñòü ðîñòà äðóã äðóãà, îáà êîýèöèåíòà
è

d2

d1

ïîëîæèòåëüíû.  ñëó÷àå êîíêóðåíòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ óâåëè÷åíèå îä-

íîé ïîïóëÿöèè ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ äðóãîé (íàïðèìåð, ðîñò êîëè÷åñòâà
õèùíèêîâ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïîïóëÿöèè æåðòâ) è êîýèöèåíòû

d1

è

d2

îòðèöàòåëüíû. Êîîïåðàòèâíûå ìîäåëè Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè
ðàññìàòðèâàþòñÿ â [291, 342℄, êîíêóðåíòíûå ìîäåëè  â [226, 371, 416℄.
Çàìå÷àíèå 6.7. Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ðåøåíèå òèïà ðîíòà áåãóùåé âîëíû

ñèñòåìû Óð×Ï òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ çàïàçäûâàíèÿìè (6.2.4.1) ðàññìàòðèâàëèñü â
ðàçä. 3.1.3).

 [342℄ èññëåäîâàëàñü áîëåå ïðîñòàÿ, ÷åì (6.2.4.1), ñèñòåìà âèäà

ut = uxx + bu(1 − ū + d1 v̄),
vt = vxx + bv(1 + d2 ū − v̄),
ãäå

ū = u(x, t − τ ), v̄ = v(x, t − τ ), ñ

0 < x < π,
0 < x < π,

t > 0,
t > 0,

(6.2.4.2)

ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u(0, t) = u(π, t) = v(0, t) = v(π, t) = 0, t > 0,
u(x, t) = v(x, t) = 0.1(1 + t/τ ) sin x, −τ 6 t 6 0, 0 6 x 6 π.
Ñèñòåìà (6.2.4.2) ïîëó÷àåòñÿ èç (6.2.4.1), åñëè ïîëîæèòü

(6.2.4.3)
(6.2.4.4)

a1 = a2 = 1, b1 = b2 = b,

c1 = c2 = 1 è τ1 = · · · = τ4 = τ . Â [342℄ äîêàçàíû ïðèâåäåííûå íèæå óòâåðæäåíèÿ.

6.2. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè ïîïóëÿöèé
1◦ .

363

u = v = 0 ñèñòåìû (6.2.4.2) äëÿ âñåõ τ > 0
b < 1 è íåóñòîé÷èâî ïðè b > 1.
Ïðè d1 d2 < 1 è b = 1 + ε, ãäå 0 < ε ≪ 1, ñóùåñòâóåò óäîâëåòâîðÿþùåå
Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå

óñòîé÷èâî ïðè

2◦ .

ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (6.2.4.3) ïîëîæèòåëüíîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñèñòåìû

u, v 6= onst.
3◦ . Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé èç ï. 2◦ ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå τb , ÷òî ïðè
0 6 τ < τb ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.2.4.2) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî,
à ïðè τ > τb  íåóñòîé÷èâî.
(6.2.4.2) òàêîå, ÷òî

Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòèõ óòâåðæäåíèé â [342℄ ïðèâîäÿòñÿ ãðàèêè ðåøåíèé,
ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ MATLAB ïóòåì êîìáèíàöèè ìåòîäà øàãîâ è íåÿâíîãî
÷èñëåííîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ Óð×Ï.
Íà ðèñ. 6.4 èçîáðàæåíû ãðàèêè ÷èñëåííûõ ðåøåíèé çàäà÷è (6.2.4.2) 
(6.2.4.4) â òî÷êå

= 200)

è ìåòîäà

è 5.2.2) ïðè

x = π/2,

ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèåé ìåòîäà ïðÿìûõ (ïðè

N =

èðà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïàêåòà Mathemati a (ñì. ðàçä. è 5.1.7

d1 = 0.4, d2 = 0.7

è ðàçëè÷íûõ

b

è

τ.

èñ. 6.4à ñîîòâåòñòâóåò

ñëó÷àþ óñòîé÷èâîãî òðèâèàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, 6.4á  óñòîé÷èâîìó
ïîëîæèòåëüíîìó ñòàöèîíàðíîìó ðåøåíèþ, 6.4â  íåóñòîé÷èâîìó ïîëîæèòåëüíîìó ñòàöèîíàðíîìó ðåøåíèþ. Ïóíêòèðíûå ëèíèè íà ðèñ. 6.4á ñîîòâåòñòâóþò
ñòàöèîíàðíîìó ðåøåíèþ, êîòîðîå èìååò ïðè

v ≈ 0.028.

x = π/2

çíà÷åíèÿ

u ≈ 0.023,

u = u(t) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è v = v(t) (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ)
x = π/2 äëÿ d1 = 0.4, d2 = 0.7 â ñëó÷àÿõ: à) b = 0.98,
τ = 20, á) b = 1.01, τ = 20, â) b = 1.01, τ = 30; ïóíêòèðíûå ëèíèè ñîîòâåòñòâóþò
çíà÷åíèÿì ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ïðè x = π/2.
èñ. 6.4.

×èñëåííûå ðåøåíèÿ

çàäà÷è (6.2.4.2)  (6.2.4.3) ïðè

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

364

6.2.5. åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Íèêîëñîíà ñ
çàïàçäûâàíèåì
åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü Íèêîëñîíà ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñûâàåòñÿ
íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì

ut = a∆u − δu + pwe−κw ,
ãäå

p > 0  ìàêñèìàëüíîå

w = u(x, t − τ ),

(6.2.5.1)

êîëè÷åñòâî ÿèö, îòêëàäûâàåìûõ îäíîé îñîáüþ â

ñóòêè (ñ ïîïðàâêîé íà âûæèâàåìîñòü ïðè ðàçâèòèè îò ÿéöà äî âçðîñëîé îñîáè),

1/κ > 0  ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè, ïðè êîòîðîé îíà âîñïðîèçâîäèòñÿ ñ ìàêδ > 0  ñðåäíåñóòî÷íûé óäåëüíûé (â ïåðåñ÷åòå íà îäíó
îñîáü) óðîâåíü ñìåðòíîñòè âçðîñëûõ îñîáåé, τ > 0  âðåìÿ îò êëàäêè ÿéöà äî

ñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ,

ìîìåíòà, êîãäà îñîáü èç ýòîãî ÿéöà ñòàíîâèòñÿ ïîëîâîçðåëîé.
Óðàâíåíèå (6.2.5.1) îáîáùàåò ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.2.1). Äëÿ àíàëèçà
ïîïóëÿöèîííîé äèíàìèêè îñîáåé â íåëàáîðàòîðíîé ñðåäå îáèòàíèÿ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðîñòðàíñòâåííóþ íåîäíîðîäíîñòü è ââîäèòü ïðîñòðàíñòâåííûå
ïåðåìåííûå.  äàííîì êîíòåêñòå äëÿ îïèñàíèÿ õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ îñîáåé
â óðàâíåíèå íóæíî âêëþ÷àòü äèóçèîííûé ÷ëåí.  ñëó÷àå, êîãäà íåçðåëûå
îñîáè íå ïîäâåðæåíû äèóçèè, à âçðîñëûå  ïîäâåðæåíû, ìîäåëü (6.1.2.1)
åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ
çàïàçäûâàíèåì (6.2.5.1).
Îïèøåì óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ Íèêîëñîíà ñ çàïàçäûâàíèåì, ïðèâåäåííûå â îáçîðíîé ÷àñòè ñòàòüè [581℄.
àññìîòðèì çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (6.2.5.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî
ðîäà (6.2.1.2) è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (6.2.1.1). Ïóñòü

λ1  íàèìåíüøåå

ñîá-

ñòâåííîå çíà÷åíèå âñïîìîãàòåëüíîé ëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è

∆u + λu = 0,
 ðàáîòå [499℄ ïîêàçàíî, ÷òî åñëè

u|∂Ω = 0.

p/δ − 1 < aλ1 , òî òðèâèàëüíîå ñòàöèîíàðíîå

u = 0 èñõîäíîé íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è ïðèòÿãèâàåò âñå íåîòðèöàòåëüp/δ−1 > aλ1 , òî ðåøåíèå u = 0 ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì, è
+
âîçíèêàåò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ u (x), êîòîðîå
2
ïðèòÿãèâàåò ê ñåáå âñå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ ïðè óñëîâèè e < p/δ 6 e .

ðåøåíèå

íûå ðåøåíèÿ. Åñëè

àññìîòðèì çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (6.2.5.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà (6.2.1.3) è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (6.2.1.1). Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.2.1) îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå ðàâ-

0 < p/δ 6 1
1 < p/δ 6 e âñå íåòðèâèp
1
àëüíûå ðåøåíèÿ ñõîäÿòñÿ ê u∗ =
κ ln δ íåçàâèñèìî îò τ > 0. Â [581℄ äîêàçàíî,
2
÷òî ðåøåíèå u∗ îñòàåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì ïðè e < p/δ 6 e íåçàâèñèìî
2
îò âåëè÷èíû çàïàçäûâàíèÿ τ .  [576℄ óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè p/δ > e , ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ u∗ ìîæåò áûòü íåóñòîé÷èâûì, è ìîæåò âîçíèêàòü áèóðêàöèÿ
Õîïà ïðè ðîñòå çàïàçäûâàíèÿ τ .
íîâåñèÿ çàäà÷è (6.2.5.1), (6.2.1.3), (6.2.1.1).  [576℄ ïîêàçàíî, ÷òî ïðè

âñå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ ñõîäÿòñÿ ê

u = 0,

à ïðè

6.2. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì â òåîðèè ïîïóëÿöèé

365

 [481℄ ñîðìóëèðîâàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îñöèëëÿöèé âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé îòíîñèòåëüíî ïîëîæèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå
ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Ïðè p > eδ ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå (6.2.5.1) ñ íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè (6.2.1.1) îñöèëëèðóåò îòíîñèòåëüíî u∗ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:
1) â ñëó÷àå îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà (6.2.1.2) èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî:
Òåîðåìà.

δτ [ln(p/δ) − 1]e(λ1 a+δ)τ > 1/e,

2) â ñëó÷àå îäíîðîäíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âòîðîãî (6.2.1.3) è òðåòüåãî
(6.2.1.4) ðîäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
δτ [ln(p/δ) − 1]eδτ > 1/e.

6.2.6. Ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ âëèÿíèå çàùèòíûõ ìåõàíèçìîâ
ðàñòåíèé íà ïîïóëÿöèþ ðàñòåíèåÿäíûõ
 [510℄ èçó÷àëîñü âëèÿíèå çàùèòíûõ ìåõàíèçìîâ ðàñòåíèé íà ïîïóëÿöèþ ðàñòåíèåÿäíûõ ñ ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîé íåîäíîðîäíîñòè è ýåêòîâ çàïàçäûâàíèÿ. Ó ìíîãèõ ðàñòåíèé, â ÷àñòíîñòè äåðåâüåâ, ïîâðåæäåíèÿ, íàíåñåííûå ðàñòåíèåÿäíûìè, âûçûâàþò èçìåíåíèÿ õèìè÷åñêèõ, èçè÷åñêèõ è äðóãèõ
ñâîéñòâ ëèñòüåâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ èíäóöèðîâàííîé çàùèòîé. Çàïàçäûâàíèå
îòâå÷àåò çà âðåìÿ, íåîáõîäèìîå ðàñòåíèþ äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîäãîòîâèòü ñâîþ
èíäóöèðîâàííóþ çàùèòó. Èíäóöèðîâàííàÿ çàùèòà ðàñòåíèé âëèÿåò íà óñòîé÷èâîñòü è ïîñòîÿíñòâî ïîïóëÿöèé ðàñòåíèåÿäíûõ. Íàïðèìåð, äëÿ ïîïóëÿöèé ìíîãèõ ðàñòåíèåÿäíûõ íàñåêîìûõ õàðàêòåðíû ¾âñïûøêè¿, êîãäà êîðîòêèå ïåðèîäû âûñîêèõ ïëîòíîñòåé ïîïóëÿöèè íàñåêîìûõ è ìíîãî÷èñëåííûõ ïîâðåæäåíèé
ëèñòüåâ ÷åðåäóþòñÿ ñ äîëãèìè ïåðèîäàìè íèçêèõ ïëîòíîñòåé ïîïóëÿöèè.
Îïèñûâàåìàÿ íèæå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü è ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì áàçèðóþòñÿ íà ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ ïðåäïîëîæåíèÿõ [510℄:

1◦ .

Èçìåíåíèÿ èíäóöèðóåìîé çàùèòû ðàñòåíèé â ìîìåíò

íîñòè ïîïóëÿöèè ðàñòåíèåÿäíûõ â ìîìåíò

2◦ .

t çàâèñÿò îò ïëîò-

t − τ.

Óðîâåíü èíäóöèðóåìîé çàùèòû çàâèñèò îò ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè ðàñòå-

íèåÿäíûõ è îò óðîâíÿ óæå ñóùåñòâóþùåé çàùèòû.

3◦ .

 îòñóòñòâèå èíäóöèðîâàííûõ èçìåíåíèé ó ðàñòåíèé ïîïóëÿöèÿ ðàñòå-

íèåÿäíûõ ïîä÷èíÿåòñÿ ëîãèñòè÷åñêîìó çàêîíó ñî ñêîðîñòüþ ðîñòà
ñòüþ ñðåäû îáèòàíèÿ

4◦ .

γ

è åìêî-

k.

Ñåìåíà íåêîòîðûõ ðàñòåíèé ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå âñëåä-

ñòâèå ðàçëè÷íûõ àêòîðîâ îêðóæàþùåé ñðåäû, íàïðèìåð, âåòðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èíäóöèðóåìàÿ çàùèòà è ðàñòåíèåÿäíûå áåñïîðÿäî÷íî
ïåðåìåùàþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâåííî ñ êîýèöèåíòàìè äèóçèè
è

a2 .

a1

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

366

Ó÷åò ïðèâåäåííûõ ïðåäïîëîæåíèé ïîçâîëèë âûâåñòè ñëåäóþùóþ ñèñòåìó
ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì [510℄:

∂u1
∂t
∂u2
∂t
ãäå

∂ 2 u1
∂x2
∂2u
a2 22
∂x

= a1
=

ūn

+ (α − βu1 ) n 2 n − µu1 ,
b + ū2


u2
+ γu2 1 −
− mu1 u2 ,

(6.2.6.1)

k

u1 = u1 (x, t), u2 = u2 (x, t)  ïëîòíîñòè

ïîïóëÿöèè ðàñòåíèé ñ èíäóöèðî-

ū2 = u2 (x, t − τ ), α  ìàêβ
èíäóöèðîâàííîé çàùèòû, µ 

âàííîé çàùèòîé è ðàñòåíèåÿäíûõ ñîîòâåòñòâåííî,

ñèìàëüíûé óðîâåíü èíäóöèðîâàííîé çàùèòû íà îäíîãî ðàñòåíèåÿäíîãî,
ñòåïåíü ñàìîîãðàíè÷åíèÿ ðàñòåíèé â ñîçäàíèè
ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ èíäóöèðîâàííîé çàùèòû,

m  ñêîðîñòü

ñíèæåíèÿ âîñïðî-

èçâîäñòâà ðàñòåíèåÿäíûõ, âûçâàííîãî èíäóöèðîâàííîé çàùèòîé ðàñòåíèé,

b

ïîëóìàêñèìàëüíàÿ ýåêòèâíîñòü ðàñòåíèåÿäíûõ â íàíåñåíèè ïîâðåæäåíèé,

n  ïîïðàâî÷íûé

ïàðàìåòð äëÿ çàâèñèìîñòè ýåêòèâíîñòè â íàíåñåíèè ïî-

âðåæäåíèé. Â [510℄ îïèñàíû äðóãèå ïîñòîÿííûå, âõîäÿùèå â ñèñòåìó (6.2.6.1),
à òàêæå ïðèáëèæåííûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ âñåõ êîíñòàíò è ññûëêè íà ñòàòüè,
îòêóäà âçÿòû ýòè äàííûå.
 [510℄ áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî áîëüøèå


çàïàçäûâàíèÿ ìîãóò ïðèâîäèòü
ê ñíèæåíèþ ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè ðàñòåíèåÿäíûõ è ïîâûøàòü ðèñê èõ âûìèðàíèÿ, â òî âðåìÿ êàê ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ñîõðàíÿþò ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè
ðàñòåíèåÿäíûõ â îïðåäåëåííîì äèàïàçîíå. Ïîëó÷åíî ìèíèìàëüíîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå çàïàçäûâàíèÿ

τ∗ ,

ïðè êîòîðîì ñ îïðåäåëåííîé ïåðèîäè÷íîñòüþ

âîçíèêàþò ¾âñïûøêè¿ â ïîïóëÿöèè ðàñòåíèåÿäíûõ, è ïîêàçàíî, ÷òî çàâèñèìîñòü

τ∗ îò êîýèöèåíòà äèóçèè ðàñòåíèåÿäíûõ a2 íåëèíåéíà. Îòìå÷àåòñÿ,

÷òî âçàèìîäåéñòâèå çàïàçäûâàíèÿ è äèóçèè ñïîñîáñòâóåò ðîñòó ñðåäíåé
ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè ðàñòåíèåÿäíûõ â ïåðèîä âñïûøåê, à çíà÷èò ïîâûøàåò
æèçíåñòîéêîñòü ðàñòåíèåÿäíûõ.

6.3. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå
ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèé è ðàçâèòèå áîëåçíåé
6.3.1. Êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè SIR

Êëàññè÷åñêàÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíàÿ ìîäåëü ýïèäåìèè Êåðìàêà  Ìàêêåíäðèêà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé èç òðåõ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà [319℄

u′1 (t) = −βu1 u2 ,
u′2 (t) = βu1 u2 − γu2 ,
u′3 (t) = γu2

(6.3.1.1)

è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

u1 (0) = u10 > 0,
Çäåñü

u2 (0) = u20 > 0,

u1 (t), u2 (t), u3 (t)  ïëîòíîñòè

u3 (0) = 0.

ïîïóëÿöèè âîñïðèèì÷èâûõ, çàðàçíûõ è

èñêëþ÷åííûõ èç ïîïóëÿöèè (ââèäó ïðèîáðåòåíèÿ èììóíèòåòà èëè ãèáåëè) îñî-

6.3. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèé
áåé,

β  ñêîðîñòü êîíòàêòîâ (÷èñëî
γ  ñêîðîñòü âûçäîðîâëåíèÿ

ìåíè),

367

êîíòàêòîâ çàðàçíîé îñîáè â åäèíèöó âðåèíèöèðîâàííûõ îñîáåé (åñëè íå ó÷èòû-

âàåòñÿ èõ ãèáåëü).  ñèñòåìå (6.3.1.1) çà ìàññîâóþ çàáîëåâàåìîñòü îòâå÷àåò
íåëèíåéíûé ÷ëåí

βu1 u2 ,

à ïðîöåññ èñêëþ÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ïðîïîðöèîíàëüíî

äîëå èíèöèðîâàííûõ îñîáåé

γu2 .

Ìîäåëü (6.3.1.1) íàçûâàåòñÿ SIR-ìîäåëüþ,

S
Removed).

ïîñêîëüêó îñîáè (ëþäè) ïåðåõîäÿò èç ðàçðÿäà âîñïðèèì÷èâûõ ( us eptible) â

I

ðàçðÿä çàðàçíûõ ( nfe tious), à çàòåì â ðàçðÿä èñêëþ÷åííûõ (

Ñèñòåìà (6.3.1.1) äîïóñêàåò ïåðâûé èíòåãðàë (çàêîí ñîõðàíåíèÿ îáùåãî
÷èñëà îñîáåé)
âñå

ui

íà

u1 + u2 + u3 = C , ãäå C  ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. àçäåëèâ

C , ìîæíî çàïèñàòü çàêîí

ñîõðàíåíèÿ â áåçðàçìåðíîé îðìå.

 ìîäåëè Êåðìàêà  Ìàêêåíäðèêà (6.3.1.1) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîïóëÿöèÿ
õîðîøî ïåðåìåøàíà, òàê ÷òî ïåðåäà÷à èíåêöèè ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî. Îäíàêî èç-çà âûñîêîé ìîáèëüíîñòè ëþäåé â ïðåäåëàõ îäíîé ñòðàíû èëè äàæå ïî
âñåìó ìèðó ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûå ìîäåëè íåäîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàþò ðàñïðîñòðàíåíèå çàáîëåâàíèÿ. ×òîáû ìîäåëü áûëà áîëåå ðåàëèñòè÷íîé,
â íåå íóæíî âêëþ÷èòü ïðîñòðàíñòâåííûå ýåêòû. Åñëè îêðóæàþùàÿ ñðåäà ïðîñòðàíñòâåííî íåïðåðûâíà, äëÿ îïèñàíèÿ ìîáèëüíîñòü ïîïóëÿöèè ÷àñòî
èñïîëüçóþò ñëó÷àéíóþ äèóçèþ, ÷òî ïðèâîäèò ê ìîäåëÿì, îñíîâàííûì íà
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèÿõ (ñì. [395℄).
Ââåäåíèå âðåìåííîãî


çàïàçäûâàíèÿ â òàêèå ìîäåëè äåëàåò èõ áîëåå ðåàëèñòè÷íûìè. Çàïàçäûâàíèå â ýïèäåìèîëîãè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ìîæåò âîçíèêàòü ïî
ðÿäó ðàçëè÷íûõ ïðè÷èí. Ê íàèáîëåå èçâåñòíûìè ïðè÷èíàì îòíîñÿòñÿ (i) ëàòåíòíûé ïåðèîä çàðàæåíèÿ ó ïåðåíîñ÷èêà çàáîëåâàíèÿ è (ii) ëàòåíòíûé ïåðèîä ðàçâèòèÿ çàáîëåâàíèÿ â èíèöèðîâàííîì îðãàíèçìå.  îáîèõ ñëó÷àÿõ
íåîáõîäèìî íåêîòîðîå âðåìÿ, ïðåæäå ÷åì èíåêöèÿ ó èíèöèðîâàííîãî õîçÿèíà ðàçîâüåòñÿ äî óðîâíÿ, äîñòàòî÷íîãî äëÿ ïåðåäà÷è åå äàëüøå. Èíîãäà
ëàòåíòíûé ïåðèîä ñîâïàäàåò ñ èíêóáàöèîííûì ïåðèîäîì  âðåìåíåì ñ ìîìåíòà çàðàæåíèÿ äî ïåðâûõ ïðèçíàêîâ ïðîÿâëåíèÿ áîëåçíè. Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå ýòè äâà ïåðèîäà íå ñîâïàäàþò.  ðàáîòå [193℄ â ýïèäåìèîëîãè÷åñêóþ ìîäåëü áûë ââåäåí ýåêò âðåìåííîãî


çàïàçäûâàíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî ñêîðîñòü èíèöèðîâàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè
åì

βu1 (t)u2 (t − τ ),

ãäå

τ > 0

t

îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíè-

 èêñèðîâàííîå âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðî-

ãî èíåêöèîííûå àãåíòû ðàçâèâàþòñÿ â ïåðåíîñ÷èêå, è òîëüêî ïî èñòå÷åíèè
ýòîãî âðåìåíè èíèöèðîâàííûé àãåíò ìîæåò çàðàçèòü âîñïðèèì÷èâîãî õîçÿèíà.
Äèóçèîííàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè SIR òèïà Êåðìàêà  Ìàêêåíäðèêà ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé

∂u1
∂t

= a1

∂ 2 u1
∂x2

− βu1 w2 ,

∂u2
∂t

= a2

∂ 2 u2
∂x2

+ βu1 w2 − γu2 ,

∂u3
∂t

= a3

∂ 2 u3
∂x2

+ γu2 ,

(6.3.1.2)

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

368

ãäå

u1 = u1 (x, t), u2 = u2 (x, t), u3 = u3 (x, t), w2 = u2 (x, t − τ ); a1 , a2 , a3 

êîýèöèåíòû äèóçèè âîñïðèèì÷èâûõ, çàðàçíûõ è èñêëþ÷åííûõ îñîáåé.

Áîëåå ñëîæíàÿ ìîäåëü SIR, â êîòîðîé ó÷èòûâàåòñÿ ïðèðîñò è åñòåñòâåííàÿ
ñìåðòíîñòü îñîáåé, à òàêæå ñìåðòíîñòü â ðåçóëüòàòå áîëåçíè, èìååò âèä (ñì.
ïîõîæóþ ìîäåëü â [577℄):

∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂u3
∂t

∂ 2 u1
∂x2
∂2u
a2 22
∂x
∂ 2 u3
a3 2
∂x

= a1

+ b − µu1 − βu1 w2 ,

=

+ βu1 w2 − (γ + α + µ)u2 ,

=

(6.3.1.3)

+ γu2 − µu3 ,

b  ðîæäàåìîñòü â ïîïóëÿöèè, µ  åñòåñòâåííàÿ
α  ñìåðòíîñòü âñëåäñòâèå çàáîëåâàíèÿ.

ãäå

ñìåðòíîñòü â ïîïóëÿöèè,

 áîëåå îáùåé ìîäåëè, èçâåñòíîé êàê SIRS-ìîäåëü [248℄, ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî èììóíèòåò ó âîñïðèèì÷èâûõ ëþäåé âûðàáàòûâàåòñÿ òîëüêî íà îãðàíè÷åííîå âðåìÿ, ò. å. âîñïðèèì÷èâûå (S) îñîáè çàðàæàþòñÿ (I), çàòåì âûçäîðàâëèâàþò, ïðèîáðåòÿ èììóíèòåò ê áîëåçíè, è èñêëþ÷àþòñÿ (R) èç ÷èñëà çàðàçíûõ,
à çàòåì ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ, êîãäà èììóíèòåò îñëàáåâàåò, âíîâü ñòàíîâÿòñÿ
âîñïðèèì÷èâûìè (S). Äëÿ ýòîãî â ïåðâîå è òðåòüå óðàâíåíèå (6.3.1.3) äîáàâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå

δu3 ,

ñîîòâåòñòâåííî, ñî çíàêîì ïëþñ è ìèíóñ. Â ðåçóëüòàòå

ïîëó÷èì

∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂u3
∂t
ãäå

δ  ñêîðîñòü,

∂ 2 u1
∂x2
∂2u
a2 22
∂x
∂ 2 u3
a3 2
∂x

= a1

+ b − µu1 − βu1 w2 + δu3 ,

=

+ βu1 w2 − (γ + α + µ)u2 ,

=

(6.3.1.4)

+ γu2 − (δ + µ)u3 ,

ñ êîòîðîé âûçäîðîâåâøèå îñîáè òåðÿþò èììóíèòåò è âîçâðà-

ùàþòñÿ ê ðàçðÿäó âîñïðèèì÷èâûõ.
 ëèòåðàòóðå âñòðå÷àþòñÿ òàêæå ìîäåëè, â êîòîðûõ âìåñòî áèëèíåéíîãî
ñëàãàåìîãî çàáîëåâàåìîñòè

βu1 w2

èñïîëüçóåòñÿ íåëèíåéíîå. Ýòî îáîñíîâûâà-

åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [172℄.
Ñëó÷àé, êîãäà áèëèíåéíîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî âîçðàñòàþùåé óíêöèåé êîëè÷åñòâà çàðàçíûõ èíäèâèäóóìîâ, ìîæåò áûòü ñïðàâåäëèâûì äëÿ ìàëîãî ÷èñëà òàêèõ îñîáåé. Íî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà èíèöèðîâàííûõ ýòî âðÿä ëè
ðåàëèñòè÷íî. Íà ñàìîì äåëå êîëè÷åñòâî êîíòàêòîâ âîñïðèèì÷èâîãî ÷åëîâåêà â
åäèíèöó âðåìåíè íå âñåãäà ìîæåò ðàñòè ëèíåéíî ñ óâåëè÷åíèåì

u2 .

îðàçäî áîëåå ðåàëèñòè÷íûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââåäåíèå âìåñòî áèëèíåéíîãî
ñëàãàåìîãî

βu1 w2

áîëåå ñëîæíîãî íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî âèäà

g(u2 )u1 ,

ãäå

çàâèñèìîñòü îò êîëè÷åñòâà çàðàçíûõ èíäèâèäóóìîâ îïðåäåëÿåòñÿ íåëèíåéíîé
îãðàíè÷åííîé óíêöèåé

g,

êîòîðàÿ â êîíå÷íîì èòîãå ñòðåìèòñÿ ê ¾óðîâíþ

íàñûùåíèÿ¿. Ââåäåíèå òàêîé óíêöèè

g

òàêæå äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü ó÷åòà

¾ïñèõîëîãè÷åñêèõ¿ ýåêòîâ: äëÿ î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà çàðàçíûõ èíäèâèäóóìîâ çàáîëåâàåìîñòü

g(u2 )

ìîæåò óìåíüøàòüñÿ ñ óâåëè÷åíèåì

u2 ,

ïîòîìó ÷òî

6.3. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèé

369

ïðè íàëè÷èè áîëüøîãî êîëè÷åñòâà èíèöèðîâàííûõ èíäèâèäóóìîâ ïîïóëÿöèÿ
ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê ñîêðàùåíèþ ÷èñëà êîíòàêòîâ â åäèíèöó âðåìåíè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà â [172℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ óíêöèÿ âèäà

g(u2 ) =
ãäå

βu2  ñêîðîñòü

βu2
1 + θu2

,

1
1+θu2  ïîïðàâêà, ó÷èòûâàþùàÿ ýåêò

èíèöèðîâàíèÿ, à

òîðìîæåíèÿ â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ ïîâåäåíèÿ âîñïðèèì÷èâûõ èíäèâèäóóìîâ
ïðè óâåëè÷åíèè èõ ÷èñëà èëè â ðåçóëüòàòå ýåêòà ñêîïëåíèÿ èíèöèðîâàííûõ. Äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì è íåëèíåéíîé çàáîëåâàåìîñòüþ ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â [119, 179, 572, 577℄.

6.3.2. Äâóõêîìïîíåíòíàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè SI
Îïèðàÿñü íà êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü Êåðìàêà  Ìàêêåíäðèêà, â [139℄ áûëà ðàçðàáîòàíà äâóõêîìïîíåíòíàÿ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè, îñíîâàííàÿ íà
ñèñòåìå èç äâóõ íåëèíåéíûõ ÎÄÓ:



u + u2
u′1 (t) = b(u1 + u2 ) 1 − 1
−β
u′2 (t)

=β

u1
u1 + u2

k

u1
u
u1 + u2 2

− (µ + m)u1 ,

(6.3.2.1)

u2 − (µ + α)u2 ,

êîòîðàÿ â îòëè÷èå îò (6.3.1.1) ó÷èòûâàåò ïåðåìåííóþ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè,
ñìåðòíîñòü îò áîëåçíè è ìèãðàöèþ îñîáåé.
Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé (6.3.2.1) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîïóëÿöèÿ ðàçäåëåíà
íà äâå ãðóïïû  âîñïðèèì÷èâûå îñîáè (S  sus eptible) è çàðàçíûå îñîáè (I 
infe tious) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïëîòíîñòÿìè ïîïóëÿöèè

u1 = u1 (t) è u2 = u2 (t).

Ïðîöåññ âîñïðîèçâîäñòâà ïîïóëÿöèè ïîä÷èíÿåòñÿ ëîãèñòè÷åñêîìó çàêîíó ñî
ñêîðîñòüþ åñòåñòâåííîãî ïðèðîñòà

b

è ñ åìêîñòüþ ïîïóëÿöèè

k, β

îáîçíà÷àåò

µ  åñòåñòâåííàÿ
m  ñêîðîñòü ìèãðàöèè

ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîíòàêòîâ ñ èíèöèðîâàííûìè,
ñìåðòíîñòü,

α  ñìåðòíîñòü

â ðåçóëüòàòå çàáîëåâàíèÿ,

âîñïðèèì÷èâûõ îñîáåé.  ñèñòåìå (6.3.2.1) èñïîëüçóåòñÿ íåëèíåéíîå ñëàãàåìîå çàáîëåâàåìîñòè âèäà

1
β u1u+u
u2 .
2

 ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòè èíèöèðîâàíèÿ

ïðîïîðöèîíàëüíû íå ðàçìåðó ïîïóëÿöèè âîñïðèèì÷èâûõ îñîáåé

u1 ,

à îòíî-

øåíèþ ðàçìåðà ïîïóëÿöèè âîñïðèèì÷èâûõ îñîáåé ê ðàçìåðó âñåé ïîïóëÿöèè

u1
u1 +u2 , ãäå

u1 + u2  îáùàÿ ïîïóëÿöèÿ. Ñëàãàåìîå (µ + m)u îòâå÷àåò çà ñíèæå-

íèå ÷èñëåííîñòè ïîïóëÿöèè âîñïðèèì÷èâûõ îñîáåé â ðåçóëüòàòå åñòåñòâåííîé
ñìåðòíîñòè è ìèãðàöèè; ñëàãàåìîå

(µ + α)u2  çà

ñíèæåíèå ÷èñëåííîñòè ïî-

ïóëÿöèè çàðàçíûõ îñîáåé â ðåçóëüòàòå åñòåñòâåííîé ñìåðòíîñòè è ñìåðòíîñòè
â ðåçóëüòàòå áîëåçíè. Ìîäåëü (6.3.2.1) ïðè

m=0

èçó÷àëàñü òàêæå â [295℄, ãäå

íàçûâàëàñü ìîäåëüþ ¾ïàðàçèò  õîçÿèí¿.
åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü ýïèäåìèè ñ çàïàçäûâàíèåì òèïà (6.3.2.1)

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

370

ðàññìàòðèâàåòñÿ â [343, 353℄ (ñì. ïîõîæóþ ìîäåëü â [166℄) è èìååò âèä

∂u1
∂t
∂u2
∂t
ãäå

∂ 2 u1
∂x2
∂2u
a2 22
∂x

= a1

+ νrd (u1 + w2 )(1 − u1 − w2 ) − νu1 − r0

=

+ r0

u1 w2
u1 + w2

u1 w2
u1 + w2

,

− w2 ,

u1 = u1 (x, t), u2 = u2 (x, t), w2 = u2 (x, t − τ ); a1 , a2  êîýèöèåíòû
ν = µ+m
µ+α  îòíîøåíèå ñðåäíèõ ïðîäîëæèòåëüíîñòåé æèçíè âîñïðè-

äèóçèè,

èì÷èâûõ è çàðàçíûõ îñîáåé. Áàçîâîå äåìîãðàè÷åñêîå ðåïðîäóêòèâíîå ÷èñëî

rd

è áàçîâîå ýïèäåìèîëîãè÷åñêîå ðåïðîäóêòèâíîå ÷èñëî

r0

îïðåäåëÿþòñÿ

ïî îðìóëàì:

rd =

b
,
µ+m

r0 =

β
.
µ+α

Áàçîâîå äåìîãðàè÷åñêîå ðåïðîäóêòèâíîå ÷èñëî ïîêàçûâàåò îòíîøåíèå ìåæäó
ïðèðîñòîì è ñìåðòíîñòüþ â îòñóòñòâèå èíåêöèè. Ñëó÷àé
ñòâóåò ðîñòó ïîïóëÿöèè,
äóêòèâíîå ÷èñëî

r0

rd < 1  ãèáåëè.

rd > 1

ñîîòâåò-

Áàçîâîå ýïèäåìèîëîãè÷åñêîå ðåïðî-

õàðàêòåðèçóåò çàðàçíîñòü èíåêöèîííîãî çàáîëåâàíèÿ è

îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñðåäíåå êîëè÷åñòâî âîñïðèèì÷èâûõ èíäèâèäóóìîâ, êîòîðûå
ìîãóò áûòü çàðàæåíû îäíèì çàáîëåâøèì. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå èíåêöèè
ïðîèñõîäèò ïðè

r0 > 1 è íå ïðîèñõîäèò ïðè r0 < 1. Ñëó÷àé r0 = 1 ÿâëÿåòñÿ ãðà-

íè÷íûì, ïðè êîòîðîì ïðîöåññ ìîæåò ïîéòè ëèáî â òó, ëèáî â äðóãóþ ñòîðîíó.

6.3.3. Ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèè íîâîé
êîðîíàâèðóñíîé èíåêöèè
 [601℄áûëà ðàçðàáîòàíà ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü ñ çàïàçäûâàíèåì,
êîòîðàÿ áëèçêà ê ðåàëüíîìó ðàñïðîñòðàíåíèþ ýïèäåìèè COVID-19, âêëþ÷àÿ
ðåöèäèâ, âðåìåííîå


çàïàçäûâàíèå, äîìàøíèé êàðàíòèí è ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííóþ ãåòåðîãåííóþ ñðåäó, êîòîðàÿ âëèÿåò íà ðàñïðîñòðàíåíèå COVID19. Ìîäåëü âêëþ÷àåò øåñòü ãðóïï ëþäåé: âîñïðèèì÷èâûå (S,

u1 = u1 (x, t)),

u2 = u2 (x, t)), ïîìåùåííûå íà
u3 = u3 (x, t)), èíèöèðîâàííûå (I, u4 = u4 (x, t)), ãîñïèòàëèçèðîâàííûå (Q, u5 = u5 (x, t)) è âðåìåííî âûçäîðîâåâøèå (R, u6 = u6 (x, t)).
êîíòàêòèðîâàâøèå ñ èíèöèðîâàííûìè (E,

äîìàøíèé êàðàíòèí (H,

Ýòà ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñìåøàííîé ñèñòåìîé äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé (Óð×Ï è ÎÄÓ) ñ çàïàçäûâàíèåì:

∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂u3
∂t
∂u4
∂t
∂u5
∂t
∂u6
∂t

u w
u1 u2
− β2 1 4 − µu1 ,
u1 + u2
u1 + w4
u w
u u
a2 ∆u2 + β1 1 2 + β2 1 4 + ρ2 u6 − (µ + ω2
u1 + u2
u1 + w4

= a1 ∆u1 + b − β1
=

= pu2 − (µ + γ3 + ω3 + σ)u3 ,
= a4 ∆u4 + ω2 u2 + ω3 u3 + ρ1 u6 − (µ + γ4 + q)u4 ,
= qu4 − (µ + γ5 + ν)u5 ,
= a6 ∆u6 + σu3 + νu5 − (µ + ρ1 + ρ2 )u6 ,

+ p)u2 ,
(6.3.3.1)

6.3. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèé

371

ui = ui (x, t) (i = 1, . . . , 6), w2 = u2 (x, t − τ ); aj > 0  êîýèöèåíòû äèó= 1, 2, 4, 6), b  ñòåïåíü âîñïðîèçâîäñòâà ïîïóëÿöèè, β1,2  êîíòàêòíûé
êîýèöèåíò, ω2,3  êîýèöèåíòû çàáîëåâàåìîñòè êîíòàêòèðîâàâøèõ è íàõîäÿùèõñÿ íà äîìàøíåì êàðàíòèíå, p  êîýèöèåíò äîìàøíåãî êàðàíòèíà, q 
êîýèöèåíò ãîñïèòàëèçàöèè, ρ1  êîýèöèåíò ïîâòîðíîãî èíèöèðîâàíèÿ
âûçäîðîâåâøèõ, ρ2  êîýèöèåíò ïîâòîðíîãî êîíòàêòà âûçäîðîâåâøèõ, σ 
êîýèöèåíò âûõîäà èç äîìàøíåãî êàðàíòèíà, ν  êîýèöèåíò âîññòàíîâëåíèÿ â ãîñïèòàëå, µ  åñòåñòâåííàÿ ñìåðòíîñòü, γ3,4,5 ñìåðòíîñòü îò áîëåçíè
ãäå

çèè (j

â ãðóïïå äîìàøíåãî êàðàíòèíà, èíèöèðîâàííûõ è ãîñïèòàëèçèðîâàííûõ ñîîòâåòñòâåííî. Çàïàçäûâàíèå

τ

îòâå÷àåò çà èíêóáàöèîííûé ïåðèîä  âðåìÿ ñ

ìîìåíòà èíèöèðîâàíèÿ äî ïåðâûõ ïðèçíàêîâ ïðîÿâëåíèÿ áîëåçíè. Âî âðåìÿ
èíêóáàöèîííîãî ïåðèîäà íå èçâåñòíî, ÷òî ÷åëîâåê áîëååò, è íà íåãî íå ìîãóò
áûòü íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ, à çíà÷èò, òàêîé ÷åëîâåê ìîæåò âñòóïèòü â êîíòàêò
ñ âîñïðèèì÷èâûì. Îòìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ äëÿ

u3

è

u5

íåò äèóçèè, ò. ê.

ëþäè íà êàðàíòèíå è â ãîñïèòàëå ñ÷èòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè.
 ðàáîòå [601℄ ïðèâåäåíû îðèåíòèðîâî÷íûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (6.3.3.1) äëÿ ýïèäåìèè â Êèòàå è ÑØÀ è èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü
åå ðåøåíèé.

x, òî
∇·(aj ∇uj ),
çàâèñåòü îò x è t,

Çàìå÷àíèå 6.8. Êîýèöèåíòû äèóçèè ìîäåëè (6.3.3.1) ìîãóò çàâèñåòü îò

åñòü

aj = aj (x), j = {1, 2, 4, 6}.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî aj ∆uj

∇  îïåðàòîð ãðàäèåíòà.
b = b(x, t).

ñëåäóåò ïèñàòü

Äðóãèå ïàðàìåòðû ìîäåëè (6.3.3.1) ìîãóò

íàïðèìåð,

6.3.4. Ìîäåëè ïðîòåêàíèÿ ãåïàòèòà B
Ìîäåëè ïðîòåêàíèÿ áîëåçíåé âíóòðè îðãàíèçìà ÿâëÿþòñÿ ðîäñòâåííûìè ïî
îòíîøåíèþ ê ìîäåëÿì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé. Íåèèöèðîâàííûå êëåòêè ðàññìàòðèâàþòñÿ â êà÷åñòâå âîñïðèèì÷èâîé ÷àñòè ïîïóëÿöèè
èöèðîâàííûå êëåòêè  â êà÷åñòâå çàðàçíûõ îñîáåé

u2 (x, t),

íåíòîì ïîïóëÿöèè âûñòóïàþò ñâîáîäíûå âèðóñíûå ÷àñòèöû

u1 (x, t),

èí-

òðåòüèì êîìïî-

v(x, t).

 ñëó-

÷àå ãåïàòèòà B êëåòêè ïå÷åíè ñ÷èòàþòñÿ íåïîäâèæíûìè, à âèðóñíûå ÷àñòèöû
ìîãóò ïåðåäâèãàòüñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Èñõîäÿ èç ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé, â
[539℄ áûëà ðàçðàáîòàíà ìîäåëü, ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ÎÄÓ è îäíîãî ðåàêöèîííîäèóçèîííîãî óðàâíåíèÿ:

∂u1
= b − βu1 v − µ1 u1 ,
∂t
∂u2
= βu1 v − µ2 u2 ,
∂t
∂2v
∂v
= a 2 + γu2 − µ3 v,
∂t
∂x

(6.3.4.1)

b, µ1  ñêîðîñòè âîñïðîèçâîäñòâà è ãèáåëè íåèíèöèðîâàííûõ êëåòîê,
β  êîýèöèåíò, îòâå÷àþùèé çà ñêîðîñòü èíèöèðîâàíèÿ, γ  ñêîðîñòü âîñïðîèçâîäñòâà âèðóñîâ, µ2 , µ3  ñêîðîñòè ãèáåëè èíèöèðîâàííûõ êëåòîê è
ãäå

372

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

èñ÷åçíîâåíèÿ ñâîáîäíûõ âèðóñîâ,

a  êîýèöèåíò äèóçèè.

ëàâíîå îòëè÷èå

ìîäåëè (6.3.4.1) îò ðàññìîòðåííûõ âûøå ìîäåëåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé
çàêëþ÷àåòñÿ â ÿâíîì ðàññìîòðåíèè ïðîìåæóòî÷íîãî àãåíòà (âèðóñà) â ïðîöåññå
ïåðåäà÷è èíåêöèè îò çàðàæåííîé êëåòêè ê íåçàðàæåííîé. Èíèöèðîâàíèå
ïðîèñõîäèò íå îò êîíòàêòà çàðàæåííîé è âîñïðèèì÷èâîé îñîáè, êàê â ñëó÷àå
ìîäåëåé ýïèäåìèè, à îò êîíòàêòà âîñïðèèì÷èâîé êëåòêè è âèðóñà. Îòìåòèì,
÷òî ñðåäè ìîäåëåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýïèäåìèé òàêæå ñóùåñòâóþò ïîäîáíûå
ìîäåëè, íàïðèìåð, ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëÿðèè, êîãäà äëÿ ïåðåäà÷è èíåêöèè òðåáóåòñÿ ìàëÿðèéíûé êîìàð.
Óñîâåðøåíñòâîâàííàÿ ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ âíóòðèêëåòî÷íîå çàïàçäûâàíèå ìåæäó ìîìåíòîì èíèöèðîâàíèÿ êëåòêè è íà÷àëîì ïðîäóöèðîâàíèÿ êëåòêîé íîâûõ âèðóñíûõ ÷àñòèö, îïèñûâàåòñÿ ñìåøàííîé ñèñòåìîé äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (äâà ÎÄÓ è îäíî Óð×Ï) ñ çàïàçäûâàíèåì [541℄:

∂u1
= b − βu1 v − µ1 u1 ,
∂t
∂u2
= β ū1 v̄ − µ2 u2 ,
∂t
∂v
∂2v
= a 2 + γu2 − µ3 v,
∂t
∂x

(6.3.4.2)

ū1 = u1 (x, t − τ ), v̄ = v(x, t − τ ). Ñèñòåìà (6.3.4.2) ðàññìàòðèâàåòñÿ
îòðåçêå 0 6 x 6 1 è äîïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

ãäå

ui (x, t) = u◦i (x) > 0

(i = 1, 2),

v(x, t) = v ◦ (x) > 0

ïðè

−τ 6 t 6 0

íà

(6.3.4.3)

è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà

vx (0, t) = vx (1, t) = 0,

t > 0.

(6.3.4.4)

 [573℄ áûëî îòìå÷åíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå áèëèíåéíûõ îðì ñëàãàåìûõ
çàáîëåâàåìîñòè

βu1 v

íå âñåãäà îáîñíîâàíî. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, ñêîðîñòü çà-

áîëåâàíèÿ ñêîðåå âñåãî íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé óíêöèåé âî âñåé îáëàñòè èçìåíåíèÿ

u1

è

v.

Íàïðèìåð, áîëåå ñëàáàÿ, ÷åì ëèíåéíàÿ, çàâèñèìîñòü ïî

v

ìîæåò âîçíèêàòü èç-çà íàñûùåíèÿ ïðè âûñîêèõ êîíöåíòðàöèÿõ âèðóñà. Â ýòîì
ñëó÷àå èìååò ñìûñë èñïîëüçîâàòü ñëàãàåìîå çàáîëåâàåìîñòè âèäà

p, q, θ > 0.

βu1 vp
1+θvq , ãäå

p = q = 1 ðàññìîòðåí â [573℄. Ïîëó÷åíî çíà÷åíèå áàçîâîãî
bγβ
÷èñëà r0 =
µ1 µ2 µ3 , êîòîðîå îïèñûâàåò ñðåäíåå êîëè÷åñòâî

Ñëó÷àé

ðåïðîäóêòèâíîãî

êëåòîê, ¾çàðàæàåìûõ¿ îäíîé èíèöèðîâàííîé êëåòêîé â íà÷àëå èíåêöèîííîãî ïðîöåññà. Ïðè

r0 < 1 èìååòñÿ åäèíñòâåííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, êîòîðîå

ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì è ñîîòâåòñòâóåò îòñóòñòâèþ èíåêöèè

u1 = b/µ1 , u2 = 0, v = 0.

Ïðè

r0 > 1

ñóùåñòâóåò äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ 

íåóñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå îòñóòñòâèÿ áîëåçíè è óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå íàëè÷èÿ
áîëåçíè.
 [277℄ áûëà ïðåäëîæåíà ìîäåëü, êîòîðàÿ îáîáùàåò äâå ðàññìîòðåííûå
âûøå ìîäåëè è ðîäñòâåííûå ìîäåëè [185, 278, 597℄ ñ íåëèíåéíûìè ñêîðîñòÿìè

6.3. Ìîäåëè è Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå ýïèäåìèé

373

çàáîëåâàíèÿ. Ýòà ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ñìåøàííîé ñèñòåìîé äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (äâà ÎÄÓ è îäíî Óð×Ï) ñ äâóìÿ çàïàçäûâàíèÿìè

∂u1
= b − f (u1 , u2 , v)v − µ1 u1 ,
∂t
∂u2
= f (ū11 , ū21 , v̄)v̄e−c1 τ1 − µ2 u2 ,
∂t
∂2v
∂v
= a 2 + γu22 e−c2 τ2 − µ3 v,
∂t
∂x

(6.3.4.5)

ū11 = u1 (x, t − τ1 ), ū21 = u2 (x, t − τ1 ), ū22 = u2 (x, t − τ2 ), v̄ = v(x, t − τ1 ).
τ1  ýòî âðåìÿ ìåæäó ìîìåíòîì çàðàæåíèÿ êëåòêè è íà÷àëîì
−c τ
ïðîäóöèðîâàíèÿ êëåòêîé âèðóñíûõ ÷àñòèö; ìíîæèòåëü e 1 1 îòâå÷àåò çà âåðîÿòíîñòü âûæèâàíèÿ êëåòêè â òå÷åíèå τ1 , ãäå c1  ñêîðîñòü ãèáåëè èíèöèðîâàííûõ, íî åùå íå ïðîäóöèðóþùèõ âèðóñ êëåòîê. Çàïàçäûâàíèå τ2  ýòî âðåìÿ
ãäå

Çàïàçäûâàíèå

ìåæäó ìîìåíòîì îáðàçîâàíèÿ âèðóñíîé ÷àñòèöû è ìîìåíòîì, êîãäà îí áóäåò
ñïîñîáåí èíèöèðîâàòü; âåðîÿòíîñòü âûæèâàíèÿ ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì

e−c2 τ2 ,

çàáîëåâàåìîñòè

à ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü åãî æèçíè ðàâíà

f (x, y, z)

1/c2 .

Ôóíêöèÿ

ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîé ïî ñâîèì

àðãóìåíòàì è óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì òðåì ãèïîòåçàì:
1)
2)
3)

f (0, y, z) = 0 ïðè y, z > 0,
fx (x, y, z) > 0 ïðè x > 0, y, z > 0,
fy (x, y, z) 6 0, fz (x, y, z) 6 0 ïðè x, y, z > 0.

Ñèñòåìà (6.3.4.5) äîïîëíÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (6.3.4.3) è ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà (6.3.4.4).
 [277℄ äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå, ïîëîæèòåëüíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è (6.3.4.5), (6.3.4.3), (6.3.4.4). Áàçîâîå ðåïðîäóêòèâíîå ÷èñëî èìååò âèä

r0 = γ(µ2 µ3 )−1 f (b/µ1 , 0, 0)e−c1 τ1 −c2 τ2 .
Ïðè

r0 6 1

ñèñòåìà (6.3.4.5) èìååò åäèíñòâåííîå ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè

óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå îòñóòñòâèþ áîëåçíè. Ïðè

r0 > 1

ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ¾áåç áîëåçíè¿ íåóñòîé÷èâî è ñóùåñòâóåò åùå

îäíî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå õðîíè÷åñêîé èíåêöèè, êîòîðîå
ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.
Ýòè óñëîâèÿ, â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíû äëÿ ëèíåéíîé óíêöèè çàáîëåâàåìîñòè

f = βu1 , îïèñàííîé âûøå, à òàêæå äëÿ áîëåå ñëîæíûõ óíêöèé Áåääèíãòîíà 
βu1
1
f = 1+κ1βu
u1 +κ2 v è Êðîóëè  Ìàðòèíà f = 1+κ1 u1 +κ2 v+κ1 κ2 u1 v ,
ãäå κ1 > 0, κ2 > 0.
Äå Àíäæåëèñà

6.3.5. Ìîäåëè âçàèìîäåéñòâèÿ èììóíèòåòà è îïóõîëåâûõ êëåòîê
Ñëåäóÿ [121℄, ðàññìîòðèì ìîäåëü ïðîöåññà âçàèìîäåéñòâèÿ Ò-êëåòîê èììóíèòåòà è çëîêà÷åñòâåííûõ îïóõîëåâûõ êëåòîê. Ò-êëåòêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà Òêèëëåðîâ (öèòîòîêñè÷åñêèõ Ò-ëèìîöèòîâ) è Ò-õåëïåðîâ. Ò-êèëëåðû àòàêóþò

374

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

çëîêà÷åñòâåííûå êëåòêè. Ò-õåëïåðû, âûäåëÿÿ ðàçëè÷íûå öèòîêèíû (íåáîëüøèå
ðåãóëÿòîðíûå áåëêè), ñòèìóëèðóþò Ò-êèëëåðîâ. îñò Ò-õåëïåðîâ è îïóõîëåâûõ
êëåòîê ïîä÷èíÿåòñÿ ëîãèñòè÷åñêîìó çàêîíó. àçðóøåíèå îïóõîëåâûõ êëåòîê è
Ò-êèëëåðîâ ïðîèñõîäèò ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòåé èõ ïîïóëÿöèé. Ò-õåëïåð ïðåâðàùàåòñÿ â Ò-êèëëåðà ëèáî ïðè íåïîñðåäñòâåííîì êîíòàêòå ñ Ò-êèëëåðîì, ëèáî ïðè êîíòàêòå ñ öèòîêèíîì, âûäåëåííûì Ò-õåëïåðîì.
Ïðåâðàùåíèå ïðîèñõîäèò ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåì

τ,

êîòîðîå â ìîäåëè

âõîäèò â ñëàãàåìûå, îïèñûâàþùèå ïðåâðàùåíèå Ò-õåëïåðîâ è ðîñò ïîïóëÿöèè
Ò-êèëëåðîâ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Ò-êèëëåð íèêîãäà íå ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ îáðàòíî â Ò-õåëïåðà è ãèáíåò ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé âåðîÿòíîñòüþ â åäèíèöó
âðåìåíè.
àññìîòðåííàÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíàÿ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ èììóíèòåòà è îïóõîëåâûõ êëåòîê îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé òðåõ ÎÄÓ ñ
çàïàçäûâàíèåì [121℄:

u′1 = b1 u1 (1 − u1 /k1 ) − c1 u1 u2 ,
u′2 = βu1 w3 − µu2 − c2 u1 u2 ,
u′3 = b2 u3 (1 − u3 /k3 ) − βu2 w3 ,

(6.3.5.1)

u1 = u1 (t), u2 = u2 (t), u3 = u3 (t)  ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè îïóõîëåâûõ êëåòîê,
Ò-êèëëåðîâ è Ò-õåëïåðîâ ñîîòâåòñòâåííî, w3 = u3 (t−τ ); b1 , b2  êîýèöèåíòû
åñòåñòâåííîãî ðîñòà îïóõîëåâûõ êëåòîê è Ò-õåëïåðîâ, k1 , k3  ìàêñèìàëüíàÿ
÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè îïóõîëåâûõ êëåòîê è Ò-õåëïåðîâ, µ  êîýèöèåíò
ãèáåëè Ò-êèëëåðîâ, c1  êîýèöèåíò ãèáåëè îïóõîëåâûõ êëåòîê ïðè êîíòàêòå
ñ Ò-êèëëåðàìè, c2  êîýèöèåíò ãèáåëè Ò-êèëëåðîâ ïðè êîíòàêòå ñ îïóõîëåâûìè êëåòêàìè, β  êîýèöèåíò ïðåâðàùåíèÿ Ò-õåëïåðîâ â Ò-êèëëåðîâ.
ãäå

Ìîäåëü (6.3.5.1) áûëà ìîäèèöèðîâàíà â ðàáîòå [302℄, ãäå ðàññìàòðèâàëèñü
òîëüêî äâå ãðóïïû êëåòîê  îïóõîëåâûå è èììóííûå (òðåòüå óðàâíåíèå (6.3.5.1)
èç àíàëèçà áûëî èñêëþ÷åíî) è áûëà ââåäåíà ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåîäíîðîäíîñòü
ïóòåì äîáàâëåíèÿ äèóçèîííûõ ñëàãàåìûõ.  ðåçóëüòàòå áûëà ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ñèñòåìà Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì:

∂u1
∂t
∂u2
∂t

∂ 2 u1
∂x2
∂ 2 u2
a2 2
∂x

= a1

+ bu1 (1 − u1 /k) − c1 u1 u2 ,

=

+ βw1 u2 − µu2 − c2 u1 u2 ,

(6.3.5.2)

u1 = u1 (x, t) è u2 = u2 (x, t)  ïëîòíîñòè ïîïóëÿöèè îïóõîëåâûõ è èììóííûõ
w1 = u1 (x, t−τ ); a1 è a2  êîýèöèåíòû äèóçèè, b 
êîýèöèåíò åñòåñòâåííîãî ðîñòà îïóõîëåâûõ êëåòîê, k  ìàêñèìàëüíàÿ ÷èñëåííîñòü ïîïóëÿöèè îïóõîëåâûõ êëåòîê, µ  êîýèöèåíò ãèáåëè èììóííûõ
êëåòîê, c1  êîýèöèåíò ãèáåëè îïóõîëåâûõ êëåòîê ïðè êîíòàêòå ñ èììóííûìè, c2  êîýèöèåíò ãèáåëè èììóííûõ êëåòîê ïðè êîíòàêòå ñ îïóõîëåâûìè,
β  êîýèöèåíò àêòèâàöèè èììóííûõ êëåòîê. Àêòèâíîñòü îïóõîëåâûõ êëåòîê

ãäå

êëåòîê ñîîòâåòñòâåííî,

ïðèâîäèò ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èììóííîìó îòâåòó, êîòîðûé çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ýòèõ êëåòîê, íî ïðîèñõîäèò ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ

τ.

6.4. Äðóãèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

375

Ñèñòåìà (6.3.5.2) äîïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà.
Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (6.3.5.2) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì äèóçèîííîé
ñèñòåìû òèïà Ëîòêè  Âîëüòåððû ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè (6.2.4.1).

u◦1 = k , u◦2 = 0 ýòîé ñèñòåìû ãëîáàëüíî àñèìïòîµ > kβ . Ïðè µ < k(β − c2 ) ñèñòåìà (6.3.5.2) èìååò

Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
òè÷åñêè óñòîé÷èâî ïðè

åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ

u◦1 =

µ
β − c2

,

u◦2 =

b
c1


1−

µ
k(β − c2 )


.

(6.3.5.3)

Ïðè îòñóòñòâèè çàïàçäûâàíèÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (6.3.5.3) ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Îäíàêî, êàê áûëî ïîêàçàíî â [302℄, çàïàçäûâàíèå èãðàåò
êëþ÷åâóþ ðîëü à äåñòàáèëèçàöèè ýòîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Óñòàíîâëåíî,
÷òî ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå τ∗ òàêîå, ÷òî ïðè

τ < τ∗ ïîëîæåíèå ðàâíîτ > τ∗  íåóñòîé÷èâî.

âåñèÿ (6.3.5.3) ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, à ïðè

Âûÿâëåíî, ÷òî çàïàçäûâàíèå òàêæå âëèÿåò íà íàïðàâëåíèå, óñòîé÷èâîñòü è
ïåðèîäè÷íîñòü áèóðêàöèè Õîïà.

Çàìå÷àíèå 6.9.  [424℄ ðàññìàòðèâàëàñü ïîõîæàÿ íà (6.3.5.2) ñèñòåìà Óð×Ï ñ

çàïàçäûâàíèåì, â êîòîðîé âî âòîðîì óðàâíåíèè ÷ëåí

βw1 u2

çàìåíåí íà

βw1 w2 ,

ãäå

wi = ui (x, t − τ ), i = 1, 2.

6.4. Äðóãèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè
Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
6.4.1. Ìîäåëü êîëåáàòåëüíîé ðåàêöèè Áåëîóñîâà
Æàáîòèíñêîãî

åàêöèåé Áåëîóñîâà  Æàáîòèíñêîãî íàçûâàåòñÿ êëàññ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé,
ïðîòåêàþùèõ â êîëåáàòåëüíîì ðåæèìå, ïðè êîòîðîì íåêîòîðûå ïàðàìåòðû ðåàêöèè (öâåò, êîíöåíòðàöèÿ êîìïîíåíòîâ, òåìïåðàòóðà è äð.) èçìåíÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêè, îáðàçóÿ ñëîæíóþ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ ñòðóêòóðó ðåàêöèîííîé ñðåäû. Âðåìåííûå êîëåáàíèÿ öâåòà îäíîðîäíîãî ðàñòâîðà, âûçâàííûå êîëåáàíèÿìè êîíöåíòðàöèé èíòåðìåäèàíòîâ (âñïîìîãàòåëüíûõ, èëè ïðîìåæóòî÷íûõ, âåùåñòâ), áûëè âïåðâûå îïèñàíû â ðàáîòå [9℄, ãäå ðàññìàòðèâàëñÿ ïðîöåññ
êàòàëèòè÷åñêîãî îêèñëåíèÿ ëèìîííîé êèñëîòû áðîìàòîì êàëèÿ â ïðèñóòñòâèè
èîíîâ öåðèÿ.  [24, 25℄ áûëè îïèñàíû ðàçëè÷íûå îðãàíè÷åñêèå êèñëîòû è
èîíû ìåòàëëîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â òàêèõ ðåàêöèÿõ. Ñëîæíåéøèé ìåõàíèçì ïðîòåêàíèÿ ïîäîáíûõ ðåàêöèé áûë äåòàëüíî èçó÷åí â [232, 233℄.
Ïðèâåäåì äàëåå êðàòêîå îïèñàíèå ðåàêöèè, ïðåäñòàâëåííîå â [393℄. åàêöèþ ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà äâà ïðîöåññà, ñêàæåì, ïðîöåññ I è ïðîöåññ II.

− ïðåâûñèò íåêîòîðûé êðèòè÷åñêèé óðî−
âåíü, íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ I, â êîòîðîì áðîìàò-èîí BrO3 âîññòàíàâëèâàåòñÿ äî
Êîãäà êîíöåíòðàöèÿ áðîìèä-èîíîâ Br

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

376

áðîìà Br2 ÷åðåç èíòåðìåäèàò áðîìèñòóþ êèñëîòó HBrO2 è ïðîèñõîäèò áðîìèðîâàíèå ìàëîíîâîé êèñëîòû CH2 (COOH)2 .  òå÷åíèå ïðîöåññà I òàêæå èäåò
ñëàáîå îêèñëåíèå èîíîâ öåðèÿ Ce(III) (â ñëó÷àå æåëåçà èñïîëüçóåòñÿ ñîñòîÿíèå
Fe(II)). Òàêèì îáðàçîì, â ïðîöåññå I ðàñõîäóþòñÿ áðîìèä-èîíû è, êîãäà èõ
êîíöåíòðàöèÿ äîñòàòî÷íî ñíèçèòñÿ, íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ II.  íåì áðîìèñòàÿ

•

êèñëîòà è áðîìàò-èîíû îáðàçóþò áðîìàò-ðàäèêàëû BrO2 , êîòîðûå îêèñëÿþò
èîíû öåðèÿ Ce(III) äî Ce(IV) (â ñëó÷àå æåëåçà  ñîñòîÿíèå Fe(II) äî ñîñòîÿíèÿ Fe(III)) ñ àâòîêàòàëèòè÷åñêèì îáðàçîâàíèåì áðîìèñòîé êèñëîòû. Êîãäà
âåñü Ce(III) îêèñëåí äî Ce(IV), à êîíöåíòðàöèÿ áðîìèä-èîíîâ îñòàåòñÿ íèçêîé, Ce(IV) âñòóïàåò â ðåàêöèþ ñ áðîììàëîíîâîé êèñëîòîé, âíîâü îáðàçóÿ èîíû Ce(III) è áðîìèä-èîíû. Êîãäà êîíöåíòðàöèÿ áðîìèä-èîíîâ âíîâü ïðåâûñèò
íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå, ñíîâà íà÷íåòñÿ ïðîöåññ I è öèêë ïîâòîðèòñÿ.
 ðàáîòå [588℄, èñïîëüçóÿ åððîèí â êà÷åñòâå êàòàëèçàòîðà è ìàëîíîâóþ
êèñëîòó, áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî åñëè ðåàãèðóþùóþ ñìåñü ðàçìåñòèòü òîíêèì
ïëîñêèì ñëîåì, òîëùèíîé ïðèìåðíî 2 ìì, òî â í¼ì âîçíèêàþò êðóãîâûå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå âîëíû. åàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü äëÿ èçó÷åíèÿ
òàêèõ âîëí áûëà ïðåäëîæåíà â [234℄, à åå áåçðàçìåðíàÿ è óïðîùåííàÿ îðìà  â
[393℄. Áîëåå ñëîæíàÿ ìîäåëü, ó÷èòûâàþùàÿ ýåêòû çàïàçäûâàíèÿ â ïðîöåññå
îáðàçîâàíèÿ áðîìèñòîé êèñëîòû è îáîáùàþùàÿ áåçðàçìåðíóþ ìîäåëü [393℄,
îïèñûâàåòñÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé [348, 372, 520,
568, 593℄:

ãäå

u = u(x, t)

è

è áðîìèä-èîíîâ

ut = uxx + u(1 − u − bv̄),
vt = vxx − cuv,

v̄ = v(x, t − τ ),

(6.4.1.1)

v = v(x, t)  áåçðàçìåðíûå êîíöåíòðàöèè áðîìèñòîé êèñëîòû
ñîîòâåòñòâåííî (0 6 u, v 6 1), b > 0 è c > 0  íåêîòîðûå

áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû, äèàïàçîíû èçìåíåíèÿ êîòîðûõ óêàçàíû, íàïðèìåð, â
[393℄:

b  îò 5

äî 50,

c  îò 2.5

äî 12.5.

6.4.2. Ìîäåëè êðîâåòâîðåíèÿ òèïà Ìýêêè ëàññà
Äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ãîìîãåííîé ïîïóëÿöèè çðåëûõ öèðêóëèðóþùèõ êëåòîê
êðîâè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå, îáîáùàþùåå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.3.1):

ut = auxx − γu + β0

θn w
+ wn

θn

,

w = u(t − τ ).

(6.4.2.1)

Ââåäåíèå äèóçèîííîãî ñëàãàåìîãî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ïåðåìåùåíèå êëåòîê èç
îáëàñòè âûñîêîé êîíöåíòðàöèè â îáëàñòü íèçêîé êîíöåíòðàöèè.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (6.4.2.1) ïðè

a = 1 â ñëó÷àå îäíîðîäíûõ

ãðàíè÷íûõ óñëîâèé

âòîðîãî ðîäà ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû [536℄:

1◦ . Åñëè 0 < β0 /γ 6 1, òî u → 0 ïðè t → ∞ ðàâíîìåðíî ïî x.
n
1/n ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì
2◦ . Åñëè 1 < β0 /γ 6 n−1
, òî u∗ = θ[(β0 − γ)/γ]
ïîëîæèòåëüíûì ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ è ëþáîå ðåøåíèå ðàâíîìåðíî ïî x
ñòðåìèòñÿ ê u∗ ïðè t → ∞.

6.4. Äðóãèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì

377

β0−1 γτ [β0 (n − 1) − nγ] > e−γτ −1 , òî ëþáîå ðåøåíèå
îñöèëëèðóåò âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ u∗ .
4◦ . Åñëè β0 /γ > 1, òî ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.4.2.1), íå îñöèëëèðóþùåå âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ u = u∗ , ðàâíîìåðíî ïî x ñòðåìèòñÿ ê u∗
ïðè t → ∞.
3◦ . Åñëè

n
n−1

< β0 /γ

è

 [469℄ áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Ñóùåñòâóåò λ∗ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ λ > λ∗ óðàâíåíèå (6.4.2.1)
èìååò ïîëîæèòåëüíûé ìîíîòîííûé ðîíò u = U (z), z = x + λt, áåãóùèé îò
u = 0 äî u = u∗ , åñëè âûïîëíåíî îäíî èç äâóõ ïàð óñëîâèé:
1) 1 < β0/γ 6 ∞ è 0 < n 6 1;
2) 1 < β0/γ 6 n/(n − 1) è n > 1.
Òåîðåìà.

Ñèñòåìà äâóõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì, îïè-

ñûâàþùàÿ äèíàìèêó ïðîèçâîäñòâà ïëþðèïîòåíòíûõ ñòâîëîâûõ êëåòîê è îáîáùàþùàÿ ñèñòåìó ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì (6.1.3.5), èìååò âèä:

ut = auxx − δu −
vt = avxx − γv +

β0 θn u
θn + un
β0 θn u
θn + un

+
−

2β0 θn w −γτ
e
,
θn + wn
n
β0 θ w −γτ
e
,
θn + wn

w = u(x, t − τ ); u = u(x, t)  ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè êëåòîê àçû
v = v(x, t)  ïëîòíîñòü ïîïóëÿöèè êëåòîê àçû ïðîëèåðàöèè.
ãäå

(6.4.2.2)

ïîêîÿ

G0 ,

Óðàâíåíèÿ âèäà (6.4.2.1) è (6.4.2.2) èçó÷àëèñü, íàïðèìåð, â [349, 350, 415,
543℄.

6.4.3. Ìîäåëü òåðìè÷åñêîé îáðàáîòêè ìåòàëëè÷åñêèõ ëèñòîâ
Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà òåðìè÷åñêîé îáðàáîòêè ìåòàëëè÷åñêèõ ëèñòîâ èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå [525, 535, 565, 603℄:

ut = auxx + g(w1 )ux + c[f (w2 ) − u], t > 0,
w1 = u(x, t − τ1 ), w2 = u(x, t − τ2 ),

0 < x < 1,

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà

u(0, t) = u(1, t) = 0

ïðè

t > 0,

è íà÷àëüíûì óñëîâèåì

u(x, t) = ϕ(x, t)

ïðè

−τmax 6 t 6 0

(0 < x < 1).

u(x, t)  ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ìåòàëëè÷åñêîì ëèñòå; τ1 > 0 è
τ2 > 0  âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ, τmax = max{τ1 , τ2 }; g(w1 )  ñêîðîñòü ëèñòà,
f (w2 )  óíêöèÿ ðàñïðåäåëåííîãî èñòî÷íèêà.
Çäåñü

Ïðîöåññ ïðîòåêàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì [603℄. Ìåòàëëè÷åñêèé ëèñò ïîñòóïàåò â ïå÷ü è ïîäâåðãàåòñÿ òåðìè÷åñêîé îáðàáîòêå. Ïðè ýòîì êîíòðîëëåð íàãðåâàòåëÿ îáåñïå÷èâàåò æåëàåìîå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû,

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

378

à êîíòðîëëåð ñêîðîñòè ðåãóëèðóåò ñêîðîñòü ïðîõîæäåíèÿ ëèñòà ÷åðåç ïå÷ü.
Äàò÷èêè òåìïåðàòóðû, ðàçìåùåííûå âäîëü ìåòàëëè÷åñêîãî ëèñòà, ïåðåäàþò
èíîðìàöèþ íà êîìïüþòåð, êîòîðûé ãåíåðèðóåò ñîîòâåòñòâóþùèå ñèãíàëû äëÿ
êîíòðîëëåðîâ íàãðåâàòåëÿ è ñêîðîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó ìîìåíòîì ñíÿòèÿ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû è ïîñòóïëåíèåì ñèãíàëà íà êîíòðîëëåðû ïðîõîäèò
îïðåäåëåííîå âðåìÿ, êîòîðîå ó÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ âðåìåí çàïàçäûâàíèÿ.

6.4.4. Ìîäåëü ïèùåâîé öåïè
 [327℄ ïðåäëîæåíà ðåàêöèîííî-äèóçèîííàÿ ìîäåëü ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ

n+1 âèäà æèâûõ îðãàíèçìîâ 
ui , i = 1, . . . , n − 1, à
îðãàíè÷åñêèõ è íåîðãàíè÷åñêèõ âåùåñòâ vj ,

îïèñàíèÿ ïðîñòîé ïèùåâîé öåïè, ñîñòîÿùåé èç
çîîïëàíêòîíà

z,

èòîïëàíêòîíà

un

n âèäîâ ðàñòâîðåííûõ
j = 1, . . . , n è äåòðèòà d (îñòàíêîâ

òàêæå èç

è ìèêðîîðãàíèçìîâ

âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ æèâûõ îðãàíèçìîâ).

ui (i = 1, . . . , n − 1) ïèòàåòñÿ âåùåñòâîì vi ,
âåùåñòâîì vn , çîîïëàíêòîí z ïèòàåòñÿ èòîïëàíê-

Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìèêðîîðãàíèçì
èòîïëàíêòîí
òîíîì

un .

un

ïèòàåòñÿ

Âåùåñòâî

v1

ñîñòîèò èç ðàñòâîðåííûõ îðãàíè÷åñêèõ âåùåñòâ, îá-

d, à òàêæå
z . Âåùåñòâî vj , j = 2, . . . , n, ÿâëÿåòñÿ ïðîäóêòîì ìåòàáîëèçìà ìèêðîîðãàíèçìà uj−1 .
Ìîäåëèðîâàíèå n + 1 óðîâíÿ æèâûõ îðãàíèçìîâ, äåòðèòà è n âåùåñòâ âåäåòñÿ
ðàçóþùèõñÿ â ðåçóëüòàòå ÷àñòè÷íîãî ðàñïàäà ìåðòâûõ îðãàíèçìîâ

â ðåçóëüòàòå æèçíåäåÿòåëüíîñòè èòîïëàíêòîíà

un

è çîîïëàíêòîíà

â òåðìèíàõ ñîäåðæàíèÿ â íèõ àçîòà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîòîê âåùåñòâà
îò óðîâíÿ ê óðîâíþ èçìåíÿåòñÿ ñîãëàñíî ãèïîòåçå Ëîòêè  Âîëüòåððû êàê
ïðîèçâåäåíèå âçàèìîäåéñòâóþùèõ êîìïîíåíò, ÷òî ïðèâîäèò ê íåëèíåéíîñòè
ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Â [327℄ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ óêàçàííîé ïðîñòîé ïèùåâîé öåïè áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ
ñèñòåìó ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì:

∂ui
∂t
∂un
∂t

∂v1
∂t

∂vj
∂t
∂z
∂t

= aui

∂ 2 ui
∂x2

+ ui (x, t − τui )Ui (vi (x, t − τui )) −

− ui (x, t − τei )Ei (vi (x, t − τei )) − ui (x, t)Mi (vi (x, t)),
= aun

2

∂ un
∂x2

+ un (x, t − τun )Un (vn (x, t − τun )) −

i = 1, . . . , n − 1;

− un (x, t − τen )En (vn (x, t − τen )) − un (x, t)Mn (vn (x, t)) −
− z(x, t − τuz )Uz (un (x, t − τuz ));
= av1

∂ 2 v1
∂x2

+ z(x, t − τez )Ez (un (x, t − τez )) +

+ un (x, t − τen )En (vn (x, t − τen )) + Kd(x, t − τk1 ) −
− u1 (x, t − τu1 )U1 (v1 (x, t − τu1 ));
= avj

∂ 2 vj
∂x2

+ uj−1 (x, t − τej−1 )Ej−1 (vj−1 (x, t − τej−1 )) −

− uj (x, t − τuj )Uj (vj (x, t − τuj )),

∂2z
= a1 2
∂x

j = 2, . . . , n;

+ z(x, t − τuz )Uz (un (x, t − τuz )) −

− z(x, t − τez )Ez (un (x, t − τez )) − z(x, t)Mz (un (x, t));

6.4. Äðóãèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå íåëèíåéíûìè Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
∂d
∂t

∂2d
= a2 2
∂x

+

n
X
i=1

0 < x < 1,

379

ui Mi (vi ) + zMz (un ) − Kd(x, t − τk1 );
t > 0,

ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà

∂ui
∂v
∂z
∂d
= j
=
=
=
∂x x=0, 1
∂x x=0, 1
∂x x=0, 1
∂x x=0, 1
è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïðè

0

−τmax 6 t 6 0:

ui = ϕi (x) > 0, i = 1, . . . , n; vj = ϕn+j (x) > 0, j = 1, . . . , n;
z = ϕ2n+1 (x) > 0; d = ϕ2n+2 (x) > 0 (0 6 x 6 1),
ãäå

ui = ui (x, t), vj = vj (x, t), z = z(x, t), d = d(x, t)  êîíöåíòðàöèè∗

ïåðåðà-

áàòûâàåìîé ìàòåðèè â ìèêðîîðãàíèçìàõ, äîñòóïíûõ ïèòàòåëüíûõ âåùåñòâàõ,

τui è τuz  âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ ïðè
ïîòðåáëåíèè âåùåñòâ i-ì îðãàíèçìîì (i = 1, . . . , n) è çîîïëàíêòîíîì, τei è τez 
âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ ïðè âûäåëåíèè âåùåñòâ i-ì îðãàíèçìîì (i = 1, . . . , n)
è çîîïëàíêòîíîì, τk1  âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ ïðè ðàñïàäå äåòðèòà, τmax  ìàêñèìàëüíûé êîýèöèåíò çàïàçäûâàíèÿ âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ ïèùåâîé öåïè, K 
íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ôóíêöèè Ui è Uz îïðåäåëÿþò ñêîðîñòè ïîòðåáëåíèÿ âåùåñòâ i-ì îðãàíèçìîì (i = 1, . . . , n) è çîîïëàíêòîíîì, óíêöèè Ei è Ez 
ñêîðîñòè âûäåëåíèÿ âåùåñòâ i-ì îðãàíèçìîì (i = 1, . . . , n) è çîîïëàíêòîíîì,
óíêöèè Mi è Mz  ñêîðîñòè ñìåðòíîñòè i-ãî îðãàíèçìà (i = 1, . . . , n) è çîî-

çîîïëàíêòîíå è äåòðèòå, ñîîòâåòñòâåííî;

ïëàíêòîíà.  ðàáîòå [327℄ èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé äàííîé çàäà÷è,
ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.

6.4.5. Ìîäåëè èñêóññòâåííîé íåéðîííîé ñåòè
åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì è ñèñòåìû òàêèõ óðàâíåíèé øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè èñêóññòâåííûõ íåéðîííûõ ñåòåé, ðåçóëüòàòû êîòîðîé ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ îáðàáîòêè ñèãíàëîâ è èçîáðàæåíèé, â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ, â ðàáîòå àññîöèàòèâíîé ìàøèííîé
ïàìÿòè, ïðè îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè äâèæóùèõñÿ îáúåêòîâ. Çàïàçäûâàíèå âîçíèêàåò â èñêóññòâåííûõ íåéðîííûõ ñåòÿõ èç-çà êîíå÷íîé ñêîðîñòè ïåðåêëþ÷åíèÿ
óñèëèòåëåé è êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà ìåæäó íåéðîíàìè.
Ìíîãèå ìîäåëè èñêóññòâåííûõ íåéðîííûõ ñåòåé îñíîâàíû íà îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ñ çàïàçäûâàíèåì (ñì., íàïðèìåð, [113, 170,
171, 366, 567, 599℄ è ññûëêè â íèõ). Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òðåáóåòñÿ ââåäåíèå äèóçèîííîãî ÷ëåíà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ó÷åñòü äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ
â àñèììåòðè÷íîì ìàãíèòíîì ïîëå.  [344, 365, 367, 538, 570, 579℄ èçó÷àåòñÿ
∗

Çäåñü äëÿ íàãëÿäíîñòè âåùåñòâà è èõ êîíöåíòðàöèè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâî.

6. Ì ÎÄÅËÈ È ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

380

êëàññ ìîäåëåé èñêóññòâåííûõ íåéðîííûõ ñåòåé, êîòîðûé îáúåäèíÿåò íåéðîííóþ ñåòü Õîïèëäà è êëåòî÷íûå íåéðîííûå ñåòè è îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé

∂ui
∂t

=

3

X
∂
k=1

∂xk

∂u
aik i
∂xk



− bi u i +

n
X
j=1

ūji = uj (x, t − τij ),

cij fj (uj ) +

n
X

dij gj (ūji ) + Ii (t),

j=1

x ∈ Ω,

t > 0,
(6.4.5.1)

ui = ui (x, t)  óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ i-ãî íåéðîíà ñåòè (i = 1, . . . , n), aik =
= aik (x, t, u) > 0  ãëàäêèå óíêöèè, ìîäåëèðóþùèå äèóçèîííûå îïåðàòîðû
òðàíñìèññèè âäîëü i-ãî íåéðîíà, bi > 0  ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïîòåíöèàë i-ãî
ãäå

íåéðîíà, èçîëèðîâàííîãî îò ñåòè è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, äîñòèãíåò ñîñòî-

cij , dij  êîíñòàíòû, õàðàêòåðèçóþùèå âçàèìîäåéñòâèå íåéðîíîâ,
fj (uj ) è gj (ūji )  óíêöèè àêòèâàöèè j -ãî íåéðîíà, Ii (t)  óíêöèè âíåøíåãî
âîçäåéñòâèÿ íà i-é íåéðîí, τij = τij (t)  âðåìåíà çàïàçäûâàíèÿ, Ω  çàìêíóòàÿ
3
îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R ñ ãðàíèöåé ∂Ω. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò âèä
ÿíèÿ ïîêîÿ,

ui (x, t) = ϕi (x, t)

ïðè

− max τij 6 t 6 0,
i,j

x ∈ Ω.

ðàíè÷íûå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü êàê ïåðâîãî ðîäà

ui (x, t) = 0

x ∈ ∂Ω,

äëÿ

t > 0,

òàê è âòîðîãî ðîäà

∂ui
∂n

=0

äëÿ

x ∈ ∂Ω,

t > 0.

Çàìå÷àíèå 6.10.  [580℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà (6.4.5.1), ñîäåðæàùàÿ èñ-

êîìûå óíêöèè ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàïàçäûâàíèÿìè

ūji = uj (x, pi t) (0 < pi < 1).

 [503℄ ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ íåéðîííûõ ñåòåé äâóíàïðàâëåííîé àññîöèàòèâíîé ïàìÿòè, îïèñûâàåìûé ðåàêöèîííî-äèóçèîííîé ñèñòåìîé ñ çàïàçäûâàíèåì

3
m


X
X
∂
∂u
cji fj (v̄ji ) + Ii (t),
aik i − bi ui +

∂ui
∂t

=

∂vj
∂t

n
3


X
X
∂
∗ ∂vj
∗
dij gi (ūij ) + Jj (t),
ajk
− bj vj +
=

k=1

k=1

∂xk

∂xk

∂xk

∂xk

ūij = ui (x, t − τij∗ ),

i = 1, . . . , n;

j=1

i=1

v̄ji = vj (x, t − τji ),

x ∈ Ω,

j = 1, . . . , m;
t > 0.

Ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ ãëîáàëüíîé ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû è
óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé.
Çàìå÷àíèå 6.11. Äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíàÿ ìîäåëü äèóçèè (òåïëîïðîâîä-

íîñòè) ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè, êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì
â äèóçèîííîì ÷ëåíå, îáñóæäàëàñü â ðàçä. 2.3.
Çàìå÷àíèå 6.12. Ñèñòåìà ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çà-

ïàçäûâàíèåì èññëåäîâàëàñü â [533℄.

Ïðèëîæåíèå. Ñïðàâî÷íûå òàáëèöû
ïî òî÷íûì ðåøåíèÿì Óð×Ï âòîðîãî
ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

Ï.1. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ

Ï.1.1. Óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
1.

ut = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w + f (x, t),

w = u(x, t − τ ).

Ëèíåéíîå îäíîìåðíîå óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ
íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà è ïðîèçâîëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
ïåðâîãî ðîäà íà îòðåçêå

0 6 x 6 h

îïèñàíî â ðàçä. 2.2.1. åøåíèÿ äðóãèõ

íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàçä. 2.2.2.

2.

ut = a1 ∆u + a2 ∆w + c1 u + c2 w + f (x, t),

w = u(x, t − τ ).

m-ìåðíîå óðàâíåíèå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî
òèïà ñ ïîñòîÿííûì
Pm ∂ 2 u
çàïàçäûâàíèåì, ãäå x = (x1 , . . . , xm ), ∆u ≡
i=1 ∂x2 . Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ

Ëèíåéíîå

i

ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýòîãî è áîëåå ñëîæíûõ ðîäñòâåííûõ
óðàâíåíèé îïèñàíà â ðàçä. 2.2.3.

3.

utt = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,

w = u(x, t − τ ).

Ëèíåéíîå îäíîìåðíîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì. Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ýòîãî
óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà è îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè íà îòðåçêå

06x6h

îïèñàíî â ðàçä. 2.2.1.

Ï.1.2. Óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

1.

ut = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,

w = u(x, pt).

Ëèíåéíîå îäíîìåðíîå ðåàêöèîííî-äèóçèîííîå óðàâíåíèå ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì,

0 < p < 1.

åøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ýòîãî

óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì îáùåãî âèäà è ðàçëè÷íûìè îäíîðîäíûìè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íà îòðåçêå

06x6h

381

ïðèâåäåíû â ðàçä. 2.4.2 è 2.4.3.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

382

2.

utt = a1 uxx + a2 wxx + c1 u + c2 w,

w = u(x, pt).

Ëèíåéíîå îäíîìåðíîå óðàâíåíèå âîëíîâîãî òèïà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì,

0 < p < 1.

Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è

äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè îáùåãî âèäà è îäíîðîäíûìè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà íà îòðåçêå

0 6 x 6 h îïèñàíî â ðàçä. 2.4.4.

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì
çàïàçäûâàíèåì
f = f (z), g = g(z), h = h(z)  ïðîèçâîëüíûå
σ > 0  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, w = u(x, t − τ ).

 ýòîì ðàçäåëå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
óíêöèè,

τ >0

è

Ï.2.1. Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà
◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.

1.

ut = auxx + bu3 + cw 3 .

×àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèÿ 13 ïðè

2.

íèæå.

ut = auxx + buk w 3−k + cum w 3−m .

×àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèÿ 13 ïðè

3.

f (z) = a + bz 3 , ïðèâåäåííîãî

f (z) = bz 3−k + cz 3−m , ïðèâåäåííîãî

íèæå.

ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [449℄:

u(x, t) = exp[ψ2 (t)x2 + ψ1 (t)x + ψ0 (t)],
ãäå óíêöèè

ψn = ψn (t)

îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

ψ2′ = 4aψ22 + bψ2 + cψ̄2 , ψ̄2 = ψ2 (t − τ ),
ψ1′ = 4aψ1 ψ2 + bψ1 + cψ̄1 , ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),

ψ0′ = a[ψ12 + 2ψ2 ] + bψ0 + cψ̄0 + d,

4.

ψ̄0 = ψ0 (t − τ ).

ut = auxx + u(b ln2 u + c ln u + d ln w + s).
1◦ .

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A cos(λx) + B sin(λx),

λ=

p

b/a,

ab > 0 [449℄:

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

ψn = ψn (t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

383

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,
ψ2′

2◦ .

2

= b(A + B

2

)ψ12

+

bψ22

ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),

+ cψ2 + dψ̄2 + s,

ψ̄2 = ψ2 (t − τ ).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A ch(λx) + B sh(λx),
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

λ=

p

−b/a,

ψn = ψn (t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

ab < 0 [449℄:

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,
ψ2′

Ïðè

2

= b(A − B

A = ±B

èìååì

2

)ψ12

+

bψ22

ψ̄1 = ψ1 (t − τ ),

+ cψ2 + dψ̄2 + s,

ϕ(x) = Ae±λx .

 ýòîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû

ñòàíîâèòñÿ íåçàâèñèìûì, à ïåðâîå  ëèíåéíûì äëÿ

⊲

ψ̄2 = ψ2 (t − τ ).

ψ1 .

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.

5.

ut = auxx + f (u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.2.2.12) è [450℄.

6.

ut = auxx + f (u − v),

v = u(x − σ, t).

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = Ct + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − C + f (ϕ − ϕ̄) = 0,
2◦ .

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

àññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò òàêæå áîëåå îáùåå ðåøåíèå ñ àääè-

òèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u = αx + βt + θ(z),
ãäå

α, β , γ , λ  ïðîèçâîëüíûå

z = λx + γt,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ(z) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

7.

′′
aλ2 θzz
− γθz′ − β + f (ασ + θ − θ̄) = 0,

ut = auxx + bu + f (u − w).

θ̄ = θ(z − λσ).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèÿ (3.2.2.16),
(3.4.2.19) è [450, 451℄.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

384

8.

ut = auxx + bu + f (u − kw),

k > 0.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.31) è [451℄.

9.

ut = auxx + bu + f (u + kw),

k > 0.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.38) è [451℄.

10.

ut = auxx + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèÿ (3.2.2.1),
(3.4.2.1) è [450℄.

11.

v = u(x − σ, t).

ut = auxx + uf (v/u),
1◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + ϕ[f (ϕ̄/ϕ) − λ] = 0,
2◦ .

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

àññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò òàêæå áîëåå îáùåå ðåøåíèå ñ ìóëü-

òèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u = eαx+βt θ(z),
ãäå

α, β , γ , λ  ïðîèçâîëüíûå

z = λx + γt,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ(z) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

12.

′′
aλ2 θzz
+ (2aαλ − γ)θ ′ + aα2 θ + θf (e−ασ θ̄/θ) = 0,

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u).

θ̄ = θ(z − λσ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.2.2.8) è [449, 450℄.

13.

ut = auxx + u3 f (w/u).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [454℄:

u = xU (z),
ãäå óíêöèÿ
âàíèåì

14.

U (z)

z =t+

1 2
x ,
6a

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäû-



U ′′ (z) + 9aU 3 (z)f U (z − τ )/U (z) = 0.

ut = auxx − cu ln u + uf (w/uk ),

1◦ . Ýòî óðàâíåíèå ïðè

c = (ln k)/τ

k > 0.

äîïóñêàåò ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [454℄:

u = exp(Ae−ct )ϕ(x),

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

385

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì àâòîíîìíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

aϕ′′xx − cϕ ln ϕ + ϕf (ϕ1−k ) = 0.
2◦ .

Ýòî óðàâíåíèå ïðè

c = (ln k)/τ

äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå [386℄:

u = exp(Axe−ct )ψ(t),
ãäå

A  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

⊲

15.




ψ ′ (t) = ψ(t) A2 ae−2ct − c ln ψ(t) + f ψ(t − τ )ψ −k (t) .

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå èëè òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

ut = auxx + uf (u − w) + wg(u − w) + h(u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.40) è [451℄.

16.

ut = auxx + uf (u − kw) + wg(u − kw) + h(u − kw),

k > 0.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.43) è [451℄.

17.

ut = auxx + uf (u + kw) + wg(u + kw) + h(u + kw),

k > 0.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.45) è [451℄.

18.

ut = auxx + uf (u2 + w 2 ) + wg(u2 + w 2 ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.2.48) è [451℄.

19.

ut = [a(x)ux]x + b(x)f (u − w).
1◦ .

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â çàìêíóòîì

âèäå [430℄:

u=t+
2◦ .

Z

g(x) dx,

g(x) =

1
a(x)

h

x − f (τ )

Z

i
b(x) dx .

Áîëåå ñëîæíîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = ϕ(x)t + ψ(x),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

[a(x)ϕ′x ]′x = 0,
[a(x)ψx′ ]′x = ϕ − b(x)f (τ ϕ).
Ýòè óðàâíåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ëåãêî èíòåãðèðóþòñÿ.

386

20.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
ut = [a(x)ux]x + b(x)uf (w/u).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [430℄:

u = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûì

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

21.

[a(x)ϕ′x ]′x + [f (e−λτ )b(x) − λ]ϕ = 0.

ut = [a(x)ux]x + b(x)u + uf (w/u).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëèíåéíûì ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà è íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì:

[a(x)ϕ′x ]′x + b(x)ϕ = C1 ϕ;
ψt′ = C1 ψ + ψf (ψ̄/ψ), ψ̄ = ψ(t − τ ),
C1  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ. Íåëèíåéíîå ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò

÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäà

⊲

22.

ψ = C2 eλt .

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

ut = auxx + uf (u − kw, w/u),

k > 0.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ïðèâåäåíû â [454℄.

23.

ut = auxx + uf (u + kw, w/u),

k > 0.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ïðèâåäåíû â [454℄.

24.

ut = auxx + uf (u2 − k2 w 2 , w/u).

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ïðèâåäåíû â [454℄.

25.

ut = auxx + x2 f (u, w).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [429℄:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z =t+

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì àâòîíîìíîãî âèäà

′′
Uzz
+ af (U, W ) = 0,

26.

1 2
x ,
2a

ut = uxx + th2 (kx)f (u, w).

W = U (z − τ ).

Òî÷íîå ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [430℄:

u = U (z),

z = t + k−2 ln ch(kx),

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì àâòîíîìíîãî âèäà

′′
Uzz
− k2 Uz′ + k2 f (U, W ) = 0,

27.

387

ut = [a(x)ux]x +

x2
f (u, w)
a(x)

W = U (z − τ ).

.

Òî÷íîå ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [430℄:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z =t+

x
a(x)

dx,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì àâòîíîìíîãî âèäà

′′
Uzz
+ f (U, W ) = 0,

28.

Z

W = U (z − τ ).

ut = [a(x)ux]x + uf (x, u − w) + g(x, u − w).

åøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = ϕ(x)t + ψ(x),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

[a(x)ϕ′x ]′x + ϕf (x, τ ϕ) = 0,
[a(x)ψx′ ]′x + ψf (x, τ ϕ) + g(x, τ ϕ) − ϕ = 0.
◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.

1.

ut = [(a1 u + a0 )ux ]x + b1 u + b2 w .

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.1.10).

2.

ut = [(a1 u + a0 )ux ]x + ku2 + b1 u + b2 w .

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.1.12).

3.

ut = a(un ux )x + bun+1 + cu + ku1−n + mu1−n w n .

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.2.3).

4.

ut = a(eλu ux )x + beλu + c + ke−λu + mw λ(w−u) .

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.2.7).

388

⊲

5.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.

ut = a(u−1/2 ux )x + bu1/2 + f (u1/2 − w 1/2).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.18) è [456℄.

6.

ut = a(uk ux )x + uf (w/u).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.2) è [456℄.

7.

ut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.6) è [456℄.

8.

ut = a(uk ux )x + b + u−k f (uk+1 − w k+1 ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.12) è [456℄.

9.

ut = a(uk ux )x + buk−2n+1 + u1−n f (un − w n ),

b(n − k − 1) > 0.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [71℄:

1/n

u = [±λx + ψ(t)]
ãäå óíêöèÿ

10.

ψ = ψ(t)

,

λ=

r

bn2
,
a(n − k − 1)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = nf (ψ − ψ̄),

ut = a(eλu ux )x + f (u − w).

ψ̄ = ψ(t − τ ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.21) è [456℄.

11.

ut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.26) è [456℄.

12.

ut = a(eλu ux )x + b + e−λu f (eλu − eλw ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.30) è [456℄.

13.

ut = a(eλu ux )x + be(λ−2γ)u + e−γu f (eγu − eγw ),

b(γ − λ) > 0.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [71℄:

u=
ãäå óíêöèÿ

14.

ψ = ψ(t)

1
γ

ln[±kx + ψ(t)],

k=

r

bγ 2
,
a(γ − λ)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = γf (ψ − ψ̄),

ψ̄ = ψ(t − τ ).

ut = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.4.23) è [456℄.

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

15.

b

ut = [f ′ (u)ux ]x + a1 f (u) + a2 f (w) + a3 +

f ′ (u)



389

f (u) − f (w)

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.48) è [456℄.

16.

ut = [f ′ (u)ux]x + a[f (u) − f (w)] +



.


1 
b f (u) + b2 f (w) + b3
f ′ (u) 1

.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.52) è [456℄.

17.

ut = [ufu′ (u)ux ]x +

1
[af (u) +
fu′ (u)

bf (w) + c].

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.39) è [456℄.

18.

ut = [uf ′ (u)ux]x + (a + b)u +

2
[af (u) +
f ′ (u)

bf (w) + c].

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.43) è [456℄.

19.

1
[c1 f (u) + c2 f (w) + c3 ],
′ (u)
f
Z

ut = [g(u)ux]x +

g(u) = f ′ (u) [af (u) + b] du.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.61) è [456℄.

⊲

20.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

ut = a(u−1/2ux )x + f (u1/2 − w 1/2) + u1/2 g(u1/2 − w 1/2 ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.65) è [456℄.

21.

ut = a(uk ux )x + uf (w/u) + uk+1 g(w/u).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.63) è [456℄.

22.

ut = a(uk ux )x + f (uk+1 − w k+1 ) + u−k g(uk+1 − w k+1 ),

k 6= −1.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.67) è [456℄.

23.

ut = a(eλu ux )x + f (u − w) + eλu g(u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.69) è [456℄.

24.

ut = a(eλu ux )x + f (eλu − eλw ) + e−λu g(eλu − eλw ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.71) è [456℄.

25.

ut = [h(u)ux ]x −

1
g ′ (u)

Z

[c1 g(u) + c2 g(w)] +

h(u) = g (u) [ag(u) + b] du.
′

1
g ′ (u)



f g(u) − g(w) ,

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.78) è [456℄.

390

⊲

26.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå òðè è áîëåå ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé.

ut = [a(x)uk ux ]x + b(x)uk+1 + uf (w/u).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [443℄:

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì

27.

[a(x)ηx′ ]′x + (k + 1)b(x)η = 0, η = ϕk+1 ;


ψt′ (t) = ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

ut = [a(x)eβu ux ]x + b(x)eβu + f (u − w).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=
ãäå óíêöèè

1
β

ln ϕ(x) + ψ(t),

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëèíåéíûì ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà è íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì:

[a(x)ϕ′x ]′x + βb(x)ϕ = Cβ,

C  ïðîèçâîëüíàÿ

28.



ψt′ (t) = Ceβψ + f ψ(t) − ψ(t − τ ) ,

ïîñòîÿííàÿ.



ut = a[f ′ (u)ux ]x + g f (u) − f (w) +

1
f ′ (u)

h f (u) − f (w)




.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.80) è [456℄.

29.





f (u)
ut = a[f ′ (u)ux ]x + f (u)g f (w)/f (u) + ′
h f (w)/f (u) .
f (u)

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.82) è [456℄.

30.

ut = [g(u)ux]x −

a2
d
f ′ (u) du

h

g(u)
f ′ (u)

i

+

1
h
f ′ (u)

f (u) − f (w)




.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.85) è [456℄.

31.



ut = [a(x)f ′ (u)ux ]x + b(x)g f (u) − f (w) +

1
f ′ (u)

h f (u) − f (w)

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [443℄.

32.




.




f (u)
ut =[a(x)f ′(u)ux]x+b(x)f (u)g f (w)/f (u) + ′ h f (w)/f (u) .

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [443℄.

f (u)

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
◮

391

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè

Íèæå îïèñàíû ìíîãîìåðíûå îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ðàñ-

w = u(x, t − τ ), ∆ =

Pn

div[f (u)∇u]

ðåìåííûìè,

óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì

⊲

x

x

= (x1 , . . . , xn ), u = u( , t),
∂

îïåðàòîð
Ëàïëàñà
ñ n íåçàâèñèìûìè ïåk=1 ∂x2


Pnk
∂
∂u
=
k=1 ∂xk f (u) ∂xk . Äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå

ñìàòðèâàëèñü ðàíåå. Èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ:

n=2

è

n = 3.

Ìíîãîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþóíêöèþ.

1.

.

ut = a ∆u + f (u − w)
◦
1 . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = ϕ(x) + ψ(t),
ãäå óíêöèÿ

óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = aC + f (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(t − τ ),

n-ìåðíîìó

óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ = C,
C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
2◦ . åøåíèå ñ îáîáùåííûì

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)t + ψ(x),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(x)

îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè ñòàöèîíàðíûìè

óðàâíåíèÿìè

∆ϕ = 0,
a ∆ψ + f (τ ϕ) − ϕ = 0.
3◦ .

åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u(x, t) = ϕ(x) + θ(z),
ãäå

k1 ,

...,

kn  ïðîèçâîëüíûå

z = t + k · x,

k·x =

ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ

n
X

kj xj ,

j=1

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ = C,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

θ = θ(z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàç-

äûâàíèåì



a|k|2 θ ′′ (z) − θ ′ (z) + aC + f θ(z) − θ(z − τ ) = 0,

|k|2 = k · k.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

392

2.

ut = a ∆u + bu + f (u − w).

1◦ . Î ðåøåíèè

àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. ÷åòâåðòóþ ñòðîêó

òàáë. 3.4.

2◦ .

åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u(x, t) = ϕ(x) + θ(z),
k1 ,

ãäå

...,

kn  ïðîèçâîëüíûå

ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ

z = t + k · x,

k·x =

ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ

n
X

kj xj ,

j=1

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

åëüìãîëüöà

a ∆ϕ + bϕ = 0,
à óíêöèÿ

θ = θ(z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì



a|k|2 θ ′′ (z) − θ ′ (z) + bϕ(z) + f θ(z) − θ(z − τ ) = 0,

3.

ut = a ∆u + bu + f (u − kw).

1◦ .

Ïóñòü

k > 0 è u0 (x, t)  ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà óíê-

öèÿ

ãäå

|k|2 = k · k.

u = u0 (x, t) + exp(c1 t)ξ(x, t),

c1 = (ln k)/τ,

ξ = ξ(x, t)  ëþáàÿ τ -ïåðèîäè÷åñêàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ

åëüìãîëüöà (ëèíåéíîå Óð×Ï)

ξ(x, t) = ξ(x, t − τ ),

ξt = a ∆ξ + (b − c1 )ξ,

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ [72℄.

2◦ .

Ïóñòü

óíêöèÿ

ãäå

k < 0

è

u0 (x, t)  ðåøåíèå

ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà

u = u0 (x, t) + exp(c2 t)η(x, t),

η = η(x, t)  ëþáàÿ τ -àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ

íåíèþ

c2 = (ln |k|)/τ,
óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâ-

åëüìãîëüöà

ηt = a ∆η + (b − c2 )η,

η(x, t) = −η(x, t − τ ),

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ [72℄.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðè ïîñòðîåíèè òî÷íûõ ðåøåíèé â êà÷åñòâå èñõîäíîé
óíêöèè

u0

ìîæíî, íàïðèìåð, âçÿòü ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå

ñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîå ðåøåíèå

4.

u0 (t).

ut = a ∆u + uf (w/u).

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = ψ(t)ϕ(x ),

u0 (x)

èëè ïðî-

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψf (ψ̄/ψ) + Cψ,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

393

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ

ψ̄ = ψ(t − τ ),

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó

åëüìãîëüöà

a ∆ϕ = Cϕ.
2◦ .

Òî÷íîå ðåøåíèå:

u = exp( · x + βt)θ(z), z = k · x + γt,
= (c1 , . . . , cn ), k = (k1 , . . . , kn ),
Pn
ãäå cj , kj , β , γ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, · x =
j=1 cj xj , à óíêöèÿ θ = θ(z)
óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

5.

′′
a|k|2 θzz
(z) + (2a · k − γ)θz′ (z) + (a| |2 − β)θ(z) +


+ θ(z)f e−βτ θ(z − γτ )/θ(z) = 0, | |2 = · .

ut = a ∆u + bu ln u + uf (w/u).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t)ϕ(x ),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = bψ ln ψ + ψf (ψ̄/ψ) + Cψ,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ψ̄ = ψ(t − τ ),

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó

ñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ

a ∆ϕ + bϕ ln ϕ − Cϕ = 0.

6.

ut = a ∆u + uf (u − kw, w/u),

k > 0.

Î ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ïÿòóþ ñòðîêó òàáë. 3.4.

7.

ut = a ∆u + |x|2 f (u, w),

|x|2 =

n
P

k=1

x2k .

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [429℄:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = nt +

x

1
| |2 ,
2a

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì àâòîíîìíîãî âèäà

′′
Uzz
+ af (U, W ) = 0,

W = U (z − τ ).

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

394

8.

ut = a div(u−1/2 ∇u) + bu1/2 + f (u1/2 − w 1/2).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.94).

9.

ut = a div(uk ∇u) + uf (w/u) + buk+1 .

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.86) è [456℄.

10.

ut = a div(uk ∇u) + b + u−k f (uk+1 − w k+1 ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.91) è [456℄.

ut = a div(uk ∇u) + buk−2m+1 + u1−m f (um − w m ).

11.

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ïðè

b(m − k − 1) > 0:

u = [C · x + ψ(t)]1/m ,
ãäå

C · x = C1 x1 + · · · + Cn xn ,

C1 , . . . , Cn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøå-

íèåì

C12 + · · · + Cn2 =
à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = mf (ψ − ψ̄),

12.

bm2
,
a(m − k − 1)

ψ̄ = ψ(t − τ ).

ut = a div(eλu ∇u) + beλu + f (u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.98) è [456℄.

ut = a div(eλu ∇u) + b + e−λu f (eλu − eλw ).

13.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.101) è [456℄.

14.

ut = a div(eλu ∇u) + be(λ−2γ)u + e−γu f (eγu − eγw ).

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ïðè

u=
ãäå

1
γ

b(γ − λ) > 0:

ln[C · x + ψ(t)],

C · x = C1 x1 + · · · + Cn xn ,

C1 , . . . , Cn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, êîòîðûå ñâÿçàíû îäíèì ñîîòíîøå-

íèåì

C12 + · · · + Cn2 =
à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = γf (ψ − ψ̄),

15.

bγ 2
,
a(γ − λ)

ut = div[uf ′ (u)∇u] +

ψ̄ = ψ(t − τ ).

1
[af (u) +
f ′ (u)

bf (w) + c].

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.104) è [456℄.

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

16.

ut = div[f ′ (u)∇u] + a1 f (u) + a2 f (w) + a3 +

b
f ′ (u)



395

f (u) − f (w)

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.108) è [456℄.

17.

ut = div[f ′ (u)∇u]+a[f (u) −f (w)]+




1 
b f (u) +b2 f (w) +b3
f ′ (u) 1

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.112) è [456℄.

⊲

18.

Ìíîãîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå èëè òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

ut = a ∆u + f (u − kw) + ug(u − kw) + wh(u − kw).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [72℄.

19.

ut = a div(u−1/2 ∇u) + f (u1/2 − w 1/2 ) + u1/2 g(u1/2 − w 1/2).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.116) è [456℄.

20.

ut = a div(uk ∇u) + f (uk+1 − w k+1 ) + u−k g(uk+1 − w k+1 ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.120) è [456℄.

21.

ut = a div(eλu ∇u) + f (u − w) + eλu g(u − w).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.123) è [456℄.

22.

ut = a div(eλu ∇u) + f (eλu − eλw ) + e−λu g(eλu − eλw ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.126) è [456℄.

23.

ut = a div[f ′ (u)∇u] + b +

1
f ′ (u)

g f (u) − f (w)




.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.129) è [456℄.

24.

ut = a div[f ′ (u)∇u] + bf (u) +

f (u)
g
f ′ (u)

f (w)/f (u)




.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.131) è [456℄.

25.



ut = a div[f ′ (u)∇u] + g f (u) − f (w) +

1
f ′ (u)

h f (u) − f (w)




.

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.134) è [456℄.

26.





f (u)
ut = a div[f ′ (u)∇u] + f (u)g f (w)/f (u) + ′
h f (w)/f (u) .
f (u)

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.3.137) è [456℄.

.
.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

396

Ï.2.2. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå îäíó ïðîèçâîëüíóþ óíêöèþ.

1.

w = u(x, t − τ ).

utt = auxx + f (u − w),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. òðåòüþ ñòðîêó òàáë. 3.5,
óðàâíåíèå (3.3.3.5) è [452℄.

2.

utt = auxx + f (u − v),

v = u(x − σ, t).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = C1 t2 + C2 t + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − 2C1 + f (ϕ − ϕ̄) = 0,

3.

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

utt = auxx + bu + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ÷åòâåðòóþ ñòðîêó òàáë.
3.5 â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

4.

utt = auxx + bu + f (u − kw),

k > 0.

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄. Ïðè

b = 0 ñì. òàêæå

óðàâíåíèå (3.3.3.9).

5.

utt = auxx + bu + f (u + kw),

k > 0.

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄. Ïðè

b = 0 ñì. òàêæå

óðàâíåíèå (3.3.3.9).

6.

utt = auxx + f (w/u).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.3.4) è [452℄.

7.

utt = auxx + uf (w/u).
1◦ .

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.4.4.1),

à òàêæå ïåðâóþ ñòðîêó òàáë. 3.5 â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

2◦ .

Ýòî óðàâíåíèå èìååò òàêæå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíè-

åì ïåðåìåííûõ ñìåøàííîãî òèïà:

u = eαx+βt θ(z),

z = λx + γt,

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
ãäå

α, β , γ , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

397

θ(z) óäîâëåòâîðÿåò

ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

8.

′′
(aλ2 − γ 2 )θzz
(z) + 2(aαλ − βγ)θz′ (z) + (aα2 − β 2 )θ(z) +


+ θ(z)f e−βτ θ(z − σ)/θ(z) = 0, σ = γτ.

utt = auxx + uf (v/u),

v = u(x − σ, t).

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = [A ch(λt) + B sh(λt)]ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − λ2 ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,
2◦ .

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = [A cos(λt) + B sin(λt)]ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + λ2 ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,
3◦ .

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

Âûðîæäåííîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = (At + B)ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,

9.

ϕ̄ = ϕ(x − σ).

utt = auxx + bu ln u + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. âòîðóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

10.

utt = auxx + u1−2k f (uk − w k ).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.3.15).

11.

utt = auxx + ebu+cw f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.3.16).

12.

utt = auxx + e−2βu f (beβu + ceβw ).

Î ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (3.3.3.17) è [452℄.

398

⊲

13.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå äâå èëè òðè ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

utt = auxx + uf (u − w) + wg(u − w) + h(u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

14.

k > 0.

utt = auxx + uf (u − kw) + wg(u − kw) + h(u − kw),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

15.

k > 0.

utt = auxx + uf (u + kw) + wg(u + kw) + h(u + kw),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

16.

utt = auxx + uf (u2 + w 2) + wg(u2 + w 2 ).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

17.



utt = auxx + g(u)f h(u) − h(w) ,

g(u) = kh′′ (u)[h′ (u)]−3 .

Òî÷íûå ðåøåíèÿ â íåÿâíîì âèäå [452℄:

h(u) = x + ϕ(z),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

z = t ± a−1/2 x,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì

±2a1/2 ϕ′z + a − kf (ϕ − ϕ̄) = 0,

18.

ϕ̄ = ϕ(z − τ ).

utt = [a(x)ux]x + b(x)u + uf (w/u).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëèíåéíûì ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà è íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì:

[a(x)ϕ′x ]′x + b(x)ϕ = Cϕ;
′′
ψtt
= Cψ + ψf (ψ̄/ψ), ψ̄ = ψ(t − τ ),
C  ïðîèçâîëüíàÿ

19.

ïîñòîÿííàÿ.

a′ (x)
f (u)g(h(u) −
a(x)

utt = [a(x)ux]x + px

h(w)),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [443℄.

h(u) =

Z

du
f (u)

.

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
⊲

20.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ.

utt = auxx + uf (u − w, w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

21.

k > 0.

utt = auxx + uf (u − kw, w/u),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

22.

k > 0.

utt = auxx + uf (u + kw, w/u),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

23.

utt = auxx + uf (u2 − k2 w 2 , w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [452℄.

24.

utt = a(x)uxx + [k2 a(x) − 1]f (u, w).

Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ àâòîíîìíûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
Uzz
+ f (U, W ) = 0,

25.

z = t ± x,

utt = [a(x)ux]x +

h

k2
a(x)

W = U (z − τ ).

i
− 1 f (u, w).

Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [602℄:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z =t±k

26.

dx
,
a(x)

îïèñûâàåòñÿ àâòîíîìíûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
Uzz
+ f (U, W ) = 0,

⊲

Z

W = U (z − τ ).

Óðàâíåíèÿ òåëåãðàíîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì.

utt + cut = auxx + bu + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

27.

utt + cut = auxx + bu + f (u − kw).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

28.

utt + cut = auxx + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

399

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

400

29.

utt + ut = [a(x)ux]x +

h

x2
a(x)

i
− 1 f (u, w).

Òî÷íîå ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [602℄:

u = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z =t+

x dx
,
a(x)

îïèñûâàåòñÿ àâòîíîìíûì ÎÄÓ ñ çàïàçäûâàíèåì

′′
Uzz
+ f (U, W ) = 0,

30.

Z

W = U (z − τ ).

utt + cut = auxx + uf (u − w) + wg(u − w) + h(u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

31.

utt + cut = auxx + uf (u − kw) + wg(u − kw) + h(u − kw),

k > 0.

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

32.

utt + cut = auxx + uf (u + kw) + wg(u + kw) + h(u + kw),

k > 0.

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [71℄.

c(x)utt + d(x)ut = [a(x)ux]x + b(x)ux + uf (x, w/u).

33.

Òî÷íîå ðåøåíèå òèïà ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [602℄:

u = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì



[a(x)ϕ′x ]′x + b(x)ϕ′x + ϕ f (x, e−λτ ) − λ2 c(x) − λd(x) = 0.

◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ òèïà Êëåéíà 

1.

îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì.

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, t − τ ).

1◦ . Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì.
øåñòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5 â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

2◦ .

Äàííîå óðàâíåíèå äîïóñêàåò òàêæå òî÷íîå ðåøåíèå âèäà

u = (x + C)2/k θ(z),
ãäå

C

è

λ  ïðîèçâîëüíûå

z = t + λ ln(x + C),

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

θ = θ(z)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ çàïàçäûâàíèåì

θ ′′ (z) = a

n

(3k + 4)λ k
2(k + 2) k+1
θ (z) +
θ (z)θ ′ (z) +
k2
k

o


+ kλ2 θ k−1 (z)[θ ′ (z)]2 + λ2 θ k (z)θ ′′ (z) + θ(z)f θ(z − τ )/θ(z) .

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

2.

401

utt = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ñåäüìóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

3.

utt = a(eλu ux )x + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. âîñüìóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

4.

utt = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. äåâÿòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

5.

utt = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ïîñëåäíþþ ñòðîêó òàáë.
3.5 â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

6.

utt = a(uk ux )x + uf (w/u) + uk+1 g(w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ïðåäïîñëåäíþþ ñòðîêó
òàáë. 3.5 â ðàçä. 3.2.3 è [452℄.

7.

utt = a(uk ux )x + f (uk+1 − w k+1 ) + u−2k−1 g(uk+1 − w k+1).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [71℄.

8.

utt = a(eλu ux )x + f (eλu − eλw ) + e−2λu g(eλu − eλw ).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû [71℄.

9.

utt = [a(x)uk ux ]x + b(x)uk+1 + uf (w/u).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [443℄:

u = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ

çàïàçäûâàíèåì

10.

[a(x)ηx′ ]′x + (k + 1)b(x)η = 0, η = ϕk+1 ;


′′
ψtt
(t) = ψ(t)f ψ(t − τ )/ψ(t) .

utt = [a(x)eβu ux ]x + b(x)eβu + f (u − w).

Òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u=

1
β

ln ϕ(x) + ψ(t),

402

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ëèíåéíûì ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà è íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàïàçäûâàíèåì:

[a(x)ϕ′x ]′x + βb(x)ϕ = Cβ,

C  ïðîèçâîëüíàÿ

11.



′′
ψtt
(t) = Ceβψ + f ψ(t) − ψ(t − τ ) ,

ïîñòîÿííàÿ.

utt = [a(x)f (u)ux]x + g(F (u) − F (w)) −
F (u) =

Z

f (u) du.

fu′ (u)
h(F (u) −
f 3 (u)

F (w)),

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. [443℄.

⊲

12.

Óðàâíåíèÿ òåëåãðàíîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì.

utt + cut = a(uk ux )x + uf (w/u).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ [71℄.

13.

utt + cut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ [71℄.

14.

utt + cut = a(uk ux )x + uf (w/u) + uk+1 g(u/w).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ [71℄.

15.

utt + cut = a(u−1/2ux )x + f (u1/2 − w 1/2) + u1/2 g(u1/2 − w 1/2 ).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ îáîáùåííûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [71℄.

16.

utt + cut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [71℄.

17.

utt + cut = [(a ln u + b)ux )x − ku ln u + uf (w/u).

Ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ [71℄.

18.

utt + h1 (u)ut = [g(u)ux ]x + h2 (u)ux + f (u, w).

Òàêèå Óð×Ï òåëåãðàíîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì ðàññìàòðèâàëèñü â [84, 441℄,
ãäå áûë îïèñàí ðÿä òî÷íûõ ðåøåíèé òèïà áåãóùåé âîëíû, à òàêæå ðåøåíèé ñ
îáîáùåííûì è óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ. Ìíîãèå ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå óíêöèè.

Ï.2. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì
◮

1.

403

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè
utt = a ∆u + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. òðåòüþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

2.

utt = a ∆u + bu + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. 4-þ ñòðîêó òàáë. 3.5 â
ðàçä. 3.2.3.

3.

utt = a ∆u + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ïåðâóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

4.

utt = a ∆u + bu ln u + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. âòîðóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

5.

utt = a div(uk ∇u) + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. øåñòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

6.

utt = a div(uk ∇u) + buk+1 + uf (w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ñåäüìóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

7.

utt = a div(eλu ∇u) + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. âîñüìóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

8.

utt = a div(eλu ∇u) + beλu + f (u − w).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. äåâÿòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

9.

utt = a ∆u + uf (u − kw, w/u),

k > 0.

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. ïÿòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5 â
ðàçä. 3.2.3.

10.

utt = a div(uk ∇u) + uf (w/u) + uk+1 g(w/u).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ çàïàçäûâàíèåì ñì. äåñÿòóþ ñòðîêó òàáë. 3.5
â ðàçä. 3.2.3.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

404

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè
àðãóìåíòàìè
Ï.3.1. Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.

1.

ut = auxx + bw 2 ,
1◦ .

w = u(x,

1
t)
2

.

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

′′
2
íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà aϕxx + bϕ + λϕ = 0.
2◦ . Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàç1
äûâàíèåì ñì. äàëåå óðàâíåíèå 7 ïðè p = 1, q =
2.

2.

ut = auxx + bw 1/q ,

w = u(x, qt).

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
u = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ
2◦ .

ϕ = ϕ(x)
aϕ′′xx + bϕ1/q + λϕ = 0.

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàç-

äûâàíèåì ñì. äàëåå óðàâíåíèå 7 ïðè

3.

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

ut = auxx + bw1 w2 ,

p = 1.

w1 = u(x, qt),

w2 = u(x, (1 − q)t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

4.

ut = auxx + bw 2 ,
1◦ .

ϕ = ϕ(x)
aϕ′′xx + bϕ2 + λϕ = 0.

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

w = u( 12 x, t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λx ψ(t),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ = ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò
2
2
′
ïåðåìåííûìè ψt = aλ ψ + bψ .

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ

ÎÄÓ

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè
2◦ .

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì ñì. äàëåå óðàâíåíèå 7 ïðè

5.

405

p=

1
2,

q = 1.

w = u(px, t).

ut = auxx + bw 1/p,

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
u = e−λx ψ(t),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ

2◦ .

ÎÄÓ

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãó-

ìåíòîì ñì. äàëåå óðàâíåíèå 7 ïðè

6.

ψ = ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò
2
1/p .
′
ïåðåìåííûìè ψt = aλ ψ + bψ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ut = auxx + bw1 w2 ,

q = 1.
w2 = u((1 − p)x, t).

w1 = u(px, t),

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λx ψ(t),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t) óäîâëåòâîðÿåò
ψt′ = aλ2 ψ + bψ 2 .

ÎÄÓ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè

7.

ut = auxx + bw k ,
1◦ .

w = u(px, qt).

Àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå ïðè

k 6= 1 [444℄:

1

z = xt−1/2 ,

u(x, t) = t 1−k U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

′′
aUzz
+

2◦ .

′
1
2 zUz

−

1
U
1−k

k

+ bq 1−k W k = 0,

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

W = U (sz),

s = pq −1/2 .

q = p:
z = kx − λt,

k, λ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ U = U (z) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ak2 Uzz
+ λUz′ + bW k = 0,

8.

ut = auxx + bum w k ,

W = U (pz).

w = u(px, qt).

1◦ . Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.1.3) è [444℄.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

406

2◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

q = p:
z = kx − λt,

k, λ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ U = U (z) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ak 2 Uzz
+ λUz′ + bU m W k = 0,

3◦ .

W = U (pz).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

m=1−kq :

λt

u(x, t) = e ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − λϕ + bϕ1−kq ϕ̄k = 0,

ϕ̄ = ϕ(px).

4◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

m=1−kp:

u(x, t) = eλt ψ(t),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = aλ2 ψ + bψ 1−kp ψ̄ k ,

9.

ψ̄ = ψ(qt).

w = u(px, qt).

ut = auxx + beλw ,

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.1.7) ïðè

10.

µ=0

è [444℄.

ut = auxx + beµu+λw ,

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.1.7) è [444℄.

11.

ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d),
1◦ .

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì.

óðàâíåíèå (4.4.1.10) è [444℄.

2◦ . Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ óíêöèîíàëüíûì
p = 1 ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.1).
3◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

q = p:
z = kx − λt,

k, λ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ U = U (z) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ak2 Uzz
+ λUz′ + U (b ln U + c ln W + d) = 0,

12.

ut = auxx + u(b ln2 u + c ln u + d ln w + s),

W = U (pz).
w = u(x, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.2).

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè
⊲

13.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè âèäà

ut = auxx + f (u − w),

407

f (u − w).

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.2.3) è [444℄.

14.

ut = auxx + f (u − w),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.2.4) è [444℄.

15.

ut = auxx + bu + f (u − w),

w = u(x, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.2.5) è [444℄.

16.

ut = auxx + bu + f (u − w),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.2.7) è [444℄.

17.

ut = auxx + eλu f (u − w),

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.7).

⊲

18.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè âèäà

ut = auxx + uf (w/u),

f (w/u).

w = u(x, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.9) è [444℄.

19.

ut = auxx + uf (w/u),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.10) è [444℄.

20.

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.11) è [444℄.

21.

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.2.13) è [444℄.

408

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ ñ êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ñòåïåííîãî âèäà.

1.

ut = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.1) è [444℄.

2.

ut = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.2) è [444℄.

3.

ut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.3) è [444℄.

4.

ut = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.5) è [444℄.

5.

ut = a(uk ux )x + un f (w/u),

w = u(px, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.6).

6.

ut = a(uk ux )x + b + u−k f (uk+1 − w k+1 ),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.7) è [444℄.

7.

ut = a(uk ux )x + bu−k + f (uk+1 − w k+1 ),

w = u(px, t).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.8) è [444℄.

⊲

8.

Óðàâíåíèÿ ñ êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà.

ut = a(eλu ux )x + f (u − w),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.9) è [444℄.

9.

ut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ
àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.10) è [444℄.

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

10.

409

w = u(px, t).

ut = a(eλu ux )x + eλu f (u − w),

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì äîïóñêàåò òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ
àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.12) è [444℄.

11.

w = u(px, qt).

ut = a(eλu ux )x + eµu f (u − w),

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.13).

12.

ut = a(eλu ux )x + b + e−λu f (eλu − eλw ),

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.14) è [444℄.

⊲

13.

Óðàâíåíèÿ ñ êîýèöèåíòîì ïåðåíîñà ëîãàðèìè÷åñêîãî è îáùåãî âèäà.

w = u(x, qt).

ut = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u),

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.15) è [444℄.

14.

ut = a[fu′ (u)ux ]x + b +

1
fu′ (u)



g f (u) − f (w) ,

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå, ñì. óðàâíåíèå
(4.4.3.17) è [444℄.

15.

ut = [fu′ (u)ux ]x +

a
fu′ (u)

+ g(f (u) − f (w)),

w = u(px, t).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì àðãóìåíòîì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì

ðàçäåëåíèåì

ïåðåìåííûõ

â

íåÿâíîé

îðìå,

ñì.

óðàâíåíèå

(4.4.3.20) è [444℄.

16.

ut = a[fu′ (u)ux ]x + bf (u) +

f (u)
g
fu′ (u)



f (w)/f (u) ,

w = u(x, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå, ñì. óðàâíåíèå
(4.4.3.18) è [444℄.

17.

ut = a[ufu′ (u)ux ]x +

1
[bf (u) +
fu′ (u)

cf (w) + d],

w = u(px, qt).

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè äîïóñêàåò òî÷íîå ðåøåíèå ñ
óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå, ñì. óðàâíåíèå
(4.4.3.16).

410

⊲

18.

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ.

w = u(px, qt).

ut = [f (u, w)ux]x ,

Ýòî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè äîïóñêàåò àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå, ñì. óðàâíåíèå (4.4.3.21) è [444℄. Ïðè

p=q

îíî äîïóñêàåò òàêæå ðåøåíèå

òèïà áåãóùåé âîëíû, ñì. óðàâíåíèå íèæå.

19.

w = u(px, pt).

ut = F (u, ux , uxx , w, wx , wxx ),

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû:

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = kx − λt,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

′′
′′
F (U, kUz′ , k2 Uzz
, W, kWz′ , k2 Wzz
) + λUz′ = 0,

20.

W = U (pz).

ut = uk+1 F (un ux , u2n+1 uxx , w/u, un wx , u2n+1 wxx ),
w = u(px, qt).

Àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèå ïðè

k 6= 0:
1

u(x, t) = t− k U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = xt

n+1
k

,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëü-

íûì çàïàçäûâàíèåì

1
1
1


′′
′′
U k+1 F U n Uz′ , U 2n+1 Uzz
, q − k W/U, q − k U n Wz′ , q − k U 2n+1 Wzz
+

+

21.

1
U
k

ut = uk F

−



n+1
zUz′
k

ux
u

,

uxx
u

,

= 0,

W = U (sz),

w wx
,
u
u

,

wxx
u

Òî÷íîå ðåøåíèå:

1

u(x, t) = t 1−k ϕ(z),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

1
ϕ + λϕ′z
1−k


,

s = pq

n+1
k

w = u(x, qt).

z = x + λ ln t,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

= ϕk F



ϕ′z
ϕ

,

ϕ′′zz
ϕ

1

, q 1−k

1
ϕ̄
ϕ̄′
, q 1−k z
ϕ
ϕ

ut = au+bw+F (x, ux , uxx , wx , wxx )+G(t, u−w),

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x) + ψ(t),

1

, q 1−k

ϕ̄ = ϕ(z + λ ln q).

22.

.

ϕ̄′′zz
ϕ


,

w = u(x, qt).

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè
ãäå óíêöèè

411

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëü-

íûì çàïàçäûâàíèåì

(a + b)ϕ + F (x, ϕ′x , ϕ′′xx , ϕ′x , ϕ′′xx ) = C,
ψt′ − aψ − bψ̄ − G(t, ψ − ψ̄) = C, ψ̄ = ψ(qt),
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.





u
u
w
ut = au ln u + uF x, x , xx + uG t,
,

23.

u

u

u

w = u(x, qt).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëü-

íûì çàïàçäûâàíèåì

F (x, ϕ′x /ϕ, ϕ′′xx /ϕ) + a ln ϕ = C,
ψt′ − aψ ln ψ − ψG(t, ψ̄/ψ) = C,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(qt),

ïîñòîÿííàÿ.

Ï.3.2. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.

1.

utt = auxx + bw 2 ,

w = u(x,

1
t)
2

.

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ
u = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ
2◦ .

ϕ = ϕ(x)
aϕ′′xx + bϕ2 − λ2 ϕ = 0.

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàç-

äûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.1) ïðè

2.

utt = auxx + bw 1/q ,
1◦ .

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

p = 1, q =

1
2.

w = u(x, qt).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ϕ = ϕ(x)
− λ2 ϕ = 0.

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

′′
íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà aϕxx

+

bϕ1/q

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

412

2◦ .

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äàííîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàç-

äûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.1) ïðè

3.

utt = auxx + bw1 w2 ,

p = 1.
w2 = u(x, (1 − q)t).

w1 = u(x, qt),

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u = e−λt ϕ(x),
íîìó ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà

ϕ = ϕ(x)
aϕ′′xx + bϕ2 − λ2 ϕ = 0.

4.

w = u(px, qt).

ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

utt = auxx + bw k ,

óäîâëåòâîðÿåò àâòîíîì-

1◦ . Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.1) è [70℄.
2◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

q = p:
z = kx − λt,

k, λ  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ U = U (z) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè

′′
(ak 2 − λ2 )Uzz
+ bW k = 0,

5.

utt = auxx + bum w k ,
1◦ .

W = U (pz).

w = u(px, qt).

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãó-

ìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.2).

2◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

k

è

λ  ïðîèçâîëüíûå

q = p:
z = kx − λt,

ïîñòîÿííûå, óíêöèÿ

U = U (z)

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
(ak 2 − λ2 )Uzz
+ bU m W k = 0,

3◦ .

W = U (pz).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

m=1−kq :

u(x, t) = e−λt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − λ2 ϕ + bϕ1−kq ϕ̄k = 0,
4◦ .

ϕ̄ = ϕ(px).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = eβx ψ(t),

m=1−kp:

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè
ãäå

413

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= aλ2 ψ + bψ 1−kp ψ̄ k ,

6.

utt = auxx + beλw ,

ψ̄ = ψ(qt).

w = u(px, qt).

åøåíèå:

2
λ

u(x, t) = U (z) −
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

ln t,

z=

x
,
t

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

(z 2 Uz′ )′z +

7.

2
λ

′′
= aUzz
+

utt = auxx + beµu+λw ,

b λW
e ,
q2

W = U (sz),

s=

p
.
q

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.3).

8.

utt = auxx + u(b ln u + c ln w),

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.4) è [70℄.

⊲

9.

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè.

utt = auxx + f (u − w),

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.4.5) è [70℄.

10.

utt = auxx + f (u − w),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.4.6) è [70℄.

11.

utt = auxx + bu + f (u − w),

w = u(x, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.4.7) è [70℄.

12.

utt = auxx + eλu f (u − w),

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.9).

13.

utt = auxx + uf (w/u),

w = u(px, t).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.10).

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

414

◮

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ

⊲

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà.

1.

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.11) è [70℄.

2.

utt = a(uk ux )x + uf (w/u),

w = u(px, t).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.12).

3.

utt = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u),

w = u(x, qt).

Î òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.13) è [70℄.

4.

w = u(x, qt).

utt = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.15) è [70℄.

5.

utt = a(uk ux )x + un f (w/u),
1◦ .

w = u(px, qt).

Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãó-

ìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.16).

2◦ .

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû ïðè

u(x, t) = U (z),
ãäå

k, λ  ïðîèçâîëüíûå

q = p:
z = kx − λt,

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

U = U (z)

óäîâëåòâîðÿåò ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

6.

ak 2 (U k Uz′ )′z − λ2 Uz′ + U n f (W/U ) = 0,
utt = a(eλu ux )x + f (u − w),

W = U (pz).

w = u(x, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ñì. óðàâíåíèå
(4.4.4.17) è [70℄.

7.

utt = a(eλu ux )x + eµu f (u − w),

w = u(px, qt).

Î òî÷íîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.18).

8.

utt = [f (w)ux]x ,

w = u(px, qt).

1◦ . Îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè ýòîãî Óð×Ï ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè ñì. óðàâíåíèå (4.4.4.19).

2◦ .

Ïðè

p=q

óðàâíåíèå íèæå.

ýòî óðàâíåíèå äîïóñêàåò ðåøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû, ñì.

Ï.3. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûìè àðãóìåíòàìè
⊲

9.

415

Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ.

w = u(px, pt).

utt = F (u, ux , ut , uxx , w, wx , wt ),

åøåíèå òèïà áåãóùåé âîëíû:

u(x, t) = U (z),
ãäå óíêöèÿ

U = U (z)

z = kx − λt,

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèîíàëüíûì

çàïàçäûâàíèåì

10.

′′
′′
F (U, kUz′ , −λUz′ , k2 Uzz
, W, kWz′ , −λWz′ ) − λ2 Uzz
= 0, W = U (pz).


ux uxx w wx wxx
,
, ,
,
, w = u(x, qt).
utt = uk+1 F

u

u

u

u

u

åøåíèå:

u(x, t) = t−2/k ϕ(z),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(z)

2(k + 2)
k+4 ′
ϕ−λ
ϕz
k2
k

z = x + λ ln t,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïîñòîÿííûì çàïàçäûâàíèåì

+ λ2 ϕ′′zz = ϕk+1 F



ϕ′z
ϕ

,

ϕ′′zz
ϕ

2 ϕ̄

, q− k

ϕ

2 ϕ̄′
z

, q− k

ϕ

2 ϕ̄′′
zz

, q− k

ϕ̄ = ϕ(z + λ ln q).

11.

ϕ


,

utt = au + bu + F (x, ux , uxx , wx , wxx ) + G(t, u − w, ut , wt ),
w = u(x, qt).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x) + ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïðåäåëÿþòñÿ èç ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

(a + b)ϕ + F (x, ϕ′x , ϕ′′xx , ϕ′x , ϕ′′xx ) = C,
′′
ψtt
− aψ − bψ̄ − G(t, ψ − ψ̄, ψt′ , ψ̄t′ ) = C,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

12.

ψ̄ = ψ(qt),

ïîñòîÿííàÿ.





u
u
w u′ w ′
utt = au ln u + bu ln w + uF x, x , xx + uG t, , t , t ,
u
u
u u
u
w = u(x, qt).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïðåäåëÿþòñÿ èç ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïðîïîðöèî-

íàëüíûì çàïàçäûâàíèåì

F (x, ϕ′x /ϕ, ϕ′′xx /ϕ) + (a + b) ln ϕ = C,
′′
− aψ ln ψ − bψ ln ψ̄ − ψG(t, ψ̄/ψ, ψt′ /ψ, ψ̄t′ /ψ) = C,
ψtt
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

ψ̄ = ψ(qt),

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

416

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ
àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
f = f (z) è g = g(z)  ïðîèçâîëüíûå óíêöèè,
ξ = ξ(x) è η = η(t)  ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå óíêöèè, u = u(x, t)  èñêîìàÿ

 ýòîì ðàçäåëå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî
óíêöèÿ.

Ï.4.1. Óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ
1. ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d), w = u(ξ(x), η(t)).
◮

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

íûìè çàïàçäûâàíèÿìè

aϕ′′xx + ϕ(b ln ϕ + c ln ϕ̄ − K) = 0,
ψt′ = ψ(b ln ψ + c ln ψ̄ + d + K),
K  ïðîèçâîëüíàÿ

2.

ϕ̄ = ϕ(ξ(x));
ψ̄ = ψ(η(t)),

ïîñòîÿííàÿ.

ut = auxx + u(b ln u + c ln w + d),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [449℄:

u(x, t) = exp[ψ2 (t)x2 + ψ1 (t)x + ψ0 (t)],
ãäå óíêöèè

ψn = ψn (t)

îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

íûì çàïàçäûâàíèåì

ψ2′ = 4aψ22 + bψ2 + cψ̄2 , ψ̄2 = ψ2 (η(t)),
ψ1′ = 4aψ1 ψ2 + bψ1 + cψ̄1 , ψ̄1 = ψ1 (η(t)),
ψ0′ = a[ψ12 + 2ψ2 ] + bψ0 + cψ̄0 + d,

3.

ψ̄0 = ψ0 (η(t)).

ut = auxx + u(b ln2 u + c ln u + d ln w + s),

w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè
u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A cos(λx) + B sin(λx),
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

λ=

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

p

ab > 0 [449℄:

b/a,

ψn = ψn (t)

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψ2′

2

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,

= b(A + B

2

)ψ12

+

bψ22

+ cψ2 + dψ̄2 + s,

ψ̄1 = ψ1 (η(t)),
ψ̄2 = ψ2 (η(t)).

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
2◦ .

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = exp[ψ1 (t)ϕ(x) + ψ2 (t)],
ϕ(x) = A ch(λx) + B sh(λx),
ãäå

A

è

B  ïðîèçâîëüíûå

λ=

p

ab < 0 [449℄:

−b/a,

ψn = ψn (t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèè

417

îïèñûâàþòñÿ

íåëèíåéíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψ2′
Ïðè

2

ψ1′ = 2bψ1 ψ2 + (c − b)ψ1 + dψ̄1 ,

= b(A − B

A = ±B

èìååì

2

)ψ12

+

bψ22

+ cψ2 + dψ̄2 + s,

ϕ(x) = Ae±λx .

ut = auxx + f (u − w),

ψ̄2 = ψ2 (η(t)).

 ýòîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû

ñòàíîâèòñÿ íåçàâèñèìûì, à ïåðâîå  ëèíåéíûì äëÿ

4.

ψ̄1 = ψ1 (η(t)),

ψ1 .

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [450℄:

u(x, t) = C1 x2 + C2 x + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = 2aC1 + f (ψ − ψ̄),

5.

ut = auxx + bu + f (u − w),

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [449, 450℄:
u(x, t) = A ch(λx) + B sh(λx) + ψ(t),
ãäå

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

p

ψ = ψ(t)

−b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄),
2◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [449, 450℄:

u(x, t) = A cos(λx) + B sin(λx) + ψ(t),
ãäå

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

ψ = ψ(t)

p

b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = bψ + f (ψ − ψ̄),

6.

ut = auxx + uf (w/u),

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [450℄:
u(x, t) = [A ch(λx) + B sh(λx)]ψ(t),

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

418

ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ψ = ψ(t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),
2◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [450℄:

u(x, t) = [A cos(λx) + B sin(λx)]ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ψ = ψ(t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = −aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),
3◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

Âûðîæäåííîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = (Ax + B)ψ(t),
ãäå

A, B , λ ïðîèçâîëüíûå

ψ = ψ(t)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψf (ψ̄/ψ),

7.

ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

ψ̄ = ψ(η(t)).
w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [449, 450℄:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà è ÎÄÓ

ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
ψt′ = C1 ψ + ψf (ψ̄/ψ) + bψ ln ψ,
ãäå

C1  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(η(t)),

ïîñòîÿííàÿ. Ïåðâîå ÎÄÓ äëÿ

ϕ

ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíûì,

åãî îáùåå ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â íåÿâíîé îðìå. ×àñòíîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ÿâíîì âèäå

i
h
C
1
b
,
ϕ = exp − (x + C2 )2 + 1 +
4a

ãäå

C2  ïðîèçâîëüíàÿ

8.

ut = auxx + f (u − w),

b

ïîñòîÿííàÿ.

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = Ct + ϕ(x),

2

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

419

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

9.

aϕ′′xx − C + f (ϕ − ϕ̄) = 0,
ut = auxx + bu + f (u − w),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = Cebt + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

10.

aϕ′′xx + bϕ + f (ϕ − ϕ̄) = 0,
ut = auxx + uf (w/u),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = eλt ϕ(x),
ãäå

λ  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ ϕ = ϕ(x) îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûì

ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

11.

aϕ′′xx + ϕ[f (ϕ̄/ϕ) − λ] = 0,
ut = auxx + bu ln u + uf (w/u),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).
w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

u(x, t) = exp(Cebt )ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + bϕ ln ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ
1. ut = a(uk ux )x + uf (w/u), w = u(x, η(t)).
◮

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x) è ψ = ψ(t)

îïðåäåëÿþòñÿ èç ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì

çàïàçäûâàíèåì

a(ϕk ϕ′x )′x = Cϕ,
ψt′ = Cψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ),
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

ψ̄ = ψ(η(t));

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

420

2.

w = u(x, η(t)).

ut = a(uk ux )x + buk+1 + uf (w/u),
1◦ . åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

ãäå

b(k + 1) > 0 [456℄:
p
u(x, t) = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]1/(k+1) ψ(t), β = b(k + 1)/a,

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψf (ψ̄)/ψ),

ãäå

ψ̄ = ψ(η(t)).

2◦ .

åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

C1

è

b(k + 1) < 0 [456℄:
p
u(x, t) = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]1/(k+1) ψ(t), β = −b(k + 1)/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ
1◦ .

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

3◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè



b
u(x, t) = C1 exp − x2 + C2 x ψ(t),

k = −1:

2a

ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå,
1◦ .

à

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

íûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

3.

ut = a(uk ux )x + b + u−k f (uk+1 − w k+1 ),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

h
i1/(k+1)
b(k + 1) 2
u(x, t) = ψ(t) −
x + C1 x + C2
,
2a

ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

4.

ψt′ = (k + 1)f (ψ − ψ̄),

ψ̄ = ψ(η(t)).

ut = a(uk ux )x + bu−k + f (uk+1 − w k+1 ),

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ

ãäå óíêöèÿ

5.

ϕ = ϕ(x)


 1
u = b(k + 1)t + ϕ(x) k+1 ,

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + (k + 1)f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

ut = a(uk ux )x + buk−2n+1 + u1−n f (un − w n ),

Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà îáîáùåííîé áåãóùåé âîëíû ïðè

u = [±λx + ψ(t)]1/n ,

λ=

r

w = u(x, η(t)).

b(n − k − 1) > 0:

bn2
,
a(n − k − 1)

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = nf (ψ − ψ̄),

6.

421

ut = a(eλu ux )x + f (u − w),

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

1
λ

u(x, t) =
ãäå

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),

A, B , C  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = 2a(A/λ)eλψ + f (ψ − ψ̄),

7.

ut = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w),

ψ̄ = ψ(η(t)).
w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè
u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

ln[C1 cos(βx) + C2 sin(βx)] + ψ(t),

bλ > 0 [456℄:
p
β = bλ/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = f (ψ − ψ̄),
2◦ .

C1

è

1
λ

ln[C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)] + ψ(t),

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

8.

bλ < 0 [456℄:
p
β = −bλ/a,

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) =
ãäå

ψ̄ = ψ(η(t)).

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

1◦ .

ut = a(eλu ux )x + b + e−λu f (eλu − eλw ),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

i
h
bλ
ln ψ(t) − x2 + C1 x + C2 ,
2a

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = λf (ψ − ψ̄),

9.

ψ̄ = ψ(η(t)).

ut = a(eβu ux )x + be(β−2γ)u + e−γu f (eγu − eγw ),

w = u(x, η(t)).

Òî÷íûå ðåøåíèÿ ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u=

1
γ

ln[λx + ψ(t)],

λ=±

r

bγ 2
,
a(γ − β)

b(γ −β) > 0:

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

422

ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = γf (ψ − ψ̄),

10.

ψ̄ = ψ(η(t)).

ut = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u),

w = u(x, η(t)).

åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) = exp(±
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

p

c/a x)ψ(t),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = c(1 + b/a)ψ + ψf (ψ̄/ψ),

11.

ut = a[fu′ (u)ux ]x + b +

1
fu′ (u)

ψ̄ = ψ(η(t)).



g f (u) − f (w) ,

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå [456℄:

f (u) = ψ(t) −
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

b 2
x
2a

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = g(ψ − ψ̄),

12.

+ C1 x + C2 ,

ut = a[fu′ (u)ux ]x + bf (u) +

ψ̄ = ψ(η(t)).

f (u)
g
fu′ (u)



f (w)
f (u)



,

w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå
ïðè ab > 0 [456℄:
p


f (u) = C1 cos(λx) + C2 sin(λx) ψ(t), λ = b/a,
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì



ψt′ = ψg ψ̄/ψ ,

ψ̄ = ψ(η(t)).

2◦ . åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå
ïðè ab < 0 [456℄:
p


f (u) = C1 exp(−λx) + C2 exp(λx) ψ(t), λ = −b/a,
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ
1◦ .

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

13.

ut = a[ufu′ (u)ux ]x +

1
[bf (u) + cf (w) + d],
fu′ (u)

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå:

f (u) = ϕ(t)x + ψ(t),

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(t)

è

ψ = ψ(t)

423

óäîâëåòâîðÿþò ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäû-

âàíèåì

ϕ′t = bϕ + cϕ̄,
ψt′

14.

ϕ̄ = ϕ(η(t)),

= bψ + cψ̄ + d + aϕ2 ,

ψ̄ = ψ(η(t)).
w = u(ξ(x), t).

ut = a(eλu ux )x + eλu f (u − w),

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u=−
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ln t + ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

a(eλϕ ϕ′x )′x +

15.

1
λ

1
λ

+ eλϕ f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ut = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = t−1/k ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

a(ϕk ϕ′x )′x +

16.

ut = [fu′ (u)ux ]x +

1
ϕ + ϕk+1 f (ϕ̄/ϕ)
k
a
fu′ (u)

= 0,

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

+ g(f (u) − f (w)),

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîì âèäå:

f (u) = at + ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ϕ′′xx + g(ϕ − ϕ̄) = 0,
◮

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè

Íèæå îïèñàíû ìíîãîìåðíûå îáîáùåíèÿ íåêîòîðûõ îäíîìåðíûõ íåëèíåéíûõ
Óð×Ï ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ðàññìàòðèâàëèñü ðàíåå.

1.

ut = a ∆u + f (u − w),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t) + ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = aC + f (ψ − ψ̄),

ψ̄ = ψ(η(t)),

424

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

C  ïðîèçâîëüíàÿ

2.

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

óðàâíåíèþ Ïóàññîíà

∆ϕ = C .

óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó

w = u(x, η(t)).

ut = a ∆u + bu ln u + uf (w/u),

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t)ϕ(x ),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = bψ ln ψ + ψf (ψ̄/ψ) + Cψ,
C  ïðîèçâîëüíàÿ

ψ̄ = ψ(η(t)),

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó

ñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ

a ∆ϕ + bϕ ln ϕ − Cϕ = 0.

3.

ut = a div(uk ∇u) + buk+1 + uf (w/u),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = ψ(t)ϕ1/(k+1) (x),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψf (ψ̄/ψ),
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ
b(k + 1)
ϕ
a

∆ϕ +

4.

k 6= −1 [456℄:

åëüìãîëüöà

= 0.

ut = a div(uk ∇u) + b + u−k f (uk+1 − w k+1 ),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) = [ψ(t) + ϕ(x)]1/(k+1) ,
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = (k + 1)f (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

∆ϕ +

5.

ψ̄ = ψ(η(t)),

b(k + 1)
a

= 0.

ut = a div(eλu ∇u) + beλu + f (u − w),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) = ψ(t) +

1
λ

Ïóàññîíà

ln ϕ(x),

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

425

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = f (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

åëüìãîëüöà

∆ϕ + λ(b/a)ϕ = 0.

6.

ut = a div(eλu ∇u) + b + e−λu f (eλu − eλw ),

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [456℄:

u(x, t) =
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

ln[ψ(t) + ϕ(x)],

1
λ

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = λf (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

Ïóàññîíà

∆ϕ + λb/a = 0.

7.

ut = a div[fu′ (u)∇u] + b +

1
fu′ (u)



g f (u) − f (w) ,

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ óíêöèîíàëüíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå [456℄:

f (u) = ψ(t) + ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = g(ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

Ïóàññîíà

∆ϕ + b/a = 0.

8.

ut = a div[fu′ (u)∇u]+bf (u)+

f (u)
g
fu′ (u)



f (w)/f (u) ,

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ â íåÿâíîé îðìå
[456℄:

f (u) = ψ(t)ϕ(x),

ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

ψt′ = ψg(ψ̄/ψ),
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

∆ϕ + (b/a)ϕ = 0.

åëüìãîëüöà

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

426

Ï.4.2. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ
1. utt = auxx + u(b ln u + c ln w + d), w = u(ξ(x), η(t)).
◮

1◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t) îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíûìè ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

íûìè çàïàçäûâàíèÿìè

aϕ′′xx + ϕ(b ln ϕ + c ln ϕ̄ − K) = 0, ϕ̄ = ϕ(ξ(x));
′′
ψtt
= ψ(b ln ψ + c ln ψ̄ + d + K), ψ̄ = ψ(η(t)),
K  ïðîèçâîëüíàÿ

2.

ïîñòîÿííàÿ.

utt = auxx + uf (w/u),
1◦ .

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = [A ch(λx) + B sh(λx)]ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),

2◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = [A cos(λx) + B sin(λx)]ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= −aλ2 ψ + ψf (ψ̄/ψ),

3◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

Âûðîæäåííîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = (Ax + B)ψ(t),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= ψf (ψ̄/ψ),

3.

utt = auxx + uf (w/u),

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(ξ(x), t).

1◦ . åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = [A ch(λt) + B sh(λt)]ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

427

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − λ2 ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,
2◦ .

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = [A cos(λt) + B sin(λt)]ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + λ2 ϕ + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,
3◦ .

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

Âûðîæäåííîå ðåøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = (At + B)ϕ(x),
ãäå

A, B , λ  ïðîèçâîëüíûå

ϕ = ϕ(x)

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx + ϕf (ϕ̄/ϕ) = 0,

4.

utt = auxx + f (u − w),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = C1 x2 + C2 x + ψ(t),
ãäå

C1

è

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ

íåëèíåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

5.

′′
ψtt
= 2aC1 + f (ψ − ψ̄),

utt = auxx + bu ln u + uf (w/u),

ψ̄ = ψ(η(t)).
w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ = ϕ(x)

è

ψ = ψ(t)

îïèñûâàþòñÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà è ÎÄÓ

âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx = C1 ϕ − bϕ ln ϕ,
′′
ψtt
= C1 ψ + ψf (ψ̄/ψ) + bψ ln ψ,
ãäå

ψ̄ = ψ(η(t)),

C1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. ×àñòíîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ðåøåíèå ïåð-

âîãî ÎÄÓ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ÿâíîì âèäå

h
i
b
C
1
ϕ = exp − (x + C2 )2 + 1 +
,
4a

ãäå

C2  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ.

b

2

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

428

6.

utt = auxx + bu + f (u − w),

w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:
u(x, t) = A ch(λx) + B sh(λx) + ψ(t),
ãäå

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

p

ψ = ψ(t)

−b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄),

2◦ .

ψ̄ = ψ(η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = A cos(λx) + B sin(λx) + ψ(t),
ãäå

A, B  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

λ=

ψ = ψ(t)

p

b/a,

îïèñûâàåòñÿ íåëè-

íåéíûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

7.

′′
ψtt
= bψ + f (ψ − ψ̄),

utt = auxx + f (u − w),

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = C1 t2 + C2 t + ϕ(x),
ãäå

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ íåëèíåé-

íûì ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

aϕ′′xx − 2C1 + f (ϕ − ϕ̄) = 0,

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

Îäíîìåðíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ
1. utt = a(uk ux)x + uf (w/u), w = u(x, η(t)).
◮

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ϕ(x)ψ(t),
ãäå óíêöèè

ϕ(x) è ψ(t) îïðåäåëÿþòñÿ èç ÎÄÓ è ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäû-

âàíèåì

a(ϕk ϕ′x )′x = bϕ,
ψt′ = bψ k+1 + ψf (ψ̄/ψ),
b  ïðîèçâîëüíàÿ

2.

ψ̄ = ψ(η(t));

ïîñòîÿííàÿ.

utt = a(uk ux )x + uf (w/u) + buk+1 ,
1◦ . åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

w = u(x, η(t)).

b(k + 1) > 0:
p
u(x, t) = [C1 cos(βx) + C2 sin(βx)]1/(k+1) ψ(t), β = b(k + 1)/a,

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà
ãäå

C1

è

429

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= ψf (ψ̄)/ψ),

ãäå

ψ̄ = ψ(η(t)).

2◦ .

åøåíèå ñ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

C1

è

b(k + 1) < 0:
p
u(x, t) = [C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)]1/(k+1) ψ(t), β = −b(k + 1)/a,

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ
1◦ .

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

3◦ .

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè



b
u(x, t) = C1 exp − x2 + C2 x ψ(t),

k = −1:

2a

ãäå

C1

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå,
◦
íûì çàïàçäûâàíèåì èç ï. 1 .

3.

utt = a(eλu ux )x + f (u − w),

è

à

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåí-

w = u(x, η(t)).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

1
λ

u(x, t) =
ãäå

ln(Ax2 + Bx + C) + ψ(t),

A, B , C  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

4.

′′
ψtt
= 2a(A/λ)eλψ + f (ψ − ψ̄),

utt = a(eλu ux )x + beλu + f (u − w),

ψ̄ = ψ(η(t)).
w = u(x, η(t)).

1◦ . åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè
u(x, t) =
ãäå

C1

è

1
λ

bλ > 0:
p
β = bλ/a,

ln[C1 cos(βx) + C2 sin(βx)] + ψ(t),

C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ ψ = ψ(t) îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ

ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= f (ψ − ψ̄),

2◦ .

C1

è

1
λ

ln[C1 exp(−βx) + C2 exp(βx)] + ψ(t),

C2  ïðîèçâîëüíûå

ïîñòîÿííûå, à óíêöèÿ

ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì èç ï.

5.

bλ < 0:
p
β = −bλ/a,

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) =
ãäå

ψ̄ = ψ(η(t)).

ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ

1◦ .

utt = [(a ln u + b)ux ]x − cu ln u + uf (w/u),

w = u(x, η(t)).

åøåíèÿ ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = exp ±

p



c/a x ψ(t),

430

Ñ ÏÀÂÎ×ÍÛÅ ÒÀÁËÈÖÛ ÏÎ ÒÎ×ÍÛÌ ÅØÅÍÈßÌ Ó  ×Ï Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ

ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= c(1 + b/a)ψ + ψf (ψ̄/ψ),

6.

ψ̄ = ψ(η(t)).

w = u(ξ(x), t).

utt = a(eλu ux )x + eλu f (u − w),

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u=−
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

ln t + ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

2
λ

a(eλϕ ϕ′x )′x −

7.

2
λ

+ eλϕ f (ϕ − ϕ̄) = 0,

utt = a(uk ux )x + uk+1 f (w/u),

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

w = u(ξ(x), t).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u = t−2/k ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

a(ϕk ϕ′x )′x −

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

2(k + 2)
ϕ + ϕk+1 f (ϕ̄/ϕ)
k2

= 0,

ϕ̄ = ϕ(ξ(x)).

Óðàâíåíèÿ ñ íåñêîëüêèìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè
1. utt = a ∆u + f (u − w).

◮

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t) + ϕ(x),
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= ab + f (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

Ïóàññîíà

∆ϕ = b.

2.

utt = a ∆u + bu ln u + uf (w/u).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t)ϕ(x ),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= bψ ln ψ + ψf (ψ̄/ψ) + Cψ,

C  ïðîèçâîëüíàÿ

ïîñòîÿííàÿ, à óíêöèÿ

ψ̄ = ψ(η(t)),

ϕ = ϕ(x)

ñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ

a ∆ϕ + bϕ ln ϕ − Cϕ = 0.

óäîâëåòâîðÿåò

n-ìåðíîìó

Ï.4. Ôóíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå Óð×Ï ñ àðãóìåíòàìè ïðîèçâîëüíîãî âèäà

3.

utt = a div(uk ∇u) + buk+1 + uf (w/u).

åøåíèå ñ ìóëüòèïëèêàòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ ïðè

u(x, t) = ψ(t)ϕ1/(k+1) (x),
ãäå óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= ψf (ψ̄/ψ),
à óíêöèÿ

ϕ = ϕ(x)

óäîâëåòâîðÿåò

∆ϕ +

4.

k 6= −1:

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ
b(k + 1)
ϕ
a

åëüìãîëüöà

= 0.

utt = a div(eλu ∇u) + beλu + f (u − w).

åøåíèå ñ àääèòèâíûì ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ:

u(x, t) = ψ(t) +
ãäå óíêöèÿ

à óíêöèÿ

ψ = ψ(t)

ϕ = ϕ(x)

1
λ

ln ϕ(x),

îïèñûâàåòñÿ ÎÄÓ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì

′′
ψtt
= f (ψ − ψ̄),
óäîâëåòâîðÿåò

ψ̄ = ψ(η(t)),

n-ìåðíîìó óðàâíåíèþ

∆ϕ + λ(b/a)ϕ = 0.

åëüìãîëüöà

431

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1℄ Àçáåëåâ Í.Â., Ñèìîíîâ Ï.Ì. Óñòîé÷èâîñòü óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèì àðãó-

Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì.,

ìåíòîì.

1997,  6, ñ. 316.

[2℄ Àçáåëåâ Í.Â., Ñèìîíîâ Ï.Ì. Óñòîé÷èâîñòü óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèì àðãóìåíòîì. II.

Èçâ. âóçîâ. Ìàòåì.,

2000,  4, ñ. 313.

[3℄ Àçèçáåêîâ Ý., Õóñàèíîâ Ä.ß. åøåíèå îäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ
çàïàçäûâàíèåì.

òèêà,

Âiñíèê Êè¨âñüêîãî íàö. óíiâåð. iì. Òàðàñà Øåâ÷åíêà, Êiáåðíå-

2012,  12, ñ. 412.

[4℄ Àëüøèíà Å.À., Êàëèòêèí Í.Í., Êîðÿêèí Ï.Â. Äèàãíîñòèêà îñîáåííîñòåé òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïðè ðàñ÷åòàõ ñ êîíòðîëåì òî÷íîñòè.

Æóð. âû÷. ìàò. è ìàò. èç.,

2005, ò. 45,  10, ñ. 18371847.
[5℄ Àíäðååâ

V.Ê.,

Êàïöîâ

Î.V.,

Ïóõíà÷åâ

V.V.,

îäèîíîâ

Ïðèìåíåíèå

A.A.

òåîðåòèêî-ãðóïïîâûõ ìåòîäîâ â ãèäðîäèíàìèêå. Íîâîñèáèðñê:

Íàóêà, 1994.

., Ýðäåéè À. Òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Òîì 1. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, Ëàïëàñà, Ìåëëèíà. Ì.: Íàóêà, 1969.

[6℄ Áåéòìåí

Àïïðîêñèìàöèè Ïàäå.

[7℄ Áåêêåð Äæ. (ìë.),

ðåéâñ-Ìîððèñ Ï.

Ì.: Ìèð, 1986.

[8℄ Áåëëìàí ., Êóê Ê.

Äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. Ì.:

Ìèð, 1967.

[9℄ Áåëîóñîâ Á.Ï. Ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùàÿ ðåàêöèÿ è å¼ ìåõàíèçì.

ðååðàòîâ ïî ðàäèàöèîííîé ìåäèöèíå çà 1958 ã.

Ñáîðíèê

Ì: Ìåäãèç, 1959.

[10℄ Áðàæíèêîâ À.Ì., Êàðïû÷åâ Â.À., Ëûêîâà À.Â. Îá îäíîì èíæåíåðíîì ìåòîäå
ðàñ÷åòà ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè.

Èíæ.-èç. æóðí., 1975, ò. 28,  4, ñ. 677

680.
[11℄ Áðàöóí Ä.À., Çàõàðîâ À.Ï. Ê âîïðîñó î ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå ïðîñòðàíñòâåííîðàñïðåäåëåííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì ïî âðåìåíè.

Ïåðìñêîãî óíèâåðñèòåòà: Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíîðìàòèêà,

Âåñòíèê

2012,  4,

ñ. 3242.
[12℄ Âàãèíà Ì.Þ., Êèïíèñ Ì.Ì. Óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèÿìè.

Ìàòåì. çàìåòêè,

2003, ò. 74,  5, ñ. 786

789.
[13℄ Âàëååâ Ê. . Ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, ëèíåéíî
çàâèñÿùèì îò àðãóìåíòà.
[14℄ Âëàäèìèðîâ Â.Ñ.
[15℄

Ñèáèðñêèé ìàòåì. æóðíàë, 1964, ò. 5,  2, ñ. 290309.

Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ì.:

àëàêòèîíîâ Â.À., Ïîñàøêîâ Ñ.A. Î íîâûõ òî÷íûõ ðåøåíèÿõ ïàðàáîëè÷åñêèõ
óðàâíåíèé ñ êâàäðàòè÷íûìè íåëèíåéíîñòÿìè.

èçèêè,
[16℄

Æóðí. âû÷èñë. ìàò. è ìàò.

1989, ò. 29,  4, pp. 497506.

àëàêòèîíîâ Â.À., Ïîñàøêîâ Ñ.À. Òî÷íûå ðåøåíèÿ è èíâàðèàíòíûå ïðîñòðàíñòâà äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ãðàäèåíòíîé äèóçèè.

ìàò. èçèêè, 1994, ò.
[17℄

Ôèçìàòëèò, 1971.

àíòìàõåð Ô..

Æóðí. âû÷èñë. ìàò. è

34,  3, ñ. 374383.

Òåîðèÿ ìàòðèö, 5-å èçä.

432

Ì.: Ôèçìàòëèò, 2010.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
[18℄

433

Êà÷åñòâåííûå ìåòîäû â äèíàìèêå ÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ.

îðÿ÷åíêî Â.Ä.

Ì.:

Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1983.
. óêîâîäñòâî ê ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è Z ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1971.

[19℄ ļ÷

Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è îïåðàöèîííîå

[20℄ Äèòêèí Â.À., Ïðóäíèêîâ À.Ï.

èñ÷èñëåíèå. Ì.:

Ôèçìàòëèò, 1974.

[21℄ Äìèòðèåâ À.Ñ., Êèñëîâ Â.ß.

òðîíèêå. Ì.:

Ñòîõàñòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ðàäèîèçèêå è ýëåê-

Íàóêà, 1989.

[22℄ Äîðîäíèöûí Â.À. Îá èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèÿ íåëèíåéíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ñ èñòî÷íèêîì.

Æ. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. èç.,

1982, ò. 22,  6,

. 13931400.

W -óíêöèÿ Ëàìáåðòà è åå ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èçèêè. Ñàðîâ: Ô ÓÏ ¾ÔßÖ-ÂÍÈÈÝÔ¿, 2006.

[23℄ Äóáèíîâ À.Å., Äóáèíîâà È.Ä., Ñàéêîâ Ñ.Ê.

[24℄ Æàáîòèíñêèé À.Ì. Ïåðèîäè÷åñêèå îêèñëèòåëüíûå ðåàêöèè â æèäêîé àçå.

Äîêë. ÀÍ ÑÑÑ,

1964, ò. 157,  2, ñ. 392395.

[25℄ Æàáîòèíñêèé À.Ì. Ïåðèîäè÷åñêèå ïðîöåññû îêèñëåíèÿ ìàëîíîâîé êèñëîòû â
ðàñòâîðå (èññëåäîâàíèå êèíåòèêè ðåàêöèè Áåëîóñîâà).

Áèîèçèêà,

1964, ò. 9,

ñ. 306310.

Ñïðàâî÷íèê ïî äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ
÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003.

[26℄ Çàéöåâ Â.Ô., Ïîëÿíèí À.Ä.

[27℄ Çàõàðîâ À.Ï., Áðàöóí Ä.À. Àäàïòèâíûé àëãîðèòì õðàíåíèÿ ïîëåé ïðè ðàñ÷åòå
äèíàìèêè ñïëîøíîé ñðåäû ñ íàñëåäñòâåííîé èëè çàïàçäûâàþùåé îáðàòíîé
ñâÿçüþ.

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä,

[28℄ Æèâîòîâñêèé

Ë.Ë. Àáñîëþòíàÿ

óðàâíåíèé ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè.

ñ îòêë. àðãóìåíòîì, 1969, ò.
[29℄ Êàëèòêèí Í.Í.

[31℄ Êàìåíñêèé
àðãóìåíòîì.

äèåðåíöèàëüíûõ

Òð. ñåìèíàðà ïî òåîðèè äè. óðàâí.

7, ñ. 8291.

×èñëåííûå ìåòîäû.

[30℄ Êàëèòêèí Í.Í., Êîðÿêèí Ï.Â.

÷åñêîé èçèêè.

2013, ò.6,  2, ñ.198206.

óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèé

Ì.: Íàóêà, 1978.

×èñëåííûå ìåòîäû. Êí. 2. Ìåòîäû ìàòåìàòè-

Ì.: Àêàäåìèÿ, 2013.

.À. Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþùèìñÿ

Íàó÷íûå äîêëàäû âûñøåé øêîëû, Ôèç.-Ìàò. Íàóêè,

1958, ò. 2,

ñ. 6066.

Ñïðàâî÷íèê ïî äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ì.: Íàóêà, 1966.

[32℄ Êàìêå Ý.

[33℄ Êàìêå Ý.

èçä.

Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, 5-å

Ì.: Íàóêà, 1976.

[34℄ Êàíòîðîâè÷ Ë.Â., Êðûëîâ Â.È.

èçä.

Ì.-Ë.:

[35℄ Êàðñëîó

Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû âûñøåãî àíàëèçà, 5-å

îñ. èçä-âî èç.-ìàò. ëèò., 1962.

., Åãåð Ä. Òåïëîïðîâîäíîñòü òâåðäûõ òåë. Ì.: Íàóêà, 1964.

[36℄ Êàùåíêî Ñ.À. Öèêëè÷åñêèå ðèñêè è ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì.  êí.:

íèå ðèñêîì. èñê, óñòîé÷èâîå ðàçâèòèå, ñèíåðãåòèêà. Ì.:

Óïðàâëå-

Íàóêà, 2000.

[37℄ Êàùåíêî Ñ.À. Àñèìïòîòèêà ðåøåíèé îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿ Õàò÷èíñîíà.

äåë. è àíàëèç èíîðì. ñèñòåì, 2012, ò.

19,  3, ñ. 3262.

Ìî-

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

434

[38℄ Êàùåíêî È. Ñ., Êàùåíêî Ñ. À. Äèíàìèêà ëîãèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì è ñ áîëüøèì êîýèöèåíòîì ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííîãî

Æóðí. âû÷. ìàò. è ìàò. èç.,

óïðàâëåíèÿ.

[39℄ Êàùåíêî Ñ.À., Ìàéîðîâ Â.Â.

2014, ò. 54,  5, ñ. 766778.

Ìîäåëè âîëíîâîé ïàìÿòè, 2-å èçä. Ì.: ÓÑÑ, 2013.

[40℄ Êîëåñîâ À.Þ., îçîâ Í.Õ. Òåîðèÿ ðåëàêñàöèîííûõ êîëåáàíèé äëÿ óðàâíåíèÿ
Õàò÷èíñîíà.

Ìàò. ñáîðíèê, 2011, ò.

202,  6, ñ. 5182.

[41℄ Êîëìîãîðîâ À.Í., Ïåòðîâñêèé È. ., Ïèñêóíîâ Í.Ñ. Èññëåäîâàíèå óðàâíåíèÿ
äèóçèè, ñîåäèíåííîé ñ âîçðàñòàíèåì âåùåñòâà, è åãî ïðèìåíåíèå ê îäíîé
áèîëîãè÷åñêîé ïðîáëåìå.

Áþëë. Ì Ó, Ñåðèÿ À: Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà, 1937,

ò. 1, ñ. 126.
[42℄ Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À., Âàéíèêêî
êî Â.ß.

.Ì., Çàáðåéêî Ï.Ï., óòèöêèé ß.Á., Ñòåöåí-

Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Ì.:

[43℄ Êðàéíîâ À.Þ., Ìèíüêîâ Ë.Ë.

ìàññîïåðåíîñà. Òîìñê:

Íàóêà, 1969.

×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ òåïëî- è

STT, 2016.

[44℄ Êóäèíîâ Â.À., Êóäèíîâ È.Â. Îá îäíîì ìåòîäå ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ìåòîäîâ.

íàóêè,

Âåñòí. Ñàì. ãîñ. òåõí. óí-òà. Ñåð. èç.-ìàò.

2010,  5 (21), ñ. 159169.

[45℄ Êóäðÿøîâ Í.A.

Ìåòîäû íåëèíåéíîé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.

Äîëãîïðóäíûé:

Èçä. äîì ¾Èíòåëëåêò¿, 2010.
[46℄ Ëàâðåíòüåâ Ì.À., Øàáàò Á.Â.

íîãî.

Ìåòîäû òåîðèè óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåí-

Ì.: Íàóêà, 1973.

[47℄ Ëûêîâ À.Â.

Òåîðèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ì.:

Âûñøàÿ øêîëà, 1967.

Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Íàóêà, 1965.

[48℄ Ìèõëèí Ñ. ., Ñìîëèöêèé Õ.Ë.

[49℄ Ìûøêèñ À.Ä. Îáùàÿ òåîðèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàþùèì
àðãóìåíòîì.

ÓÌÍ,

[50℄ Ìûøêèñ À.Ä.

ìåíòîì.

1949, ò. 4,  5(33), ñ. 99141.

Ëèíåéíûå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì àðãó-

Ì.: Íàóêà, 1972.

[51℄ Îâñÿííèêîâ Ë.Â.

ðóïïîâûå ñâîéñòâà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Íîâîñè-

áèðñê: Èçä-âî ÑÎ ÀÍ ÑÑÑ, 1962.
[52℄ Îëâåð Ï.

Ïðèëîæåíèÿ ãðóïï Ëè ê äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.

Ì.: Ìèð,

1989.
[53℄ Îíàíîâ

. ., Ñêóáà÷åâñêèé À.Ë. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ îòêëîíÿþùè-

ìèñÿ àðãóìåíòàìè â ñòàöèîíàðíûõ çàäà÷àõ ìåõàíèêè äåîðìèðóåìîãî òåëà.

Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà, 1979, ò.

15,  5, ñ. 3047.

àçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ñ íàñëåäñòâåííîñòüþ. Åêàòåðèíáóðã: Èçä-âî Óðàëüñêîãî óíèâåðñèòåòà, 2014.

[54℄ Ïèìåíîâ Â. .

[55℄ Ïèìåíîâ Â. ., ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ
çàïàçäûâàíèåì.

Âåñòí. Óäìóðòñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõ. Êîìïüþò. íàóêè,

2008,

 2, ñ. 113116.
[56℄ Ïèìåíîâ Â. .

×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñ íàñëåäñòâåííîñòüþ. Ì.:

Þðàéò, 2021.
[57℄ Ïèííè Ý.

Îáûêíîâåííûå äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ.

èí. ëèò-ðû, 1961.

Ì.: Èçä-âî

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

435

[58℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Àêñåíîâ À.Â. Èñïîëüçîâàíèå ïðîñòûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ ðåøåíèé.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿,

2021, ò. 9,  5, ñ. 420437.

[59℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Âÿçüìèí À.Â. Äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå ìîäåëè è óðàâíå-

[60℄

[61℄

[62℄

[63℄

íèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè è äèóçèè ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè. Òåîð.
îñíîâû õèì. òåõíîëîãèè, 2013, ò. 47,  3, ñ. 27278.
Ïîëÿíèí À.Ä., Æóðîâ À.È. Ìåòîäû ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ è òî÷íûå ðåøåíèÿ
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ì.: ÈÏÌåõ ÀÍ, 2020.
Ïîëÿíèí À. Ä., Çàéöåâ Â. Ô. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè,
ò. 1. Ì.: Þðàéò, 2017.
Ïîëÿíèí À. Ä., Çàéöåâ Â. Ô. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè,
ò. 2. Ì.: Þðàéò, 2017.
Ïîëÿíèí A.Ä., Çàéöåâ Â.Ô., Æóðîâ A.È. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè è ìåõàíèêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005.

[64℄ Ïîëÿíèí

À.Ä.,

Ñîðîêèí

Â. .

Òî÷íûå

ðåøåíèÿ

íåëèíåéíûõ

ðåàêöèîííî-

äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì.

ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2014, ò.

Âåñòíèê

3,  2, ñ. 141148.

[65℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . Íåëèíåéíûå ðåàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì: Òî÷íûå ðåøåíèÿ òèïà áåãóùåé âîëíû.

¾ÌÈÔÈ¿,

Âåñòíèê ÍÈßÓ

2015, ò. 4,  2, ñ. 119126.

[66℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì: Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è êà÷åñòâåííûå îñîáåííîñòè.

¾ÌÈÔÈ¿,

Âåñòíèê ÍÈßÓ

2017, ò. 6,  1, ñ. 4155.

[67℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . åàêöèîííî-äèóçèîííûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì: ×èñëåííûå ìåòîäû è òåñòîâûå çàäà÷è.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2017,

ò. 6,  2, ñ. 126142.
[68℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . Îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé
ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ è

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿,

áîëåå ñëîæíûõ

óðàâíåíèé

ñ

çàïàçäûâàíèåì.

2018, ò. 7,  5, ñ. 389404.

[69℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . Ïîñòðîåíèå òî÷íûõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ñ çàïàçäûâàíèåì ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé áîëåå
ïðîñòûõ óðàâíåíèé áåç çàïàçäûâàíèÿ.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2020, ò. 9,  2,

ñ. 115128.
[70℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. . Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ñ ïåðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì òèïà ïàíòîãðàà.

¾ÌÈÔÈ¿,

Âåñòíèê ÍÈßÓ

2020, ò. 9,  4, ñ. 315328.

[71℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. ., Âÿçüìèí À.Â. Òî÷íûå ðåøåíèÿ è êà÷åñòâåííûå
îñîáåííîñòè íåëèíåéíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ðåàêöèîííî-äèóçèîííûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì.

Òåîð. îñíîâû õèì. òåõíîë.,

2015, ò. 49,  5, ñ. 527541.

[72℄ Ïîëÿíèí À.Ä., Ñîðîêèí Â. ., Âÿçüìèí À.Â. åàêöèîííî-äèóçèîííûå ìîäåëè
ñ çàïàçäûâàíèåì: Íåêîòîðûå ñâîéñòâà, óðàâíåíèÿ, çàäà÷è è ðåøåíèÿ.

îñíîâû õèì. òåõíîë., 2018, ò.

[73℄ îìàíîâñêèé Þ.Ì., Ñòåïàíîâà Í.Â., ×åðíàâñêèé Ä.Ñ.

çèêà.

Òåîð.

52,  3, ñ. 278293.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîè-

Ì.: Íàóêà, 1984.

[74℄ îññîâñêèé Ë.Å. Ýëëèïòè÷åñêèå óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
ñî ñæàòèÿìè àðãóìåíòîâ.

Äîêëàäû ÀÍ,

2006, ò. 411,  2, ñ. 161163.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

436

[75℄ îññîâñêèé Ë.Å. Ýëëèïòè÷åñêèå óíêöèîíàëüíî-äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

[76℄
[77℄

ñî ñæàòèåì è ðàñòÿæåíèåì àðãóìåíòîâ íåèçâåñòíîé óíêöèè. Ñîâðåìåííàÿ
ìàòåìàòèêà. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ, 2014, ò. 54, ñ. 3138.
Ñàìàðñêèé À.À., óëèí À.Â. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1989.
Ñèäîðîâ A.Ô., Øàïååâ Â.Ï., ßíåíêî Í.Í. Ìåòîä äèåðåíöèàëüíûõ ñâÿçåé è
åãî ïðèëîæåíèÿ â ãàçîâîé äèíàìèêå. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1984.

[78℄ Ñêóáà÷åâñêèé

À.Ë.

Êðàåâûå

çàäà÷è

äëÿ

ýëëèïòè÷åñêèõ

äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è èõ ïðèëîæåíèÿ.

óíêöèîíàëüíî-

Óñïåõè ìàò. íàóê,

2016, ò. 71,

 5(431), ñ. 3112.
[79℄ Ñîáîëåâ Ñ.Ë. Ïðîöåññû ïåðåíîñà è áåãóùèå âîëíû â ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ
ñèñòåìàõ.

Óñïåõè èç. íàóê,

1991, ò. 161,  3, ñ. 529.

[80℄ Ñîáîëåâ Ñ.Ë. Âëèÿíèå ëîêàëüíîé íåðàâíîâåñíîñòè íà âûñîêîñêîðîñòíîå çàòâåðäåâàíèå áèíàðíûõ ñïëàâîâ.
[81℄ Ñîðîêèí

Â. .

Òî÷íûå

Æóðí. òåõí. èçèêè,

ðåøåíèÿ

íåêîòîðûõ

äèåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé.

1998, ò. 68,  3, ñ. 4552.

íåëèíåéíûõ

îáûêíîâåííûõ

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2015, ò.

4,

 6, ñ. 493500.
[82℄ Ñîðîêèí Â. . Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ çàïàçäûâàíèåì.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿,

2016, ò. 5,  3, ñ. 199219.
[83℄ Ñîðîêèí Â. . ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Êëåéíà 
îðäîíà ñ çàïàçäûâàíèåì ìåòîäîì ïðÿìûõ.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2019, ò. 8,

 3, ñ. 232247.
[84℄ Ñîðîêèí Â. . Òî÷íûå ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ òåëåãðàíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì.

Âåñòíèê ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿,

2019, ò. 8,  5, ñ. 453464.

[85℄ Ñîðîêèí Â. ., Ïîëÿíèí À.Ä. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå íåëèíåéíûõ çàäà÷
ðåàêöèîííî-äèóçèîííîãî òèïà ñ çàïàçäûâàíèåì ìåòîäîì ïðÿìûõ.

[86℄

ÍÈßÓ ¾ÌÈÔÈ¿, 2018, ò. 7,  3, ñ. 211227.
Òàãàíîâ È.Í. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ìàññî- è ýíåðãîïåðåíîñà.

Âåñòíèê

Ë.: Õèìèÿ,

1979.
[87℄ Òèòîâ Ñ.Ñ. Î ðåøåíèÿõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â âèäå
ìíîãî÷ëåíîâ ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ.

ñðåäû,

×èñëåííûå ìåòîäû ìåõàíèêè ñïëîøíîé

Íîâîñèáèðñê, 1977, ò. 8,  1, ñ. 144149.

[88℄ Òèòîâ Ñ.Ñ., Óñòèíîâ Â.À. Èññëåäîâàíèå ìíîãî÷ëåííûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé
èëüòðàöèè ãàçà ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû.

íèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñëåäû

Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøå-

(ñá. íàó÷. òðóäîâ). Óðàë. îòä-íèå

ÀÍ ÑÑÑ, Èíñò. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè, 1985, ñ. 6470.
[89℄ Òèòîâ Ñ.Ñ. Ìåòîä êîíå÷íîìåðíûõ êîëåö äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.

Àýðîäèíàìèêà

(ðåä. Ò.Ï. Èâàíîâà), Ñàðàòîâñêèé óí-ò,

1988, ñ. 104110.
[90℄ Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À.

Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ì.:

Íàóêà,

1972.

×èñëåííûå ìåòîäû íà îñíîâå ìåòîäà àë¼ðêèíà. Ì.: Ìèð, 1988.
. åøåíèå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Æåñòêèå è äèåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1999.
Õàéðåð Ý., Íåðñåòò , Âàííåð . åøåíèå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. Íåæåñòêèå çàäà÷è. Ì.: Ìèð, 1990

[91℄ Ôëåò÷åð Ê.

[92℄ Õàéðåð Ý., Âàííåð

[93℄

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

437

Ââåäåíèå â òåîðèþ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ îòêëîíÿþùèìñÿ àðãóìåíòîì. Ì.: Íàóêà, 1971.

[94℄ Ýëüñãîëüö Ë.Ý., Íîðêèí Ñ.Á.

[95℄ Ýñòåâåñ Ï. ., ×ó ×. àçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â íåëèíåéíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèÿõ
ñ ïåðåìåííîé âîëíîâîé ñêîðîñòüþ.

Òåîð. ìàò. èçèêà, 2002, ò. 133,  2, ñ. 202

210.
[96℄ ßíåíêî Í.Í. Òåîðèÿ ñîâìåñòíîñòè è ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Òðóäû IV Âñåñîþçíîãî ìàò. ñúåçäà,
òîì 2, ñ. 613621. Ë.: Íàóêà, 1964.
[97℄ Abazari R., Ganji M. Extended two-dimensional DTM and its appli ation on
nonlinear PDEs with proportional delay.

Int. J. Comput. Math.,

2011, Vol. 88,

pp. 17491762.
[98℄ Abbaoui K., and Cherruault Y. Convergen e of Adomian's method applied to

Computers Math. Appli ., 1994, Vol. 28, No. 5, pp. 103109.
Clarkson P.A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse

differential equations.
[99℄ Ablowitz M.J.,

S attering. Cambridge: Cambridge Univ.

Press, 1991.

[100℄ Adimy M., Crauste F., Ruan S. A mathemati al study of the hematopoiesis pro ess
with appli ations to

hroni

SIAM J. Appl. Math.,

myelogenous leukemia.

2005,

Vol. 65, No. 4, pp. 13281352.
[101℄ Adomian G.

Nonlinear Sto hasti Operator Equations.

Orlando: A ademi

Press,

1986.

J. Math.
Anal. Appl., 1988, Vol. 135, pp. 501544.
Adomian G. Solving Frontier Problems of Physi s: The De omposition Method.

[102℄ Adomian G. A review of the de omposition method in applied mathemati s.
[103℄

Boston: Kluwer, 1994.
[104℄ Aiello W.G., Freedman H.I., Wu J. Analysis of a model representing stage-stru tured
population growth with state-dependent time delay.

SIAM J. Appl. Math.,

1992,

Vol. 52, No. 3, pp. 855869.
[105℄ Aksenov A.V., Polyanin A.D. Methods for
nonlinear PDEs using simpler solutions.

onstru ting

Mathemati s,

omplex solutions of

2021, Vol. 9, No. 4, 345.

[106℄ Ambartsumyan V.A. On the flu tuation of the brightness of the Milky Way.

Akad. Nauk SSSR, 1944, Vol.

[107℄ Ames W.F., Lohner J.R., Adams E. Group properties of

Linear Me h.,

Dokl.

44, pp. 223226.

utt = [f (u)ux ]x . Int. J. Non-

1981, Vol. 16, No. 56, pp. 439447.

[108℄ Aminikhah H., Dehghan P. GDTM-Pade te hnique for solving the nonlinear delay
differential equations.

Comput. Resear h Progress Appl. S ien e & Eng.,

2015,

Vol. 1, No. 4, pp. 112125.
[109℄ Anderson R.M., May R.M. Population biology of infe tious diseases: Part I.

Nature,

1979, Vol. 280, pp. 361367.
[110℄ Andrews G.A.

Number Theory.

Philadelphia: Saunders, 1971.

[111℄ Antaki P.J. Analysis of hyperboli heat
onve tion.
[112℄ Are

Int J. Heat Mass Transfer,

hi F.T., Gia omelli G., Lapu

ondu tion in a semi-infinite slab with surfa e
1997, Vol. 40, No. 13, pp. 32473250.

i A., Meu

delayed feedba k: The short-delay regime.

i R. Dynami s of a

Phys. Rev. A,

CO2

laser with

1991, Vol. 43, No. 9,

pp. 49975004.
[113℄ Arik S. Global asymptoti
time delay.

Phys. Lett. A,

stability of a larger

lass of neural networks with

2003, Vol. 311, pp. 504511.

onstant

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

438

[114℄ Arrigo D., Broadbridge P., Hill J.M. Non lassi al symmetry solutions and the
methods of Bluman  Cole and Clarkson  Kruskal.

J. Math. Phys.,

1993, Vol. 34,

pp. 46924703.
[115℄ Asl F.M., Ulsoy A.G. Analysis of a system of linear delay differential equations.

ASME J. Dynami

Systems, Measurement and Control,

2003, Vol. 125, No. 2,

pp. 215223.
[116℄ Azbelev N.V., Simonov P.M.

Stability of Differential Equations with Aftereffe t.

London: Taylor & Fran is, 2002.
[117℄ Bahgat M.S.M. Approximate analyti al solution of the linear and nonlinear multipantograph delay differential equations.

Physi a S ripta,

2020, Vol. 95, No. 5,

055219.
[118℄ Bahsi M.M., Cevik M. Numeri al solution of pantograph-type delay differential
equations using perturbation-iteration algorithms.

J. Applied Math., 2015, Vol.

2015,

139821.
[119℄ Bai Z., Wu S.-L. Traveling waves in a delayed SIR epidemi
in iden e.
[120℄ Baker

Appl. Meth. Comput., 2015, Vol.

C.T.H.,

Paul

C.A.H,

Will

e

D.R.

evolutionary delay differential equations.

model with nonlinear

263, pp. 221232.
Issues

in

the

numeri al solution

of

Adv. Comput. Math., 1995, Vol. 3, pp. 171

196.
[121℄ Banerjee S., Sarkar R. R. Delay-indu ed model for tumorimmune intera tion and
ontrol of malignant tumor growth.

Biosystems,

Vol. 91, No. 1, pp. 268288.

[122℄ Banks H.T., Kappel F. Spline approximations for fun tional differential equations.

J. Differ. Equations, 1979, Vol.

34, pp. 496522.

[123℄ Barry D.A., Parlange J.-Y., Li L., Prommer H., Cunningham C.J., Stagnitti F.
Analyti al approximations for real values of the Lambert

Simul.,

W-fun

Math. Comput.

tion.

2000, Vol. 53, No. 12, pp. 95103.

[124℄ Basse B., Wake G.C., Wall D.J.N., van Brunt B. On a

Math. Med. Biol., 2004, Vol.

ell-growth model for plankton.

21, No. 1, pp. 4961.

[125℄ Bekela A.S., Bela hew M.T., Wole G.A. A numeri al method using Lapla elike transform and variational theory for solving time-fra tional nonlinear partial
differential equations with proportional delay.

Adv. Differen e Equations,

2020,

Vol. 2020, 586.
[126℄ Bellen A. One-step

Math.,

ollo ation for delay differential equations.

J. Comput. Appl.

1984, Vol. 10, pp. 275283.

[127℄ Bellen A., Guglielmi N., Torelli L. Asymptoti
the pantograph equation.

stability properties of

Appl. Numer. Math., 1997, Vol.

θ-methods

for

24, pp. 279293.

[128℄ Bellen A., Maset S., Zennaro M., Guglielmi N. Re ent trends in the numeri al
solution of retarded fun tional differential equations.

A ta Numeri a,

2009, Vol. 18,

p. 1110.
[129℄ Bellen A., Zennaro M. Numeri al solution of delay differential equations by uniform
orre tions to an impli it Runge  Kutta method.

Numer. Math.,

1985, Vol. 47,

pp. 301316.
[130℄ Bellen A., Zennaro M.

Numeri al Methods for Delay Differential Equations. Oxford:

Oxford University Press, 2013.
[131℄ Bellman R. On the

J. Math. Anal. Appl.,

omputational solution of differential-differen e equations.
1961, Vol. 2, pp. 108110.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
[132℄ Bellman R., Cooke K.L. On the
differential equations.

439

omputational solution of a

J. Math. Anal. Appl., 1965, Vol.

lass of fun tional

12, pp. 495500.

[133℄ Benhammouda B., Vazquez-Leal H., Hernandez-Martinez L. Pro edure for exa t

British J. Math. &

solutions of nonlinear pantograph delay differential equations.

Comp. S ien e,

2014, Vol. 4, No. 19, pp. 27382751.

[134℄ Beretta E., Takeu hi Y. Global stability of an SIR epidemi

J. Math. Biol.,

model with time delays.

1995, Vol. 33, pp. 250260.

[135℄ Beretta E., Takeu hi Y. Convergen e results in SIR epidemi
population sizes.

Nonl. Anal., 1997, Vol.

model with varying

28, pp. 19091921.

[136℄ Berezansky L., Braverman E. On os illation of a food-limited population model with
time delay.

Abstr. Appl. Anal., 2003, Vol.

1, pp. 5566.

[137℄ Berezansky L., Braverman E. Ma key  Glass equation with variable

Comput. Math. Appl., 2006, Vol.

oeffi ients.

51, pp. 116.

[138℄ Berezansky L., Braverman E., Idels L. Ni holson's blowflies differential equations

Appl. Math. Modelling,

revisited: Main results and open problems.

2010, Vol. 34,

pp. 14051417.
[139℄ Berezovsky F., Karev G., Song B., Castillo-Chavez C. A simple epidemi
with surprising dynami s.

Math. Bios i. Eng., 2005, Vol.

[140℄ Bertrand J., Bertrand P., Ovarlez J. The Mellin Transform. In:

Appli ations Handbook, 2nd ed.

model

2, No. 1, pp. 133152.

The Transforms and

(ed. Poularikas A.D.), Bo a Raton: CRC Press,

2000.
[141℄ Bhalekar S., Daftardar-Gejji V. Convergen e of the new iterative method.

Differ. Equations, 2011, Vol.

Int. J.

2011, 989065; https://doi.org/10.1155/2011/989065.

[142℄ Bhalekar S., Patade J. Analyti al solutions of nonlinear equations with proportional
delays.

Appl. Comput. Math.,

2016, Vol. 15, No. 3, pp. 331445.

[143℄ Bhrawy A.H., Abdelkawy M.A., Mallawi F. An a
s heme for multi-dimensional paraboli

Probl.,

urate Chebyshev pseudospe tral

problems with time delays.

Bound. Value

2015, 103.

[144℄ Blakely J.N., Corron N.J. Experimental observation of delay-indu ed radio frequen y
haos in a transmission line os illator.

Chaos,

2004, Vol. 14, pp. 10351041.

[145℄ Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation.

Me h.,

J. Math.

1969, Vol. 18, pp. 10251042.

[146℄ Bluman G.W., Cole J.D.

Similarity Methods for Differential Equations.

New York:

Springer, 1974.
[147℄ Bluman G.W., Temuer haolu, Sahadevan R. Lo al and nonlo al symmetries for
nonlinear telegraph equation.

J. Math. Phys.,

2005, Vol. 46, 023505.

[148℄ Bo harov G.A., Mar huk G.I., Romanyukha A.A. Numeri al solution by LMMs of
stiff delay differential systems modelling an immune response.

Numer. Math.,

1996,

Vol. 73, pp. 131148.
[149℄ Bo harov G.A., Rihan F.A.
differential equations.

Numeri al modelling in bios ien es using delay

J. Comput. Appl. Math., 2000, Vol. 125, No. 12, pp. 183199.

[150℄ Bodnar M. On the differen es and similarities of the first order delay and ordinary
differential equations.
[151℄ Bodnar

M.

J. Math. Anal. Appl, 2004, Vol.

Differential

equations

with

time

300, pp. 172188.

delay.

MIM

Colloquium, 2016,

https://www.mimuw.edu.pl/sites/default/files/seminaria/kolokwium-12-2016.pdf.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

440

[152℄ Boese F.G. Stability with respe t to the delay: On a paper of K. L. Cooke and P. van
den Driess he.

J. Math. Anal. Appl., 1998, Vol.

228, No. 2, pp. 293321.

[153℄ Borges E.P. A possible deformed algebra and
thermostatisti s.

Physi a A,

al ulus inspired in nonextensive

2004, Vol. 340, pp. 95101.

[154℄ Borwein J.M., Corless R.M. Emerging tools for experimental mathemati s.

Math. Mon.,

Am.

1999, Vol. 106, No. 10, pp. 889909.

[155℄ Bratsun D., Zakharov A. Adaptive numeri al simulations of rea tion-diffusion
systems with history and time-delayed feedba k. In: ISCS 2013: Interdis iplinary
Symposium on Complex Systems: Emergen e, Complexity and Computation, Vol. 8,
pp. 7081. Berlin: Springer, 2014.

Stability of Linear Delay Differential Equations.
A Numeri al Approa h with MATLAB. New York: Springer, 2015.
Britton N.F. Rea tion-Diffusion Equations and Their Appli ations to Biology. New

[156℄ Breda D., Maset S., Vermiglio R.

[157℄

York: A ademi

Press, 1986.

[158℄ Brown P.N., Hindmarsh A.C., Petzold L.R. Using Krylov Methods in the Solution
of Large-S ale Differential-Algebrai

Systems.

SIAM J. S i. Comput., 1994, Vol. 15,

pp. 14671488.
[159℄ Brown P.N., Hindmarsh A.C., Petzold L.R. Consistent Initial Condition Cal ulation
for Differential-Algebrai

Systems.

SIAM J. S i. Comput.,

1998, Vol. 19, pp. 1495

1512.
[160℄ Brunner H., Huang Q., Xie H. Dis ontinuous Galerkin methods for delay differential
equations of pantograph type.

SIAM J. Numer. Anal., 2010, Vol. 48, No. 5, pp. 1944

1967.
[161℄ Brunner H., Maset S. Time transformations for delay differential equations.

Contin. Dyn. Syst.,

[162℄ Bueler E, But her E. A. Stability of periodi

linear delay-differential equations and

the Chebyshev approximation of fundamentalsolutions.

03.

Dis rete

2009, Vol. 25, No. 3, pp. 751775.

Te hni al report, No. 02

Department of Math. S ien es, University of Alaska Fairbanks, 2002.

[163℄ Butzer P.L., Jans he S. A dire t approa h to the Mellin transform.

Appl.,1997, Vol.

[164℄ Cahlon B., S hmidt D. Stability
equations.

J. Fourier Anal.

3, No. 4, pp. 325376.
riteria for

ertain se ond order delay differential

Dyn. Continuous Dis rete Impulsive Systems, 2003, Vol. 10, pp. 593621.

[165℄ Cahlon B., S hmidt D. Stability
equations with mixed

oeffi ients.

riteria for

ertain se ond-order delay differential

J. Comput. Appl. Math.,

2004, Vol. 170, No. 1,

pp. 79102.
[166℄ Cai Y. et al. Spatiotemporal dynami s in a rea tion-diffusion epidemi
a time-delay in transmission.

Int. J. Bifur . Chaos Appl. S i. Eng.,

model with

2015, Vol. 25,

No. 8, 1550099.

Spe tral Transform and Solitons: Tolls to Solve and
Investigate Nonlinear Evolution Equations. Amsterdam: North-Holland Publ., 1982.
Cantrell R.S., Cosner C. Spatial E ology via Rea tionDiffusion Equations.

[167℄ Calogero F., Degasperis A.

[168℄

Chi hester: John Wiley & Sons, 2003.

Spe tral Methods: Evolution to
Complex Geometries and Appli ations to Fluid Dynami s. Berlin: Springer, 2007.

[169℄ Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A.

[170℄ Cao J. New results

on erning exponential stability and periodi

ellular neural networks.

Phys. Lett. A,

solutions of delayed

2003, Vol. 307, pp. 136147.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

441

[171℄ Cao J., Liang J., Lam J. Exponential stability of high-order bidire tional asso iative
memory neural networks with time delays.

Physi a D,

2004, Vol. 199, No. 34,

pp. 425436.
[172℄ Capasso V., Serio G. A generalization of the Kerma k  M Kendri k deterministi
epidemi

Math. Bios i., 1978, Vol. 42, pp. 4361.
Jaeger J.C. Condu tion of Heat in Solids.

model.

[173℄ Carslaw H.S.,

Oxford: Clarendon Press,

1984.
[174℄ Casal A.C., D
az J.I., Vegas J.M. Blow-up in some ordinary and partial differential
equations with time-delay.
[175℄ Cattaneo C. Sulla

Dynam. Syst. Appl., 2009, Vol. 18, pp. 2946.
alore. Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena,

onduzione de

1948,

Vol. 3, pp. 321.
[176℄ Cattaneo C. Sur une forme de l'

equation de la
propagation instantan

ee


liminant le paradoxe d'une
haleur e

Comptes Rendus, 1958, Vol.

247, pp. 431433.

[177℄ Chattopadhyay J., Sarkar R.R., el Abdllaoui A. A delay differential equation model
on harmful algal blooms in the presen e of toxi

Biol.,

substan es.

IMA J. Math. Med.

2002, Vol. 19, No. 2, pp. 137161.

[178℄ Chen S., Shi J., Wei J. A note on Hopf bifur ations in a delayed diffusive Lotka 
Volterra predatorprey system.

Comput. & Math. Appl., 2011, Vol. 62, pp. 2242245.

[179℄ Cheng Y., Lu D., Zhou J., Wei J. Existen e of traveling wave solutions with
speed in a delayed diffusive epidemi

model.

riti al

Adv. Differ. Equations, 2019, 494.

[180℄ Cherniha R.M. Conditional symmetries for systems of PDEs: new definitions and

J. Phys. A: Math. Theor.,

their appli ation for rea tiondiffusion systems.

2010,

Vol. 43, 405207.

Nonlinear Rea tion-Diffusion Systems: Conditional
Symmetry, Exa t Solutions and Their Appli ations in Biology. Cham: Springer, 2017.
Cherniha R., Serov M., Pliukhin O. Nonlinear Rea tion-Diffusion-Conve tion
Equations: Lie and Conditional Symmetry, Exa t Solutions and Their Appli ations.

[181℄ Cherniha R., Davydovy h V.
[182℄

Bo a Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2018.
[183℄ Cherniha R., Davydovy h V. New

onditional symmetries and exa t solutions of the

diffusive two- omponent Lotka  Volterra system.

Mathemati s, 2021, Vol. 9, No. 16,

1984.
[184℄ Cherruault Y. Convergen e of Adomian's method.

Kybernetes, 1989, Vol.

18, No. 2,

pp. 3138.

Almeida G.G. Analysis of a HBV model with diffusion and
[185℄ Ch
 N.C., Vales E.A,
time delay.

J. Appl. Math.,

2012, 578561.

[186℄ Chuma J., van den Driess he P. A general se ond-order trans endental equation.

App. Math. Notes,

1980, Vol. 5, pp. 8596.

[187℄ Clarkson P.A. Non lassi al symmetry redu tions of the Boussinesq equation.

Solitons & Fra tals,

Chaos,

1995, Vol. 5, pp. 22612301.

[188℄ Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity redu tions of the Boussinesq equation.

J. Math. Phys.,

1989, Vol. 30, No. 10, pp. 22012213.

[189℄ Clarkson P.A., Ludlow D.K., Priestley T.J. The

lassi al, dire t and non lassi al

methods for symmetry redu tions of nonlinear partial differential equations.

Appl. Anal., 1997, Vol.

Methods

4, No. 2, pp. 173195.

[190℄ Clarkson P.A., M Leod J.B., Olver P.J., Ramani R. Integrability of Klein  Gordon
equations.

SIAM J. Math. Anal., 1986, Vol.

17, pp. 798802.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

442

[191℄ Cohen D.S., Rosenblat S. Multi-spe ies intera tions with hereditary effe ts and
spatial diffusion.

J. Math. Biol., 1979, Vol.

7, pp. 231241.

[192℄ Cook R.J., Milonni P.W. Quantum theory of an atom near partially refle ting walls.

Phys. Rev. A,

1987, Vol. 35, No. 12, pp. 50815087.

[193℄ Cooke K.L. Stability analysis for a ve tor disease model.

Ro ky Mountain J. Math.,

1979, Vol. 9, pp. 3142.
[194℄ Cooke K.L., Grossman Z. Dis rete delay, distributed delay and stability swit hes.

J. Math. Anal. Appl.,

1982, Vol. 86, pp. 592627.

[195℄ Cooke K.L., van den Driess he P. On zeroes of some trans endental equations.

Funk ialaj Ekva ioj, 1986, Vol.

29, pp. 7790.

[196℄ Corless R.M., Gonnet G.H. , Hare D.E.G., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert

W

fun tion.

Adv. Comput. Math.,

1996, Vol. 5, pp. 329359.

Delay and

[197℄ Cryer C.W. Numeri al methods for fun tional differential equations. In:

Fun tional Differential Equations and their Appli ations (ed. S
A ademi

hmitt K.), New York:

Press, 1972, pp. 17101.

[198℄ Cryer C.W., Tavernini L. The numeri al solution of Volterra fun tional differential
equations by Euler's method.

SIAM J. Numer. Anal.,

Vol. 9, No. 1, pp. 105129.

[199℄ Cui B.T., Yu Y.H., Lin S.Z. Os illations of solutions of delay hyperboli
equations.

A ta Math. Appl. Sini a, 1996, Vol.

differential

19. pp. 8088.

[200℄ Cui S., Xu Z. Interval os illation theorems for se ond order nonlinear partial delay
differential equations.

Differ. Equat. Appl.,

2009, Vol. 1.  3, pp. 379391.

[201℄ Culshaw R.V., Ruan A. A delay-differential equation model of HIV infe tion of
+
CD4 T- ells. Math. Bios i., 2000, Vol. 165, pp. 2739.
[202℄ Daftardar-Gejji V., Jafari H. An iterative method for solving nonlinear fun tional
equations.

J. Math. Anal. Appl.,

2006, Vol. 316, pp. 753763.

[203℄ Damsen R.A., Al-Odat M.Q., Al-Azab T.A., Shannak B.A., Aa-Hussien F.M.
Numeri al investigations and validation of hyperboli heat
to fast pre ooling of a slab food produ t.

ondu tion model applied

J. Indian Inst. S i., 2006, Vol. 86, pp. 695

703.
[204℄ Dankwerts P.V.

GasLiquid Rea tions. New

York: M Graw-Hill, 1970.

[205℄ Davidson F.A., Gourley S.A. The effe ts of temporal delays in a model for a foodlimited, diffusing population.

J. Math. Anal. Appl.,

2001, Vol. 261, pp. 633648.

[206℄ De Nevers K., S hmitt K. An appli ation of the shooting method to boundary value
problems for se ond order delay equations.

J. Math. Anal. Appl.,

1971, Vol. 36,

pp. 588597.
[207℄ Dehghan M., Shakeri F. The use of the de omposition pro edure of Adomian for
solving a delay differential equation arising in ele trodynami s.

Phys. S ripta, 2008,

Vol. 78, No. 6, 065004.

Nonequilibrium Thermodynami s: Transport and Rate Pro esses in
Physi al, Chemi al and Biologi al Systems, 2nd ed.. Amsterdam: Elsevier, 2007.

[208℄ Demirel Y.

[209℄ Derfel G., Grabner P.J., Ti hy R.F. On the asymptoti

behaviour of the zeros

of the solutions of a fun tional-differential equation with res aling. In:

Inner Produ t Spa es, S hur Analysis, and Differential Equations

Indefinite

(eds. Alpay D.,

Kirstein B.), pp. 281295. Cham: Birkh
auser, 2018.
[210℄ Derfel G., van Brunt B., Wake G.C. A

Differential Equations, 2012, Vol.

ell growth model revisited.

19, No. 12, pp. 7181.

Fun tional

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

443

[211℄ Dibl
k J., Fe kan M., Posp
s
 il M. Representation of a solution of the Cau hy problem
for an os illating system with two delays and permutable matri es.

Ukr. Math. J.,

2013, Vol. 65, pp. 6476.
[212℄ Doha H., Bhrawy A.H., Baleanu D., Hafez R.M. A new Ja obi rational  Gauss
ollo ation method for numeri al solution of generalized pantograph equations.

Numer. Math.,

Appl.

2014, Vol. 77, pp. 4354.

[213℄ Dorodnitsyn V.A., Kozlov R., Meleshko S.V., Winternitz P. Linear or linearizable
first-order delay ordinary differential equations and their Lie point symmetries.

J. Phys. A: Math. Theor.,

2018, Vol. 51, No. 20, 205203.

[214℄ Dorodnitsyn V.A., Kozlov R., Meleshko S.V., Winternitz P. Lie group
of first-order delay ordinary differential equations.

lassifi ation

J. Phys. A: Math. Theor.,

2018,

Vol. 51, No. 20, 205202.
[215℄ Doyle P.W., Vassiliou P.J. Separation of variables for the 1-dimensional non-linear

Int. J. Non-Linear Me h., 1998, Vol. 33, No. 2, pp. 315326.
Ordinary and delay differential equations. New York: Springer, 1977.

diffusion equation.
[216℄ Driver R.D.

[217℄ Ebert D., Lipsit h M., Mangin K.L. The effe t of parasites on host population density
and extin tion: experimental epidemiology with Daphnia and six mi roparasites.

Ameri an Naturalist,

2000, Vol. 156, No. 5, pp. 459477.

[218℄ Efendiev M., van Brunt B., Wake G.C., Zaidi A.A. A fun tional partial differential
equation arising in a

ell growth model with dispersion. Math. Meth. Appl. S i.,

2018, Vol. 41, No. 4, pp. 15411553.
[219℄ Eigen M., S huster P.

The Hyper y le: A Prin iple of Natural Self-Organization.

Berlin: Springer, 1979.
[220℄ El-Safty A., Salim M.S., El-Khatib M.A. Convergen e of the spline fun tions for
delay dynami

system.

Int. J. Comput. Math.,

2003, Vol. 80, No. 4, pp. 509518.

[221℄ EqWorld // Integral Transforms. URL: http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/auxinttrans.htm (a
[222℄ Erneux T.

essed: 27.12.2021).

Applied Delay Differential Equations. New

York: Springer, 2009.

[223℄ Est

evez P.G., Qu C., Zhang S. Separation of variables of a generalized porous
medium equation with nonlinear sour e.

J. Math. Anal. Appl., 2002, Vol. 275, pp. 44

59.
[224℄ Evans D.J., Raslan K.R. The Adomian de omposition method for solving delay
differential equation.

Int. J. Comput. Math.,

2005, Vol. 82, No. 1, pp. 4954.

[225℄ Ezzinbi K., Jazar M. Blow-up results for some nonlinear delay differential equations.

Positivity,

2006, Vol. 10, pp. 329341.

[226℄ Faria T. Stability and bifur ation for a delayed predatorprey model and the effe t of
diffusion.

J. Math. Anal. Appl.,

2001, Vol. 254, pp. 433463.

[227℄ Faria T., Trofim huk S. Nonmonotone travelling waves in a single spe ies rea tion
diffusion equation with delay.

J. Differ. Equations, 2006, Vol. 228, pp. 357376.
oupling. In: Oxford Companion to Global Change

[228℄ Fedorov A.V. O ean-atmosphere

(eds. Goudie A. and Cuff D.), pp. 369374. Oxford: Oxford University Press, 2008.
[229℄ Feldstein

M.A.,

Neves

K.W.

High-order

methods

differential equations with nonsmooth solutions.

for

state-dependent

delay

SIAM J. Numer. Anal., 1984, Vol. 21,

pp. 844863.

Pro eedings of the 6th
Berkeley Symposium on Mathemati al Statisti s and Probability, Vol. III (eds.

[230℄ Ferguson T.S. Lose a dollar or double your fortune. In:

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

444

L.M. Le Cam, J. Neyman, E.L. S ott), pp. 657666. Berkeley: Univ. California Press,
1972.
[231℄ Ferreira J.A., Da Silva P.M. Energy estimates for delay diffusion-rea tion equations.

J. Comput. Math., 2008, Vol.

26, No. 4, pp. 536553.

[232℄ Field R.J., Koros E., Noyes R.M. Os illations in

hemi al systems. II. Thorough

analysis of temporal os illation in the bromate- erium-maloni

Chem. So ., 1972, Vol.

[233℄ Field R.J., Noyes R.M. Os illations in
a model of a real

J. Am.

a id system.

94, No. 25, pp. 86498664

hemi al rea tion.

hemi al systems. IV. Limit

J. Chem. Phys., 1974, Vol.

y le behavior in

60, No. 5, pp. 1877

1884.
[234℄ Field R.J., Noyes R.M. Os illations in

hemi al systems. V. Quantitative explanation

of band migration in the Belousov  Zhabotinskii rea tion.

J. Amer. Chem. So .,

1974, Vol. 96, No. 7, pp. 20012006.
[235℄ Fife P.C.

Mathemati al Aspe ts of Rea tion and Diffusion Systems.

Berlin: Springer,

1979.
[236℄ Finlayson B.A.

The Method of Weighted Residuals and Variational Prin iples.

York: A ademi

New

Press, 1972.

[237℄ Fisher R.A. The wave of advan e of advantageous genes.

Ann Eugeni s,

1937,

Vol. 191, pp. 295298.
[238℄ Fornberg B.

A Pra ti al Guide to Pseudospe tral Methods.

Cambridge: Cambridge

University Press, 1996.
[239℄ Fort J., M

endez V. Wavefronts in time-delayed rea tiondiffusion systems. Theory
and

omparison to experiment.

Rep. Prog. Phys., 2002, Vol.

65, pp. 895954.

[240℄ Fox L., Mayers D., O kendon J.R., Tayler A.B. On a fun tional differential equation.

IMA J. Appl. Math.,

1971, Vol. 8, pp. 271307.

[241℄ Friese ke G. Exponentially growing solutions for a delay-diffusion equation with
negative feedba k.

J. Differ. Equations, 1992, Vol.

98, pp. 118.

[242℄ Galaktionov V.A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new
expli it solutions.

Nonlinear Anal. Theor. Meth. Appl., 1994, Vol.

23, pp. 1595621.

[243℄ Galaktionov V.A. Invariant subspa es and new expli it solutions to evolution
equations with quadrati

nonlinearities.

Pro . Roy. So . Edinburgh, Se t. A,

1995,

Vol. 125, No. 2, pp. 225246.
[244℄ Galaktionov V.A., Posashkov S.A., Svirsh hevskii S.R. On invariant sets and expli it
solutions of nonlinear evolution equations with quadrati

Integral Equations, 1995, Vol.

nonlinearities.

Dif. &

8, No. 8, pp. 19972024.

[245℄ Galaktionov V.A., Posashkov S.A., Svirsh hevskii S.R. Generalized separation of
variables for differential equations with polynomial nonlinearities.

Differ. Equations,

1995, Vol. 31, No. 2, pp. 233240.

Exa t Solutions and Invariant Subspa es of
Nonlinear Partial Differential Equations in Me hani s and Physi s. Bo a Raton:

[246℄ Galaktionov V.A., Svirsh hevskii S.R.
Chapman & Hall/CRC Press, 2007.
[247℄ Galovi
memory.

S., Kotoski D. Photothermal wave propagation in media with thermal

J. Applied Physi s,

2003, Vol. 93, No. 5, pp. 30633070.

[248℄ Gan Q., Xu R, Yang P. Travelling waves of a delayed SIRS epidemi
spatial diffusion.

Nonlinear Anal.: Real World Appl., 2011, Vol.

model with

12, pp. 5268.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
[249℄ Gaver D.P. An absorption probability problem.

445

J. Math. Anal. Appl.,

1964, Vol. 9,

pp. 384393.
[250℄ Giang D., Lenbur Y., Seidman T. Delay effe t in models of population growth.

J. Math. Anal. Appl.,

2005, Vol. 305, pp. 631643.

[251℄ Gomez A., Sergei S. Monotone traveling wavefronts of the KPP-Fisher delayed

J. Differ. Equations, 2011, Vol. 250, 17671787.
K. Stability and Os illations in Delay Differential Equations of
Population Dynami s. New York: Springer, 1992.

equation.

[252℄ Gopalsamy

[253℄ Gopalsamy K., Kulenovi
model.

M.R.S., Ladas G. Time lags in a `food-limited' population

Appl. Anal., 1988, Vol.

[254℄ Gopalsamy K., Kulenovi

31, pp. 225237.

M.R.S., Ladas G. Environmental periodi ity and time

J. Math. Anal. Appl.,

delays in a `food-limited' population model.

1990, Vol. 147,

pp. 545555.
[255℄ Goriely A., Hyde C. Ne essary and suffi ient
in ordinary differential equations.

onditions for finite time singularities

J. Differ. Equations, 2000, Vol.

161, pp. 422448.

[256℄ Gourley S.A. Wave front solutions of a diffusive delay model for population of
Daphnia magna.

Comput. Math. Appl., 2001, Vol.

42, pp. 14211430.

[257℄ Gourley S.A., Chaplain M.A.J. Travelling fronts in a food-limited population model
with time delay.

Pro . Roy. So . Edin. A,

2002, Vol. 132, pp. 7589.

[258℄ Gourley S.A., Kuang Y. Wavefronts and global stability in time-delayed population
model with stage stru ture.

Pro . Roy. So . London A, 2003, Vol. 459, pp. 15631579.

[259℄ Gourley S.A, So J. W.-H., Wu J.H. Nonlo ality of rea tion-diffusion equations
indu ed by delay: biologi al modeling and nonlinear dynami s.

J. Math. S i.,

2004,

Vol. 124, No. 4, pp. 51195153.
[260℄ Gourley S.A., Kuang Y., Nagy J.D. Dynami s of a delay differential equation model
of hepatitis B virus infe tion.

J. Biol. Dynam.,

2008, Vol. 2, No. 2, pp. 140153.

[261℄ Grimm L.J., S hmitt K. Boundary value problems for differential equations with
deviating arguments.

Aequationes Math., 1970, Vol.

[262℄ Grindrod P., Pinotsis D.A. On the spe tra of
problems with appli ations in neurodynami s.

4, pp. 176190.
ertain integro-differential-delay

Physi a D: Nonlinear Phenomena,

2011, Vol. 240, No. 1, pp. 1320.
[263℄ Grover D., Sharma D., Singh P. A

elerated HPSTM: An effi ient semi-analyti al

te hnique for the solution of nonlinear PDE's.

Nonlinear Engineering, 2020,

Vol. 9,

pp. 329337.
[264℄ Grundland A.M., Infeld E. A family of non-linear Klein  Gordon equations and
their solutions.

J. Math. Phys., 1992, Vol.

[265℄ Guglielmi N. Stability of one-leg
equation on the quasi-geometri

33, pp. 24982503.

θ-methods

mesh.

for the variable

oeffi ient pantograph

IMA J. Numer. Anal., 2003, Vol. 23, pp. 421

438.
[266℄ Guo L., Grimsmo A., Ko kum A.F., Pletyukhov M., Johansson G. Giant a ousti
atom: A single quantum system with a deterministi

time delay.

Phys. Rev. A,

2017,

Vol. 95, 053821.
[267℄ Gurney W.S.C., Blythe S.P., Nisbet R.M. Ni holson's blowflies revisited.

Nature,

1980, Vol. 287, pp. 1721.
[268℄ Gulsu

M., Sezer M. A Taylor polynomial approa h for solving differential-differen e
equations.

J. Comput. Appl. Math.,

2006, Vol. 186, No. 2, pp. 349364.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

446

[269℄ Gulsu

M., Sezer M. A Taylor

ollo ation method for solving high-order linear

pantograph equations with linear fun tional argument. Numer.

Equations, 2011, Vol.

[270℄ Gyori


I., Ladas

Os illation Theory of Delay Differential Equations with

G.

Appli ations. New

Methods Partial Differ.

27, pp. 16281638.

York: Clarendon Press, 1991.

[271℄ Gyori

I., Trofim huk S. On the existen e of rapidly os illatory solutions in the
Ni holson blowflies equation.

Nonlinear Anal., 2002, Vol. 48, No. 7, pp. 10331042.
Introdu tion to Fun tional Differential Equations.

[272℄ Hale J.K., Verduyn Lunel S.M.
New York: Springer, 1993.

[273℄ Hall A.J., Wake G.C. A fun tional differential equation arising in the modelling of
ell growth.

J. Aust. Math. So . Ser. B,

1989, Vol. 30, pp. 424435.

[274℄ Hall A.J., Wake G.C, Gandar P.W. Steady size distributions for
dimensional plant tissues.

J. Math. Biol.,

[275℄ Hara T., Rinko M., Morii T. Asymptoti
differen e equations with delays.
[276℄ Hastings A., Gross L. (eds.).

ells in one

1991, Vol. 30, pp. 101123.
stability

ondition for linear differential-

Dynami Systems Appl., 1997, Vol. 6, pp. 493506.
En y lopedia of Theoreti al E ology. Berkeley:

University of California Press, 2012.
[277℄ Hattaf K., Yousfi N. A generalized HBV model with diffusion and two delays.

Comput. Math. Appl., 2015, Vol.

69, No 1, pp. 3140.

[278℄ Hattaf K., Yousfi N. Global dynami s of a delay rea tiondiffusion model for viral
infe tion with spe ifi

fun tional response.

Comput. Appl. Math.,

2015, Vol. 34,

No. 3, pp. 807818.
[279℄ He Q., Kang L., Evans D.J. Convergen e and stability of the finite differen e s heme
for nonlinear paraboli

systems with time delay.

Numer. Algorithms,

1997, Vol. 16,

pp. 129153.
[280℄ Herz A.V., Bonhoeffer S., Anderson R.M., May R.M., Nowak M.A. Viral dynami s
in vivo: Limitations on estimates of intra ellular delay and virus de ay.

A ad. S i. USA,

Pro . Nat.

1996, Vol. 93, pp. 72477251.

[281℄ Higham D.J. Highly

ontinuous Runge  Kutta interpolants.

ACM Trans. Math. Soft.,

1991, Vol. 17, pp. 368386.

User Do umentation for IDA: A Differential-Algebrai
Equation Solver for Sequential and Parallel Computers. Lawren e Livermore

[282℄ Hindmarsh A., Taylor A.

National Laboratory report, UCRL-MA-136910, 1999.
[283℄ Hou C.-C., Simos T.E., Famelis I.T. Neural network solution of pantograph type
differential equations. Math. Meth. Appl. S i., 2020, Vol. 43, No. 6, pp. 33693374.
[284℄ Van Der Houwen P.J., Sommeijer B.P. On the stability of predi tor- orre tor methods
for paraboli

equations with delay.

IMA J. Numer. Anal., 1986, Vol.

6, pp. 123.

[285℄ Hu J., Qu C. Fun tionally separable solutions to nonlinear wave equations by group
foliation method.

J. Math. Anal. Appl.,

2007, Vol. 330, pp. 298311.

[286℄ Huang C., Vandewalle S. Un onditionally stable differen e methods for delay partial
differential equations.

Numer. Math.,

2012, Vol. 122, No. 3, pp. 579601.

[287℄ Huang D.J., Ivanova N.M. Group analysis and exa t solutions of a
oeffi ient nonlinear telegraph equations.

J. Math. Phys.,

lass of variable

2007, Vol. 48, No. 7,

073507.
[288℄ Huang D.J., Zhou S. Group properties of generalized quasi-linear wave equations.

J. Math. Anal. Appl.,

2010, Vol. 366, pp. 460472.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

447

[289℄ Huang D.J., Zhou S. Group-theoreti al analysis of variable
telegraph equations.

A ta Appl. Math., 2012, Vol.

oeffi ient nonlinear

117, No. 1, pp. 135183.

[290℄ Huang D.J., Zhu Y., Yang Q. Redu tion operators and exa t solutions of variable
oeffi ient nonlinear wave equations with power nonlinearities.

Symmetry,

2017,

Vol. 9, No. 1, 3.
[291℄ Huang J., Zou X. Traveling wavefronts in diffusive and
system with delays.

J. Math. Anal. Appl.,

[292℄ Huang W.Z. On asymptoti

Equations, 1991, Vol.

stability for linear delay equations.

Differ. & Integral

4, No. 6, pp. 13031310.

[293℄ Huo H.-F., Li W.-T. Positive periodi
with feedba k

ooperative Lotka  Volterra

2002, Vol. 271, pp. 455466.

ontrol.

solutions of a

lass of delay differential system

Appl. Math. Comput., 2004, Vol.

[294℄ Hut hinson G.E. Cir ular

ausal systems in e ology.

148, pp. 3546.

Ann. N. Y. A ad. of S i.,

1948,

Vol. 50, No. 4, pp. pp. 221246.
[295℄ Hwang T.-W., Kuang Y. Deterministi
populations.

J. Math. Biol.,

extin tion effe t of parasites on host

2003, Vol. 46, pp. 1730.

CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential
Equations, Vol. 1, Symmetries, Exa t Solutions and Conservation Laws. Bo a Raton:

[296℄ Ibragimov N.H. (ed.).
CRC Press, 1994.

[297℄ In't Hout K.J. A new interpolation pro edure for adapting Runge  Kutta methods to
delay differential equations.

BIT,

1992, Vol. 32, pp. 634649.

[298℄ Iserles A. On the generalized pantograph fun tional differential equation.

Appl. Math.,

Eur. J.

1993, Vol. 4, No. 1, pp. 138.

[299℄ Isik O.R., Turkoglu T. A rational approximate solution for generalized pantographdelay differential equations. Math. Meth. Appl. S i., 2016, Vol. 39, No. 8, pp. 2011
2024.
[300℄ Ismagilov R.S., Rautian N.A., Vlasov V.V. Examples of very unstable linear partial
fun tional differential equations.

arXiv:1402.4107v1 [math.AP℄,

[301℄ Ja kiewi z Z., Zubik-Kowal B. Spe tral

2014.

ollo ation and waveform relaxation

methods for nonlinear delay partial differential equations.

Appl. Numer. Math., 2006,

Vol. 56, pp. 433443.
[302℄ Jia Yu. Bifur ation and pattern formation of a tumorimmune model with time-delay
and diffusion.

Math. Comput. Simul., 2020, Vol.

178, pp. 92108.

[303℄ Jia H., Xu W., Zhao X., Li Z. Separation of variables and exa t solutions to nonlinear
diffusion equations with

Appl.,

x-dependent

onve tion and absorption.

J. Math. Anal.

2008, Vol. 339, pp. 982995.

[304℄ Jimbo M., Kruskal M.D., Miwa T. Painlev

e test for the self-dual Yang  Mills
equation.

Phys. Lett., Ser. A,

1982, Vol. 92, No. 2, pp. 5960.

[305℄ Johansson F. Computing the Lambert W fun tion in arbitrary-pre ision
interval arithmeti .

Numer. Algorithms, 2020, Vol.

[306℄ Jones G.S. Asymptoti
differen e equation.

behavior and periodi

solutions of a nonlinear differential-

Pro . Nat. A ad. S i. USA,

[307℄ Jones G. The existen e of periodi

J. Math. Anal. Appl.,

omplex

83, No. 1, pp. 221242.

1961, Vol. 47, pp. 879882.

solutions of

1962, Vol. 5, pp. 435450.

f ′ (x) = −αf (x − 1)[1 + f (x)].

[308℄ Jordan P.M., Dai W., Mi kens R.E. A note on the delayed heat equation: Instability
with respe t to initial data.

Me h. Resear h Comm.,

2008, Vol. 35, pp. 414420.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

448

[309℄ Jou D., Casas-V

azquez J., Lebon G.

Extended Irreversible Thermodynami s, 4th ed.

Springer, 2010.
[310℄ Kakutati S., Mar us L. On the non-linear differen e-differential equation

y ′ (t) =

= (A − By(t − τ ))y(t). Annals Math. Studies, 1958, Vol. 41, pp. 118.

[311℄ Kalm

ar-Nagy T., St

ep

an G., Moon F.C. Sub riti al HOPF bifur ation in the delay
equation model for ma hine tool vibrations.

Nonlinear Dyn., 2001, Vol. 26, pp. 121

142.
[312℄ Kalospiros

N.S.,

Edwards

B.J.,

Beris

phenomena in heat and mass transfer.

A.N.

Internal

variables

Int. J. Heat Mass Transfer,

for

relaxation

1993, Vol. 36,

pp. 11911200.
[313℄ Kaminski

W.

Hyperboli

heat

nonhomogeneous inner stru ture.

ondu tion

equation

J. Heat Transfer,

for

materials

with

a

1990, Vol. 112, No. 3, pp. 555

560.
[314℄ Kaptsov O.V., Verevkin I.V. Differential
diffusion equations.

onstraints and exa t solutions of nonlinear

J. Phys. A: Math. Gen.,

2003, Vol. 36, No. 5, pp. 14011414.

[315℄ Kar A., Chan C.L., Mazumder J. Comparative studies on nonlinear hyperboli
paraboli

heat

solutions.

Int. J. Heat Transfer,

[316℄ Karako

ondu tion for various boundary

onditions: Analyti

and

and numeri al

1992, Vol. 114, pp. 1420.

F., Bereketo
glu H. Solutions of delay differential equations by using

differential transform method.

Int. J. Comput. Math.,

2009, Vol. 86, No. 5, pp. 914

923
[317℄ Karakostas G., Philos Ch., Sfi as Y. Stable steady state of some population model.

J. Dynam. Differ. Eq.,

1992, Vol. 4, No. 2, pp. 161190.

[318℄ Kato T., M Leod J.B. Fun tionaldifferential equation

Amer. Math. So ., 1971, Vol.

77, No. 6, pp. 891937.

[319℄ Kerma k W.O., M Kendri k A.G. A
epidemi s.

Pro . Roy. So . A,

[320℄ Khusainov

D.Y.,

Shuklin

y ′ = ay(λt) + by(t). Bull.

G.V.

permutation matri es solving.

ontribution to the mathemati al theory of

1927, Vol. 155, pp. 700721.
Linear

autonomous

time-delay

Stud. Univ. Ž ilina, Math. Ser.,

system

with

2003, Vol. 17, No. 1,

pp. 101108.
[321℄ Khusainov D.Y., Ivanov A.F., Shuklin G.V. On a representation of solutions of linear
delay systems.

Differ. Equations, 2005, Vol.

[322℄ Khusainov D.Y., Shuklin G.V. Relative

Int. Appl. Me hani s, 2005, Vol.

41, pp. 10541058.

ontrollability in systems with pure delay.

41, No. 2, pp. 210221.

[323℄ Khusainov D.Y., Dibl
k J., Ru
 zi kov

a M., Luk

a  ov

a J. Representation of a solution
of the Cau hy problem for an os illating system with pure delay.

Os illations,

Nonlinear

2008, Vol. 11, pp. 276285.

[324℄ Khusainov D.Y., Ivanov A.F., Kovarzh I.V. Solution of one heat equation with delay.

Nonlinear Os illations,

2009, Vol. 12, No. 2, pp. 260282.

[325℄ Khusainov D.Y., Pokojovy M., Azizbayov E.I. On
linear 1D heat equation with

onstant delay.

lassi al solvability for a

Konstanzer S hriften in Mathematik,

2013, No. 316, ISSN 1430-3558 (see also arXiv:1401.5662v1 [math.AP℄, 2014,
https://arxiv.org/pdf/1401.5662.pdf).
[326℄ Khusainov D., Pokojovy M., Reinhard R. Strong and mild extrapolated
to the heat equation with
pp. 427454.

onstant delay.

SIAM J. Math. Anal.,

L2 -solutions

2015, Vol. 47, No. 1,

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

449

Pro eedings 22nd European
Conferen e on Modelling and Simulation, Ni osia, Cyprus, 2008, pp. 157164.
Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied Theory of Fun tional Differential Equations.

[327℄ Kmet T. Modelling and simulation of food network.

[328℄

Dordre ht: Kluwer, 1992.

Introdu tion to the Theory and Appli ations of
Fun tional Differential Equations. New York: Springer, 1999.

[329℄ Kolmanovskii V., Myshkis A.

[330℄ Kolmanovskii V.B., Nosov V.R.
London: A ademi

Stability of Fun tional Differential Equations.

Press, 1986.

[331℄ Koto T. Stability of Runge  Kutta methods for the generalized pantograph equation.

Numer. Math.,

1999, Vol. 84, pp. 233247.

[332℄ Korn G.A., Korn T.M.

ed.

Mathemati al Handbook for S ientists and Engineers, 2nd

New York: Dover Publ., 2000.

[333℄ Kuang Y.

Delay Differential Equations with Appli ations in Population Dynami s.

San Diego: A ademi
[334℄ Kuang J., Cong Y.

Press, 2012.

Stability of Numeri al Methods for Delay Differential Equations.

Beijing: S ien e Press, 2005.
[335℄ Kulenovi

Bull.

M.R.S., Ladas G. Linearized os illations in population dynami s.

Math. Biol.,

1987, Vol. 49, No. 5, pp. 615627.

[336℄ Kwong M.K., Ou C. Existen e and nonexisten e of monotone traveling waves for
the delayed Fisher equation.
[337℄ Lagerstrom P.A.

J. Differ. Equations, 2010, Vol.

249, pp. 728745.

Mat hed Asymptoti Expansions. Ideas and Te hniques. New

York:

Springer, 1988.
[338℄ Lang R., Kobayashi K., External opti al feedba k effe ts on semi ondu tor inje tion
laser properties.

IEEE J. Quantum Ele tron., 1980, Vol.

[339℄ Langley J.K. A

ertain fun tional-differential equation.

16, No. 3, pp. 347355.

J. Math. Anal. Appl.,

2000,

Vol. 244, No. 2, pp. 564567.
[340℄ Lekomtsev A., Pimenov V. Convergen e of the s heme with weights for the
numeri al solution of a heat
oeffi ient of heat

ondu tion equation with delay for the

ondu tivity.

Appl. Math. Comput., 2015, Vol.

ase of variable

256, pp. 8393.

[341℄ Li D., Liu M.Z. Runge  Kutta methods for the multi-pantograph delay equation.

Appl. Math. Comput., 2005, Vol.

163, pp. 383395.

[342℄ Li W.-T., Yan X.-P., Zhang C.-H. Stability and Hopf bifur ation for a delayed
ooperation diffusion system with Diri hlet boundary

Fra tals,

onditions.

Chaos, Solitons &

2008, Vol. 38, No. 1, pp. 227237.

[343℄ Li J., Sun G.-Q., Jin Z. Pattern formation of an epidemi

model with time delay.

Physi a A: Statisti al Me hani s and its Appli ations., 2014, Vol.

403, pp. 100109.

[344℄ Liang J., Cao J. Global exponential stability of rea tion-diffusion re urrent neural
networks with time-varying delays.

Phys. Lett. A.,

2003, Vol. 314, pp. 434442.

[345℄ Liao S.J. A kind of approximate solution te hnique whi h does not depend upon
small parameters  II. An appli ation in fluid me hani s.

Int. J. Non-Linear Me h.,

1997, Vol. 32, No. 5, pp. 815822.
[346℄ Liao S.J.

Beyond Perturbation: Introdu tion to the Homotopy Analysis Method. Bo

a

Raton: CRC Press, 2004.
[347℄ Liao S.J.

Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations.

Springer, 2012.

Berlin:

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

450

[348℄ Lin G., Li W.-T. Travelling wavefronts of Belousov  Zhabotinskii system with
diffusion and delay.

Appl. Math. Lett.,

2009, Vol. 22, pp. 341346.

[349℄ Ling Z., Lin Z. Traveling wavefront in a Hematopoiesis model with time delay.
Applied Mathemati s Letters, 2010, Vol. 23, pp. 426431.
[350℄ Ling Z., Zhu L. Traveling wavefronts of a diffusive hematopoiesis model with time
delay.

Appl. Math.,

2014, Vol. 5, pp. 21722718.

[351℄ Luo L., Wang Y. Os illation for nonlinear hyperboli
impulse and delay.

Int. J. Nonlinear S i.,

equations with influen e of

2012, Vol. 14.  1, pp. 6064.

[352℄ Liu B. New results on the positive almost periodi
hematopoiesis.

solutions for a model of

Nonlinear Anal. Real World Appl., 2014, Vol.

[353℄ Liu P.-P. Periodi

Math. Comput.,

solutions in an epidemi

17, pp. 252264.

model with diffusion and delay.

Appl.

2015, Vol. 265, pp. 275291.

[354℄ Liu C.-S., Liu Y. Comparison of a general series expansion method and the homotopy
analysis method.
[355℄ Liu C.-S. Basi

Modern Phys. Letters B,

2010, Vol. 24, No. 15, pp. 16991706.

theory of a kind of linear fun tional differential equations with

multipli ation delay, 2018, arXiv:1605.06734v4 [math.CA℄.
[356℄ Liu Y. On the

Appl. Math.,

θ-method for delay differential equations with infinite lag. J. Comput.

1996, Vol. 71, pp. 177190.

[357℄ Liu M.Z., Li D. Properties of analyti

solution and numeri al solution of multi-

Appl. Math. Comput., 2004, Vol.

pantograph equation.

155, No. 3, pp. 853871.

[358℄ Liu H., Sun G. Impli it Runge  Kutta methods based on Lobatto quadrature formula

Int. J. Comput. Math.,

2005, Vol. 82, No. 1, pp. 7788.

[359℄ Liu M.Z., Yang Z.W., Xu Y. The stability of modified Runge  Kutta methods for
the pantograph equation.

Math. Comput., 2006, Vol.

75, No. 25, pp. 12011215.

[360℄ Liu B., Zhou X., Du Q. Differential transform method for some delay differential
equations.

Applied Mathemati s, 2015, Vol.

6, pp. 585593.

[361℄ Liz E., Tka henko V., Trofim huk S. A global stability
differential equation.

SIAM J. Math. Anal., 2003, Vol.

riterion for s alar fun tional

35, No. 3, pp. 596622.

[362℄ Liz E., Tka henko V., Trofim huk S. A global stability
delayed population models.

riterion for a family of

Quart. Appl. Math., 2005, Vol.

[363℄ Long F.-S., Meleshko S.V. On the

omplete group

63, pp. 5670.

lassifi ation of the one-

dimensional nonlinear Klein  Gordon equation with a delay.

S ien es,

Math. Methods Appl.

2016, Vol. 39, No. 12, pp. 32553270.

[364℄ Longtin A., Milton J.G. Modelling autonomous os illations in the human pupil light
reflex using non-linear delay-differential equations.

Bull. Math. Biol.,

1989, Vol. 51,

No. 5, pp. 605624.
[365℄ Lou X.-Y., Cui B.-T. Asymptoti

syn hronization of a

with rea tion-diffusion terms and time-varying delays.

lass of neural networks

Comput. Math. Appl.,

2006,

Vol. 52, pp. 897904.
[366℄ Lu H.T., Chung F.L., He Z.Y. Some suffi ient
stability of delayed Hopfield neural networks.

onditions for global exponential

Neural Networks,

2004, Vol. 17,

pp. 537544.
[367℄ Lu J.G. Global exponential stability and periodi ity of rea tiondiffusion delayed
re urrent neural networks with Diri hlet boundary

Fra tals,

2008, Vol. 35, pp. 116125.

onditions.

Chaos, Solitons and

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
[368℄ Lu X. Monotone method and
of paraboli

onvergen e a

problems with time delays.

451

eleration for finite-differen e solutions

Numer. Methods Partial Differ. Equations,

1995, Vol. 11, pp. 591602.
[369℄ Lu X. Combined iterative methods for numeri al solutions of paraboli
with time delays.

Appl. Math. Comput., 1998, Vol.

[370℄ Lu khaus S. Global boundedness for a delay differential equation.

So .,

problems

89, pp. 213224.

Trans. Am. Math.

1986, Vol. 294, No. 2, pp. 767774.

[371℄ Lv G., Wang M. Traveling wave front in diffusive and
system with delays.

ompetitive Lotka  Volterra

Nonlinear Anal.: Real World Appl.,

2010, Vol. 11, pp. 1323

1329.
[372℄ Ma S. Traveling wavefronts for delayed rea tion-diffusion systems via a fixed point
theorem.

J. Differ. Equations, 2001, Vol.

171, 294314.

[373℄ Ma W., Song M., Takeu hi Y. Global stability of an SIR epidemi
delay.

Appl. MAth. Lett.,

[374℄ Ma key M.C. Unified hypothesis for the origin of aplasti
hematopoiesis.

Blood, 1978, Vol.

anemia and periodi

51, pp. 941956.

[375℄ Ma key M.C., Glass L. Os illation and

S ien e,

model with time

2004, Vol. 17, pp. 11411145.

haos in physiologi al

ontrol system.

1977, Vol. 197, pp. 287289.

[376℄ Mahaffy J.M., B

elair J., Ma key M.C. Hematopoieti

Model with Moving Boundary

Condition and State Dependent Delay: Appli ations in Erythropoiesis.

J. Theor. Biol.,

1998, Vol. 190, No. 2, pp. 135146.
[377℄ Mahler K. On a spe ial fun tional equation,

J. London Math. So .,

1940, Vol. 1,

No. 2, pp. 115123.
[378℄ Malakhovski E., Mirkin L. On stability of se ond-order quasi-polynomials with a
single delay.

Automati a, 2006, Vol.

42, No. 6, pp. 10411047.

[379℄ Maple Programming Help // Numeri

Delay Differential Equation Examples.

URL: http: // www.maplesoft. om / support / help / Maple / view.aspx?path=examples /
Numeri DDEs (a

essed: 27.12.2021)

[380℄ Mart
in J.A., Rodr
iguez F., Company R. Analyti
generalized diffusion equation with delay.

solution of mixed problems for the

Math. Comput. Modelling,

2004, Vol. 40,

pp. 361369.
[381℄ MATLAB Do umentation // Delay Differential Equations. URL: http:// www. mathworks. om/help/matlab/delay-differential-equations.html (a
[382℄ Maxwell J.C. On the dynami al theory of gases.

essed: 27.12.2021).

Phil. Trans. Royal So .,

1867,

Vol. 157, pp. 4988.
[383℄ M Cluskey C.C. Complete global stability for an SIR epidemi
distributed or dis rete.

model with delay 

Nonlinear Anal. Real World Appl., 2010, Vol.

11, pp. 5559.

[384℄ Mei M., So J., Li M., Shen S. Asymptoti

stability of travelling waves for

Ni holson's blowflies equation with diffusion.

Pro . Roy. So . Edinburgh Se t. A,

2004, Vol. 134, pp. 579594.
[385℄ Mead J., Zubik-Kowal B. An iterated pseudospe tral method for delay partial
differential equations.

Appl. Numer. Math., 2005, Vol.

[386℄ Meleshko S.V., Moyo S. On the
diffusion equation with a delay.

omplete group

55, pp. 227250.
lassifi ation of the rea tion

J. Math. Anal. Appl., 2008, Vol.

338, pp. 448466.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

452

[387℄ Miller W. (Jr.). Me hanism for variable separation in partial differential equations
and their relationship to group theory. In:

Symmetries and Nonlinear Phenomena

(eds. D. Levi, P. Winternitz). London: World S ientifi , 1989.
[388℄ Miller W. (Jr.), Rubel L.A. Fun tional separation of variables for Lapla e equations
in two dimensions.

J. Phys. A.,

1993, Vol. 26, pp. 19011913.

[389℄ Mitra K., Kumar S., Vedavarz A., Moallemi M.K. Experimental eviden e of
hyperboli

heat

ondu tion in pro essed meat.

J. Heat Transfer,

1995, Vol. 117,

No. 3, pp. 568573.
[390℄ Mittler J.E., Sulzer B., Neumann A.U., Perelson A.S. Influen e of delayed viral

Math. Bios i.,

produ tion on viral dynami s in HIV-1 infe ted patients.

1998,

Vol. 152, pp. 143163.
[391℄ Morris G.R., Feldstein A., Bowen E.W. The Phragm

en-Lindelof
 prin iple and a
lass of fun tional differential equations. In:
L. Weiss), pp. 513540. San Diego: A ademi
[392℄ Murphy G.M.

Ordinary Differential Equations

(ed.

Press, 1972.

Ordinary Differential Equations and Their Solutions.

New York: D.

Van Nostrand, 1960.
[393℄ Murray J.D. On traveling wave solutions in a model for Belousov  Zhabotinskii
rea tion.

J. Theor. Biol.,

1976, Vol. 56, pp. 329353.

[394℄ Murray J.D. Spatial stru tures in predator-prey ommunities  a nonlinear time delay
diffusional model.
[395℄ Murray J.D.
[396℄ Nayfeh

Math. Bios i.,

1976, Vol. 30, pp. 7385.

Mathemati al Biology, 3rd ed.

A.H.

New York: Springer, 2002.

Introdu tion to Perturbation Te hniques.

New

York:

Wiley 

Inters ien e, 1981.
[397℄ Nayfeh A.H.
[398℄ Naudt J. The

Perturbation Methods. New

q -exponential

York: Wiley  Inters ien e, 2000.

family in statisti al physi s.

J. Phys.: Conf. Ser.,

2010,

Vol. 201, 012003.
[399℄ Nelson P.W., James D.M., Perelson A.S. A model of HIV-1 pathogenesis that
in ludes an intra ellular delay.

Math. Bios i.,

2000, Vol. 163, pp. 201215.

[400℄ Nelson P.W., Perelson A.S. Mathemati al analysis of delay differential equation
models of HIV-1 infe tion.

Math. Bios i.,

2002, Vol. 179, No. 1, pp. 7394.

[401℄ Neves K.W., Feldstein M.A. Chara terisation of jump dis ontinuities for statedependent delay differential equations.

J. Math. Anal. Appl., 1976, Vol.

56, pp. 689

707.
[402℄ Neves K.W., Thompson S. Software for the numeri al-solution of systems of
fun tional-differential equations with state-dependent delay.

Appl. Numer. Math.,

1992, Vol. 9, pp. 385401.
[403℄ Ni holson A.J. An outline of the dynami s of animal populations. Australian J.
Zoology, 1954, Vol. 2, No. 1, pp. 965.
[404℄ Novikov S.P., Manakov S.V., Pitaevskii L.B., Zakharov V.E.

Inverse S attering Method. New
[405℄ Nu

Theory of Solitons. The

York: Plenum Press, 1984.

i M.C., Clarkson P.A. The non lassi al method is more general than the dire t

method for symmetry redu tions. An example of the Fitzhugh  Nagumo equation.

Phys. Lett. A,

1992, Vol. 164, pp. 4956.

[406℄ Oberhettinger F., Badii L.

Tables of Lapla e Transforms.

New York: Springer, 1973.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

453

[407℄ Oberle H.J., Pes h H.J. Numeri al treatment of delay differential equations by
Hermite interpolation.

Num. Math.,

1981, Vol. 37, pp. 235255.

[408℄ O kendon J.R., Tayler A.B. The dynami s of a
ele tri

lo omotive.

Pro . R. So . Lond. A,

urrent

olle tion system for an

1971, Vol. 332, pp. 447468.

[409℄ Olver F.W.J., Lozier D.W., Boisvert R.F., Clark C.W. (eds.).

Mathemati al Fun tions. Cambridge: Cambridge Univ. Press,

NIST Handbook of

2010.

[410℄ Ordo

nez-Miranda

J., Alvarado-Gil J.J. Thermal wave os illations and thermal
relaxation time determination in a hyperboli

S ien es,

heat transport model.

Int. J. Thermal

2009, Vol. 48, pp. 20532062.

[411℄ Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations.

Phys. Lett. A,

1986, Vol. 118, pp. 172176.

[412℄ Owren B., Zennaro M. Derivation of effi ient,
methods.

SIAM J. S i. Stat. Comp.,

ontinuous, expli it Runge  Kutta

1992, Vol. 13, pp. 14881501.

[413℄ Ozisik M.N., Tzou D.Y. On the wave theory in heat

Transfer,
[414℄ Patade

ondu tion,

ASME J. Heat

1994, Vol. 116, No. 3, pp. 526535.

J.,

Bhalekar

S.

in ommensurate delay.

Analyti al

Phys. S i. Rev.,

solution

of

pantograph

equation

with

2017, Vol. 2, No. 9, 20165103.

[415℄ Pan X., Shu H., Wang L., Wang X.-S. Diri hlet problem for a delayed diffusive
hematopoiesis model.

Nonlinear Anal.: Real World Appl.,

2019, Vol. 48, pp. 493

516.
[416℄ Pao C. Global asymptoti

stability of Lotka  Volterra

ompetition systems with

Nonlinear Anal.: Real World Appl.,

2004, Vol. 5, No. 1,

[417℄ Pao C.V. Numeri al methods for systems of nonlinear paraboli

equations with time

diffusion and time delays.
pp. 91104.

delays.
[418℄ Pao

J. Math. Anal. Appl., 1999, Vol.

C.V.

Finite

240, No. 1, pp. 249279.

differen e rea tion-diffusion systems

onditions and time delays.

J. Math. Anal. Appl.,

with

oupled boundary

2002, Vol. 272, pp. 407434.

[419℄ Paul C.A.H. Developing a delay differential equation solver.

Appl. Numer. Math.,

1992, Vol. 9, pp. 403414.
[420℄ Paul C.A.H. Designing effi ient software for solving delay differential equations.

J. Comput. Appl. Math.,

2000, Vol. 125, No. 12, pp. 287295.

[421℄ Peiraviminaei A., Ghoreishi F. Numeri al solutions based on Chebyshev
method for singularly perturbed delay paraboli

PDEs.

ollo ation

Math. Meth. Appl. S i., 2014,

Vol. 37, pp. 21122119.

S attering: S attering and Inverse S attering in Pure and
Applied S ien e, Vols. 12. San Diego: A ademi Press, 2002.

[422℄ Pike R., Sabatier P. (eds.).

[423℄ Pimenov V.G., Tashirova E.E. Numeri al methods for solving a hereditary equation
of hyperboli

type.

Pro . Steklov Inst. Math.,

[424℄ Piotrowska M.J., Fory

s U. A simple model of
and diffusion.

Math. Bios i. Eng.,

2013, Vol. 281, pp. s126s136.
ar inogeni mutations with time delay

2013, Vol. 10, No. 3, pp. 861872.

[425℄ Polyanin A.D. Exa t solutions to the Navier  Stokes equations with generalized
separation of variables.

Doklady Physi s,

2001, Vol. 46, No. 10, pp. 726731.

[426℄ Polyanin A.D. Constru tion of exa t solutions in impli it form for PDEs: New
fun tional separable solutions of non-linear rea tion-diffusion equations with variable
oeffi ients.

Int. J. Non-Linear Me h.,

2019, Vol. 111, pp. 95105.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

454

[427℄ Polyanin A.D. Comparison of the effe tiveness of different methods for
exa t solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions.

onstru ting

Mathemati s,

2019, Vol. 7, No. 5, 386.
[428℄ Polyanin A.D. Fun tional separable solutions of nonlinear
equations with variable

oeffi ients.

onve tion-diffusion

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul.,

2019,

Vol. 73, pp. 379390.
[429℄ Polyanin

A.D.

Fun tional

equations with variable

separable

oeffi ients.

solutions

of

nonlinear

Applied Math. Comput.,

rea tion-diffusion
2019, Vol. 347,

pp. 282292.
[430℄ Polyanin A.D. Generalized traveling-wave solutions of nonlinear rea tiondiffusion
equations with delay and variable

oeffi ients.

Appl. Math. Lett.,

2019, Vol. 90,

pp. 4953.
[431℄ Polyanin A.D. Constru tion of fun tional separable solutions in impli it form for
non-linear Klein  Gordon type equations with variable

Linear Me h.,

oeffi ients.

Int. J. Non-

2019, Vol. 114, pp. 2940.

[432℄ Polyanin A.D. Fun tional separation of variables in nonlinear PDEs: General
approa h, new solutions of diffusion-type equations.

Mathemati s,

2020, Vol. 8,

No. 1, 90.

Hydrodynami s, Mass
and Heat Transfer in Chemi al Engineering. London: Taylor & Fran is, 2002.

[433℄ Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A.

[434℄ Polyanin A.D., Manzhirov A.V.

S ientists.

Handbook of Mathemati s for Engineers and

Bo a Raton  London: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.

[435℄ Polyanin A.D., Manzhirov A.V.

Handbook of Integral Equations, 2nd ed.

Bo a

Raton: CRC Press, 2008.

Handbook of Linear Partial Differential Equations
for Engineers and S ientists, 2nd ed. Bo a Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2016.

[436℄ Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E.

[437℄ Polyanin

A.D.,

Shingareva I.K.

Nonlinear

problems

with

blow-up

solutions:

Numeri al integration based on differential and nonlo al transformations, and
differential

onstraints.

Appl. Math. Comput., 2018, Vol.

336, pp. 107137.

[438℄ Polyanin A.D., Shingareva I.K. Non-linear problems with non-monotoni

blow-up

solutions: Non-lo al transformations, test problems, exa t solutions, and numeri al
integration.
[439℄ Polyanin

Int. J. Non-Linear Me h., 2018, Vol.

A.D.,

Shingareva I.K.

Appli ation

99, pp. 258272.
of

non-lo al transformations for

numeri al integration of singularly perturbed boundary-value problems with a small
parameter.
[440℄ Polyanin

Int. J. Non-Linear Me h.,
A.D.,

Sorokin

V.G.

2018, Vol. 103, pp. 3754.

Nonlinear

delay

Traveling-wave solutions in elementary fun tions.

rea tiondiffusion

Appl. Math. Lett.,

equations:

2015, Vol. 46,

pp. 3843.
[441℄ Polyanin A.D., Sorokin V.G. New exa t solutions of nonlinear wave type PDEs with
delay.

Appl. Math. Lett.,

2020, Vol. 108, 106512.

[442℄ Polyanin A.D., Sorokin V.G. A method for
delay PDEs.

onstru ting exa t solutions of nonlinear

J. Math. Anal. Appl., 2021, Vol.

494, No. 2, 124619.

[443℄ Polyanin A.D., Sorokin V.G. Constru tion of exa t solutions to nonlinear PDEs
with delay using solutions of simpler PDEs without delay.

Numer. Simul., 2021, Vol.

95, 105634.

Commun. Nonlinear S i.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

455

[444℄ Polyanin A.D., Sorokin V.G. Nonlinear pantograph-type diffusion PDEs: Exa t
solutions and the prin iple of analogy.

Mathemati s, 2021, Vol.

9, No. 5, 511.

[445℄ Polyanin A.D., Sorokin V.G. Redu tions and exa t solutions of Lotka  Volterra
and more

omplex rea tion-diffusion systems with delays.

Appl. Math. Lett.,

2022,

Vol. 125, 107731.
[446℄ Polyanin A.D., Zaitsev V.F.

Equations, 2nd ed.

[447℄ Polyanin A.D., Zaitsev V.F.

2nd ed.

Handbook of Exa t Solutions for Ordinary Differential

Bo a Raton  New York: CRC Press, 2003.

Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations,

Bo a Raton: CRC Press, 2012.

Handbook of Ordinary Differential Equations: Exa t
Solutions, Methods, and Problems. Bo a Raton  London: CRC Press, 2018.

[448℄ Polyanin A.D., Zaitsev V.F.

[449℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exa t solutions of linear and nonlinear differentialdifferen e heat and diffusion equations with finite relaxation time.

Me h.,

Int. J. Non-Linear

2013, Vol. 54, pp. 115126.

[450℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Exa t separable solutions of delay rea tiondiffusion
equations and other nonlinear partial fun tional-differential equations.

Nonlinear S i. Numer. Simul., 2014, Vol.
[451℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Fun tional
delay

rea tion-diffusion

Commun.

19, No. 3, pp. 409416.
onstraints method for
equations

and

more

onstru ting exa t

solutions

to

omplex

equations.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul., 2014, Vol. 19, No. 3, pp. 417430.

nonlinear

[452℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Generalized and fun tional separable solutions to
nonlinear delay Klein  Gordon equations.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul.,

2014, Vol. 19, No. 8, pp. 26762689.
[453℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Nonlinear delay rea tion-diffusion equations with
varying transfer

oeffi ients: Exa t methods and new solutions.

Appl. Math. Lett.,

2014, Vol. 37, pp. 4348.
[454℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. New generalized and fun tional separable solutions to
nonlinear delay rea tiondiffusion equations.

Int. J. Non-Linear Me h., 2014, Vol. 59,

pp. 1622.
[455℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Non-linear instability and exa t solutions to some delay
rea tion-diffusion systems.

Int. J. Non-Linear Me h.,

[456℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. The fun tional

2014, Vol. 62, pp. 3340.

onstraints method: Appli ation to non-

linear delay rea tiondiffusion equations with varying transfer

Non-Linear Me h.,

oeffi ients.

Int. J.

2014, Vol. 67, pp. 267277.

[457℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. The generating equations method: Constru ting exa t
solutions to delay rea tiondiffusion systems and other non-linear
PDEs.

Int. J. Non-Linear Me h.,

oupled delay

2015, Vol. 71, pp. 104115.

[458℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of variables in PDEs using nonlinear
transformations: Appli ations to rea tion-diffusion type equations.

Letters,

Applied Math.

2020, Vol. 100, 106055.

[459℄ Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exa t Solutions to Nonlinear
PDEs. Bo a Raton: CRC Press, 2022.
[460℄ Posp
s
 il M. Representation and stability of solutions of systems of fun tional
differential equations with

Equations, 2012, No.

multiple delays.

54, pp. 130.

Ele tron. J. Qual. Theory Differ.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

456

[461℄ Prudnikov A.P., Bry hkov Y.A., Mari hev O.I.

Lapla e Transform.

[462℄ Prudnikov A.P., Bry hkov Y.A., Mari hev O.I.

Lapla e Transform.
[463℄ Pu

i E., Sa

Integrals and Series, Vol. 5, Inverse

New York: Gordon & Brea h, 1992.

omandi G. Evolution equations, invariant surfa e

fun tional separation of variables.
[464℄ Pu

Integrals and Series, Vol. 4, Dire t

New York: Gordon & Brea h, 1992.

Physi a D,

i E., Salvatori M.C. Group properties of a

equations.

Int. J. Non-Linear Me h.,

[465℄ Pue-on P., Meleshko S.V. Group

lass of semilinear hyperboli

1986, Vol. 21, pp. 147155.
lassifi ation of se ond-order delay ordinary

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul.,

differential equations.

onditions and

2000, Vol. 139, pp. 2847.

2010, Vol. 15,

pp. 14441453.
[466℄ Qu C.Z., Zhang S.L., Liu R.C. Separation of variables and exa t solutions to
quasilinear diffusion equations with the nonlinear sour e.

Physi a D, 2000, Vol. 144,

pp. 97123.
[467℄ Quarteroni A., Valli A.

Numeri al Approximation of Partial Differential Equations.

Berlin: Springer, 2008.
[468℄ Ra h R. A

onvenient

Anal. Appl., 1984, Vol.

omputational form for the Adomian polynomials.

J. Math.

102, pp. 415419.

[469℄ Ramirez-Carras o C., Molina-Garay J. Existen e and approximation of traveling
wavefronts for the diffusive Ma key  Glass equation.

Aust. J. Math. Anal. Appl.,

2021, Vol. 18, No. 1, pp. 112.
[470℄ Raslan K.R., Abu Sheer Z.F. Comparison study between differential transform
method and Adomian de omposition method for some delay differential equations.

Int. J. Phys. S i.,

2013, Vol. 8, No. 17, pp. 744749.


[471℄ Rebenda J., Smarda
Z. A differential transformation approa h for solving fun tional
differential equations with multiple delays.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul.,

2017, Vol. 48, pp. 246257.
[472℄ Reutskiy S.Y. A new

ollo ation method for approximate solution of the pantograph

fun tional differential equations with proportional delay.

Appl. Math. Comput., 2015,

Vol. 266, pp. 642655.
[473℄ Reyes E., Rodr
iguez F., Mart
in J.A. Analyti -numeri al solutions of diffusion
mathemati al models with delays.

Comput. Math. Appl., 2008, Vol. 56, pp. 743753.



[474℄ Reyes E., Castro M.A.,
Sirvent A., Rodr
iguez F. Exa t solutions and
numeri al approximations of

Symmetry,

2020, Vol. 12, 1560.

[475℄ Robinson R.W. Counting labeled a y li

of Graphs

ontinuous

oupled systems of diffusion equations with delay.

digraphs. In:

New Dire tions in the Theory

(ed. F. Harari), pp. 239273. New York: A ademi

Press, 1973.

[476℄ Rodr
iguez F., Roales M., Mar
in J.A. Exa t solutions and numeri al approximations
of mixed problems for the wave equation with delay.

Appl. Math. Comput.,

2012,

Vol. 219, No. 6, pp. 31783186.
[477℄ Roetzel W., Putra N. Das S.K. Experiment and analysis for non-Fourier
in materials with non-homogeneous inner stru ture.

ondu tion

Int. J. Thermal S ien es,

2003,

Vol. 42, No. 6, pp. 541552.
S. Delay differential equations in single spe ies dynami s. In: Delay
Differential Equations and Appli ations. NATO S ien e Series (II. Mathemati s,

[478℄ Ruan

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

457

Physi s and Chemistry) (eds. Arino O., Hbid M., Dads E.A.), Vol. 205, pp. 477517.
Dordre ht: Springer, 2006.
[479℄ Sakar M.G., Uludag F., Erdogan F. Numeri al solution of time-fra tional nonlinear

Appl. Math.

PDEs with proportional delays by homotopy perturbation method.

Model.,

2016, Vol. 40, pp. 66396649.

[480℄ Saker S.H. Os illation and global attra tivity of hematopoiesis model with delay
time.

Appl. Math. Comput.,

2003, Vol. 136, pp. 2736.

[481℄ Saker S.H. Os illation of
blowflies models.

ontinuous and dis rete diffusive delay Ni holson's

Appl. Math. Comput.,

2005, Vol. 167, pp. 179197.

[482℄ S hmitt K. On solution of differential equations with deviating arguments.

Appl. Math.,

SIAM J.

1969, Vol. 17, pp. 11711176.

Time Delay ODE/PDE Models: Appli ations in Biomedi al S ien e
and Engineering. Bo a Raton: CRC Press, 2019.

[483℄ S hiesser W.E.

[484℄ Sedaghat S., Ordokhani Y., Dehghan M. Numeri al solution of the delay differential
equations of pantograph type via Chebyshev polynomials.

Numer. Simul., 2012, Vol.
[485℄ Sezer

M.,

Commun. Nonlinear S i.

17, pp. 48154830.

Akyuz-Da

s ioglu


A.

A

Taylor

method

for

numeri al

generalized pantograph equations with linear fun tional argument.

Math.,

solution

of

J. Comput. Appl.

2007, Vol. 200, pp. 217225.

[486℄ Sezer M., Kaynak M. Chebyshev polynomial solutions of linear differential equation.

Int. J. Math. Edu . S i. Te hnol., 1996, Vol.

27, No. 4, pp. 607618.

[487℄ Sezer M., Yal inbas S., Gulsu

M. A Taylor polynomial approa h for solving
generalized pantograph equations with nonhomogeneous term.

Int. J. Comput. Math.,

2008, Vol. 85, No. 7, pp. 10551063.
[488℄ Sezer M., Yal inbas S., Sahin N. Approximate solution of multi-pantograph equation
with variable

oeffi ients.

J. Comput. Appl. Math.,

2008, Vol. 214, pp. 406416.

[489℄ Shakeri F., Dehghan M. Appli ation of the de omposition method of Adomian for
solving the pantograph equation of order

m. Z. Naturfors h., 2010, Vol. 65a, pp. 453

460.
[490℄ Shampine L.F. Interpolation for Runge  Kutta methods.

SIAM J. Numer. Anal., 1985,

Vol. 22, pp. 10141026.
[491℄ Shampine L.F., Gahinet P. Delay-differential-algebrai

Appl. Numer. Math.,

equations in

ontrol theory.

2006, Vol. 56, No. 34, pp. 574588.

[492℄ Shampine L.F., Thompson S. Solving DDEs in Matlab.

Appl. Numer. Math.,

2001,

Vol. 37, No. 4, pp. 441458.
[493℄ Shampine L.F., Thompson S. Numeri al Solution of Delay Differential Equations.
In:

Delay Differential Equations. Boston:

Springer, 2009.

[494℄ Smith F.E. Population dynami s in Daphnia magna.

E ology, 1963, Vol. 44, pp. 651

663.

An Introdu tion to Delay Differential Equations with Appli ations to the
Life S ien es. New York: Springer, 2010.

[495℄ Smith H.L.

[496℄ Smith H.L., Zhao X.Q. Global asymptoti
rea tion-diffusion equations.

stability of travelling waves in delayed

SIAM J. Math. Anal., 2000, Vol.

31. pp. 514534.

[497℄ So J.W.-H., Yu J.S. Global attra tivity and uniform persisten e in Ni holson's
blowflies.

Differ. Equations Dynam. Syst.,

1994, Vol. 2, No. 1, pp. 1118.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

458

[498℄ So J.W.-H., Yu J.S. On the uniform stability for a 'food-limited' population model
with time delay.

Pro . Roy. So . Edin. A,

1995, Vol. 125, pp. 9911002.

[499℄ So J.W.-H., Yang Y. Diri hlet problem for the diffusive Ni holson's blowflies

J. Differ. Equations, 1998, Vol.

equation.

150, pp. 317348.

[500℄ So J.W.-H., Zou X. Traveling waves for the diffusive Ni holson's blowflies equation.

Appl. Math. Comput., 2001, Vol.

122, No. 3, pp. 385392.

[501℄ Sokal A. Roots of a formal power series, with appli ations to graph enumeration and

q -series,

2011; http://www.maths.qmul.a .uk/~pj / sgnotes/sokal/.

[502℄ Solodushkin

S.I.,

Yumanova

I.F.,

Staelen

R.D.

First-order

equations with time delay and retardation of a state variable.

partial

differential

J. Comput. Appl. Math.,

2015, Vol. 289, pp. 322330.
[503℄ Song O.K., Cao J.D. Global exponential stability and existen e of periodi

Fra tals,

solutions

Chaos, Solitons &

in BAM networks with delays and rea tion diffusion terms.
2005, Vol. 23, No. 2, pp. 421430.

[504℄ Sopho leous C., Kingston J.G. Cy li
wave equations.

symmetries of one-dimensional non-linear

Int. J. Non-Linear Me h.,

1999, Vol. 34, pp. 531543.

[505℄ Sorokin V.G, Polyanin A.D. Nonlinear partial differential equations with delay: linear
stability/instability of solutions, numeri al integration.

J. Phys. Conf. Ser.,

2019,

Vol. 1205, 012053.
[506℄ St

ep

an G.

Retarded Dynami al Systems: Stability and Chara teristi Fun tions. New

York: Longman S ientifi

& Te hni al, 1989.

[507℄ Stuart A.M., Floater M.S. On the

omputation of blow-up.

Eur. J. Appl. Math., 1990,

Vol. 1, No. 1, pp. 4771.
[508℄ Su Y., Wei J., Shi J. Hopf bifur ation in a rea tion-diffusion population model with
delay effe t.

J. Differ. Equations, 2009, Vol.

247, pp. 11561184.

[509℄ Suarez M.J., S hopf P.S. A delayed a tion os illator for ENSO.

J. Atmos. S i., 1988,

Vol. 45, pp. 32833287.
[510℄ Sun G.Q., Wang S.L., Ren Q., Jin Z., Wu Y.-P. Effe ts of time delay and spa e on
herbivore dynami s: linking indu ible defenses of plants to herbivore outbreak.

Rep.,

S i.

2015, Vol. 5, 11246.

[511℄ Sun Z.Z. On the
boundary

ompa t differen e s heme for heat equation with Neumann

onditions.

Numer. Methods Partial Differ. Equations,

2009, Vol. 25,

pp. 13201341.
[512℄ Sun Z., Zhang Z. A linearized

ompa t differen e s heme for a

delay partial differential equations.

Appl. Math. Model., 2013, Vol.

[513℄ Takeu hi Y., Ma W., Beretta E. Global asymptoti
model with finite in ubation times.

θ-method

diffusion equations with time-variable delay.

37, pp. 742752.

properties of a delay SIR epidemi

Nonlinear Anal.,

[514℄ Tang C., Zhang C. A fully dis rete

lass of nonlinear

2000, Vol. 42, pp. 931947.

for solving semi-linear rea tion-

Math. Comput. Simul.,

2021, Vol. 179,

pp. 4856.
[515℄ Tanthanu h J. Symmetry analysis of the nonhomogeneous invis id Burgers equation
with delay.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simulat., 2012, Vol.

17, 49784987.

[516℄ Tanthanu h J., Meleshko S.V. Appli ation of Group Analysis to Delay Differential
Equation. In:

Nonlinear A ousti s at the Beginning of the 21st Century (eds. Rudenko

O.V., Sapozhnikov O.A.), pp. 607610. Mos ow: MSU, 2002.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

459

[517℄ Tanthanu h J., Meleshko S.V. On definition of an admitted Lie group for fun tional
differential equations.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul., 2004, Vol. 9, pp. 117

125.
[518℄ Tohidi E., Bhrawy A.H., Erfani K. A

ollo ation method based on Bernoulli

operational matrix for numeri al solution of generalized pantograph equation.

Math. Model.,

Appl.

2013, Vol. 37, pp. 42834294.

[519℄ Trofim huk E., Tka henko V., Trofim huk S. Slowly os illating wave solutions of
a single spe ies rea tiondiffusion equation with delay.

J. Differ. Equations,

2008,

Vol. 245, pp. 23072332.
[520℄ Trofim huk E., Pinto M., Trofim huk S. Traveling waves for a model of the
Belousov  Zhabotinsky rea tion.

J. Differ. Equations,

2013, Vol. 254, pp. 3690

3714.
[521℄ Tzou D.Y.

Ma ro- to Mi ros ale Heat Transfer: The Lagging Behavior. Washington:

Taylor & Fran is, 1997.
[522℄ Valluri S.R., Jeffrey D.J., Corless R.M. Some appli ations of the Lambert
to physi s.

Can. J. Phys.,

W

fun tion

2000, Vol. 78, No. 9, pp. 823831.

[523℄ Van Brunt B., Wake G.C. A Mellin transform solution to a se ond-order pantograph
equation with linear dispersion arising in a

Eur. J. Appl. Math.,

ell growth model.

2011, Vol. 22, No. 2, pp. 151168.
[524℄ Van Brunt B., Zaidi A.A., Lyn h T. Cell division and the pantograph equation.

Pro . Surveys,

ESAIM

2018, Vol. 62, pp. 158167.

[525℄ Vandewalle S., Gander M.J. Optimized overlapping S hwarz methods for paraboli
PDEs

with

time-delay.

In:

Engineering. Springer, Berlin,
[526℄ Veberi

Domain De omposition Methods in S ien e and
2005, pp. 291298.

D. Lambert W fun tion for appli ations in physi s.

Communi ations, 2012, Vol.

Computer Physi s

183, No. 12, pp. 26222628.

[527℄ Vedavarz A., Kumar S., Moallemi M.K. Signifi an e of non-Fourier heat waves in
ondu tion.

ASME J. Heat Transfer,

[528℄ Verblunsky S. On a

So .,

1994, Vol. 116, No. 1, pp. 221224.

lass of differential-differen e equations.

Pro . London Math.

1956, Vol. s36, No. 3, pp. 355365.

[529℄ Vernotte P. Les paradoxes de la th

eorie

Rendus,

ontinue de l'

equation de la

haleur.

Comptes

1958, Vol. 246, pp. 31543155.

[530℄ Vernotte P. Some possible

Comptes Rendus, 1961, Vol.

ompli ations in the phenomena of thermal

ondu tion.

252, pp. 21902191.

[531℄ Villasana M., Radunskaya A. A delay differential equation model for tumor growth.

J. Math. Biol.,

2003, Vol. 47, pp. 270294.

[532℄ Vladimirov A., Turaev D. Model for passive mode lo king in semi ondu tor lasers.

Phys. Rev. A,

2005, Vol. 72, 033808.

[533℄ Wan P., Sun D., Chen D., Zhao M., Zheng L. Exponential syn hronization of inertial
rea tion-diffusion
intermittent

oupled neural networks with proportional delay via periodi ally

ontrol.

Neuro omputing, 2019, Vol.

356, pp. 195205.

[534℄ Wan A., Wei J. Hopf bifur ation analysis of a food-limited population model with
delay.

Nonlinear Anal. Real World Appl., 2010, Vol.

[535℄ Wang P.K.C. Asymptoti

11, pp. 10871095.

stability of a time-delayed diffusion system.

1963, Vol. 30, pp. 500504.

J. Appl. Meh.,

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

460

[536℄ Wang X., Li Z. Dynami s for a type of general rea tion-diffusion model.

Analysis,

Nonlinear

2007, Vol. 67, pp. 26992711.

[537℄ Wang J., Meng F., Liu S. Interval os illation
differential equations with delays.

riteria for se ond order partial

J. Comput. Appl. Math.,

2008, Vol. 212. No. 2,

pp. 397405.
[538℄ Wang L., Gao Y. Global exponential robust stability of rea tiondiffusion interval
neural networks with time-varying delays.

Physi s Letters A, 2006, Vol. 350, pp. 342

348.
[539℄ Wang K., Wang W. Propagation of HBV with spatial dependen e.

Math. Bios i.,

2007, Vol. 210, pp. 7895.
[540℄ Wang Z.-Q., Wang L.-L. A Legendre  Gauss ollo ation method for nonlinear delay
differential equations.

Dis rete Contin. Dyn. Syst. Ser. B,

2010, Vol. 13, No. 3,

pp. 685708.
[541℄ Wang K., Wang W., Song S. Dynami s of an HBV model with diffusion and delay.

J. Theor. Biol.,

2008, Vol. 253, pp. 3644.

[542℄ Wang L., Zhang C. Zeros of the deformed exponential fun tion.

Adv. Math.,

2018,

Vol. 332, pp. 311348.
[543℄ Wang X., Zhang H., Li Z. X. Os illation for a
with several arguments.

lass of diffusive hematopoiesis model

A ta Math. Sin. Eng. Ser.,

2012, Vol. 28, No. 11, pp. 2345

2354.
[544℄ Wazwaz A.M., Raja M.A.Z., Syam M.I. Reliable treatment for solving boundary
value problems of pantograph delay differential equation.

Rom. Rep. Phys.,

2017,

Vol. 69, 102.
[545℄ Wei J., Li M. Hopf bifur ation analysis in a delayed Ni holson blowflies equation.

Nonlinear Anal., 2005, Vol.

60, No. 7, pp. 13511367.

[546℄ Weiss J., Tabor M., Carnevalle G. The Painlev

e property for partial differential
equations.

J. Math. Phys.,

1983, Vol. 24, No. 3, pp. 522526.

[547℄ Weiss J. The Painlev

e property for partial differential equations. II: B
a klund
transformation, Lax pairs, and the S hwarzian derivative.

J. Math. Phys.,

1983,

Vol. 24, No. 6, pp. 14051413.
[548℄ Weiss S. On the

ontrollability of delay-differential systems.

SIAM J. Control, 1967,

Vol. 5, No. 4, pp. 575587.
[549℄ Weisstein E.W.

CRC Con ise En y lopedia of Mathemati s, 2nd ed.,

Bo a Raton:

CRC Press, 2003.
[550℄ Welfert B.D.

Anal.,

Generation of pseudospe tral differentiation matri es I. SIAM J. Numer.

1997, Vol. 34, pp. 16401657.

[551℄ Will

e D.R., Baker C.T.H. The tra king of derivative dis ontinuities in systems of
delay-differential equations.

Appl. Numer. Math., 1992, Vol. 9, No. 35, pp. 209222.

[552℄ Will

e D.R., Baker C.T.H. DELSOL  a numeri al
of delay differential equations.

Appl. Numer. Math.,

ode for the solution of systems
1992, Vol. 9, pp. 223234.

[553℄ Winitzki S. Uniform approximations for trans endental fun tions. In:

S ien e and Its Appli ations  ICCSA 2003

Computational

(eds. Kumar V., Gavrilova M.L.,

Kenneth Tan C.J., L'E uyer P.); Le ture Notes in Computer S ien e, Vol. 2667,
pp. 780789. Berlin  Heidelberg: Springer, 2003.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

461

[554℄ Wolfram Language Do umentation // The Numeri al Method of Lines. URL:
http:// referen e.wolfram. om / language / tutorial / NDSolveMethodOfLines.html (a essed: 27.12.2021).
[555℄ Wolfram Language Do umentation // NDSolve. URL: http://referen e.wolfram. om/
language/ref/NDSolve.html (a
[556℄ Wolfram

Language

essed: 27.12.2021).

Do umentation

//

Delay

Differential

Equations.

URL:

http:// referen e.wolfram. om / mathemati a / tutorial / NDSolveDelayDifferentialEquations.html (a

essed: 27.12.2021).

[557℄ Wolfram Language Do umentation // Expli itRungeKutta Method for NDSolve.
URL: http:// referen e.wolfram. om / language / tutorial / NDSolveExpli itRungeKutta
.html (a

essed: 27.12.2021).

[558℄ Wolfram Language Do umentation // Impli itRungeKutta Method for NDSolve.
URL: http:// referen e.wolfram. om / language / tutorial / NDSolveImpli itRungeKutta
.html (a

essed: 27.12.2021).

[559℄ Wolfram

NDSolve.

URL:

http://referen e.wolfram. om/language/tutorial/NDSolveIDAMethod.html (a

Language

Do umentation

//

IDA

Method

for

essed:

27.12.2021).
[560℄ Wolfram Language Do umentation // Norms in NDSolve. URL: http://referen e.
wolfram. om/language/tutorial/NDSolveVe torNorm.html (a

essed: 27.12.2021).

[561℄ Wolfram Language Do umentation // Numeri al Solution of Differential Equations.
URL: http://referen e.wolfram. om/language/tutorial/Numeri alSolutionOfDifferentialEquations.html (a

essed: 27.12.2021).

[562℄ Wolfram Language Do umentation // FindRoot. URL: http://referen e.wolfram. om/
language/ref/FindRoot.html (a

essed: 27.12.2021).

[563℄ Wright E.M. A non-linear differen e-differential equation.

J. Reine Angew. Math.,

1955, Vol. 194, pp. 6687.
[564℄ Wright E.M. Solution of the equation

zez = a. Pro . R. So . Edinb.,

1959, Vol. 65,

pp. 193203.
[565℄ Wu J.

Theory and Appli ations of Partial Fun tional Differential Equations.

New

York: Springer-Verlag, 1996.
[566℄ Wu J.H.

Introdu tion to Neural Dynami s and Signal Transmission Delay, Berlin: de

Gruyter, 2002.
[567℄ Wu J., Campbell S. A., B

elair J. Time-delayed neural networks: stability and
os illations. In:

En y lopedia of Computational Neuros ien e,

pp. 29662972. New

York: Springer, 2015.
[568℄ Wu J., Zou X. Traveling wave fronts of rea tion-diffusion systems with delay.

J. Dynami s & Differ. Equations, 2001, Vol.

13, No. 3, pp. 651687.

[569℄ Wu F., Wang Q., Cheng X., Chen X. Linear

θ-method

generalised rea tion-diffusion equation with delay.

and

ompa t

θ-method

Int. J. Differ. Equations,

for

2018,

Vol. 2018, 6402576.
[570℄ Wang K., Teng Z., Jiang H. Global exponential syn hronization in delayed rea tiondiffusion

ellular neural networks with the Diri hlet boundary

Comput. Model.,

onditions.

[571℄ Xiaoxin L., XiaoJun W. Stability for differential-differen e equations.

Appl.,

Math.

2010, Vol. 52, pp. 1224.

1991, Vol. 174, pp. 84102.

J. Math. Anal.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ

462

[572℄ Xu Z. Traveling waves in a Kerma k  M kendri k epidemi
and latent period.

Nonlinear Anal., 2014, Vol.

model with diffusion

111, pp. 6681.

[573℄ Xu R., Ma Z.E. An HBV model with diffusion and time delay.

J. Theor. Biol.

2009,

Vol. 257, pp. 499509.
[574℄ Xu Y., Liu M. H-stability of Runge  Kutta methods with general variable stepsize
for pantograph equation.

Appl. Math. Comput., 2004, Vol.

[575℄ Yal inbas S., Aynigul
 M., Sezer M. A

148, pp. 881892.

ollo ation method using Hermite polynomials

for approximate solution of pantograph equations.

J. Franklin Inst.,

2011, Vol. 348,

pp. 11281139.
[576℄ Yang Y., So J.W.-H. Dynami s for the diffusive Ni holson blowflies equation.
In:

Dynami al Systems and Differential Equations

(eds. Chen W., Hu S.), Vol. 2,

pp. 333352. Springfield, MO: Southwest Missouri State University, 1998.
[577℄ Yang J., Liang S., Zhang Yi. Travelling waves of a delayed SIR epidemi
with nonlinear in iden e rate and spatial diffusion.

PLoS ONE,

model

2011, Vol. 6, No. 6,

e21128.
[578℄ Yang X., Song Q., Cao J., Lu J. Syn hronization of

oupled Markovian rea tion

diffusion neural networks with proportional delays via quantized ontrol.

Neural Netw. Learn. Syst.,

IEEE Trans.

2019, Vol. 30, No. 3, pp. 951958.

[579℄ Yang Z., Xu D. Global dynami s for non-autonomous rea tion-diffusion neural
networks with time-varying delays.
[580℄ Yang C. Modified Chebyshev
equations.

Appl. Numer. Math.,

Theor. Comput. S i.,

2008, Vol. 403, pp. 310.

ollo ation method for pantograph-type differential
2018, Vol. 134, pp. 132144.

[581℄ Yi T., Zou X. Global attra tivity of the diffusive Ni holson blowflies equation with
Neumann boundary

ondition: A non-monotone

ase.

F. Differ. Equations,

2008,

Vol. 245, pp. 33763388.

Time-Delay Systems: Analysis and Control Using the
Lambert W Fun tion. Singapore: World S ientifi , 2010.

[582℄ Yi S., Nelson P.W., Ulsoy A.G.

[583℄ Yuanhong Yu. Stability

riteria for linear se ond order delay differential systems.

A ta Math. Appl. Sini a, 1988, Vol.

4, pp. 109112.

[584℄ Yusufo
glu E. An effi ient algorithm for solving generalized pantograph equations
with linear fun tional argument.

Appl. Math. Comput.,

2010, Vol. 217, pp. 3591

3595.
[585℄ Yuzba

si S., Sahin N., Sezer M. A Bessel
generalized pantograph equations.

ollo ation method for numeri al solution of

Numer. Methods Partial Differ. Equations,

2011,

Vol. 28, pp. 11051123.
[586℄ Yuzba

si S., Sezer M. An exponential approximation for solutions of generalized
pantograph-delay differential equations.

Appl. Math. Model., 2013, Vol. 37, pp. 9160

9173.
[587℄ Zaidi A.A., Van Brunt B., Wake G.C. Solutions to an advan ed fun tional partial
differential equation of the pantograph type.

Pro . R. So . A.,

2015, Vol. 471,

20140947.
[588℄ Zaikin A.N., Zhabotinsky A.M. Con entration wave propagation in two-dimensional
liquid-phase self-os illating system.

Nature,

1970, Vol. 225, pp. 535  537.

[589℄ Zaitsev V.F., Polyanin A.D. Exa t solutions and transformations of nonlinear heat
and wave equations.

Doklady Math.,

2001, Vol. 64, No. 3, pp. 416420.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ
[590℄ Zennaro M. Natural

463

ontinuous extensions of Runge  Kutta methods.

Math. Comp.,

1986, Vol. 46, pp. 119133.
[591℄ Zennaro M. P-stability properties of Runge  Kutta methods for delay differential
equations.

Numer. Math., 1986, Vol.

49, pp. 305318.

[592℄ Zhang F., Zhang Y. State estimation of neural networks with both time-varying delays
and norm-bounded parameter un ertainties via a delay de omposition approa h.

Commun. Nonlinear S i. Numer. Simul.,

2013, Vol. 18, No. 12, pp. 35173529.

[593℄ Zhang G.-B. Asymptoti s and uniqueness of traveling wavefronts for a delayed
model of the Belousov  Zhabotinsky rea tion,

Appli able Analysis,

2020, Vol. 99,

No. 10, pp. 16391660.
[594℄ Zhang S.L., Lou S.Y., Qu C.Z. New variable separation approa h: Appli ation to
nonlinear diffusion equations.

J. Phys. A: Math. Gen.,

2003, Vol. 36, pp. 12223

12242.
[595℄ Zhang W., Fan M. Periodi ity in a generalized e ologi al
governed by impulsive differential equations with delays.

ompetition system

Math. Comput. Model.,

2004, Vol. 39, No. 45, pp. 479493.
[596℄ Zhang Q., Li D., Zhang C., Xu D. Multistep finite differen e s hemes for the variable
oeffi ient delay paraboli equations.

J. Differ. Equations Appl., 2016, Vol. 22, No. 6,

pp. 745765.
[597℄ Zhang Y., Xu Z. Dynami s of a diffusive HBV model with delayed Beddington 
DeAngelis response.

Nonlinear Anal: Real World Appl., 2014, Vol.

[598℄ Zhang Q., Zhang C. A new linearized
nonlinear

ompa t multisplitting s heme for the

onve tion-rea tion-diffusion equations with delay.

S i. Numer. Simul.,

15, pp. 118139.

Commun. Nonlinear

2013, Vol. 18, No. 12, pp. 32783288.

[599℄ Zhao H. Exponential stability and periodi
memory neural network involving delays.

os illatory of bidire tional asso iative

Neuro omputing, 2006,

Vol. 69, pp. 424

448.
[600℄ Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation.

J. Phys. A,

1994, Vol. 27, pp. L291L297.
[601℄ Zhu C.-C., Zhu J. Dynami

analysis of a delayed COVID-19 epidemi

with home

quarantine in temporal-spatial heterogeneous via global exponential attra tor method.

Chaos, Solitons & Fra tals,

2021, Vol. 143, 110546.

[602℄ Zhurov A.I., Polyanin A.D. Symmetry redu tions and new fun tional separable
solutions of nonlinear Klein  Gordon and telegraph type equations.

Math. Physi s,

S holarpedia, 2008, 3(4): 2851.
Handbook of Differential Equations, 3rd ed. New York: A ademi

[603℄ Zubik-Kowal B. Delay partial differential equations.
[604℄ Zwillinger D.
Press, 1997.

J. Nonlinear

2020, Vol. 27, No. 2, pp. 227242.

Íàó÷íîå èçäàíèå

ÏÎËßÍÈÍ Àíäðåé Äìèòðèåâè÷
ÑÎÎÊÈÍ Âñåâîëîä

ðèãîðüåâè÷

ÆÓÎÂ Àëåêñåé Èâàíîâè÷

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß
Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
ÑÂÎÉÑÒÂÀ, ÌÅÒÎÄÛ, ÅØÅÍÈß È ÌÎÄÅËÈ

Îðèãèíàë-ìàêåò: À.È. Æóðîâ, À.Ä. Ïîëÿíèí

Ôîðìàò 70x100/16.
àðíèòóðà ¾Times New Roman¿. Ïå÷àòü öèðîâàÿ.
Ó÷åòí. ïå÷. ë. 34,3. Òèðàæ 300 ýêç.

Èíñòèòóò ïðîáëåì ìåõàíèêè èì. À.Þ. Èøëèíñêîãî ÀÍ (ÈÏÌåõ ÀÍ)
119526 îññèÿ, ã. Ìîñêâà, ïð-ò Âåðíàäñêîãî, ä. 101, êîðï. 1
http://www.ipmnet.ru/

Îòïå÷àòàíî â òèïîãðàèè ¾Ýëèñ

ðóïï¿

105094, ã. Ìîñêâà, Ñåìåíîâñêàÿ Íàáåðåæíàÿ, ä. 3/1, êîðï. 6
http://www.ali e-group.ru/

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
СВОЙСТВА, МЕТОДЫ, РЕШЕНИЯ И МОДЕЛИ
А. Д. ПОЛЯНИН, В. Г. СОРОКИН, А. И. ЖУРОВ

Книга посвящена линейным и нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных с постоянным
и переменным запаздыванием. Рассмотрены качественные особенности
дифференциальных уравнений с запаздыванием и сформулированы
типичные постановки задач. Описаны точные, приближенные аналитические и численные методы решения таких уравнений, включая метод шагов,
методы интегральных преобразований, метод регулярного разложения по
малому параметру, метод сращиваемых асимптотических разложений,
методы итерационного типа, метод разложения Адомиана, метод коллокаций, проекционные методы типа Галеркина, методы Эйлера и Рунге —
Кутты, метод стрельбы, метод прямых, конечно-разностные методы для
УрЧП, методы обобщенного и функционального разделения переменных,
метод функциональных связей, метод порождающих уравнений и др.
Изложение теоретического материала сопровождается примерами практического применения методов для получения искомых решений. Построены
точные решения ряда нелинейных реакционно-диффузионных и волновых
уравнений общего вида с запаздыванием, которые зависят от одной или
нескольких произвольных функций. Дан обзор наиболее распространенных математических моделей с запаздыванием, используемых в теории
популяций, биологии, медицине и других приложениях. В целом в книгу
включено много нового материала, который ранее в монографиях не
публиковался.
Для широкого круга научных работников, преподавателей вузов,
аспирантов и студентов, специализирующихся в различных областях
прикладной математики, математической физики, вычислительной математики, механики, теории управления, биологии, медицины, химической
технологии, экологии и экономики. Отдельные разделы книги и примеры
могут быть использованы в курсах лекций по прикладной математике,
математической физике и дифференциальным уравнениям, для чтения
спецкурсов и для проведения практических занятий.